2020年沪科新版九年级下册同步练习：24.4《直线与圆的位置关系》解析版

2020年沪科新版九年级下册同步练习
24.4《直线与圆的位置关系》
一．选择题（共18小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（　　）

A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，以点A为圆心，5为半径画圆，则⊙A与直线BC的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
3．⊙O的半径r＝5cm，点P在直线l上，若OP＝5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）?
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交?
4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（　　）
A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交
B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离
C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切
D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切
6．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（　　）

A．59° B．62° C．118° D．124°
7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（　　）

A．cm B．3cm C．cm D．2cm
8．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
9．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．45° D．50°
11．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
12．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A．10 B．18 C．20 D．22
13．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
14．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（　　）

A．3 B． C．6 D．
15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）

A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
16．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（　　）

A． B． C． D．
18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切．

A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
二．填空题（共6小题）
19．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　 　．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于　 　度．

21．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为　 　．

22．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是　 　．

23．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为　 　．

24．1．直线与圆相切时，公共点的个数是　 　．
2．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为2的圆与直线AB的位置关系是　 　
3．如图所示，∠BAC＝60°，O是射线AB上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O，将AC绕点A逆时针旋转　 　°时，AC与⊙O相切．

三．解答题（共7小题）
25．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

26．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．

27．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．

28．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．

29．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．

30．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP?BP＝CP2．

31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．



参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（　　）

A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，

当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，以点A为圆心，5为半径画圆，则⊙A与直线BC的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离小于圆的半径时直线与圆相交进行判断；
【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝5，AB＝12
∴BC＝13，
点A到直线BC的距离为＝＜5
∴以点A为圆心，5为半径的⊙A与直线BC相交；
故选：C．
3．⊙O的半径r＝5cm，点P在直线l上，若OP＝5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）?
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交?
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．
此时和半径5的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【分析】首先根据三角形面积求出CM的长，进而得出直线AB与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，
∴CM×AB＝AC×BC，
∴CM＝＝4.8，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∴CN＝MN＝CM，
∴MN＝2.4，
∵以DE为直径的圆半径为2.5，
∴r＝2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．
故选：B．
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（　　）
A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交
B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离
C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切
D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
【解答】
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD，
CD＝2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相切，
故选：C．
6．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（　　）

A．59° B．62° C．118° D．124°
【分析】先证明∠P＝180°﹣∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB的度数，即可得出结果．
【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO＝360°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB，
∵∠ACB＝59°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，
∴∠P＝180°﹣118°＝62°，
故选：B．

7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（　　）

A．cm B．3cm C．cm D．2cm
【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，在直角△AOP中，利用勾股定理求得OA的长，然后证明△AOD∽△POA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【解答】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠PAO＝90°，
在直角△APO中，OA＝＝2，
∵AB⊥OP，
∴AD＝BD，∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝∠DOA，
∴△APO∽△DAO，
∴＝，即＝，
解得：AD＝3（cm），
∴BD＝3cm．
故选：B．
8．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC＝90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．
【解答】解：如图：连接OB，

∵∠A＝25°，
∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．
故选：D．
9．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】直接利用切线的性质得出∠PBA＝90°，进而答案．
【解答】解：∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，
∴∠PBA＝90°，
∵∠PBC＝50°，
∴∠ABC＝40°．
故选：B．
10．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．45° D．50°
【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．
【解答】解：∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠MBA，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，
故选：D．
11．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
【分析】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB．
【解答】解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．

12．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A．10 B．18 C．20 D．22
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
13．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故选：C．
14．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（　　）

A．3 B． C．6 D．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）

A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．

16．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意可得出PC2＝PB?PA，再由OB＝3，PB＝2，则PA＝8，代入可求出PC．
【解答】解：∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，
∴PC2＝PB?PA，
∵OB＝3，PB＝2，
∴PA＝8，
∴PC2＝PB?PA＝2×8＝16，
∴PC＝4．
故选：C．
17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据切线长定理得AE＝AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2＝BD?BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．
【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∴BE＝8；
∵BE2＝BD?BC，
∴BD＝，
∴CD＝，
∴圆的半径是，
故选：A．
18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切．

A．4 B．8 C．4或6 D．4或8
【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．
【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．∴P1E⊥CD
又∵∠AOD＝30°，r＝1cm
∴在△OEP1中OP1＝2cm
又∵OP＝6cm
∴P1P＝4cm
∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）
∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒
故选：A．
二．填空题（共6小题）
19．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　3＜r≤4或r＝　．

【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
当直线与圆如图所示也可以有一个交点，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4或r＝．


20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于　55　度．

【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A＝∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解．
【解答】解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
21．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为　40度　．

【分析】连接DB，即∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
【解答】解：连接BD，则∠ADB＝90°，
又∠BCD＝130°，
故∠DAB＝50°，
所以∠DBA＝40°；
又因为PD为切线，
故∠PDA＝∠ABD＝40°，
即∠PDA＝40°．

22．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是　16cm　．

【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，从而求解．
【解答】解：连接OA．
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，
∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．
在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，
∴△PDE的周长为2AP＝16．
故选答案为16cm．

23．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为　44　．

【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故答案为：44．
24．1．直线与圆相切时，公共点的个数是　一个　．
2．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为2的圆与直线AB的位置关系是　相离　
3．如图所示，∠BAC＝60°，O是射线AB上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O，将AC绕点A逆时针旋转　30　°时，AC与⊙O相切．

【分析】（1）根据直线与圆相切时公共点只有一个，即可求解；
（2）设AB边上的高为d，则AB×d＝AC×BC，即：5d＝12，d＝＞2，即可求解；
（3）设旋转到AD位置时，与圆相切，连接OD，∠ODA＝90°，OD＝OA，则∠OAD＝30°，即可求解．
【解答】解：（1）直线与圆相切时，公共点的个数是一个，
故：答案为：一个；
（2）设AB边上的高为d，则AB×d＝AC×BC，即：5d＝12，d＝＞2，
故：圆与直线AB的位置关系是：相离，
故答案为：相离；
（3）设旋转到AD位置时，与圆相切，连接OD，

∠ODA＝90°，OD＝OA，
∴∠OAD＝30°，
即：AC绕点A逆时针旋转30°时，AC与⊙O相切，
故：答案为：30°．
三．解答题（共7小题）
25．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

26．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．

【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．

27．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．

【分析】连接OT，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠CAT＝∠OTA，根据平行线的判定定理得到OT∥AC，根据平行线的性质得到OT⊥TC，根据切线的判定定理证明即可．
【解答】证明：连接OT，
∵AT平分∠BAD，
∴∠CAT＝∠BAT，
∵OT＝OA，
∴∠OTA＝∠BAT，
∴∠CAT＝∠OTA，
∴OT∥AC，又TC⊥AC，
∴OT⊥TC，
∴CT为⊙O的切线．

28．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．

【分析】（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得CD＝CB，即可得DE＝2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值，从而根据AD的长求得OC的长．
【解答】（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD＝CB．
∵DE＝2BC，
∴ED＝2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴，
∵AD＝5，
∴OC＝．

29．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；

（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．

（3）∵OF⊥BC，
∴OF＝＝4.8cm．

30．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP?BP＝CP2．

【分析】连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．先由切线的性质得出OC⊥PC，那么∠ACP+∠ACM＝90°，由圆周角定理及直角三角形两锐角互余得出∠M+∠ACM＝90°，根据同角的余角相等得出∠ACP＝∠M，由圆周角定理得出∠M＝∠CBP，那么∠ACP＝∠CBP，又∠APC＝∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根据相似三角形对应边成比例得到AP：CP＝CP：BP，即AP?BP＝CP2．
【解答】证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．
∵PC是圆O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠ACP+∠ACM＝90°，
又∵CM是直径，
∴∠M+∠ACM＝90°，
∴∠ACP＝∠M，
∵∠M＝∠CBP，
∴∠ACP＝∠CBP，
又∵∠APC＝∠CPB（公共角），
∴△ACP∽△CBP，
∴AP：CP＝CP：BP，
∴AP?BP＝CP2．

31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．

【分析】（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；
（2）由切割线定理，得：AE2＝AD?AB，根据切割线定理即可求出BD的长，由此得解．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．