（新教材）高中数学人教B版（2019）必修第三册全册综合检测（含解析）

全册综合检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若tan(α－3π)>0，sin(－α＋π)<0，则α是(　　)
A．第一象限角　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C　由已知得tan α>0，sin α<0，∴α是第三象限角．
2．已知cos＝－且|φ|＜，则tan φ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D．
解析：选D　由cos＝－得sin φ＝，
又|φ|＜，所以φ＝，所以tan φ＝.
3．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A. B．2
C．5 D．50
解析：选A　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.
4．函数f(x)＝sin的图像的对称轴方程可以为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：选A　由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝.
5．函数y＝在一个周期内的图像是(　　)
解析：选B　y＝cos2－sin2＝cos＝－sin 2x，对照图像可知选B.
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：选D　∵·＝||·||cos A，△ABC为直角三角形，∴·＝||·||·＝||2＝16.故选D.
7．已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈，若a·b＝，则tan等于(　　)
A. B.
C. D．
解析：选C　由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝，整理得sin α＝.又α∈，则cos α＝－.
所以tan α＝－.
则tan＝＝.
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于·(＋)的值，正确的是(　　)
A．为定值2 B．最大值为4
C．最小值为1 D．与P的位置有关
解析：选A　如图，取BC中点D，由题意知||＝1.
故·(＋)＝·(2)＝2||||·cos∠DAP＝2||2＝2.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　　)
A．－1＋ B．－2
C．－1－ D．1
解析：选AC　∵|ka－b|＝，|a＋b|＝＝，
∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos 120°＝，即－＝，
化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.
10．关于函数f(x)＝cos＋cos，下列命题中正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)在区间上是减函数
D. 将函数y＝cos 2x的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝f(x)的图像重合
解析：选ABCD　f(x)＝cos＋cos＝cos＋sin＝cos－sin＝＝cos＝cos，∴函数f(x)的最大值为，最小正周期为π，故A、B正确；又当x∈时，2x－∈[0，π]，∴函数f(x)在上是减函数，故C正确；y＝cos ＝cos＝f(x)，故D正确．
11．在△ABC中，下列四个选项正确的是(　　)
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
D．若·>0，则△ABC为锐角三角形
解析：选BC　∵－＝＝－≠，∴A错误．＋＋＝＋＝－＝0，∴B正确．由(＋)·(－)＝－＝0，得||＝||，∴△ABC为等腰三角形，C正确．·>0?cos〈，〉>0，即cos A>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，
∴D错误，故选BC.
12．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
解析：选CD　∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，
即2(A＋B)＝C，
∴tan(A＋B)＝＝，A，B错．
∵tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，
∴tan AtanB＝，①
又tan A＋tan B＝，②
∴tan A＝tan B＝.
∴cos B＝sin A，
故C、D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，则实数x＝_______________________.
解析：∵a∥b，∴1－2x＝0.∴x＝.
答案：
14．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析：f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]，∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.
答案：1
15．设f(x)＝，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝________.
解析：f(x)＋f(60°－x)＝＋＝＝＝，
所以f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(29°)＋f(31°)]＋f(30°)＝.
答案：
16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
解析：取，为一组基底，则＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，∴·＝·＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中，i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m的值，使
(1)A，B，C三点共线；
(2)⊥.
解：(1)利用＝λ可得i－2j＝λ(i＋mj)，于是得m＝－2.
(2)由⊥ 得·＝0，
∴(i－2j)·(i＋mj)＝i2＋mi·j－2i·j－2mj2＝0，
∴1－2m＝0，解得m＝.
18．(12分)(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
19．(12分)已知四边形ABCD，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求y＝f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
解：(1)＝－(＋＋)＝(－x－4,2－y)，
∵∥，∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，
整理得x＋2y＝0，∴y＝－x.
(2)∵＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又∵⊥，∴·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
由(1)知x＝－2y，将其代入上式，
整理得y2－2y－3＝0.解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x＝－6，于是＝(－6,3)，＝(0,4)，
＝(－8,0)，||＝4，||＝8，
∴S四边形ABCD＝||||＝×4×8＝16.
当y＝－1时，x＝2，于是＝(2，－1)，＝(8,0)，
＝(0，－4)，||＝8，||＝4，
∴S四边形ABCD＝||||＝×8×4＝16.
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若tan α＋＝5，求的值．
解：(1)设最高点为(x1,1)，相邻的最低点为(x2，－1)，则|x1－x2|＝(T >0)，
∴＝，∴＋4＝4＋π2，∴T＝2π＝，
又ω>0，∴ω＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)．
∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝sin＝cos x.
(2)∵tan α＋＝5，∴＋＝5，
∴sin αcos α＝，
∴＝
＝
＝
＝＝2sin αcos α＝.
21.(12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x轴，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限．求OB2的最大值．
解：如图，过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，
则∠BAH＝－θ，OA＝2cos θ，
BH＝sin＝cos θ，AH＝cos＝sin θ，
所以B(2cos θ＋sin θ，cos θ)，
OB2＝(2cos θ＋sin θ)2＋cos2θ
＝7＋6cos 2θ＋2sin 2θ＝7＋4sin.
由0<θ<，知<2θ＋<，
所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
22．(12分)已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像．若y＝g(x)的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解：(1)已知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x，
因为y＝f(x)过点，，
所以f＝msin ＋ncos ＝，
f＝msin ＋ncos ＝－2，
所以解得
(2)由(1)知，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
则g(x)＝2sin.
设g(x)的图像上到点(0,3)的距离为1的最高点为(x0,2)，
因为d＝＝1，解得x0＝0，所以g(0)＝2，
因为0<φ<π，所以φ＝，
所以g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 2x.
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.