（新教材）高中数学人教B版（2019）必修第三册教师用书（全册自学学案）.DOC

7．1　任意角的概念与弧度制
7．1.1 角 的 推 广
知识点一　角的概念的推广
(一)教材梳理填空
1．角的概念
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．
2．角的分类
名称
定义
图形
正角
一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角
负角
一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)小于90°的角都是锐角. (　　)
(2)终边与始边重合的角为零角．(　　)
(3)大于90°的角都是钝角．(　　)
(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．下列说法正确的是(　　)
A．最大的角是180°　　　 B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
解析：选D　由任意角的概念，知D正确．
3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.
图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.
答案：390°　－150°　60°
知识点二　象限角
(一)教材梳理填空
　象限角及终边相同的角
条件
在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上
象限角
角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角
终边相同的角
所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为
[微提醒]　角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)终边相同的角一定相等．(　　)
(2)－30°是第四象限角．(　　)
(3)第二象限角是钝角．(　　)
(4)225°是第三象限角．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z)(　　)
A．k·360°＋230°　　　　 B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
解析：选B　∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．
解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.
答案：240°　－120°
题型一　与任意角有关的概念辨析
[学透用活]
解读任意角的概念
三个要素：顶点、始边、终边．
(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．
[典例1]　(1)下列说法正确的是(　　)
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于90°
D．第二象限的角一定大于第一象限的角
(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　)
A．360°　　　　　　　　 B．720°
C．－360° D．－720°
[解析]　(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C.
(2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.
[答案]　(1)C　(2)D
[方法技巧]
判断角的概念问题的关键与技巧
关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念
技巧
判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可
[对点练清]
1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析：选D　集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.
2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二　象限角及终边相同的角
[学透用活]
[典例2]　在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．
(1)－736°；(2)405°.
[解]　(1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．
∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．
(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．
∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．
[方法技巧]
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．　　
[对点练清]
1．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．
解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
2．在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
题型三　区间角的表示
[学透用活]
[典例3]　已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[方法技巧]
表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．　　
[对点练清]
1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，
则所有满足条件的角β为
{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解：由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是(　　)
A．－300°　　　　　　 B．－60°
C．600° D．1 380°
解析：选A　与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.
2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在(　　)
A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上
C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上
解析：选C　令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.
3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：
①P?N；②N∩M＝M；③M?P；④(M∪N)?P.
其中正确的是________(填序号)．
解析：因为锐角的范围为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包含负角，第一象限角为k·360°<θ答案：②③
4．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.
解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
答案：－150°
二、创新应用题
5．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角．
解：因为1 030°＝2×360°＋310°，
所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．
(1)故所求的最小正角为310°.
(2)取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.
三、易错防范题
6．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.
解析：因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}
[易错矫正]　用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．(多选题)以下说法，其中正确的有(　　)
A．－75°是第四象限角　　 B．265°是第三象限角
C．475°是第二象限角 D．－315°是第一象限角
解析：选ABCD　由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．
2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　　)
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
解析：选B　－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为(　　)
A．150° B．210°
C．30° D．330°
解析：选B　 与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.
4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上
解析：选B　因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.
5．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
解析：选D　 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
6．12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．
解析：时钟上每个大刻度为30°，12点过小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.
答案：82.5°
7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.
解析：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，
所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.
又α为锐角，所以α＝40°或80°.
答案：40°或80°
8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝______________________.
解析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，请作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
解：作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
10．写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
解：在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°且小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
B级——高考水平高分练
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　)
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A　当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．
2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(　　)
A．x轴的非负半轴上　　　 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
解析：选A　∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．
3．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：
(1)重合：________________；
(2)关于x轴对称：________________.
解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：
(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，
(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．
答案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)　(2)α＝k·360°－β(k∈Z)
4.如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
解：终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边落在y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A.求θ，并判断θ所在象限．
解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，
∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，
即θ＝，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°，k∈Z，
∴k＝3或k＝4，
∴所求θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
7．1.2　弧度制及其与角度制的换算
知识点一　弧度制
(一)教材梳理填空
1．度量角的两种制度
(1)角度制：用作单位来度量角的制度称为角度制．
规定1度等于60分，1分等于60秒．
(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.
[微提醒]　今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角的弧度数．
2．弧长公式
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝.由此可得到l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．
[微提醒]　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝α·R.(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
(二)基本知能小试
　判断正误
(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．(　　)
(2)1弧度是长度为半径的弧．(　　)
(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和．(　　)
答案： (1)×　(2)×　(3)×
知识点二　弧度制与角度制的换算
(一)教材梳理填空
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　)
(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°＝______；(2)－15°＝______；(3)＝________；(4)－π＝________.
解析：(1)20°＝20×＝；
(2)－15°＝－15×＝－；
(3)＝×°＝105°；
(4)－π＝－π×°＝－396°.
答案：(1)　(2)－　(3)105°　(4)－396°
题型一　角度制与弧度制的互化
[学透用活]
(1)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(2)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[典例1]　(1)①将112°30′化为弧度为________；
②将－ rad化为度为________．
(2)将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式．
①π；②－315°.
[解析]　(1)①因为1°＝ rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝.
②因为1 rad＝°，
所以－ rad＝－°＝－75°.
答案：①　②－75°
(2)①π＝6π＋；②－315°＝－＝－2π＋.
[方法技巧]
进行角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.　　
[对点练清]
将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.
解：(1)π＝×180°＝15 330°.
(2)－＝－×180°＝－105°.
(3)10°＝10×＝.
(4)－855°＝－855×＝－.
题型二　用弧度制表示终边相同的角
[学透用活]
[典例2]　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)；(3)－4.
[解]　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
[方法技巧]
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．　　
[对点练清]
1．把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.
解：∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α<2π，∴α＝.
∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
2．在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
解：∵＝×°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
题型三　扇形的面积与弧长的计算
[学透用活]
[典例3]　(1)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
[解]　(1)设扇形的半径为r cm, 弧长为l cm，圆心角为θ，
则解得或∴θ＝＝1或4.
(2)设扇形的弧长为l，半径为R，圆心角为α，
∵72°＝72×＝，
∴l＝αR＝×20＝8π(cm)，
∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．
[方法技巧]
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝αr，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．　
[对点练清]
1．[圆心角的弧度数]已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．
解析：设扇形的半径为r cm，圆心角α所对的弧长为l cm.由题意得解得或
∴α＝8或.又∵0＜α＜2π，∴α＝.
答案：
2．[求扇形的半径]若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
解析：设半径为r，∵216°＝216×＝，
∴l＝r＝30π，∴r＝25.
答案：25
3．[与最值有关的问题]已知扇形的周长为40 cm，则当它的半径和圆心角各取何值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r
＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，
最大面积为100 cm2，这时θ＝＝＝2.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．已知α＝，则角α的终边在(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　因为<<π，所以角α的终边在第二象限．
2．下列各对角中，终边相同的是(　　)
A.和2kπ－(k∈Z) B．－和
C．－和 D.和
解析：选C　在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选C.
3．某扇形的半径为1 cm，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角为________．
解析：由题意可得扇形的弧长为4－2×1＝2(cm)，则扇形的圆心角为＝2.
答案：2
4．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.
答案：－　660°
二、创新应用题
5．已知集合A＝{α|2kπ<α<(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－5≤α≤5}，求A∩B.
解：由题意知，A＝…∪{α|－2π<α<－π}∪{α|0<α<π}∪{α|2π<α<3π}∪…，又B＝{α|－5≤α≤5}，两集合在数轴上的表示如图所示．
∴A∩B＝{α|－5≤α<－π或0<α<π}．
三、易错防范题
6．写出终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合S＝_____________.
答案：(也可写成{α|k·360°－30°<α[易错矫正]　(1)本题易错处有两点：一是直接写成{α|k·360°＋330°<α(2)同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．1 920°转化为弧度数为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　1 920°＝1 920×＝.
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
解析：选A　∵240°＝240×＝π，
∴弧长l＝α·r＝π×10＝π，故选A.
3．2弧度的角所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　因为<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．
4．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选ABD　对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故A、B、D正确．
5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B.
C. D．
解析：选B　由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.
6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．
解析：因为A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，
所以A＝＝，B＝＝，C＝.
答案：，，
7．地球赤道的半径约是6 370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．
解析：因为1′＝°＝×，所以l＝α·R＝××6 370≈1.85(km)．
答案：1.85
8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：，，，
9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
10．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π(k∈Z)．
解得－∴θ的值是－π，－π，π，π.
B级——高考水平高分练
1.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)
A. B.
C. D．π
解析：选B　设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.
2．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选D　∵α＝2k1π＋x＋，β＝2k2π＋x－(k1，k2∈Z)，∴α－β＝2(k1－k2)π＋，也即α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
3.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB的长为________．
解析：由扇形面积公式S＝lr，
又α＝，可得S＝，所以α＝2，易得r＝1，
结合图像知AB＝2rsin＝2sin 1.
答案：2　2sin 1
4．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.
解析：如图所示，－角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为
－＋＝－，
所以β＝－＋2kπ，k∈Z.
答案：2kπ－，k∈Z
5．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
解：(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
又<<π，
∴角α与的终边相同，
∴角α是第二象限的角．
(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
∴由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是
－，－，.
6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为40 m的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________．(其中π≈3，≈1.73)
解析：因为圆心角为，弦长为40 m，所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40 m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20＋20×20)＝(400＋200)m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为××402－×20×40＝m2，因此两者之差为－400－(400＋200)≈16 m2.
答案：16 m2
7.2　任意角的三角函数
7．2.1 三角函数的定义
1.类比锐角三角函数定义，借助直角三角形定义任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)．
　2.通过学习，提高学生直观想象、数学抽象与数学建模的核心素养．
知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义
(一)教材梳理填空
前提
如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝
定义
正弦
称为α的正弦，记作sin α，即sin α＝
余弦
称为α的余弦，记作cos α，即cos α＝
正切
称为α的正切，记作tan α，即tan α＝
三角函数
对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．(　　)
(2)sin α，cos α，tan α的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝__________，cos α＝________，tan α＝________.
解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，设角α的终边上一点P的坐标为(－1,0)，则sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
答案：0　－1　0
知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号
(一)教材梳理填空
　sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：
[微思考] 　怎样快速记忆三角函数值在各象限的符号？
提示：根据三角函数的定义可快速判断三角函数值在各象限的符号，也可用如下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.(　　)
(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.(　　)
(3)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B　由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
题型一　三角函数的定义及应用
[学透用活]
[典例1]　(1)如果角θ的终边经过点P，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
(2)已知角θ的终边上有一点P(x,2x－3)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．
[解析]　(1)由题意知r＝|OP|＝ ＝1，
所以sin α＝＝＝，
cos α＝＝－＝－，
tan α＝＝＝－.
答案：　－　－
(2)由tan θ＝＝－x，解得x＝－3或x＝1.
当x＝－3时，P(－3，－9)，r＝3，
∴sin θ＋cos θ＝－－＝－；
当x＝1时，P(1，－1)，r＝，
∴sin θ＋cos θ＝－＋＝0.
[方法技巧]
利用三角函数的定义求值的策略
已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin α＝
，余弦值cos α＝.
[提醒]　角α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．　　
[对点练清]
1．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为________．
解析：∵cos α＝＝＝x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.
∵α是第二象限角，∴x＝0(舍去)或x＝(舍去)或x＝－.
答案：－
2．已知点P(－4a,3a)(a≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值．
解：由题意得r＝＝5|a|.当a>0时，r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.当a<0时，r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
题型二　正弦、余弦与正切在各象限的符号问题
[学透用活]
(1)由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．
(2)为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．
[典例2]　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[解析]　(1)选C　因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．
(2)①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
[方法技巧]
判断三角函数值在各象限符号的策略
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．　　
[对点练清]
1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A　由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得－2＜a≤3.
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
解析：角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．
答案：四
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．若角α的终边经过P(－1，－1)，则(　　)
A．tan α＝1　　　　　　 B．sin α＝－1
C．cos α＝ D．sin α＝
解析：选A　依题意得r＝＝＝，因此sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝1，故选A.
2．当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：选C　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
3．若cos α<0，且tan α>0，则α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　由于cos α<0，则α的终边在第二或第三象限，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．
4．已知角α的终边经过P(1,2)，则tan α·cos α等于______．
解析：由三角函数的定义，tan α＝＝2，cos α＝＝，所以tan α·cos α＝.
答案：
二、易错防范题
5．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sin α＝______________.
解析：由题意可得，|OP|＝＝|m|.
当m>0时，|OP|＝|m|＝m，
则sin α＝＝.
当m<0时，|OP|＝|m|＝－m，
则sin α＝＝－.
答案：或－
[易错矫正]　本题有两处易错：一是不讨论m的情况而得到，二是混淆正弦与余弦定义中比的顺序而得到sin α＝＝－.因此解决此类问题要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义的形式要准确记忆，如本题中的sin α＝和cos α＝不能混淆．同时在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏，如本题中对字母参数m的讨论．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则tan α的值是(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．不存在
解析：选D　∵点A(0,2)在y轴正半轴上，∴tan α不存在，故选D.
2．若－<α<0，则点Q(cos α， sin α)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　 因为－<α<0，所以cos α>0，sin α<0，则点Q(cos α， sin α)位于第四象限．
3．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　　)
A. B.
C. D．
解析：选B　设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝cos ＝－，y＝sin＝，
∴P.
4．已知角θ的终边经过点M(－，－1)，则cos θ＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　由角θ的终边经过点M(－，－1)，可得cos θ＝＝－.
5．“tan x<0，且sin x－cos x<0”是“角x的终边在第四象限”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　若tan x<0，则角x的终边在第二、四象限，∵sin x－cos x<0，∴角x的终边在第四象限，反之也成立，故选C.
6．若点(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限的角.
解析：依题意得即因此θ是第二象限角．
答案：二
7．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·tan β＝________.
解析：由任意角的正弦、正切的定义知sin α＝，tan β＝＝－，所以sin α·tan β＝×＝－.
答案：－
8．若x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是________．
解析：若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1,3}．
答案：{－1,3}
9．判断下列各式的符号：
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)cos 6·tan.
解：(1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是sin 105°·cos 230°＜0.
∴式子符号为负．
(2)∵＜6＜2π，∴6是第四象限角，
∴cos 6>0，
又－是第三象限角，∴tan＞0，
∴cos 6·tan>0.
∴式子符号为正．
10．已知角θ终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m(m≠0)，试求cos θ与tan θ的值．
解：点P(－，m)到坐标原点O的距离r＝，
由三角函数的定义，得sin θ＝＝＝m，
解得m＝±.∴r＝2.
当m＝时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
B级——高考水平高分练
1．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于(　　)
A．± B．±
C．± D．±
解析：选C　在α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
2．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析：选C　∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin A>0. ∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.∴cos B和tan C中必有一个小于0，即B，C中必有一个钝角，故选C.
3．已知sin＝，cos＝－，试确定α是第几象限角．
解：因为sin＝>0，cos＝－<0，
所以是第二象限角，
所以2kπ＋<<2kπ＋π，k∈Z.
由sin ＝<知2kπ＋<<2kπ＋π，k∈Z，
所以4kπ＋<α<4kπ＋2π，k∈Z，
故α是第四象限角．
4．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：由题意可知P(a，－b)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝－；
由题意可知Q(b，a)，则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
∴＋＋＝－1－＋＝0.
5．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
7．2.2 单位圆与三角函数线
1.理解单位圆的相关概念，会利用单位圆理解正弦线、余弦线的含义．
　2.会应用正弦线、余弦线、正切线解一些简单的不等式或比较大小．
3．通过学习，提高学生直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1. 单位圆的相关概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．
(2)α的坐标：如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
2．正弦线和余弦线
(1)概念：如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cos α：的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是正数， 且cos α＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－||. 习惯上，称为角α的余弦线. 类似地，图中的可以直观的表示sin α，因此称为角α的正弦线．
(2)几何意义：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息．如上图，角β的余弦线是，正弦线是，由此可看出cos β<0，sin β<0，即|cos β|>|cos α|，|sin α|>|sin β|.
3．正切线
(1)概念：如图所示，设角α的终边与直线 x＝1交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线．
(2)几何意义：当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值．如图中角β的正切线为，从图中可以看出tan β<0，|tan β|<|tan α|.这就是说，角α的正切等于角α终边或其反向延长线与直线x＝1的交点的纵坐标．
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)正弦线的起点一定在x轴上，余弦线的起点一定是原点，正切线的起点一定是(1,0)．(　　)
(2)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段，则其终边落在x轴的正半轴上．(　　)
(3)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线，长度相等、符号相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．角和角有相同的(　　)
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C　角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．
3．若角α的正切线位于第一象限，则角α是(　　)
A．第一象限的角 B．第一、二象限的角
C．第三象限的角 D．第一、三象限的角
解析：选D　由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线位于第一象限．
题型一　作已知角的三角函数线
[学透用活]
[典例1]　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．并求出它们的正弦、余弦、正切．
(1)－；(2).
[解]　如图(1)所示，
第一步：在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A(1,0)；
第二步：作－的终边与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段OP交直线x＝1于T；
第三步：结论，即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
类似可得到的正弦线、余弦线和正切线，如图(2)．
由直角三角形知识可知(1)中的MP＝，AT＝1，
OM＝，∴sin＝－||＝－.
cos＝||＝.
tan＝－||＝－1.
(2)中的MP＝，OM＝，AT＝，
∴sin＝||＝.
cos＝－||＝－.
tan＝－||＝－.
[方法技巧]
三角函数线的作法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．　　
[对点练清]
　作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，－的正弦线、余弦线和正切线分别为，，.
题型二　利用三角函数线比较大小
[学透用活]
[典例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；(2)tan 与tan ；(3)cos与cos.
[解]　如图所示，画出与的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得，的正弦线为，的正弦线为；的正切线为，的正切线为；的余弦线为，的余弦线为；又||>||，－||<－||<0，0>－||>－||，所以(1)sin>sin；(2)tancos.
[方法技巧]
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
关键
在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线
注意点
比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向
[对点练清]
1．已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是(　　)
A．若α，β是第一象限角，则sin α＞sin β
B．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β
C．若α，β是第三象限角，则sin α＞sin β
D．若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β
解析：选D　由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，A错误；由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，B错误；由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．
2．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　)
A．aC．c解析：选C　如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然
b＝cos(－1)＝||>0，
c＝tan(－1)＝－||<0，
a＝sin(－1)＝－||<0，
由图可知－||>－||，∴c[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是(　　)
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
解析：选D　 由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确．
2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)
A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线
解析：选C　根据单位圆中的三角函数线可知C正确．
3．已知角α的正弦线是长度为单位长度的向量，那么角α的终边在(　　)
A．y轴的正半轴上 B．y轴的负半轴上
C．x轴上 D．y轴上
解析：选D　由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y轴上．
4．角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为________．
解析：由题意知，角θ的终边应在第一、三象限的角平分线上．
答案：，
二、创新应用题
5．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解：(1)如图①所示，在单位圆中，，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)如图②所示，在单位圆中，，分别表示－角的正弦线、余弦线、正切线．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．(多选题)下列判断中正确的是(　　)
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和α＋π有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
解析：选ACD　A正确；B错误，如与有相同正弦线；C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D正确．
2．已知角α的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则(　　)
A．sin α＋cos α＝0 B．sin α－cos α＝0
C．tan α＝0 D．sin α＝tan α
解析：选A　∵sin α>0，cos α<0，且|sin α|＝|cos α|，
∴sin α＋cos α＝0.
3．下列各式正确的是(　　)
A．sin 1>sin B．sin 1C．sin 1＝sin D．sin 1≥sin
解析：选B　1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin 14．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是(　　)
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
解析：选A　作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.
5．sin 2，cos 2，tan 2的大小关系为(　　)
A．sin 2>cos 2>tan 2
B．sin 2>tan 2>cos 2
C．tan 2>sin 2>cos 2
D．tan 2>cos 2>sin 2
解析：选A　作出三角函数线易知．
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
解析：由余弦线长度为0知，角的终边在y轴上，所以正弦线长度为1.
答案：1
7．若a＝sin 4，b＝cos 4，则a，b的大小关系为________．
解析：因为＜4＜，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a＜b.
答案：a＜b
8．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sin α的值为________．
解析：由题意知|sin α|＝，且方向与y轴正方向相反，∴sin α＝－.
答案：－
9．在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并作出其正弦线、余弦线和正切线．
解：如图①作直线y＝交单位圆于P，Q，则OP，OQ为角α的终边．
如图②所示，当α的终边是OP时，角α的正弦线为，余弦线为，正切线为.
当α的终边是OQ时，角α的正弦线为，余弦线为，正切线为.
10．利用三角函数线分析点P(sin 3－cos 3, sin 3＋cos 3)所在的象限．
解：由＜3＜π，作出单位圆如图所示．则3弧度角的正弦线为，余弦线为，显然sin 3>0，cos 3<0，且|sin 3|<|cos 3|，所以sin 3－cos 3>0，sin 3＋cos 3<0，故点P(sin 3－cos 3, sin 3＋cos 3)在第四象限．
B级——高考水平高分练
1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D　当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，所以α必为钝角，所以这个三角形是钝角三角形．
2．若θ∈，则sin θ＋cos θ的一个可能值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
解析：选C　由θ∈及角θ的三角函数线，知sin θ＋cos θ>1，四个选项中仅有>1，故选C.
3．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是_____________________________．
解析：由图可知：
cos <0，tan >0，sin >0.
∵||<||，且，与y轴正方向相同，
∴sin 故cos 答案：cos 4．如图，在单位圆中，已知角α的终边是OP，角β的终边是OQ，试用不等号填空：
(1)sin α________sin β；(2)cos α________cos β；
(3)tan α________tan β.
解析：如图所示，α的正弦线为，β的正弦线为，由于||>||，故sin α>sin β；α的余弦线为，β的余弦线为，由于||<||，故cos α||，故tan α>tan β.
答案：(1)>　(2)<　(3)>
5．设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sin α<α证明：如图所示，设角α的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，则sin α＝||，
tan α＝||，
∵S△OAP∴||·||<α||2<||·||.
又| |＝1，∴||<α<||，即MP<α∴sin α<α6．已知α是锐角，求证：1证明：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，过P作PQ⊥OA，PR⊥OB，Q，R为垂足，连接PA，PB，如图所示．
易知| |＝y＝sin α，| |＝x＝cos α，∵在△OPQ中，||＋||>|| |，∴sin α＋cos α>1.
∴S△OAP＝| |·||＝y＝sin α，S△OBP＝| |·| |＝x＝cos α，S扇形OAB＝×12＝.
又∵S△OAP＋S△OBP∴sin α＋cos α<，
即sin α＋cos α<.
综上可知，17．2.3 同角三角函数的基本关系式
1．理解同角三角函数的基本关系．
2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明．
3．通过学习，提高学生数学运算、逻辑推理的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝，即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2．商数关系：tan α＝，即同一个角α的正切等于它的正弦、余弦的商．
[微提醒]　商数关系成立的条件是角α的范围为.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)tan 90°＝.(　　)
(2)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α＋cos2α≠1.(　　)
(3)当sin α＝时，cos α＝.(　　)
(4)由于平方关系对任意角都成立，故sin2α＋cos2β＝1也成立．(　　)
(5)当α≠kπ＋，k∈Z时，cos2α＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．已知sin α＝，cos α＝，则tan α等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：选D　tan α＝＝＝.
3．化简 的结果是________．
解析：因为0<<，所以cos >0.所以 ＝ ＝cos .
答案：cos
题型一　给值(角)求值问题
[学透用活]
基本关系式的变形公式
sin2α＋cos2α＝1?
tan α＝?
[典例1]　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[解]　∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝＝ ＝，tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，∴sin α＝－＝－ ＝－，tan α＝＝.
[方法技巧]
已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；
第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值．　　
[对点练清]
1．已知sin φ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D．
解析：选C　∵sin φ＝－，
∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－2＝，
又|φ|＜，即－＜φ＜，
∴cos φ＝，从而tan φ＝＝＝－.
2．若sin A＝，且A是三角形中的一个角，求的值．
解：因为sin A＝>0，所以角A为锐角或钝角．
当A为锐角时，cos A＝＝，所以原式＝＝6；
当A为钝角时，cos A＝－＝－，所以原式＝＝－.
综上可知，的值为6或－.
题型二　三角函数式的化简
[学透用活]
[典例2]　(1)化简＝________.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
[解析]　(1)原式＝＝＝1.
答案：1
(2)原式＝·＝·＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，所以sin α＜0，所以原式＝·＝－1.
[方法技巧]
三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[提醒]　在利用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．　
[对点练清]
化简下列各式：
(1) .
(2).
解：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)＝＝＝－2.
题型三　三角函数式的证明
[学透用活]
[典例3]　求证：＝.
[证明]　法一：∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝
＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[方法技巧]
利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．　　
[对点练清]
　求证：(1)1＋tan2α＝；(2)＝.
证明：(1)∵左边＝1＋＝＝＝右边，∴1＋tan2α＝.
(2)左边＝
＝＝
＝＝＝右边，
故等式成立．
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．下列各式中成立的是(　　)
A．sin2α＋cos2β＝1
B．tan α＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2
D．sin α＝
解析：选C　A中不是同角；B中α≠kπ＋(k∈Z)；D中符号不能确定；只有C正确．
2．已知α∈，cos α＝，则tan α＝(　　)
A．±　　　　　　　　 B.
C．－ D．
解析：选A　因为cos α＝，且α∈，
所以sin α＝±，所以tan α＝＝±.
3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．
解析：∵cos α－sin α＝－，
∴(cos α－sin α)2＝，
即1－2sin αcos α＝.
∴sin αcos α＝.
答案：
4．已知sin α＝，且α∈，则sin α－2cos2α＝______.
解析：由已知得cos α＝－ ＝－，
所以sin α－2cos2α＝－2×2＝－.
答案：－
二、创新应用题
5．已知tan θ＝ (0解：因为tan θ＝ ，所以＝＝－1，所以a＝cos2θ，
所以＋＝＝＝＝＝－2.
三、易错防范题
6．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为________．
解析：∵θ∈(0，π)，sin θcos θ＝－<0，∴θ∈，由sin θ＋cos θ＝>0可得sin θ>－cos θ，即|sin θ|>|cos θ|，故θ∈，则tan θ<－1，∴tan θ＝－.
答案：－
[易错矫正]　(1)本题易忽视题设条件sin θ＋cos θ＝隐含sin θ>－cos θ这一条件，结合所得sin θcos θ＝－<0可进一步得到θ的范围．
(2)有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．已知cos α＝，则sin2α等于(　　)
A. B．±
C. D．±
解析：选A　 sin2α＝1－cos2α＝.
2．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为(　　)
A．0 B．8
C．0或8 D．3解析：选C　由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.
3．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝，构造直角三角形如图，
则|sin α|＝sin α′＝，
∵α为第四象限角，∴sin α<0，
∴sin α＝－.
4．若α为第二象限角，化简tan α· ＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．
解析：选C　tan α· ＝tan α· ＝·.
因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝·＝－1.
5．若sin α·cos α＝，0<α<，则sin α＋cos α的值是(　　)
A. B.
C．－ D．
解析：选D　因为0<α<，所以sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α＝ ＝
＝ ＝.
6．化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
7．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝________.
解析：∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝60°.
答案：60°
8．已知tan α＝m(π＜α＜)，则sin α＝________.
解析：因为tan α＝m，所以＝m2，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝. 又因为π＜α＜，所以tan α＞0，即m＞0.因而sin α＝－ .
答案：－
9．化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
答案：
10．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
证明：左边＝sin α＋cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
B级——高考水平高分练
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D．
解析：选A　sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
2．若π<α<，则 ＋ 的化简结果为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　原式＝＋＝＋＝，∵π<α<，∴原式＝－.
3．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α· ＝________.
解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式＝0.
答案：0
4．求证：－＝.
证明：因为左边＝＝
＝
＝＝
＝右边，
所以原式成立．
5．化简下列各式：
(1)；
(2) ＋ .
解：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝ ＋
＝＋.
因为α∈，
所以∈.
所以cos－sin＞0，sin＋cos＞0，
所以上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
6．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－m＜0，②
sin αcos α＝＞0.③
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
∵m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
7．2.4　诱导公式
第一课时 诱导公式(一)
(一)教材梳理填空
1．角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系(公式①)
(1)角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同．
(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
2．角的旋转对称
一般地，角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称．
3．角α与－α的三角函数值之间的关系(公式②)
角α与－α的终边关于轴对称．如图所示．
公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.
4．角α与π±α的三角函数值之间的关系(公式③④)
(1)角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．
公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.
(2)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.(　　)
(2)利用公式④可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　　)
(3)利用公式②可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．(　　)
(4)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．sin 585°的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选A　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________.
解析：tan(π－α)＝－tan α＝－4.
答案：－4
4．化简sin·cos＝________.
解析：sin·cos＝sincos
＝sincos＝sincos
＝
＝×＝.
答案：
题型一　给角求值
[学透用活]
学习诱导公式要抓住一个“诱”字
诱什么？ 怎样诱？为什么这么诱？ 若能清楚这些问题，自然就会循循善“诱”了.
(1)诱什么？就是诱角，即把α＋k·360°(k∈Z)，－α，180°±α中的任意角α看作锐角．
(2)怎样诱？就是变角，角的变换为使用诱导公式创造了条件．
(3)为什么这么诱？就是为了得到我们所需要的角，或所需要的名，或最简的式．
[典例1]　求下列三角函数值．
(1)tanπ＋cos(－1 650°)＋sinπ；
(2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(3)cos＋cosπ＋cosπ＋cosπ.
[解]　(1)原式＝tan＋cos 1 650°＋sin
＝－tan＋cos(4×360°＋210°)－sin
＝－1＋cos 210°－
＝－1＋cos(180°＋30°)－
＝－－cos 30°＝－－.
(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝－2.
(3)原式＝cos＋cosπ＋cos＋cos
＝cos＋cosπ－cosπ－cos＝0.
[方法技巧]
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式①或②来转化；
(2)“大化小”——用公式①将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式③或④将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．　　
[对点练清]
1．sin 210°等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.－
C．－ D.
解析：选B　sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.
2．tan＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　tan＝tan＝－tan＝－，故选A.
3．求值：cos(－120°)·sin(－150°)＋tan 855°.
解：原式＝cos 120°·(－sin 150°)＋tan 855°
＝－cos(180°－60°)·sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)
＝cos 60°·sin 30°＋tan 135°
＝cos 60°·sin 30°＋tan(180°－45°)
＝cos 60°·sin 30°－tan 45°
＝×－1＝－.
题型二　三角函数式的化简问题
[学透用活]
[典例2]　化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
(2).
[解]　(1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·＝sin2α.
(2)原式＝
＝＝1.
[方法技巧]
利用诱导公式①～④化简的注意点
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．
(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．　　
[对点练清]
化简：(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝·＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－cos2α.
题型三　条件求值问题
[学透用活]
[典例3]　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[解析]　(1)选A　∵sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，∴sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.
(2)∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
[方法技巧]
解决条件求值问题的两个技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　　
[对点练清]
1．[变结论]本例(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
解：cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝.
2．[变条件]将本例(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
解：因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，所以α－75°是第四象限角．
由
解得
或
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　)
A．sin α＝sin β　　　　　 B.sin(α－2π)＝cos β
C．cos α＝cos β D.cos(2π－α)＝－cos β
解析：选C　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
2．以下四种化简过程，其中正确的有(　　)
①sin(360°＋200°)＝sin 200°；
②sin(180°－200°)＝－sin 200°；
③sin(180°＋200°)＝sin 200°；
④sin(－200°)＝sin 200°.
A．0个 B．1个
C．2个 D.3个
解析：选B　由诱导公式知①正确，②③④错误．
3．cos(k∈Z)的值为(　　)
A．± B.
C．－ D.±
解析：选A　当k＝2n(n∈Z)时，原式＝cos＝；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝cos＝－cos＝－.
4．计算：cos 2 010°＝________.
解析：cos 2 010°＝cos(5×360°＋210°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
答案：－
二、创新应用题
5．已知cos α＝，求的值．
解：＝＝－cos α＝－.
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．cos等于(　　)
A. B.
C．－ D.－
解析：选C　 cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
2．sin 780°＋tan 240°的值是(　　)
A. B.
C.＋ D.－＋
解析：选A　sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°)＝＋tan 60°＝＋＝.
3．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　)
A．4 B．±4
C．－4 D.
解析：选C　由题意，得tan 600°＝，则a＝－4·tan 600°＝－4tan(540°＋60°)＝－4tan 60°＝－4.
4．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于(　　)
A．－ B.
C．± D.
解析：选A　由cos(α－π)＝－，得cos α＝.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－＝－.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A. B.
C．－1 D.1
解析：选A　∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.
∴原式＝＝＝＝＝.
6．已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin(α＋π)＝________.
解析：∵α是第四象限角，∴sin α＝，
∴sin(α＋π)＝－sin α＝.
答案：
7．化简＝________.
解析：原式＝＝＝1.
答案：1
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
9．化简下列各式：
(1)sincosπ；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解：(1)原式＝－sincos＝sincos＝.
(2)原式＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，∴sin α＝－.
又α是第三象限角，∴cos α＝－，
∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
B级——高考水平高分练
1．现有下列三角函数式：
①sin(n∈Z)；
②sin(n∈Z)；
③sin(n∈Z)；
④sin(n∈Z)．
其中值与sin的值相同的是(　　)
A．①② B．②④
C．①③ D.①②④
解析：选B　①sin＝
②sin＝sin＝(n∈Z)；
③sin＝sin＝(n∈Z)；
④sin＝sin＝(n∈Z)．
又sin＝，故②④中式子的值与sin的值相同．
2．(多选题)对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果是(　　)
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D.1和2
解析：选ABC　∵sin(π－x)＝sin x，∴f(x)＝asin x＋bx＋c，则f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，∴f(－1)＝－f(1)＋2c.①
把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z；
把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z；
把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z；
把f(1)＝1，f(－1)＝2代入①式，得c＝?Z.
3．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________.
解析：∵cos(π－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos(π－θ)＝0，即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1.
答案：－1
4．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________(用“＞”表示)．
解析：a＝－tan＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝sin＝－sin＝－，
所以b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
5．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
6．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解：由已知得
由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cos A＝±.
当cos A＝时，cos B＝.
又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
当cos A＝－时，cos B＝－.
又A，B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，A＋B>π，不符合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝.
第二课时 诱 导 公 式 (二)
1．借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧.
2．掌握八组诱导公式并能灵活应用．
(一)教材梳理填空
1．角α与－α的三角函数值之间的关系(公式⑤)
角－α与角α的终边关于直线 y＝x对称，如图所示．
公式：sin＝cos_α，cos＝sin_α.
2．其他一些三角函数值之间的关系
公式⑥：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.
公式⑦：cos＝sin_α，sin＝－cos_α.
公式⑧：cos＝－sin_α，sin＝－cos_α.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α为第二象限角，则sin＝－cos α.(　　)
(2)cos(270°＋100°)＝－sin 100°.(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．化简：sin＝(　　)
A．sin x　　　　　　　 B.cos x
C．－sin x D.－cos x
解析：选B　sin＝sin＝cos x.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1.
答案：1
题型一　利用诱导公式化简求值
[学透用活]
[典例1]　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．－ D.－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
[解析]　(1)sin 239°tan 149°
＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)
＝sin 31°＝＝.
(2)cos＝cos
＝sin＝.
[答案]　(1)B　(2)
[方法技巧]
利用诱导公式解决给值求值的一般步骤
(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案．　　
[对点练清]
1．[变条件]将本例 (2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值．
解：cos＝cos＝－sin＝－.
2．[变条件]将本例(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．
解：因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sin＝，所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin＝－sin
＝－cos＝.
题型二　利用诱导公式证明恒等式
[学透用活]
[典例2]　(1)求证：＝.
(2)求证：＝－tan θ.
[证明]　(1)右边＝＝＝＝＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝＝
＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
[方法技巧]
三角恒等式的证明策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．　　
[对点练清]
求证：
＝.
证明：∵左边＝
＝
＝＝
＝＝，
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原式成立．
题型三　诱导公式的综合应用
[学透用活]
[典例3]　已知cos α＝－，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值．
[解]　(1)因为cos α＝－，且α为第三象限角，
所以sin α＝－＝－ ＝－.
(2)f(α)＝＝tan αsin α
＝·sin α＝×＝－.
[方法技巧]
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．　
[对点练清]
1．[变结论]本例条件不变，求f(α)＝
的值．
解：f(α)＝
＝＝sin α＝－.
2．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
解：(1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝ ＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．若cos 65°＝a，则sin 25°的值是(　　)
A．－a　　　　　　　　 B.a
C. D.－
解析：选B　sin 25°＝sin(90°－65°)＝cos 65°＝a.
2．若cos(α＋π)＝－，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D.－
解析：选A　由条件知，cos α＝，所以sin＝－sin＝sin＝cos α＝.故选A.
3．若α∈，则 ＝(　　)
A．sin α B．－sin α
C．cos α D.－cos α
解析：选B　∵sin＝－cos α，且α∈，
∴ ＝＝|sin α|＝－sin α.
4．若sin＞0，cos＞0，则角θ的终边位于第________象限．
解析：因为sin＝－cos θ＞0，所以cos θ＜0，又cos＝sin θ ＞0，所以θ为第二象限的角．
答案：二
二、创新应用题
5．已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角．
①若α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－＝－.
②若α为第四象限角，则cos＝－sin α＝＝ ＝.
三、易错防范题
6．已知sin＝a,0<α<，则sin＝________.
解析：∵0<α<，∴－<－α<，
∴cos>0，∴cos＝＝，
∴sin＝sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.
答案：－
[易错矫正]　(1)本题易错原因是对诱导公式中三角函数值的符号确定掌握不好，在sin中，要把“－α”看成锐角来确定三角函数值的符号．
(2)诱导公式共有八组公式，公式较多，易错记错用，因此平时要多巩固记忆，特别是诱导公式右边的符号要记准．另外在公式“奇变偶不变，符号看象限”中角可以是单角，也可以是一个复角．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．已知sin α＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D.－
解析：选A　cos＝sin α＝.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)
A．－ B.
C. D.－
解析：选A　由已知，得sin α＝，则cos＝－sin α＝－.
3．已知sin＝，则cos等于(　　)
A．－ B.
C. D.－
解析：选A　 cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.
4．化简：＝(　　)
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D.－cos θ
解析：选A　原式＝＝＝－sin θ.
5．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　)
A．89 B．90
C. D.45
解析：选C　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，……，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
6．若sin＝，则cos＝________.
解析：cos＝cos
＝－sin＝－.
答案：－
7．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．
解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sin α－sin α＝－a，得sin α＝，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.
答案：－a
8．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．已知cos α＝，且－＜α＜0，
求的值．
解：原式＝＝tan α，
因为cos α＝，－＜α＜0，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝－2.
10．已知cos＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
B级——高考水平高分练
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于(　　)
A．2 B．－2
C．2－ D.－2
解析：选C　由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos α，2sin α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－.
2．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D.第四象限
解析：选B　因为A，B是锐角三角形的两个内角，所以A＋B>90°，所以B>90°－A，所以cos Bcos A，故cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，选B.
3．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)等于________．
解析：f(sin 15°)＝f[cos(90°－15°)]＝f(cos 75°)
＝cos 150°＝－.
答案：－
4．在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
5．已知cos＝，求证：sin＋cos2＝.
证明：因为cos＝，
所以sin＋cos2
＝sin＋cos2
＝－cos＋2
＝－＋＝.
6．已知f(cos x)＝cos 17x.
(1)求证：f(sin x)＝sin 17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin x)＝sin nx推出f(cos x)＝cos nx?
解：(1)证明：f(sin x)＝f
＝cos＝cos
＝cos＝sin 17x.
(2)f(cos x)＝f
＝sin＝sin
＝k∈Z.
故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.

高频考点一三角函数的定义
[例1]　(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.－
C．－ D.－
(2)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　)
A．0　　　　　　　　　 B.－2
C．2 D.－2或2
[解析]　(1)由正切函数的定义可得，tan α＝＝－.
(2)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则或分别代入＋可得其值为0.
[答案]　(1)A　(2)A
[方法技巧]
(1)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，应先求r＝，然后根据三角函数定义求角α的三角函数值，即sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(2)若角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．　　
[集训冲关]
1．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于(　　)
A. B．－
C．－ D.－
解析：选C　∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，
∴角α终边上一点的坐标为(1，－)，
故sin α＝＝－.
2．点A(x，y)在圆x2＋y2＝4上沿逆时针方向匀速旋转，每秒旋转ω弧度，已知1秒时，点A的坐标为(2,0)，则3秒时，点A的坐标为(　　)
A．(2cos 2ω，2sin 2ω) B．(2cos ω，2sin ω)
C．(cos 2ω，sin 2ω) D.(4cos ω，4sin ω)
解析：选A　由1秒到3秒，点A旋转的角度为2ω，又|OA|＝2，所以点A的坐标为(2cos 2ω，2sin 2ω)．故选A.
高频考点二同角三角函数基本关系式的应用
[例2]　已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
[解]　∵＝，
∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝＝－.
[方法技巧]
利用同角三角函数关系式求值的常用策略
(1)公式变形
①sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±，cos α＝±.
②sin α＝cos α·tan α，cos α＝.
(2)已知正切求余弦的公式
将sin α＝cos α·tan α代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α·tan2α＋cos2α＝1，因此cos2α＝.
(3)“同角”的含义
“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．　　
[集训冲关]
1．下列各式中，与sin2α－cos2α相等的是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．2cos2α－1 D.1－2sin2α
解析：选A　sin2α－cos2α＝＝.
2．函数y＝＋的值域是(　　)
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D.{－2,2}
解析：选C　y＝＋.
当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；
当x为第二或第四象限角时，y＝0.
故函数的值域为{－2,0,2}．
高频考点三sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系
[例3]　已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[解]　(1)由sin α＋cos α＝－?(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，所以sin αcos α＝－.
(2)因为0＜α＜π，
所以sin α＞0，cos α＜0?sin α－cos α＞0.
所以sin α－cos α＝
＝＝.
[方法技巧]
(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)sin θ±cos θ的符号的判定方法
sin θ－cos θ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sin θ＝cos θ，即sin θ－cos θ＝0；当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sin θ＞cos θ，即sin θ－cos θ＞0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0.如图①所示．同理可得sin θ＋cos θ的符号如图②所示．
　　
[集训冲关]
1．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－4 B．4
C．－8 D.8
解析：选C　tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
2．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.