3.4 基本不等式 同步测试卷（含答案解析）

基本不等式课时测试卷
一、单选题
1．已知，且，则的最小值为
A．4 B． C． D．5
2．已知正实数，满足，则最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
4．已知，且，则的最小值为
A．13 B．14 C．15 D．16
5．已知若x，y均为正数，则的最小值是　　
A． B． C．8 D．24
6．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A．3 B．4 C． D．
7．已知，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
8．下列函数中，最小值为的是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，，且不等式恒成立，则实数的最小值等于( )
A．0 B．4 C． D．
10．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B．
C．2 D．
11．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则的最小值是(　　)
A． B． C． D．


二、填空题
13．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
14．已知函数在时取得最小值，则________．
15．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②+≤； ③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;.
16．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为_____．
17．已知，，，且，则的最小值为 ．

解答题

18．已知 ， ， .
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值.
19．已知，且.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值，并求出、相应的取值.
20．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
21．求解下列问题：
（1）若，求的最小值；
（2）已知，求函数的最大值．
22．（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；
（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．



参考答案
1．C【解析】由得，由，
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故选C．
2．D【解析】因为已知正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号，解得，即，再由，所以，把当做自变量，则在上是减函数，所以当时，取得最小值为，故选D．
3．C【解析】因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．
4．B【解析】
，当且仅当时等号成立，取得最小值14
5．C【解析】，y均为正数，
则
当且仅当且即，时取等号，
的最小值是8．故选：C．
6．B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，
7．C【解析】由题意，因为，则，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为5，故选C．
8．B【解析】A项中，因为自变量可以为负数，所以函数值可以小于零，故错误；B项中， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故正确；C项中，，即函数值恒为负数，故错误；D项中，由基本不等式可知当且仅当时取到最小值，但是当时，，故错误.故选B.
9．C【解析】
，而时取等号），，要使恒成立，应有，实数的最小值等于C.
10．C【解析】由题得z=x2+4y2-3xy≥4xy-3xy=xy(x,y,z>0),
即z≥xy,≥1.当且仅当x=2y时等号成立,
则x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)
=4y-2y2=-2(y2-2y)
=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.
当y=1时,x+2y-z有最大值2.故选C.

11．A【解析】由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得，即，解得.
因此，实数的取值范围是，故选A.
12．C【解析】不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），
∴x1+x2=4a，且x1x2=3a2；
∴=4a+≥2=，
当且仅当4a=，即a=时“=”成立；
故所求的最小值是．故选：C．
13．[，＋∞）.【解析】：因为x>0，所以，
当且仅当即时等号成立，故a的取值范围是，
即

14．【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得

15．①③⑤【解析】对于①：因为，，所以，所以，故①项正确；
对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误；
而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；
对于④：,故④项错误；
对于⑤+==≥2，故⑤项正确；故本题正确答案为：①③⑤.
16．4【解析】由题意知，
则
当且仅当时取等号．
∴的最小值为4．
17．【解析】由题意得， ，当且仅当时，等号成立，∴
，当且仅当时，等号成立.综上，所求最小值为．
18．(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.
【解析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；
（2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故,
故，当且仅当即时等号成立，∴
(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴
19．（1）；（2）．
【解析】（1）由，得：，即：；
等号成立的充要条件是且，即，∴的最小值为2；
（2）；
等号成立的充要条件是且，即：；
∴的最小值为；此时．
20．（1）1 （2）2
【解析】由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得
(1)∵x>0，y>0，
∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
∴3xy－2－1≥0，
即3()2－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，
∴≥1，∴xy≥1，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
∴xy的最小值为1.
(2)∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
∴x＋y≥2，
当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴x＋y的最小值为2.
21．（1）4 （2）
【解析】（1）∵，，
∴，
当且仅当，即时取等号．故．
（2），，
，
当且仅当，即时取等号．．
22．（1）1；（2）16
【解析】(1)x<，∴4x－5<0.
∴y＝4x－5＋＋3＝－[(5－4x)＋]＋3
≤－2＋3＝1，ymax＝1.
(2)∵x>0，y>0且＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16








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