人教B版（2019）第八章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测（A、B卷，含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）第八章 向量的数量积与三角恒等变换 单元检测（A、B卷，含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 49.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 11:53:29 | ||
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文档简介
检测（二） 向量的数量积与三角恒等变换（A、B卷）
A卷——学业水平考试达标练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值是( )
A. B.
C. D．1＋
解析：选A 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝.
2．已知锐角α满足cos＝，则sin＝( )
A. B．±
C. D．±
解析：选C ∵锐角α满足cos＝，∴α＋为锐角，∴sin＝ ＝，
则sin＝2sincos＝2××＝.
3．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝( )
A．(3,2) B.
C．(－3，－2) D．
解析：选C ∵＝－＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，∴＝(－9，－6)＝(－3，－2)．
4．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B.
C. D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.
5．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D．
解析：选C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
6．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
7．y＝sin xcos x＋sin2x可化为( )
A．y＝sin＋
B．y＝sin－
C．y＝sin＋
D．y＝2sin＋1
解析：选A y＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋＝sin＋.
8．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为( )
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：选A 由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，
而|b|＝3，则＝3，
所以λ＝－3，b＝(3，－6)．
9．若α为锐角，3sin α＝tan α＝tan β，则tan 2β等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由3sin α＝tan α，得cos α＝，∴sin α＝. ∴tan β＝3sin α＝2，tan β＝2.∴tan 2β＝＝－.
10．在△ABC中，若(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
11．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|>|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选ABC 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，故A正确；a·b＝1×＋0×＝，故B正确；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直，故C正确，D明显错误．
12．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选BC A中，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B中，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C中，1－2sin215°＝cos 30°＝；D中显然不是.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a＋b与a－b的夹角为.
答案：
14．化简·cos 28°的结果为________．
解析：·cos 28°＝×·cos 28°＝tan 28°·cos 28°＝.
答案：
15．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：|5a－b|＝＝＝＝ ＝7.
答案：7
16．已知α∈，且sin α＝，则sin2＋的值为________．
解析：cos α＝－，原式＝＋＝＋sin 2α＝－cos α＋2sin αcos α＝－.
答案：－
四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<α<β<π.
(1)求|a|的值；
(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．
解： (1)|a|＝＝1，∴|a|＝1.
(2)证明：∵|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，|b|2＝sin2β＋cos2β＝1，∴(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．
18．(10分)已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解：∵sin α＋cos α＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sin α·cos α＝，
∴sin 2α＝－且sin αcos α＝－<0.
∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝＝，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝×＝－，∴tan 2α＝＝.
19．(10分) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解：(1)设b＝(x，y)，因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，则(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
20．(12分)设函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(2cos 2x,1)，n＝(1,3)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最大值．
解： (1)∵m＝(2cos 2x,1)，n＝(1,3)，
∴f(x)＝m·n＝2cos 2x＋3，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝2cos 2x＋3.
∵x∈，∴2x∈，
∴当2x＝0即x＝0时，f(x)max＝5.
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A．－3 B．－
C．3 D．
解析：选D tan(α－β)＝＝＝.
2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系为( )
A．x≤y B．x>y
C．x解析：选B x－y＝sin Asin B－cos Acos B＝－cos(A＋B)，∵△ABC是锐角三角形，∴∴－cos(A＋B)>0，∴x>y.
3.·等于( )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
解析：选A ∵＝a0(a0为a的单位向量)．∴原式＝(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C ∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，
∴＝1，解得t＝3，∴＝(1,0)，
∴·＝2×1＋3×0＝2.
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C. D．－
解析：选B 由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.
6．已知sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C．－ D．
解析：选A 由sin＝cos＝cos＝，得cos＝2cos2－1＝－1＝－.
7．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于( )
A．10° B．20°
C．70° D．80°
解析：选C 由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°. 所以α＝70°.
8.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D 由平行四边形法则得＋＝2，故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D.
9．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.
10．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D．
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
11．下列各式与tan α相等的是( )
A.
B.
C.·(α∈(0，π))
D.
解析：选CD C中，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；D中，＝＝＝tan α.
12．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D．
解析：选BC y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin－sin 2x＝－＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，x∈；当k＝1时，x∈.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
14．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，且函数y＝f(0<φ<π)是一个偶函数，则φ的值等于________．
解析：f(x)＝sin，因为y＝f＝sin是一个偶函数，且0<φ<π，所以可以令φ＋＝，此时f＝cos 2x为偶函数，解得φ＝.
答案：
15．已知A，B，C皆为锐角，且tan A＝1，tan B＝2，tan C＝3，则A＋B＋C的值为________．
解析：∵tan B＝2，tan C＝3，
∴tan(B＋C)＝＝＝－1.
又B，C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝，
又tan A＝1，A为锐角，∴A＝，∴A＋B＋C＝π.
答案：π
16．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)．
解析：由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得?k1＝－4k3，k2＝2k3，令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c.再令c＝1，得k1＝－4，k2＝2，k3＝1.
答案：－4,2,1
四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)如图所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和DB的长．
解：设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，则|a|＝3，
|b|＝1，θ＝.∴a·b＝|a||b|cos θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，DB＝.
18．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为
和(k∈Z)．
19．(10分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若＝－3，求tan C.
解：(1)∵m·n＝1，∴sin A－cos A＝1，
2＝1，sin＝，
∵0∴A＝.
(2)由题知＝－3，
∴＝＝＝－3，
∴tan B＝2.
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝.
20.(12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B，∠AOB＝α.
(1)求的值；
(2)设∠AOP＝θ，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f(θ)＝(·－1)2＋S－1，求f(θ)的最值及此时θ的值．
解：(1)依题意，tan α＝＝－2，
∴＝＝＝－10.
(2)由已知点P的坐标为P(cos θ，sin θ)，
又＝＋，||＝||，∴四边形OAQP为菱形，∴S＝2S△OAP＝sin θ，
∵A(1,0)，P(cos θ，sin θ)，∴＝(1＋cos θ，sin θ)，
∴·＝1＋cos θ，
∴f(θ)＝(1＋cos θ－1)2＋sin θ－1＝cos2θ＋sin θ－1＝－sin2θ＋sin θ＝－2＋.
∵≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝，即θ＝时，f(θ)max＝；
当sin θ＝1，即θ＝时，f(θ)min＝－1.
A卷——学业水平考试达标练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值是( )
A. B.
C. D．1＋
解析：选A 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝.
2．已知锐角α满足cos＝，则sin＝( )
A. B．±
C. D．±
解析：选C ∵锐角α满足cos＝，∴α＋为锐角，∴sin＝ ＝，
则sin＝2sincos＝2××＝.
3．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝( )
A．(3,2) B.
C．(－3，－2) D．
解析：选C ∵＝－＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，∴＝(－9，－6)＝(－3，－2)．
4．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B.
C. D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.
5．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D．
解析：选C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
6．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
7．y＝sin xcos x＋sin2x可化为( )
A．y＝sin＋
B．y＝sin－
C．y＝sin＋
D．y＝2sin＋1
解析：选A y＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋＝sin＋.
8．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为( )
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：选A 由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，
而|b|＝3，则＝3，
所以λ＝－3，b＝(3，－6)．
9．若α为锐角，3sin α＝tan α＝tan β，则tan 2β等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由3sin α＝tan α，得cos α＝，∴sin α＝. ∴tan β＝3sin α＝2，tan β＝2.∴tan 2β＝＝－.
10．在△ABC中，若(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
11．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|>|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选ABC 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，故A正确；a·b＝1×＋0×＝，故B正确；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直，故C正确，D明显错误．
12．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选BC A中，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B中，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C中，1－2sin215°＝cos 30°＝；D中显然不是.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a＋b与a－b的夹角为.
答案：
14．化简·cos 28°的结果为________．
解析：·cos 28°＝×·cos 28°＝tan 28°·cos 28°＝.
答案：
15．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：|5a－b|＝＝＝＝ ＝7.
答案：7
16．已知α∈，且sin α＝，则sin2＋的值为________．
解析：cos α＝－，原式＝＋＝＋sin 2α＝－cos α＋2sin αcos α＝－.
答案：－
四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<α<β<π.
(1)求|a|的值；
(2)求证：a＋b与a－b互相垂直．
解： (1)|a|＝＝1，∴|a|＝1.
(2)证明：∵|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，|b|2＝sin2β＋cos2β＝1，∴(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．
18．(10分)已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解：∵sin α＋cos α＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sin α·cos α＝，
∴sin 2α＝－且sin αcos α＝－<0.
∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝＝，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝×＝－，∴tan 2α＝＝.
19．(10分) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解：(1)设b＝(x，y)，因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，则(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
20．(12分)设函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(2cos 2x,1)，n＝(1,3)，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最大值．
解： (1)∵m＝(2cos 2x,1)，n＝(1,3)，
∴f(x)＝m·n＝2cos 2x＋3，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝2cos 2x＋3.
∵x∈，∴2x∈，
∴当2x＝0即x＝0时，f(x)max＝5.
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A．－3 B．－
C．3 D．
解析：选D tan(α－β)＝＝＝.
2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系为( )
A．x≤y B．x>y
C．x
3.·等于( )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
解析：选A ∵＝a0(a0为a的单位向量)．∴原式＝(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C ∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，
∴＝1，解得t＝3，∴＝(1,0)，
∴·＝2×1＋3×0＝2.
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C. D．－
解析：选B 由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.
6．已知sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C．－ D．
解析：选A 由sin＝cos＝cos＝，得cos＝2cos2－1＝－1＝－.
7．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于( )
A．10° B．20°
C．70° D．80°
解析：选C 由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°. 所以α＝70°.
8.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D 由平行四边形法则得＋＝2，故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D.
9．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．－
解析：选B 因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.
10．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin αsin＋cos αcos＝，则角β＝( )
A. B.
C. D．
解析：选D ∵P(1,4)，∴|OP|＝7，
∴sin α＝，cos α＝.
又sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.
二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
11．下列各式与tan α相等的是( )
A.
B.
C.·(α∈(0，π))
D.
解析：选CD C中，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；D中，＝＝＝tan α.
12．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D．
解析：选BC y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin－sin 2x＝－＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，x∈；当k＝1时，x∈.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
14．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，且函数y＝f(0<φ<π)是一个偶函数，则φ的值等于________．
解析：f(x)＝sin，因为y＝f＝sin是一个偶函数，且0<φ<π，所以可以令φ＋＝，此时f＝cos 2x为偶函数，解得φ＝.
答案：
15．已知A，B，C皆为锐角，且tan A＝1，tan B＝2，tan C＝3，则A＋B＋C的值为________．
解析：∵tan B＝2，tan C＝3，
∴tan(B＋C)＝＝＝－1.
又B，C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝，
又tan A＝1，A为锐角，∴A＝，∴A＋B＋C＝π.
答案：π
16．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)．
解析：由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得?k1＝－4k3，k2＝2k3，令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c.再令c＝1，得k1＝－4，k2＝2，k3＝1.
答案：－4,2,1
四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)如图所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和DB的长．
解：设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，则|a|＝3，
|b|＝1，θ＝.∴a·b＝|a||b|cos θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，DB＝.
18．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为
和(k∈Z)．
19．(10分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若＝－3，求tan C.
解：(1)∵m·n＝1，∴sin A－cos A＝1，
2＝1，sin＝，
∵0
(2)由题知＝－3，
∴＝＝＝－3，
∴tan B＝2.
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝.
20.(12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B，∠AOB＝α.
(1)求的值；
(2)设∠AOP＝θ，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f(θ)＝(·－1)2＋S－1，求f(θ)的最值及此时θ的值．
解：(1)依题意，tan α＝＝－2，
∴＝＝＝－10.
(2)由已知点P的坐标为P(cos θ，sin θ)，
又＝＋，||＝||，∴四边形OAQP为菱形，∴S＝2S△OAP＝sin θ，
∵A(1,0)，P(cos θ，sin θ)，∴＝(1＋cos θ，sin θ)，
∴·＝1＋cos θ，
∴f(θ)＝(1＋cos θ－1)2＋sin θ－1＝cos2θ＋sin θ－1＝－sin2θ＋sin θ＝－2＋.
∵≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝，即θ＝时，f(θ)max＝；
当sin θ＝1，即θ＝时，f(θ)min＝－1.