人教B版（2019）第七章 三角函数 单元检测（A、B卷，含解析）

检测（一） 三角函数（A、B卷）
A卷——学业水平考试达标练
(时间：90分钟　满分：120分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面各组角中，终边相同的是(　　)
A．390°，690°　　　　　　　 B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
解析：选B　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．sin 2
C. D．2sin 1
解析：选C　由题设，圆弧的半径r＝，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝.
3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　∵x<0，r＝，∴cos α＝＝x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tan α＝－.
4．(2020·常德检测)将函数f(x)＝sin的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则下列说法不正确的是(　　)
A．g(x)的最小正周期为π
B．g＝
C．x＝是g(x)图像的一条对称轴
D．g(x)为奇函数
解析：选C　由题意得g(x)＝sin＝sin 2x，所以周期为π，g＝sin＝，直线x＝不是g(x)图像的一条对称轴，g(x)为奇函数，故选C.
5．如果＝－5，那么tan α的值为(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
解析：选D　∵sin α－2cos α＝－5(3sin α＋5cos α)，∴16sin α＝－23cos α，∴tan α＝－.
6．函数y＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
解析：选D　f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
7．设cos α＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为(　　)
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
解析：选C　∵π－arccos ∈(0，π)，
且cos＝－cos＝－，
∴α＝π－arccos.
8．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图像的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析：选C　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝，所以它的图像关于对称．故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是(　　)
A．f(x)在上是递增的
B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
解析：选ACD　因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在上是单调递减的，故A错误；因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)最大值为1，故D错误．
10．下列化简正确的是(　　)
A．tan(π＋1)＝tan 1 B.＝cos α
C.＝tan α D.＝1
解析：选AB　A正确；B正确，＝＝cos α；
C错，＝＝－tan α；
D错，
＝＝－1.
11．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：选ABC　由题意，可得f(x)＝－cos x，故根据余弦函数的图像可知D是错误的．
12．将函数y＝sin(x＋φ)的图像F向左平移个单位长度后得到图像F′，若F′的一个对称中心为，则φ的取值可能是(　　)
A. B．－
C. D.
解析：选BD　由题意可知，图像F′对应的函数为y＝sin，则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝1，得φ＝；令k＝0，得φ＝－.故φ的取值可能是B、D选项．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝________.
解析：由题意知，T＝＝，∴ω＝±2.
答案：±2
14．化简：sin(－α－7π)·cos(－α)＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos＝－sin(π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.
答案：－sin2α
15．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________.
解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－2＝. 已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－. 从而tan α＝＝(－)×＝.
答案：－　
16．若一个函数同时具有：(1)最小正周期为π.(2)图像关于直线x＝对称．请列举一个满足以上两条件的函数____________(答案不唯一，列举一个即可)．
解析：不妨设该函数为y＝Asin(ωx＋φ)，由最小正周期为π，可知ω＝2；又图像关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－，故函数y＝sin满足以上两个条件．
答案：y＝sin
四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)化简：－(α为第二象限角)．
解：原式＝－
＝＋＝tan α.
18．(10分)已知x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
19．(10分)已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin(ω＞0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值．
解：因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝cos 2x.
由f(α)＝，得cos 2α＝，即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z，则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，所以α∈.
20．(12分)已知函数?(x)＝sin＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y＝?(x)在上的图像．
解：(1)振幅为，最小正周期T＝＝π，初相为－.
(2)图像如图所示．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟　满分：120分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选B　∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－.
2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
3．(1＋tan215°)·cos215°的值等于(　　)
A. B．1
C．－ D.
解析：选B　(1＋tan215°)cos215°＝cos215°＝cos215°＋sin215°＝1.
4．由函数y＝5sin的图像得到函数y＝5sin 2x的图像的平移变换为(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C　函数y＝5sin＝5sin向右平移个单位长度，即得y＝5sin 2x，故选C.
5．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－ ＝－.
6.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期为T，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是(　　)
A．A＝3，T＝2π B．B＝－1，ω＝2
C．T＝4π，φ＝－ D．A＝3，φ＝
解析：选C　由题图可知T＝2＝4π，
A＝(2＋4)＝3，B＝－1.
∵T＝4π，∴ω＝.
令×＋φ＝，得φ＝－.
7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，知?＝0，即3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
|φ|的最小值为.
8．同时具有下列性质的函数可以是(　　)
①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图像关于直线x＝对称；③在上是增函数．
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
解析：选B　依题意知，满足条件的函数的周期是π，图像以直线x＝为对称轴，且在上是增函数．对于A选项，函数周期为4π，因此A选项不符合；对于C选项，f＝－1，但该函数在上不是增函数，因此C选项不符合；对于D选项，f≠±1，即函数图像不以直线x＝为对称轴，因此D选项不符合．综上可知，应选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．tan α＝－
B.＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D.＝sin α＋cos α
解析：选BC　由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，故B、C正确，D错．
10．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)
A．y＝sin＋1
B．y＝cos
C．f(x)＝＋
D．y＝cos
解析：选AC　由y＝sin＋1＝cos 2x＋1知，y＝sin＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；
由y＝cos＝－sin 2x知，y＝cos为奇函数，故B不满足条件；
对任意x∈R，－1≤sin 2x≤1，
∴1＋sin 2x≥0,1－sin 2x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；
y＝cos是非奇非偶函数，故D不满足条件．故选AC.
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
解析：选AC　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±， 即C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．
12．下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是(　　)
A. B.
C. D.∪
解析：选AC　在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图像，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图像可知满足cos x>sin x的是和，故选AC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知函数y＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线y＝1和y＝2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是________．
解析：∵两条直线所截得的线段长都为y＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期，∴m＝n＝.
答案：m＝n
14．arctan＋arcsin＝________.
解析：∵arctan＝，arcsin＝－，
∴arctan＋arcsin＝0.
答案：0
15．若函数f(sin x)＝cos 2x，则f的值为________．
解析：令sin x＝，得x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z，所以f＝cos ＝.
答案：
16．将函数f(x)＝2sin(ω＞0)的图像向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图像．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
解析：根据题意得g(x)＝2sin ωx，又y＝g(x)在上为增函数，所以≥，即ω≤2，所以ω的最大值为2.
答案：2
四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知cos＝，求＋的值．
解：因为cos＝－sin θ，所以sin θ＝－.
原式＝＋＝＋＝＝＝8.
18．(10分)函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值．
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π，x 0＝，y 0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
19．(10分)设函数f(x)＝sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin，
且f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
20．(12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R的图像与y轴交于点(0,1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
解：(1)因为函数图像过点(0,1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝.因为0≤φ≤，所以φ＝.
(2)由(1)得y＝2sin，所以当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，y＝2sin是增函数，
故y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由y≥1，得sin≥，所以＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，即2k≤x≤＋2k，k∈Z，
所以y≥1时，x的集合为.