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(单击进入电子文档)谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢习题课（一） 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系
与诱导公式
一、选择题
1．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝ B.cos α＝－
C．sin α＝ D.tan α＝－
解析：选D 由三角函数的定义可知，|OP|＝＝.∴sin α＝±＝±，cos α＝±＝±，tan α＝－.
2．若cos＝－，则sin(－5π＋α)＝( )
A. B．－
C. D.－
解析：选D 因为cos＝－，所以sin α＝，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－，故选D.
3．已知＝－，则的值为( )
A. B．－
C．3 D.－3
解析：选A 令＝t，则·＝－·＝－，∴＝－，∴＝1，∴t＝.
4．已知P(－，y)为角β的终边上的一点，且sin β＝，则＝ ( )
A．± B．－
C. D.±2
解析：选B 因为r＝，故由正弦函数的定义可得＝，解得y＝或y＝－(舍去)．
所以tan β＝＝－，
所以＝＝＝－，
故选B.
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos α＝，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D.1
解析：选B 如图，依题意得：tan α＝＝a，且tan α＝，因此|a－b|＝|tan α|.
由cos α＝得sin2α＝1－＝，因此|tan α|＝，所以|a－b|＝，故选B.
6．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.－4
解析：选A 依题意得tan α＝＝3，
则＝
＝＝＝－，故选A.
二、填空题
7．计算：＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝2－.
答案：2－
8．若tan α＝－，＜α＜π，则sin α－cos α＝________.
解析：由tan α＝－得cos2α＝＝，又＜α＜π，所以cos α＝－，因此sin α＝tan α·cos α＝，
所以sin α－cos α＝＋.
答案：
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P(x，－2)，且cos α＝，求sin α和tan α.
解：因为r＝|OP|＝，所以由cos α＝得＝，解得x＝0或x＝±.
当x＝0时，sin α＝－1，tan α不存在；
当x＝时，sin α＝－，tan α＝－；
当x＝－时，sin α＝－，tan α＝.
10．(1)已知sin x＋cos x＝，且0＜x＜π，求的值；
(2)已知tan(π－x)＝－2，求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值．
解：(1)由sin x＋cos x＝，①
得2sin xcos x＝－，②
由②得sin xcos x＜0，又0＜x＜π，故＜x＜π，
因此sin x－cos x＞0.
又(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
∴sin x－cos x＝.③
由①③得
∴＝＝.
(2)∵tan(π－x)＝－tan x＝－2，∴tan x＝2.
∴2sin2x－sin xcos x＋cos2x
＝
＝＝.
11．已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
解：因为cos(π＋α)＝－，
所以－cos α＝－，cos α＝.
又角α在第四象限，
所以sin α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝.
(2)
＝＝
＝＝＝－4.
习题课（二） 三角函数的性质与图像
一、选择题
1．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选D 由题意，知sin x≠1，即f(x)的定义域为，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．
2．与函数y＝tan的图像不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
解析：选C 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．令k＝0，得x＝.
3．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2 B．3
C.＋2 D．2－
解析：选B 因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.
4．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，得≤x≤.即f(x)的一个单调递增区间可以是.
5．函数f(x)＝2sin x＋tan x＋m，x∈有零点，则m的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2 ]
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．[－2，2]
解析：选D 令g(x)＝2sin x＋tan x，则g(x)在上单调递增，其值域为[－2，2]．由题意，得－2≤－m≤2，则－2≤m≤2，故选D.
6．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：选D 由题意知，点M到x轴的距离是，
根据题意可设f(x)＝cos ωx，
又由题图知·＝1，所以ω＝π，
所以f(x)＝cos πx，
故f＝cos＝.
二、填空题
7．函数y＝tan的定义域为__________________________________________．
解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
答案：
8．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝____________________.
解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
9．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
答案：
三、解答题
10．已知f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的值域．
解：(1)由f(x)＝2sin的最小正周期为π，得＝π，∵ω＞0，∴ω＝1，
因此f(x)＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由0≤x≤，得－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
因此－1≤2sin≤2，
故f(x)在上的值域为[－1,2]．
11．已知函数f(x)＝2sin，求：
(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)的单调递增区间；
(3)f(x)取最大值时自变量x的集合．
解：由诱导公式得f(x)＝2sin
＝2sin＝2sin.
(1)由T＝＝π，得f(x)的最小正周期为π.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)．
因此f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)由2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ－(k∈Z)．
故f(x)取最大值时自变量x的集合为.
12．设函数f(x)＝asin和φ(x)＝btan，k＞0，若它们的最小正周期之和为，且f＝φ，f＝－φ＋1，求f(x)，φ(x)的解析式．
解：f(x)＝asin的最小正周期T＝，
φ(x)＝btan的最小正周期T＝.
∵＋＝，∴k＝2.
∴f(x)＝asin，φ(x)＝btan，
∴f＝asin＝－asin＝－a，
φ＝btan＝－btan＝－b，
f＝asin＝acos＝a，
φ＝btan＝b.
∴解得
∴f(x)＝sin，φ(x)＝tan.
课时跟踪检测（一） 角的推广
A级——学考水平达标练
1．(多选题)以下说法，其中正确的有( )
A．－75°是第四象限角 B．265°是第三象限角
C．475°是第二象限角 D．－315°是第一象限角
解析：选ABCD 由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．
2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为( )
A．150° B．210°
C．30° D．330°
解析：选B 与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.
4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上
解析：选B 因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.
5．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
解析：选D A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
6．12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．
解析：时钟上每个大刻度为30°，12点过小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.
答案：82.5°
7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.
解析：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，
所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.
又α为锐角，所以α＝40°或80°.
答案：40°或80°
8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝______________________.
解析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，请作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
解：作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
10．写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
解：在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°且小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
B级——高考水平高分练
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．
2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上
解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．
3．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：
(1)重合：________________；
(2)关于x轴对称：________________.
解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：
(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，
(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．
答案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z) (2)α＝k·360°－β(k∈Z)
4.如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
解：终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边落在y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A.求θ，并判断θ所在象限．
解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，
∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，
即θ＝，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°，k∈Z，
∴k＝3或k＝4，
∴所求θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）
A级——学考水平达标练
1．已知sin α＝，则cos等于( )
A. B.
C．－ D.－
解析：选A cos＝sin α＝.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B.
C. D.－
解析：选A 由已知，得sin α＝，则cos＝－sin α＝－.
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B.
C. D.－
解析：选A cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.
4．化简：＝( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D.－cos θ
解析：选A 原式＝＝＝－sin θ.
5．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C. D.45
解析：选C ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，……，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
6．若sin＝，则cos＝________.
解析：cos＝cos
＝－sin＝－.
答案：－
7．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．
解析：由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sin α－sin α＝－a，得sin α＝，所以cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.
答案：－a
8．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．已知cos α＝，且－＜α＜0，
求的值．
解：原式＝＝tan α，
因为cos α＝，－＜α＜0，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝－2.
10．已知cos＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又cos＝，所以－sin α＝.
所以原式＝－2sin α＝.
B级——高考水平高分练
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( )
A．2 B．－2
C．2－ D.－2
解析：选C 由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos α，2sin α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－.
2．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D.第四象限
解析：选B 因为A，B是锐角三角形的两个内角，所以A＋B>90°，所以B>90°－A，所以cos B
cos A，故cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，选B.
3．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)等于________．
解析：f(sin 15°)＝f[cos(90°－15°)]＝f(cos 75°)
＝cos 150°＝－.
答案：－
4．在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
∵sin＝sin，
∴sin＝sin，
∴sin＝sin，
即cos C＝cos B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
5．已知cos＝，求证：sin＋cos2＝.
证明：因为cos＝，
所以sin＋cos2
＝sin＋cos2
＝－cos＋2
＝－＋＝.
6．已知f(cos x)＝cos 17x.
(1)求证：f(sin x)＝sin 17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin x)＝sin nx推出f(cos x)＝cos nx?
解：(1)证明：f(sin x)＝f
＝cos＝cos
＝cos＝sin 17x.
(2)f(cos x)＝f
＝sin＝sin
＝k∈Z.
故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.
课时跟踪检测（三） 三角函数的定义
A级——学考水平达标练
1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则tan α的值是( )
A．－2 B．2
C．1 D．不存在
解析：选D ∵点A(0,2)在y轴正半轴上，∴tan α不存在，故选D.
2．若－<α<0，则点Q(cos α， sin α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为－<α<0，所以cos α>0，sin α<0，则点Q(cos α， sin α)位于第四象限．
3．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝cos ＝－，y＝sin＝，
∴P.
4．已知角θ的终边经过点M(－，－1)，则cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由角θ的终边经过点M(－，－1)，可得cos θ＝＝－.
5．“tan x<0，且sin x－cos x<0”是“角x的终边在第四象限”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若tan x<0，则角x的终边在第二、四象限，∵sin x－cos x<0，∴角x的终边在第四象限，反之也成立，故选C.
6．若点(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限的角.
解析：依题意得即因此θ是第二象限角．
答案：二
7．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·tan β＝________.
解析：由任意角的正弦、正切的定义知sin α＝，tan β＝＝－，所以sin α·tan β＝×＝－.
答案：－
8．若x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是________．
解析：若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1,3}．
答案：{－1,3}
9．判断下列各式的符号：
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)cos 6·tan.
解：(1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是sin 105°·cos 230°＜0.
∴式子符号为负．
(2)∵＜6＜2π，∴6是第四象限角，
∴cos 6>0，
又－是第三象限角，∴tan＞0，
∴cos 6·tan>0.
∴式子符号为正．
10．已知角θ终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m(m≠0)，试求cos θ与tan θ的值．
解：点P(－，m)到坐标原点O的距离r＝，
由三角函数的定义，得sin θ＝＝＝m，
解得m＝±.∴r＝2.
当m＝时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
B级——高考水平高分练
1．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选C 在α的终边上任取一点P(－1,2)，则r＝＝，所以sin α＝＝＝.或者取P′(1，－2)，则r＝＝，所以sin α＝＝－＝－.
2．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析：选C ∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin A>0. ∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.∴cos B和tan C中必有一个小于0，即B，C中必有一个钝角，故选C.
3．已知sin＝，cos＝－，试确定α是第几象限角．
解：因为sin＝>0，cos＝－<0，
所以是第二象限角，
所以2kπ＋<<2kπ＋π，k∈Z.
由sin ＝<知2kπ＋<<2kπ＋π，k∈Z，
所以4kπ＋<α<4kπ＋2π，k∈Z，
故α是第四象限角．
4．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：由题意可知P(a，－b)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝－；
由题意可知Q(b，a)，则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
∴＋＋＝－1－＋＝0.
5．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
课时跟踪检测（九） 正弦型函数的图像
A级——学考水平达标练
1．函数y＝3sin 3x的图像可看作是由y＝sin x的图像按下列哪种变换得到( )
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
B．横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的3倍
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍
D．横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍
解析：选B
2．要得到函数y＝sin 的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：选B 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图像向右平移个单位即可，故选B.
3．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D.当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.
4．用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，且x1＋x5＝，则x2＋x4等于( )
A. B．π
C. D.2π
解析：选C 由五点法作图原理知，x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝x5－x4＝，故x1与x5的中点是x3, x2与x4的中点是x3，所以x2＋x4＝2x3＝x1＋x5＝.
5．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图像的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D.y＝sin
解析：选D 将原函数图像向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图像，再把y＝sin的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图像．
6．将函数y＝sin x的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________________．
解析：y＝sin xy＝3siny＝3sin＝3sin.
答案：y＝3sin
7．某同学给出了以下结论：
①将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
解析：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；
将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；
将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．
答案：①③
8．把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图像对应的解析式为____________．
解析：将函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图像，再将所得函数y＝sin的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图像．
答案：y＝sin
9．将函数y＝sin 2x的图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图像的函数解析式．
解：y＝sin 2xy＝sin 2·＝sin xy＝sin x.
即所得图像的解析式为y＝sin x.
10．已知函数y＝3sin.
(1)用“五点法”画函数的图像；
(2)说出此图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．
解：(1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．
这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图像．
(2)①把y＝sin x的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图像；
②把y＝sin图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像；
③将y＝sin的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．
B级——高考水平高分练
1．将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D.y＝sin
解析：选C 将函数y＝sin x的图像上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin的图像；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin的图像，所以所求函数的解析式是y＝sin.
2．把函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数是( )
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D.偶函数
解析：选D 把y＝sin的图像向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图像，y＝－cos 2x是偶函数．
3．若ω>0，函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图像重合，则ω的最小值为________．
解析：将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图像．因为所得函数图像与函数y＝sin ωx的图像重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.
答案：
4．设ω＞0，若函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．
解：将y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后，所得图像的函数解析式为y＝sin＋2＝sin＋2.
因为平移后的图像与原图像重合，
所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，
又因为ω＞0，所以k≥1，
故ω＝≥.
故ω的最小值为.
5．设m为实常数，已知方程sin＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；
(2)求α＋β的值．
解：作出函数y＝sin在区间(0,2π)上的图像如图所示．
(1)若方程sin＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝sin的图像与y＝m有两个相异的交点．观察图像知，当－＜m＜且m≠1时有两个相异的交点，即方程sin＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－，1)∪(1，)．
(2)当m∈(－，1)时，由图像易知两交点关于直线x＝对称，∴＝，α＋β＝.
当m∈(1，)时，由图像易知两交点关于直线x＝对称，
∴＝，α＋β＝.故α＋β的值为或.
课时跟踪检测（二） 弧度制及其与角度制的换算
A级——学考水平达标练
1．1 920°转化为弧度数为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 1 920°＝1 920×＝.
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选A ∵240°＝240×＝π，
∴弧长l＝α·r＝π×10＝π，故选A.
3．2弧度的角所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 因为<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．
4．(多选题)下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选ABD 对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故A、B、D正确．
5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.
6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．
解析：因为A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，
所以A＝＝，B＝＝，C＝.
答案：，，
7．地球赤道的半径约是6 370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．
解析：因为1′＝°＝×，所以l＝α·R＝××6 370≈1.85(km)．
答案：1.85
8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：，，，
9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
10．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π(k∈Z)．
解得－∴θ的值是－π，－π，π，π.
B级——高考水平高分练
1.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A. B.
C. D．π
解析：选B 设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.
2．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选D ∵α＝2k1π＋x＋，β＝2k2π＋x－(k1，k2∈Z)，∴α－β＝2(k1－k2)π＋，也即α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
3.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB的长为________．
解析：由扇形面积公式S＝lr，
又α＝，可得S＝，所以α＝2，易得r＝1，
结合图像知AB＝2rsin＝2sin 1.
答案：2 2sin 1
4．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.
解析：如图所示，－角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为
－＋＝－，
所以β＝－＋2kπ，k∈Z.
答案：2kπ－，k∈Z
5．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．
解：(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
又<<π，
∴角α与的终边相同，
∴角α是第二象限的角．
(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
∴由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是
－，－，.
6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为40 m的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________．(其中π≈3，≈1.73)
解析：因为圆心角为，弦长为40 m，所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40 m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20＋20×20)＝(400＋200)m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为××402－×20×40＝m2，因此两者之差为－400－(400＋200)≈16 m2.
答案：16 m2
课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系式
A级——学考水平达标练
1．已知cos α＝，则sin2α等于( )
A. B．±
C. D．±
解析：选A sin2α＝1－cos2α＝.
2．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3解析：选C 由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.
3．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝，构造直角三角形如图，
则|sin α|＝sin α′＝，
∵α为第四象限角，∴sin α<0，
∴sin α＝－.
4．若α为第二象限角，化简tan α· ＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．
解析：选C tan α· ＝tan α· ＝·.
因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝·＝－1.
5．若sin α·cos α＝，0<α<，则sin α＋cos α的值是( )
A. B.
C．－ D．
解析：选D 因为0<α<，所以sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α＝ ＝
＝ ＝.
6．化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
7．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝________.
解析：∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝60°.
答案：60°
8．已知tan α＝m(π＜α＜)，则sin α＝________.
解析：因为tan α＝m，所以＝m2，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝. 又因为π＜α＜，所以tan α＞0，即m＞0.因而sin α＝－ .
答案：－
9．化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝.
答案：
10．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
证明：左边＝sin α＋cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
B级——高考水平高分练
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选A sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
2．若π<α<，则 ＋ 的化简结果为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 原式＝＋＝＋＝，∵π<α<，∴原式＝－.
3．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α· ＝________.
解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式＝0.
答案：0
4．求证：－＝.
证明：因为左边＝＝
＝
＝＝
＝右边，
所以原式成立．
5．化简下列各式：
(1)；
(2) ＋ .
解：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝ ＋
＝＋.
因为α∈，
所以∈.
所以cos－sin＞0，sin＋cos＞0，
所以上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
6．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－m＜0，②
sin αcos α＝＞0.③
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
∵m2＝－不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．
课时跟踪检测（八） 正弦函数的性质与图像
A级——学考水平达标练
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
解析：选D 可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A、C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B.
2．函数y＝9－sin x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同．
3．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°.因为正弦函数y＝sin x在区间上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是减函数
C．函数f(x)的图像关于原点对称
D．函数f(x)为偶函数
解析：选ABC ∵f(x)＝cos＝－sin x，结合函数y＝－sin x的图像及性质知A、B、C正确．
5．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：选C 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－的解集是.故选C.
6．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是______．
解析：因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
答案：[－1,0]
7．函数y＝sin2x＋sin x的值域是________．
解析：令sin x＝t，则－1≤t≤1，则y＝t2＋t＝2－.由于－1≤t≤1，则－≤y≤2.
答案：
8．若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________．
解析：由三角形内角和为π知，若x为三角形中的最小角，则0＜x≤，如图，由y＝sin x的图像知y∈.
答案：
9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解：∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.
10．用“五点法”作出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的图像．
解：列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2
描点，用光滑曲线连起来，图像如图所示．
B级——高考水平高分练
1．(多选题)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k的交点个数可能是( )
A．0 B．1
C．2 D.3
解析：选ABCD f(x)＝sin x＋2|sin x|＝在同一坐标系内分别作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，
当k>3或k<0时，两图像无交点；当k＝3时，两图像有1个交点；当12．已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A. B.
C．π D.2π
解析：选C 由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin x的半个周期．因为f(x)＝2sin x的周期为2π，所以|x1－x2|的最小值为π.
3．函数y＝sin x的值域为________．
解析：画出函数y＝sin x的图像，如图．由图像可知，当x＝时，ymax＝1，当x＝时，ymin＝－，所以函数y＝sin x的值域为.
答案：
4．求函数y＝(sin x－1)2＋2的最大值和最小值，并说出取得最大值和最小值时相应的x的值．
解：设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]．
当t＝－1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.
由t＝sin x＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，
即当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.
当t＝1时，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值(1－1)2＋2＝2.
由t＝sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，
即当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系是.
解：由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，
即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在上为增函数，
所以sin α＞sin＝cos β，
且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，所以f(sin α)＞f(cos β)．
课时跟踪检测（六） 诱导公式（一）
A级——学考水平达标练
1．cos等于( )
A. B.
C．－ D.－
解析：选C cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
2．sin 780°＋tan 240°的值是( )
A. B.
C.＋ D.－＋
解析：选A sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°)＝＋tan 60°＝＋＝.
3．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．4 B．±4
C．－4 D.
解析：选C 由题意，得tan 600°＝，则a＝－4·tan 600°＝－4tan(540°＋60°)＝－4tan 60°＝－4.
4．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )
A．－ B.
C．± D.
解析：选A 由cos(α－π)＝－，得cos α＝.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－＝－.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B.
C．－1 D.1
解析：选A ∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.
∴原式＝＝＝＝＝.
6．已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin(α＋π)＝________.
解析：∵α是第四象限角，∴sin α＝，
∴sin(α＋π)＝－sin α＝.
答案：
7．化简＝________.
解析：原式＝＝＝1.
答案：1
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
9．化简下列各式：
(1)sincosπ；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解：(1)原式＝－sincos＝sincos＝.
(2)原式＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，∴sin α＝－.
又α是第三象限角，∴cos α＝－，
∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
B级——高考水平高分练
1．现有下列三角函数式：
①sin(n∈Z)；
②sin(n∈Z)；
③sin(n∈Z)；
④sin(n∈Z)．
其中值与sin的值相同的是( )
A．①② B．②④
C．①③ D.①②④
解析：选B ①sin＝
②sin＝sin＝(n∈Z)；
③sin＝sin＝(n∈Z)；
④sin＝sin＝(n∈Z)．
又sin＝，故②④中式子的值与sin的值相同．
2．(多选题)对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果是( )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D.1和2
解析：选ABC ∵sin(π－x)＝sin x，∴f(x)＝asin x＋bx＋c，则f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，∴f(－1)＝－f(1)＋2c.①
把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z；
把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z；
把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z；
把f(1)＝1，f(－1)＝2代入①式，得c＝?Z.
3．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________.
解析：∵cos(π－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos(π－θ)＝0，即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1.
答案：－1
4．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________(用“＞”表示)．
解析：a＝－tan＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝sin＝－sin＝－，
所以b＞a＞c.
答案：b＞a＞c
5．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
6．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解：由已知得
由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cos A＝±.
当cos A＝时，cos B＝.
又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
当cos A＝－时，cos B＝－.
又A，B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，A＋B>π，不符合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝.
课时跟踪检测（十一） 余弦函数的性质与图像
A级——学考水平达标练
1．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图像( )
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 作出函数y＝cos x与函数y＝－cos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.
2．使函数y＝3－2cos x取得最小值时的x的集合为( )
A．{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
B．{x|x＝2kπ，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ＋，k∈Z}
D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
解析：选B 使函数y＝3－2cos x取得最小值时的x的集合，就是使函数y＝cos x取得最大值时的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}．
3．已知函数y＝cos x在(a，b)上是增函数，则y＝cos x在(－b，－a)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．增函数或减函数 D．以上都不对
解析：选B ∵函数y＝cos x为偶函数，∴在关于y轴对称的区间上单调性相反．故选B.
4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：选A ∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，∴y＝1－2cosx的最小值为－1，最大值为3.
5．(多选题)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上是增函数
解析：选ABD f(x)＝sin＝－cos 2x，最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，故B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图像可知，C错误，D正确．
6．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0,2π]的x的区间是____________________．
解析：画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像如图所示．
cos x>0的区间为∪.
答案：∪
7．若函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π故a∈(－π，0]．
答案：(－π，0]
8．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)
解析：由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3.
答案：cos 1>cos 2>cos 3
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间(k∈Z)；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值(k∈Z)．
解：(1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
可得－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝－π＋2kπ，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，最小值为－2.
10．求作函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值时x的值．
解：列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－2cos x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3在一个周期内的图像：
由图可得，当x＝2kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值，ymax＝5.
B级——高考水平高分练
1．y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D.
解析：选D 将y＝cos x的图像位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y＝|cos x|的图像(如图)．故选D.
2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0
解析：选B 由题意，知x＝为函数f(x)的一条对称轴，∴f＝±2.
3．已知函数y＝2cos的周期为T，且T∈(1,3)，则正整数k＝________.
解析：∵T＝＝(k∈N*)，∴1<<3(k∈N*)．
∴答案：1
4．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
解：作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
5．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.
6．已知函数f(x)＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)的周期T＝π，故＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝2cos 2x，∴f＝2cos ＝.
(2)将y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f的图像，∴g(x)＝f＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
课时跟踪检测（十三） 已知三角函数值求角
A级——学考水平达标练
1．点P(cos θ，sin θ)是角α终边上的一点，则α的值等于( )
A.－θ B．θ
C．2kπ＋θ(k∈Z) D．kπ＋θ(k∈Z)
解析：选D 因为tan α＝tan θ，所以α＝kπ＋θ(k∈Z)．
2．已知cos x＝，πA. B.
C. D.
解析：选D ∵x∈(π， 2π)且cos x＝，
∴x∈，∴x＝.
3．若tan x＝，且－πA. B.
C. D.
解析：选C ∵tan x＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，
∴x＝kπ＋，k∈Z，
又∵－π4．若sin x＝，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C.＋arcsin D．－arcsin
解析：选B 由sin x＝得锐角x＝arcsin.
∵x∈，∴x＝π－arcsin.
5．(多选题)下列叙述正确的是( )
A．arctan y表示一个内的角
B．若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y
C．若tan ＝y，则x＝2arctan y
D．arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1]
解析：选ABD ∵tan ＝y，∴＝kπ＋arctan y，∴x＝2kπ＋2arctan y，故C错．其余根据题意可知都正确．
6．函数y＝arccos(sin x)的值域为________．
解析：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1，
∴0≤arccos(sin x)≤.
答案：
7．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
解析：由条件可知2cos＝1，即cos＝，∴α＋＝2kπ±(k∈Z)．∵α∈(0,2π)，∴α＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是________．
解析：∵arccos＝，
∴底角为＝.∴tan＝.
答案：
9．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α.
解：∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限的角．
又∵sin ＝－＜0，∴是第三象限角．
又sin ＝－，∴＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝4kπ＋(k∈Z)．
10．已知sin α＝，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R.
解：(1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝arcsin .
(2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α 1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)，
α 2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)，
即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z)．
B级——高考水平高分练
1．若0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D 由方程得sin2x＝，∴sin x＝±，当sin x>0时，x的值有两个，分别在第一、二象限；当sin x<0时，x的值也有两个，分别在第三、四象限．
2．若A为△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则A为( )
A．arcsin B．arcsin
C．π－arcsin D.＋arccos
解析：选C 因为sin2A＋cos2A＝1，sin A＋cos A＝，所以sin A＝，cos A＝－，故A＝π－arcsin.
3．使得等式2cos＝1成立的x的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C ∵2cos＝1，∴cos＝，
∴＝±＋2kπ，k∈Z，∴x＝±＋4kπ，k∈Z.
4．已知函数y＝sin2x＋sin x＋1，当y取最大值时角x为α，当y取最小值时角x为β，其中α，β∈，求sin(β－α)的值．
解：∵y＝2＋，－1≤sin x≤1，∴当sin α＝1时，y max＝；当sin β＝－时，y min＝.
∵α，β∈，∴α＝，cos β＝.
∴sin(β－α)＝sin＝－cos β＝－.
5．已知cos x＝－.
(1)当x∈[0，π]时，求x的值；
(2)当x∈R时，求x的取值集合．
解：(1)∵cos x＝－且x∈[0，π]，∴x＝arccos.
(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角．
由(1)知x＝arccos是第二象限角，
又cos＝cos
＝－，且2π－arccos∈，
∴由余弦函数的周期性知，当x＝arccos＋2kπ或x＝2π－arccos＋2kπ，k∈Z时，
cos x＝－，即所求x的取值集合是
.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin(180°－A)＝cos(B－90°)，cos A＝－cos(180°＋B)，求角A，B，C的大小．
解：∵sin(180°－A)＝cos(B－90°)，
∴sin A＝sin B．①
又cos A＝－cos(180°＋B)，
∴cos A＝cos B．②
①2＋②2得cos2A＝，即cos A＝±.
∵A∈(0，π)，∴A＝或.
(1)当A＝时，有cos B＝，又B∈(0，π)，
∴B＝，C＝.
(2)当A＝时，由②得cos B＝＝－<0.
可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．
综上可知，角A，B，C的大小分别为，，.
课时跟踪检测（十二） 正切函数的性质与图像
A级——学考水平达标练
1．函数f(x)＝2x－tan x在上的图像大致为( )
解析：选D ∵f(x)为奇函数，故排除B、C；当x→时，f(x)→－∞，故选D.
2．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
解析：选C A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.
3．若tan x≥0，则( )
A．2kπ－B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．2kπ－D．kπ≤x解析：选D y＝tan x在内是增函数，且周期为π，在上函数值大于等于0，所以当kπ≤x4．函数y＝tan图像的对称中心为( )
A．(0,0) B.
C.，k∈Z D.，k∈Z
解析：选D 由函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z，令3x＋＝，k∈Z，则x＝－，k∈Z，∴y＝tan的对称中心为，k∈Z.故选D.
5．函数f(x)＝lg(tan x＋ )( )
A．是奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A ∵ ＞|tan x|≥－tan x，
∴f(x)的定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＋f(x)＝lg(－tan x＋)＋lg(tan x＋)＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
6．函数y＝tan(sin x)的定义域为____________，值域为______________．
解析：因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan(sin x)的定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1]．
答案：R [－tan 1，tan 1]
7．函数y＝的最小正周期为________．
解析：y＝＝
其图像如图所示：
由图像知y＝的最小正周期为π.
答案：π
8．若tan x＞tan且x是第三象限角，则x的取值范围是__________________________．
解析：∵tan x＞tan＝tan且x是第三象限角，
∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，即x的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域．
解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，y min＝－4；当t＝1，即x＝时，y max＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
10．画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间和奇偶性．
解：由函数y＝|tan x|得
y＝
根据正切函数图像的特点作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
函数y＝|tan x|的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．
B级——高考水平高分练
1．(多选题)关于函数f(x)＝tan(x＋φ)的下列说法，正确的有( )
A．对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B．不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
解析：选BCD 对于A，显然当φ＝kπ或kπ＋，k∈Z时，f(x)是奇函数，故A错，C正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故B正确；D显然正确．
2．已知函数y＝tan ωx在区间内是减函数，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
解析：选B 因为y＝tan x在内单调递增，所以易知ω＜0，又y＝tan ωx(ω＜0)在上是单调递减的，所以其最小正周期T＝≥π，综上，－1≤ω＜0.
3．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图像不相交，则k＝________.
解析：易知直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图像不相交，又由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝或k＝－.
答案：或－
4．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，得f(x)＝Atan，
因为它的图像过点，所以Atan＝0，即tan＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，
得φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan.
又它的图像过点(0，－3)，所以Atan＝－3，
得A＝3，所以f(x)＝3tan.
(2)由(1)得3tan≥，所以tan≥，得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋(k∈Z)，
所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是
(k∈Z)．
5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
解：∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0.
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．
令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，
∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．
课时跟踪检测（十） 正弦型函数的性质与图像
A级——学考水平达标练
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于( )
A．5 B．10
C．15 D.20
解析：选B 由已知得＝，又ω＞0，所以＝，ω＝10.
2．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，不正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
解析：选AD 当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数；当φ＝时，f(x)＝cos x，是偶函数．故选A、D.
3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故选D.
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D.－3或3
解析：选D ∵f＝f，∴f(x)关于直线x＝对称．∴f应取得最大值或最小值．
5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D.4，
解析：选A ∵T＝－＝，∴T＝＝π，
∴ω＝2.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.
6．若函数y＝5sin的周期不大于1，则自然数k的最小值为__________.
解析：∵T＝＝，且|T|≤1，即≤1，且k为自然数，∴k≥6π，∴kmin＝19.
答案：19
7．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.
解析：由题意知，T＝2×＝π，∴ω＝＝2.
答案：2
8．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析：由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.
∵φ∈，
∴φ＝－.
答案：－
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在同一个周期内的图像如图，求该函数的一个解析式．
解：法一：(最值点法)由图像知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.
由图像知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.
又＝，∴图像上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，令＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.可取φ＝－，
故函数的一个解析式为y＝sin.
法二：(五点对应法)由图像知A＝，又图像过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得
解得
故函数的一个解析式为y＝sin.
10．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解：(1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
B级——高考水平高分练
1．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B．1
C. D.
解析：选A cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
2．(多选题)函数f(x)＝3sin的图像为C，则以下结论中正确的是( )
A．图像C关于直线x＝对称
B．图像C关于点对称
C．函数f(x)在区间内是增函数
D．由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C
解析：选BC f＝3sin＝3sin＝－，f＝3sin＝0，故A错，B正确；令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故C正确；函数y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图像，故D错．
3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__________．
解析：由图像可得T＝－，∴T＝π，则ω＝2.又图像过点，∴2sin＝2，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
4.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图像．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．
解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.
将点(－1,0)代入，得0＝2sin.
∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)作出与f(x)的图像关于直线x＝2对称的图像(图略)，可以看出g(x)的图像相当于将f(x)的图像向右平移2个单位长度得到的，
∴g(x)＝2sin＝2sin，
∴g(x)的最小正周期为＝8.
5．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋B(A＞0，ω＞0)的图像．
(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又∵ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sin t＋10≥11.5，t∈，∴sin t≥，
∴t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]．
∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．
课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线
A级——学考水平达标练
1．(多选题)下列判断中正确的是( )
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和α＋π有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
解析：选ACD A正确；B错误，如与有相同正弦线；C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D正确．
2．已知角α的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则( )
A．sin α＋cos α＝0 B．sin α－cos α＝0
C．tan α＝0 D．sin α＝tan α
解析：选A ∵sin α>0，cos α<0，且|sin α|＝|cos α|，
∴sin α＋cos α＝0.
3．下列各式正确的是( )
A．sin 1>sin B．sin 1C．sin 1＝sin D．sin 1≥sin
解析：选B 1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin 14．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
解析：选A 作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.
5．sin 2，cos 2，tan 2的大小关系为( )
A．sin 2>cos 2>tan 2
B．sin 2>tan 2>cos 2
C．tan 2>sin 2>cos 2
D．tan 2>cos 2>sin 2
解析：选A 作出三角函数线易知．
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
解析：由余弦线长度为0知，角的终边在y轴上，所以正弦线长度为1.
答案：1
7．若a＝sin 4，b＝cos 4，则a，b的大小关系为________．
解析：因为＜4＜，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a＜b.
答案：a＜b
8．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sin α的值为________．
解析：由题意知|sin α|＝，且方向与y轴正方向相反，∴sin α＝－.
答案：－
9．在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并作出其正弦线、余弦线和正切线．
解：如图①作直线y＝交单位圆于P，Q，则OP，OQ为角α的终边．
如图②所示，当α的终边是OP时，角α的正弦线为，余弦线为，正切线为.
当α的终边是OQ时，角α的正弦线为，余弦线为，正切线为.
10．利用三角函数线分析点P(sin 3－cos 3, sin 3＋cos 3)所在的象限．
解：由＜3＜π，作出单位圆如图所示．则3弧度角的正弦线为，余弦线为，显然sin 3>0，cos 3<0，且|sin 3|<|cos 3|，所以sin 3－cos 3>0，sin 3＋cos 3<0，故点P(sin 3－cos 3, sin 3＋cos 3)在第四象限．
B级——高考水平高分练
1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：选D 当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，所以α必为钝角，所以这个三角形是钝角三角形．
2．若θ∈，则sin θ＋cos θ的一个可能值是( )
A. B. C. D．1
解析：选C 由θ∈及角θ的三角函数线，知sin θ＋cos θ>1，四个选项中仅有>1，故选C.
3．sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是_____________________________．
解析：由图可知：
cos <0，tan >0，sin >0.
∵||<||，且，与y轴正方向相同，
∴sin 故cos 答案：cos 4．如图，在单位圆中，已知角α的终边是OP，角β的终边是OQ，试用不等号填空：
(1)sin α________sin β；(2)cos α________cos β；
(3)tan α________tan β.
解析：如图所示，α的正弦线为，β的正弦线为，由于||>||，故sin α>sin β；α的余弦线为，β的余弦线为，由于||<||，故cos α||，故tan α>tan β.
答案：(1)> (2)< (3)>
5．设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sin α<α证明：如图所示，设角α的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，则sin α＝||，
tan α＝||，
∵S△OAP∴||·||<α||2<||·||.
又| |＝1，∴||<α<||，即MP<α∴sin α<α6．已知α是锐角，求证：1证明：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，过P作PQ⊥OA，PR⊥OB，Q，R为垂足，连接PA，PB，如图所示．
易知| |＝y＝sin α，| |＝x＝cos α，∵在△OPQ中，||＋||>|| |，∴sin α＋cos α>1.
∴S△OAP＝| |·||＝y＝sin α，S△OBP＝| |·| |＝x＝cos α，S扇形OAB＝×12＝.
又∵S△OAP＋S△OBP∴sin α＋cos α<，
即sin α＋cos α<.
综上可知，1