华师大版八年级数学下册17．5　实践与探索（共3课时） 教案

17．5　实践与探索（1）

知识与技能
1. 通过图形获取函数相关信息，提出更高要求．
2. 在实践中体会方程和函数的联系．
3. 灵活应用函数的基本性质．
过程与方法
通过实例说明函数的图象与性质、表示方法的应用．
情感、态度与价值观
感受函数与方程、函数与不等式在生活中的广泛应用，体验数学的实际价值．

要点1　一次函数与一元一次方程的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在一次函数y＝kx＋b中，给定了一个变量的值，求另一个变量的值，就是解关于另一个变量的一元一次方程．体现在函数图象上，就是知道了一次函数图象上一个点的横坐标或纵坐标，求另一个坐标．
特别地，当y＝0时，一元一次方程kx＋b＝0中x的解，就是一次函数图象与x轴交点的横坐标；当x＝0时，y＝b就是一次函数图象与y轴交点的纵坐标．
例1　先作出一次函数y＝－2x＋3的图象，然后利用图象求：

(1)方程－2x＋3＝0的解；(2)方程－2x＋3＝2的解．
精析：先作出函数y＝－2x＋3的图象，然后利用一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系求解．
解答：一次函数y＝－2x＋3的图象如图所示．
(1)方程－2x＋3＝0的解，对应着函数y＝－2x＋3的图象与x轴交点的横坐标．由图象知，方程－2x＋3＝0的解是x＝.
(2)过y轴上的点(0,2)作x轴的平行线，这条平行线表示为y＝2，设y＝2与直线y＝－2x＋3交于点B，则方程－2x＋3＝2的解为点B的横坐标，由图象知－2x＋3＝2的解为x＝.
探索与发现：理解一次函数与一元一次方程的关系，善于借助图象来分析方程的解．
要点2　一次函数与二元一次方程(组)的关系
一次函数y＝kx＋b，如果从方程的角度看，就是一个以变量x，y为未知数的二元一次方程，一次函数y＝kx＋b的图象上任意一个点的坐标就对应着这个方程的一个解．因此，一次函数图象上的无穷多个点，就对应着相应的二元一次方程的无穷多个解．
根据一次函数与二元一次方程的关系，两个含有相同未知数x，y的二元一次方程组成的方程组(可以化成的形式)的解，就对应着两个一次函数y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2图象的交点坐标．所以求两条直线交点的坐标，就转化为解二元一次方程组的解．

例2　小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图所示，他解的这个方程组是(　　)．
A. 　　　B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

精析：由图象知，l1，l2的交点坐标是(2，－2)，根据一次函数与二元一次方程组的关系知，应该是这个方程组的解．把代入各选项中的方程组检验，其中B、C、D方程组都适合，但是B选项中的方程y＝－x对应的图象过原点，不符合图象，C选项中的方程对应的图象为递增的，不符合图象．所以，本题选D.
解答：D.
探索与发现：本题用检验的方法极易选出错误的答案B.解题中，要注意仔细分析，排除假象的干扰．
要点3　一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集，就对应着一次函数y＝kx＋b在函数值y＞0(或y＜0)时，对应自变量x的范围，体现在函数图象上，就是x轴的上方(或下方)的射线(不含端点)对应的x的取值范围．
例3　如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A(－3,0)、B(0,5)两点，则不等式－kx－b＜0的解集为(　　)．

A. x＞－3 B. x＜－3
C. x＞3 D. x＜3
精析：直线y＝kx＋b与直线y＝－kx－b关于x轴对称，所以直线y＝－kx－b与x、y轴的交点坐标是(－3,0)，(0, －5)，－kx－b＜0，即y＜0，所以x＞－3.
解答：A.
探索与发现：本题主要是考查直线的对称与一次函数图象的应用，通过对称性确定函数与坐标轴的交点，然后根据图象确定x的取值范围．
要点4　数形结合的数学思想
用一次函数来研究一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式问题，主要就是借助于图形的直观性解题，所以理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系是解题的关键．同时，在一次函数这个高观点之下，重新来审视一元一次方程、二元一次方程(组)的解和一元一次不等式的解集，理解它们的几何意义，对于弄清知识之间的内在联系，使知识形成体系有着重要的意义．
与不等式的意义一样，对于两个函数y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2(或y2＝)，要找出y1＞y2的自变量的取值范围，可以先用解方程组的办法求出图象的交点坐标．当y1＞y2时，即k1x＋b1＞k2x＋b2(或k1x＋b1＞)，在图象上对应着交点的一侧，函数图象y1＝k1x＋b1高于y2＝k2x＋b2(或y2＝)的部分的自变量的取值范围．

例4　如果双曲线y1＝与直线y2＝－x＋2交于点A(－1，n)、B.
(1)求出n的值和点B的坐标；
(2)根据图象，写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．
精析：(1)用代入法可求出n的值，由于两个函数图象都是关于直线y＝x(或第一、三象限的平分线)成轴对称，所以可以求出点B的坐标；
(2)y1＞y2对应着点A的右侧到y轴之间，以及点B的右侧区域内的图象，可以求出y1＞y2的解集．
解答：(1)因为双曲线y＝过点A(－1，n)，所以n＝＝3，所以点A的坐标为(－1,3)．由于直线y＝－x＋2与双曲线y＝都关于直线y＝x成轴对称，所以交点A、B也关于直线y＝x成轴对称，则点B的坐标为(3，－1)．
(2)根据图象可知，y1＞y2时，自变量x的取值范围是－1＜x＜0或x＞3.
探索与发现：分析y1＞y2时，一定要注意双曲线的两个分支是不连续的，所以它对应着两个区域内的图象，其自变量的取值范围也是两个解集．



17．5　实践与探索（2）

知识与技能
1. 通过图形获取函数相关信息，提出更高要求．
2. 在实践中体会方程和函数的联系．
3. 灵活应用函数的基本性质．
过程与方法
通过实例说明函数的图象与性质、表示方法的应用．
情感、态度与价值观
感受函数与方程、函数与不等式在生活中的广泛应用，体验数学的实际价值．

要点5　用函数的知识解决实际问题
(1)用一次函数、反比例函数解决实际问题的主要步骤：
①认真审题，理解题意，理清变量、常量之间的关系；
②根据题目中的变量、常量之间的关系，建立函数模型，并求出(写出)函数关系式；
③运用函数的知识解决问题．
(2)建立函数关系式的几种主要方法：
①根据题目中的基本数量关系建立函数关系式，如矩形的面积＝长×宽，路程＝速度×时间等；
②根据表格中的数量关系建立函数关系式，这种情况要注意观察表格中数据的变化规律，然后选择合适的函数(如一次函数或反比例函数)加以描述；
③根据图象建立函数关系式，当图象是直线时，应建立一次函数模型；当图象是双曲线时，应建立反比例函数模型．
例5　小刚上午7：30从家里出发步行上学，途径少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．
(1)小刚步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？
(2)下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半个小时后，赶紧以100米/分的速度回家，中途没有在停留．问：
①小刚到家的时间是下午几时？
②小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．

精析：由于速度＝路程÷时间，可以算出每分钟的步数，再根据走100米用了150步，可求出每步走几米，两者结果的乘积就是速度．在由路程公式就可求出小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程；问题(2)玩之间的步行时间是(1200－300)÷45＝20分钟，玩之后的步行时间是(800＋300)÷110＝10,20＋10＋30＝60分钟，于是到达家的时间是5：00；B点是表示小刚和玩伴玩的地点，所以点B的坐标为(20,1100)．求线段CD所在直线的函数解析式可用待定系数法也可以用路程与时间的关系去解决．
解答：(1)小刚每分钟走1200÷10＝120(步)，每步走100÷150＝(米)，
所以小刚上学的步行速度是120×＝80(米/分)．
小刚家和少年宫之间的路程是80×10＝800(米)．
少年宫和学校之间的路程是80×(25－10)＝1200(米)．
(2)①＋30＋＝60(分钟)，所以小刚到家的时间是下午5：00.
②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时＝20分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是(20,1100)．
线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得s＝1100－110(t－50)，即线段CD所在直线的函数解析式是s＝6600－110t.
探索与发现：学会识图，能理解图象中的信息，然后用函数模型去刻画、解决问题；同时注意，当图象是折线时，要分段进行分析．



17．5　实践与探索（3）

知识与技能
1. 通过图形获取函数相关信息，提出更高要求．
2. 在实践中体会方程和函数的联系．
3. 灵活应用函数的基本性质．
过程与方法
通过实例说明函数的图象与性质、表示方法的应用．
情感、态度与价值观
感受函数与方程、函数与不等式在生活中的广泛应用，体验数学的实际价值．

类型一　学科综合题
例1　甲、乙两仓库要向A、B两地运水泥，已知甲仓库可调出100t水泥，乙仓库可调出80t水泥，A地需70t水泥，B地需110t水泥，两仓库到A、B两地的路程和运费如下表(元/t·km表示每吨水泥运1km所需的人民币)：

路程(km) 运费(元/t·km)
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A地 20 15 12 12
B地 25 20 10 8
(1)设甲仓库运往A地xt水泥，求总运费y(元)关于x(t)的函数关系式；
(2)当甲、乙两仓库各运往A、B两地多少吨水泥时，运费最省，最省运费是多少？
分析与对比：
甲仓库运往各地的水泥 乙仓库运往各地的水泥
A地 xt (70－x)t
B地 (100－x)t [80－(70－x)]t
(1)由题意，甲仓库、乙仓库分别运往A、B两地的水泥吨数如上表，结合题目中A、B两地的路程和运费，可列出y与x之间的函数关系式；(2)先找出函数关系式中x的取值范围，然后利用一次函数的性质，求y的最小值，即最省的运费．
解答：(1)由题意，得y与x的函数关系式为：
y＝12×20·x＋25×10·(100－x)＋12×15·(70－x)＋8×20·[80－(70－x)]
＝－30x＋39200.
(2)因为自变量x的取值范围是0≤x≤70，而在函数y＝－30x＋39200中，y随x的增大而减小，所以当x＝70时，y有最小值，这个最小值是－30×70＋39200＝37100.
所以，甲仓库向A地运70t向B地运30t，乙仓库向B地运80t水泥时，运费最省，最省运费为37100元．
类型二　拓展题
例2　如图，反比例函数y＝的图象经过点A，
过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2.
(1)求k和b的值；
(2)若一次函数y＝ax－3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．

分析与对比：根据三角形的面积可以求出b的值，从而可以求出反比例函数的解析式；把点A的坐标代人一次函数的解析式可以求出a值．
解答：(1)∵　AB⊥BO，A(4，b)，
∴　S△AOB＝AB·BO＝2即b·4＝2.
∴　b＝1.
∵　点A在双曲线y＝上，
∴　k＝1×4＝4.
(2)∵　点A又在直线y＝ax－3上，
∴　1＝4a－3.
∴　a＝1.
∴　y＝x－3.
类型三　开放题
例3　 阅读所示的函数的图象，并根据你所获得的信息回答下列问题．
(1)折线OAB表示某个具体问题的函数，请你编写一道符合该图象意义的函数应用题．
(2)根据你所编拟的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标．
(3)写出函数图象中线段AB的函数关系式．

技法探究：结合实际情境编写一道合理的试题，利用选定系数法来求出线段AB的解析式．
解答：(1)小明早晨从家匀速跑步到离家1000米的公园用了5分钟，接着匀速步行10分钟回家，图象表示小明离家的距离(米)和所用时间(分)之间的函数关系．
(2)x轴表示时间(分)，y轴表示其离家的距离(米)，点A的坐标为(5,1000)，点B的坐标为(15,0)．
(3)设线段AB的函数关系式为y＝kx＋b，把A(5,1000)、B(15,0)分别代入，得
，解得 ，所以线段AB的函数关系式y＝－100x＋1500(5≤x≤15)．
类型四　图表信息题
例4　 甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区离学校有9km，甲以匀速行驶，共了30min到校，乙的行程信息如图中折线O－A－B－C所示，分别用y1，y2表示甲、乙在时间x(min)时的行程，请回答下列问题：
(1)分别用含x的解析式表示y1，y2(标明x的范围)．并在图中画出函数y1的图象；
(2)甲、乙两人在途中有几次相遇？分别是出发后的多长时间相遇？

技法探究：从条件可知，y1是一次函数，y2是一个分段函数，由解析式可求出相交时的坐标，其实就是相遇时的时间和路程．
解答：(1)y1＝x(0≤x≤30)甲的图象为线段OD，

由A(5,2)、B(13,2)、C(27,9)得
y2＝
(2)由 得x＝；
由 得x＝.
甲、乙在途中有两次相遇，相遇时间分别为出发后的6分40秒、22分30秒．