课件34张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十四)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件30张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十五)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件38张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十六)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件30张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十七)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件29张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十八)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件31张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十九)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件34张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件35张PPT。
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十一)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件29张PPT。“提升综合素养”见“习题课（三）”
(单击进入电子文档)“章末综合检测”见“检测（二）”
(单击进入电子文档)“全册综合检测”见“全册综合检测”
(单击进入电子文档)谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢习题课（三） 向量的数量积与三角恒等变换
一、选择题
1．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D cos2＝＝＝.
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )
A. B.
C. D．
解析：选B ∵a⊥(a－b)，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，
∵|a|＝1，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∴向量a与向量b的夹角为，故选B.
3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β＝.
4．化简：的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选D
＝
＝
＝＝＝1.
5．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C 设P(x,0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
6．若函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a在区间上的最大值与最小值的和为，则a＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
解析：选B f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋＋a＝sin＋＋a，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，则－≤sin≤1.又f(x)的最大值与最小值的和为，所以＋＝，解得a＝0.
二、填空题
7.如图所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．
解析：·＝||||·cos∠BAN，||·cos∠BAN表示在上的投影的数量，又||＝2，∴·的最大值是4.
答案：4
8．若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则m＝________.
解析：f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin＋m＋1，∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2＋m＋1＝6，∴m＝3.
答案：3
9．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin xcos x和g(x)＝cos2x的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．
解析：f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝cos2x＝，所以MN＝|f(a)－g(a)|＝＝，则当sin＝－1时，MN取得最大值，为.
答案：
三、解答题
10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．
解：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，得k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，
∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
即a·b＝.
∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a2＝1，b2＝1，∴a·b＝＝.
(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，
即≥＝，∴a·b的最小值为.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cos γ.
又|a|＝|b|＝1，∴＝1×1×cos γ，
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.
11．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x－∈，
sin∈，
sin＋1∈[0，＋1]．
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.
所以当x∈时，f(x)≥0.
12．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)图像的对称轴方程、对称中心的坐标；
(3)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．
解：f(x)＝sin 2x－cos 2x－2·＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－.
(1)函数f(x)的最小正周期为π.
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图像的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，
所以函数f(x)图像的对称中心的坐标是
(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋≤，
－≤sin≤1，
所以当x＝时，f(x)取最小值－；
当x＝时，f(x)取最大值1－.
课时跟踪检测（二十一） 三角恒等变换的应用
A级——学考水平达标练
1．sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C 原式＝sin 20°－sin 80°＋sin 40°＋sin 60°＝2cos 50°sin(－30°)＋cos 50°＋sin 60°＝sin 60°＝.
2．函数y＝sincos x的最大值为( )
A. B.
C．1 D．
解析：选B ∵y＝sincos x＝＝＝sin－， ∴函数y的最大值为.
3．设π<α<3π，cos α＝m，cos＝n，cos＝p，下列各式中正确的是( )
A．n＝－ B．n＝
C．p＝ D．p＝－
解析：选A ∵<<，∴cos ＝－，即n＝－，此外由于<<，因此cos 的符号不能确定．
4．已知2sin α＝1＋cos α，则tan＝( )
A. B.或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：选B 2sin α＝1＋cos α，即4sincos＝2cos2，当cos＝0时，tan不存在；当cos≠0时，tan＝.
5．若sin θ＝，＜θ＜3π，则tan＋cos＝( )
A．3＋ B．3－
C．3＋ D．3－
解析：选B 因为＜θ＜3π，所以cos θ＝－＝－.因为＜＜，所以sin＜0，cos＜0，
所以sin＝－＝－，
cos＝－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.
6．设α∈(π，2π)，则 等于________．
解析：＝＝＝，∵α∈(π，2π)，∴∈，
∴sin >0，故原式＝sin .
答案：sin
7．已知某直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为________．
解析：∵A＋B＝，∴sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)，又－＜A－B＜，
∴0＜cos(A－B)≤1，
∴sin Asin B有最大值.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为________．
解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为，由题意可知sin α＝，所以cos α＝± ＝±，所以cos＝sin＝ ＝ ，所以cos＝或.
答案：或
9．求下列各式的值：
(1)sin 54°－sin 18°；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.
解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝2×＝
＝＝＝.
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
10．求函数f(x)＝sin x的最小正周期与最值．
解：f(x)＝sin x
＝sin x·2cossin
＝－sin xcos
＝－
＝－sin＋.
∴最小正周期为T＝＝π.
∵sin∈[－1,1]，
∴函数f(x)的最大值为，最小值为－.
B级——高考水平高分练
1．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan等于( )
A．－5 B．－
C. D．5
解析：选A sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝－.
∵α是第三象限角，∴cos α＝－，
∴tan＝＝＝－5.
2．在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C. D．
解析：选C cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cos Asin C∈.
3．若θ为锐角，sin θ∶sin ＝8∶5，则tan 2θ＝________.
解析：由题可知，cos ＝，sin ＝，
∴sin θ＝2sin cos ＝，cos θ＝2cos2－1＝，tan θ＝，
故tan 2θ＝＝－.
答案：－
4.如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.
解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.
答案：－
5．已知3tan＝tan，求证：sin 2α＝1.
证明：∵3tan＝tan，
∴＝，
∴3sincos＝sincos，∴＝，
∴3sin 2α－＝sin 2α＋，∴sin 2α＝1.
6．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．
证明：∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴A＋B＋C＝π，＝－.
∴y＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan＋tan＋tan.
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．
课时跟踪检测（二十） 倍角公式
A级——学考水平达标练
1．若tan θ＝－，则cos 2θ等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D 若tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选A 将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.
3．计算：＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：选B 原式＝＝＝＝1.
4．化简＝( )
A．cos x B．tan x
C．sin x D．sin 2x
解析：选B 原式＝
＝sin x＝sin x·
＝＝tan x.
5．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由cos x＝，x∈，得sin x＝－，所以tan x＝－，所以tan 2x＝＝＝－，故选D.
6．已知sin＝，则sin 2x的值为________．
解析：sin 2x＝cos＝cos
＝1－2sin2＝.
答案：
7．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝_______，b＝________.
解析：2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝
sin＋1，故A＝，b＝1.
答案： 1
8．已知sin 2θ＝，则cos2＝________.
解析：cos2＝
＝＝，∵sin 2θ＝，
∴cos2＝＝.
答案：
9．求值：.
解：∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴＝＝.
10．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
解：(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.
(2)∵f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，
即2kπ<2α<2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－<2α－<2kπ＋(k∈Z)，
∴cos＝，
∴sin 2α＝sin＝sin·cos ＋cos·sin ＝×＋×＝.
B级——高考水平高分练
1．已知tan x＝，则sin2＝( )
A. B.
C. D．
解析：选D 因为tan x＝，所以sin2＝＝＝＋＝＋＝＋＝.
2．设sin＝，则sin＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B 因为sin＝，
所以sin＝sin
＝－cos＝－＝－.
3．函数f(x)＝sin－2·sin2x的最小正周期是________．
解析：f(x)＝sin－2sin2x
＝sin 2x－cos 2x－2×
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，
故该函数的最小正周期是＝π.
答案：π
4．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝，则α＋2β＝________.
解析：∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝，∴tan β＝，则tan 2β＝＝＝.
∵tan α＝7，∴tan(α＋2β)＝＝＝＝－1.
由α，β为锐角，可得α＋2β＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时， 求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．
解：f(x)＝
＝
＝
＝＝＝2cos 2x.
(1)f＝2cos ＝2cos ＝－.
(2)g(x)＝f(x)＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝sin .
因为x∈，所以≤2x＋≤，
所以g(x)max＝，g(x)min＝－1.
6.如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
解：∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，
∴AD＝CD＝10 m.
∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，
∴10sin 4θ＝30sin 2θ，
即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝，
又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，
∴AE＝30sin＝15(m)，
∴θ＝，建筑物AE的高为15 m.
课时跟踪检测（十七） 两角和与差的余弦
A级——学考水平达标练
1．cos 165°的值是( )
A. B.
C. D．
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)
＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝－×－×＝.
2．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．
解析：选B 由题意可得sin α＝，cos α＝，
则cos＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝.
3．若α∈[0，π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( )
A. B.
C. D．
解析：选D 由已知得coscos＋sinsin＝0，即cos＝cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝.
4．函数f(x)＝cos x·的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D．
解析：选A f(x)＝cos x·
＝cos x·
＝2
＝2cos，∴T＝2π.
5．在△ABC中，若sin Asin CA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选C 因为sin Asin C0，即cos(A＋C)>0，所以cos B<0，即B为钝角．
6．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D．或
解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝，
所以cos α＝－
＝－ ＝－.
由cos β＝－，得
sin β＝＝ ＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
7.＝________.
解析：＝
＝＝.
答案：
8．已知cos α＝，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，则cos β＝________.
解析：∵cos α＝，cos(β－α)＝，
且0<β<α<π，
∴－π<β－α<0，sin α＝＝，
∴sin(β－α)＝－＝－，
∴cos β＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α
＝×－×＝.
答案：
9．若0<α<，－<β<0，cos α＝，cos＝，求cos的值．
解：由cos α＝，0<α<，所以sin α＝.
由cos＝，－<<0，所以sin＝－.
所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝－.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α＋β)的值．
解：依题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
B级——高考水平高分练
1．若cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 因为cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝cos(5x－2x)＝cos 3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
所以当k＝0时，x＝.
2．若sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，则角α＋β的值为( )
A. B.
C. D．
解析：选B 因为＜α＜，所以－＜－α＜0，
因为＜β＜，所以＜＋β＜，
由已知可得cos＝，cos＝－.
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝.
3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ，②
①2＋②2?2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1?cos(α－β)＝－.
答案：－
4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则 sin α·cos α＝________，cos＝________.
解析：由题意可得sin α＝，cos α＝，所以sin αcos α＝×＝；cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.
答案：
5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值．
解：因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，
所以cos(α－β)＝－
＝－ ＝－，
cos(α＋β)＝
＝ ＝，
所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
6．已知sin α＋sin β＝，求cos α＋cos β的取值范围．
解：由sin α＋sin β＝，平方可得
sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，①
设cos α＋cos β＝m，平方可得
cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝m2，②
①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m2，
即m2＝＋2cos(α－β)．
∵cos(α－β)∈[－1,1]，∴m2∈，
∴0≤m2≤，∴－≤m≤，
故cos α＋cos β的取值范围为.
课时跟踪检测（十九） 两角和与差的正切
A级——学考水平达标练
1．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24°
C．tan 42° D．tan 21°
解析：选B 原式＝＝tan(45°－21°)＝tan 24°.
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C等于( )
A. B.
C. D．
解析：选A 由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，
即＝－，∴tan(A＋B)＝－，
∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
3．已知tan α＝，则的值是( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
解析：选B 法一：因为tan α＝，所以tan
＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan＝tan α＝.故选B.
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
5．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A 因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，故tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.
6．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________．
解析：由tan(α＋β)＝＝7，即＝7，解得tan β＝1，又∵β∈(0，π)，∴β＝.
答案：
7．(2018·通州模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sin α＝________.
解析：∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tan α＝，
再根据tan＝＝＝，∴m＝－1，
故x＝2，y＝－1，r＝|OP|＝＝，
则sin α＝＝＝－.
答案：－
8．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为___________________________．
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?＝－1，
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
当k＝1时，α＋β取得最小正值.
答案：
9．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．
解：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]
＝＝tan 30°＝，
∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．
∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋×[1－tan(18°－x)tan(12°＋x)]＝1.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
B级——高考水平高分练
1．已知α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：选A ∵－1＝tan(α＋β)＝，∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β.∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2.
2．在锐角△ABC中，tan A·tan B的值( )
A．不小于1 B．小于1
C．等于1 D．大于1
解析：选D 在锐角△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－(A＋B)，tan A>0，tan B>0.由tan C＝－tan(A＋B)＝－>0，得tan A·tan B>1.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，
解得BP＝a.
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝＝，tan β＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.
4．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan ·tan β＝2－ 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解：由①得＋β＝，∴tan＝＝.
将②代入上式得tan ＋tan β＝3－.
因此，tan 与tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－.
若tan ＝1，由于0＜＜，∴这样的α不存在．
故只能是tan ＝2－，tan β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立．
课时跟踪检测（十五） 向量数量积的运算律
A级——学考水平达标练
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为( )
A．2 B．2
C．6 D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C 因为＝，所以点D是BC的中点，则＝(＋)，＝＝(－)，
所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(22－32)＝－，故选C.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B 由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos 90°－12＝0，解得k＝6.故选B.
4．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20 B．
C．2 D．
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|＝＝
＝＝2，故选C.
5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，
即a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝________.
解析：∵AM＝1，且＝2，
∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·＝2＝2＝.
答案：
7．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
答案：2
8．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，
故·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
9．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
解：如图，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，即(a＋b)2＝(－c)2，
故a2＋2a·b＋b2＝c2.①
同理，a2＋2a·c＋c2＝b2，②
b2＋2b·c＋c2＝a2.③
由①－②，得b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，故|b|＝|c|. 同理，由①－③，得|a|＝|c|.故|a|＝|b|＝|c|，
故△ABC为等边三角形．
10．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
∵||＝|a－b|＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
B级——高考水平高分练
1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，
则·＝·＝(－)·(＋)
＝2－2＝1－2＝，
·＝·＝2－2
＝1－2＝，
因此·＋·＝.
2．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝1，
所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.
答案：
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，又∵a－b＝－＝，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，因此△ABC是等腰直角三角形．
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
4．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
解：∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝ ＝ ＝，
|b|＝＝ ＝ ＝，
∴cos θ＝＝－×＝－.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值．
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC边的中点，BC＝4，AC＝6，
则CD＝2，CE＝3，
∴||＝＝＝2，
||＝＝5，
·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝6×3＋0＋0＋2×4＝26.
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为.
课时跟踪检测（十八） 两角和与差的正弦
A级——学考水平达标练
1．已知sin α＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选A 因为cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋β)＝0，所以sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos α·sin(α＋β)＝×(－1)＋0＝－.
2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．±1
解析：选C 由于sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.当k为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin 2β－sin 2β＝0；当k为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin 2β＋sin 2β＝0.
综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0.
3．sin θ＋sin＋sin的值为( )
A．0 B.
C．1 D．2
解析：选A 原式＝sin θ＋sin θcos＋cos θsin＋sin θcos＋cos θsin＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.
4．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B
?sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B
?sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.
∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
5．设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A. B.
C. D．
解析：选C ∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．
又A＋B＝π－C，整理得sin＝，∵0＜C＜π，∴＜C＋＜，∴C＋＝，∴C＝.
6．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin＝_____________________.
解析：原式＝sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos α·sin β－2sin αcos β＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0.
答案：0
7．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为_______________________．
解析：f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤，∴f(x)min＝sin＝－1.
答案：－1
8．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于_________________________．
解析：由题意知，sin B＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x的图像经过点和.
(1)求实数a和b的值，并判断f(x)的周期性；
(2)当x为何值时，f(x)取得最大值？
解：(1)依题意，有?
故f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin.
因此，当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.
10．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：因为<α<，所以<＋α<π，
所以sin＝ ＝.
又因为0<β <，所以<＋β <π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin＝－＝－＝.
B级——高考水平高分练
1．已知f(x)＝sin，若sin α＝，则f＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 因为<α<π，sin α＝，所以cos α＝－，因为f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝sin αcos＋cos αsin＝＝－.
2．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin等于( )
A. B.
C. D．
解析：选B ＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1，所以3(sin α＋cos α)＝2，
即3sin＝2，所以sin＝.
3．已知函数f(x)＝sin－sin，则此函数的周期T＝________；若－≤x≤，则此函数的值域是________．
解析：因为f(x)＝sin－sin＝sin xcos ＋cos xsin －sin xcos ＋cos xsin ＝cos x，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝2π. 又－≤x≤，所以≤f(x)≤1.
答案：2π
4．已知cos＋sin α＝，则sin＝____________________________.
解析：由cos＋sin α＝cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝cos α＋sin α＝，
得cos α＋sin α＝，即sin＝，
所以sin＝sin＝－sin＝－.
答案：－
5．求下列各式的值．
(1)；(2).
解：(1)原式＝
＝
＝＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜.
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＋··cos x＝cos x＋sin x
＝2＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴f(x)在上是单调递增函数，在上是单调递减函数．
∴当x＝时，f(x)有最大值为2.
课时跟踪检测（十六） 向量数量积的坐标运算
A级——学考水平达标练
1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：选A 因为a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，
所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.
2．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，解得θ＝.故选C.
3．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A. B．
C．2 D．10
解析：选B 由a⊥b得a·b＝0，
∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.
4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.
5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A 由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
故△ABC是直角三角形．
6．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.
解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.
答案：1
7．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
8.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示．
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，A(2,0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．
∴|＋3|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)，
当y＝b时，|＋3|最小，|＋3|min＝5.
答案：5
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
10．已知三个点A，B，C的坐标分别为(3，－4)，(6，－3)，(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
解：由已知，得＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
＝(－1－m，－m)．
当∠A为直角时，⊥，则·＝3(2－m)＋1－m＝0，解得m＝.
当∠B为直角时，⊥，则·＝3(－1－m)－m＝0，解得m＝－.
当∠C为直角时，⊥，则·＝(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，
即m2－m－1＝0，解得m＝.
综上，当△ABC为直角三角形时，m的值为或－或.
B级——高考水平高分练
1．在平行四边形ABCD中，＝(1,0)，＝(2,2)，则·等于( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解析：选D ·＝(－)·(－2)＝＋2－3·＝8＋2－3×2＝4.故选D.
2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．
解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，
设E(1，a)(0≤a≤1)．
所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，
·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，
故·的最大值为1.
答案：1 1
3．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
解析：由已知得·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.
答案：3
4．已知点A(2,3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．
解析：设B(x，y)(x<0)，则⊥，且||＝||.
∴解得∴B(－3,2)．
答案： (－3,2)
5．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)求和夹角的余弦值；
(3)是否存在实数t满足(－t)·＝·，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2，|－|＝4，
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)cos∠BAC＝＝＝，
所以和夹角的余弦值为.
(3)由题设知：＝(－1，－2)，＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
假设存在实数t满足(－t)·＝·，
则(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，
从而5t＝－15，所以t＝－3.
6．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设点C坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴点C的坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16，||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
课时跟踪检测（十四） 向量数量积的概念
A级——学考水平达标练
1．已知|a|＝3，b在a上的投影的数量为，则a·b＝( )
A．9 B．
C．2 D．
解析：选C a·b＝3×＝2.
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
解析：选B 由已知得－12＝4×|b|×cos 135°，因此|b|＝3.
3．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
解析：选C 在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．
4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )
A．－a2 B．－a2
C.a2 D．a2
解析：选D 如图，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，边长为a，
∴||＝a.∵与的夹角为30°，∴·＝||||cos 30°＝a·a·＝a2.
5．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A ∵|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，
∴cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝，
∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝8.
6．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．
解析：根据向量夹角定义可知向量，的夹角为∠BAC，而向量，的夹角为π－∠BAC，故二者互补．
答案：互补
7．已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________________________.
解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 因为AB＝AC，所以BD＝BC＝2，
于是| |cos∠ABC＝||＝2，
所以·＝||||cos∠ABC
＝4×2＝8.
答案：8
8．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则在上的投影的数量是________．
解析：设与的夹角为θ，
∵AB＝AC＝2，∠ACB＝.
∴θ＝.
∴投影的数量为2×cos＝－.
答案：－
9．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2＋＋＝0且||＝||，求·.
解：∵2＋＋＝0，∴＋＋＋＝0，
∴＋＝0，即＝－.
∴O，B，C三点共线，BC为圆的直径．
∴AB⊥AC.
又||＝||，∴||＝| |＝1，||＝2，||＝.
故∠ACB＝.则·＝×2cos ＝3.
10．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2) 在上投影的数量．
解：因为||＝5，||＝4，||＝3，
所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.
所以cos A＝＝，cos B＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)||cos〈，〉＝||cos A＝3×＝，
即 在 上投影的数量为.
B级——高考水平高分练
1．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
解析：选D 由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
2．在△ABC中，已知∠A＝120°，∠B＝∠C＝30°，AB＝AC＝1，则·＋·＋·＝________.
解析：过A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，
∴BC＝2BD＝2ABcos B＝2×1×＝.
·＝||||cos(180°－30°)＝1××＝－，
·＝||||cos(180°－30°)＝×1×＝－，
·＝||||cos(180°－120°)＝1×1×＝.
∴·＋·＋·＝－－＋＝－.
答案：－
3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.
解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
答案：0 －16 －16
4．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.
(1)试用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b<0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？
解：(1)S△ABC＝AB·h＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsin θ.
(2)∵S△ABC＝＝|b||c|sin θ，
∴＝×5×3sin θ，∴sin θ＝.
∵c·b<0，∴θ为钝角．
∴θ＝150°，即〈b，c〉＝150°.
5.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量.
(2)求·的取值范围．
解：(1)由已知可得＝，＝－，
易得四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)
＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.
