一、弧度制与任意角的三角函数
1.角的概念经过推广以后，包括正角、负角、零角．
2.按角的终边所在位置可分为象限角和坐标轴上的角(又叫象限界角)．
3.与角α终边相同的角可表示为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
4．角度制与弧度制的换算关系是180°＝π.
5．扇形弧长公式是l＝αr，扇形面积公式是S＝lr.
6．三角函数在各象限的符号可简记为一全正，二正弦，三正切，四余弦．
7．同角三角函数的基本关系式是sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.
8．三角函数的诱导公式都可表示为±α，k∈Z的形式，可简记为奇变偶不变，符号看象限．
二、三角函数的图像与性质
1.正弦函数
(1)定义域R，值域[－1,1]，最小正周期2π.
(2)单调增区间：k∈Z；
单调减区间：k∈Z.
2.余弦函数
单调增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z；
单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
3.正切函数
(1)定义域：.
(2)单调增区间：，k∈Z.
4．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，应明确A，ω决定“形变”，φ，k决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
5．由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ.但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解．否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
三、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉．
(1)当〈a，b〉∈时，a·b＞0; 当〈a，b〉＝时，a·b＝0；当〈a，b〉∈时，a·b<0.
(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝
向量垂直
的充要条件
a⊥b?a·b＝0
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量b所在的直线为l，向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量a在b上的投影的数量．
(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
四、向量的运算律与坐标运算
1.向量的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a，
a·b＝b·a .
(2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，
a－b－c＝a－(b＋c)．
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) .
(3)分配律
(λ＋u)a＝λa＋ua，
λ(a＋b)＝λa＋λb，
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2.向量的坐标运算
已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2，
|a|＝，a2＝x＋y，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 .
五、三角恒等变换
1.和角公式
(1)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β .
(2)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β_.
(3)tan(α±β)＝.
2.辅助角公式
f(x)＝asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)．
3.倍角公式
(1)sin 2α＝2sin_αcos_α，
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
(3)tan 2α＝.
4．半角公式
sin ＝± ，cos ＝± ，
tan ＝±＝＝ .
5．积化和差公式
cos αcos β＝ [cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－ [cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝ [sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝ [sin(α＋β)－sin(α－β)]．
6．和差化积公式
sin x＋sin y＝2sin cos ；
sin x－sin y＝2cos sin ；
cos x＋cos y＝2cos cos ；
cos x－cos y＝－2sin sin .
1.钝角是第二象限角． (√)
[提示] 钝角的范围是大于90°而小于180°，始边与x轴正半轴重合时，终边落在第二象限，因此钝角是第二象限角．
2.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关．
(×)
[提示] 根据角度、弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以错误．
3.已知α是三角形的内角，则必有sin α>0. (√)
[提示] 当α为三角形的内角时，0°<α<180°，由三角函数的定义知sin α>0.
4．三角函数线的长度等于三角函数值． (×)
[提示] 三角函数线表示轴上的向量，不仅有大小，也有方向，三角函数线的方向表示三角函数值的正负．
5．对任意角α，＝tan 都成立． (×)
[提示] 由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以错误．
6．若cos α＝0，则sin α＝1. (×)
[提示] 由同角三角函数关系式sin2α＋cos 2α＝1知，当cos α＝0时，sin α＝±1.
7．诱导公式中角α是任意角． (×)
[提示] 正余弦函数的诱导公式中，α为任意角但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
8．若sin <0，且cos >0，则θ是第一象限角． (×)
[提示] 由题意得 ，所以θ为第二象限角．
9．画正弦函数图像时，函数自变量通常用弧度制表示． (√)
[提示] 在平面直角坐标系中画y＝sin x(x∈R)的图像自变量x为实数，通常用弧度表示．
10．函数y＝3sin(2x－5)的初相为5. (×)
[提示] 在y＝3sin(2x－5)中x＝0时的相位φ＝－5称为初相，故初相为－5.
11.由函数y＝sin 的图像得到y＝sin x的图像，必须向左平移．
(×)
[提示] 由函数y＝sin 的图像得到y＝sin x的图像，可以把y＝sin 的图像向右平行移动 得到y＝sin x的图像．
12.函数y＝sin x，x∈ 的图像与函数y＝cos x，x∈ [0,2π]的图像的形状完全一致． (√)
[提示] 由正、余弦曲线可知它们的图像形状一致．
13.将函数y＝sin x的图像向左平移 个单位，得到函数y＝cos x的图像． (√)
[提示] 函数y＝sin x的图像向左平移 个单位，得到函数y＝sin 的图像，因为y＝sin x＋＝cos x，故正确．
14．正切函数在整个定义域上是增函数． (×)
[提示] 正切函数的定义域为 k∈Z，只能说正切函数在每一个开区间 ，k∈Z上为增函数，不能说它在整个定义域上为增函数．
15．若sin α＝ ，且α∈ ，则α可表示为α＝＋arcsin . (×)
[提示] ∵α∈ ，
∴π－α∈ .
∵sin α＝sin(π－α)＝ ，
∴π－α＝arcsin ，
∴α＝π－arcsin .
16．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1. (√)
[提示] 若a∥b，则a1b2－a2b1＝0即a1b2＝a2b1.
17．若a·b＝b·c，则一定有a＝c. (×)
[提示] 当b＝0时，满足a·b＝b·c，但不一定有a＝c.
18．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b?a1b1＋a2b2＝0. (×)
[提示] 当a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a，b为非零向量时，则a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.
19．对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立． (×)
[提示] 当α＝ ，β＝－ 时，cos(α＋β)＝1，cos α＋cos β＝1，此时cos(α＋β)＝cos α＋cos β.
20．对于任意α∈R，sin ＝ sin α都不成立． (×)
[提示] 当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
21.tan ＝ ，只需要满足α≠2kπ＋π，(k∈Z)． (√)
[提示] tan 中， ≠kπ＋ 即α≠2kπ＋π，(k∈Z)，
中，cos α≠－1即α≠2kπ＋π，(k∈Z)．
22.若x＋y＝1，则sin x＋sin y≥1. (×)
[提示] ∵sin x＋sin y＝2sin cos
＝2sin cos ，又0<<< ，∴sin ∴2sin <2sin ＝1，∴sin x＋sin y
＝2sin cos ∴sin x＋sin y<1.
1.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x| D．f(x)＝sin|x|
A [f(x)＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f(x)＝cos |x|的周期为2π，可排除C选项；
f(x)＝|sin 2x|在处取得最大值，不可能在区间单调递增，可排除B．故选A．]
2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )
A． B． C．－ D．－
B [cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.]
3.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B．]
4．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
A [f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A．]
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D [因为y＝sin＝cos＝
cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.
故选D．]
6．(2016·全国Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A． B． C．1 D．
A [因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A．]
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A． B．
C．π D．2π
C [函数f(x)＝＝＝sin 2x的最小正周期为＝π，故选C．]
8．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
C [∵＝(2,3)，＝(3，t)，
∴＝－＝(1，t－3)，
∵||＝1，∴t－3＝0，即＝(1,0)，则A·＝2，故选C．]
9．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A． B．2
C．5 D．50
A [∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.故选A．]
10．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
B [∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|·cos〈a，b〉－b2＝0，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.故选B．]
11.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
[2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.]
12.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
[a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，
∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，∴|c|＝3，
∴cos〈a，c〉＝＝.]
13.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－ [∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.]
课件54张PPT。模块复习课<＞＝≤投影的数量√ × √ × × × × × √ × × √ √ × × √ × × × × √ × Thank you for watching ! 模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中的真命题是( )
A．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点
C．终边在第一象限的角是锐角
D．终边在第二象限的角是钝角
B [三角形的内角可以等于90°，而90°的角既不属于第一象限也不属于第二象限，A错；由正弦线、正切线的定义可知B正确；终边在第一象限的角，例如角390°是第一象限角，但不是锐角，C错；终边在第二象限的角，例如角460°是第二象限角，但不是钝角，D错误，故选B．]
2.已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是( )
A．1或－1 B．或－
C．1或－ D．－1或
B [当m>0时，2sin α＋cos α＝2×＋＝；
当m<0时，2sin α＋cos α＝2×＋＝－.]
3.已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为( )
A． B．1
C．2 D．3
B [如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.]
4．函数y＝3sin＋cos 的最小正周期为( )
A． B．
C．8 D．4
[答案] A
5．如图所示为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，点M、N分别为图像的最高点和最低点，点P为该图像一个对称中心，点A(0,1)与点B关于点P对称，且向量在x轴上的投影恰为1，AP＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
B [由在x轴上的投影为1，可得在x轴上的投影也为1，即点M的横坐标为1，
由＝＝，可得|OP|＝，
故P，由五点法得，解得ω＝，φ＝＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|≤，
∴φ＝，即f(x)＝Asin，
又f(0)＝Asin＝＝1，∴A＝2，
故f(x)＝2sin.故选B．
6．设集合A＝，集合B＝{(x，y)|y＝x}，则( )
A．A∩B中有3个元素 B．A∩B中有1个元素
C．A∩B中有2个元素 D．A∪B＝R
A [观察函数y＝2sin 2x与函数y＝x的图像可得．]
7．已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为 的偶函数
D [f(x)＝(1＋cos 2x)＝(1－cos22x)＝－×＝－cos 4x，
∴T＝＝，f(－x)＝f(x)，故选D．]
8．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos 2θ的值等于( )
A．1 B．－
C． D．－
D [依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，因小正方形的面积是，即(cos θ－sin θ)2＝，得cos θ＝，sin θ＝.即sin2θ－cos2θ＝－.]
9．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为( )
A． B．
C．7 D．18
A [∵＝(＋)＝(6p－q)，∴||＝＝
＝
＝ ＝.]
10．已知非零实数a，b满足关系式＝tan，则的值是( )
A． B．－
C． D．－
C [＝tan＝＝，令a＝t，则b＝t，所以＝.]
11.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：ab＝(a1，a2)(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图像上运动，点Q在y＝f(x)的图像上运动．且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C． ,4π D． ，π
C [设Q(x，y)，P(x0，y0)，＝m＋n，(x，y)＝(x0，y0)＋＝，则x＝2x0＋，y＝y0，所以x0＝x－，y0＝2y，所以y＝f(x)＝sin.所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.]
12.已知函数f(x)＝2sinωxsin2－sin2ωx(ω＞0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [∵f(x)＝2sinωx·sin2－sin2ωx
＝2sinωx·－sin2ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，
即f(x)＝sinωx，∴是函数含原点的递增区间．
又∵函数在上递增，
∴?，
∴得不等式组：－≤－，≤.
又∵ω＞0，∴0＜ω≤.
又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx＝2kπ＋，k∈Z，
即函数在x＝＋处取得最大值，可得0≤≤π，
∴ω≥，综上，可得ω∈.故选D．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________.
1 [∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0.
∴cos 2θ＝，
∵θ为锐角，∴cos θ＝，∴θ＝，∴tan θ＝1.]
14．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．
[＝(2,2)，＝(－1,3)．
∴在上的投影||cos 〈，〉＝＝＝＝.]
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 ，且过点，则函数f(x)＝________.
sin [据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图像过点，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin.]
16．若θ∈，且sin θ＝ ，则tan ＝________.
[∵sin θ＝2sin cos ＝
＝＝.
∴2tan2－5tan ＋2＝0，∴tan ＝或tan ＝2.
∵θ∈，∴∈.∴tan ∈[0,1]，
∴tan ＝]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求2cos 2x－sin 2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在上的最大值．
[解](1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，
∴tan x＝－，
2cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin.
∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤，
∴－≤f(x)≤，
∴f(x)max＝.
18．(本小题满分12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
[解](1)因为a与b－2c垂直，
所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得
|b＋c|＝
＝≤4.
又当β＝－时，等号成立，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明：由tan αtan β＝16得＝，
所以a∥b.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3 cos φ，0<φ< ，求cos φ的值．
[解](1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，
∴cos φ＝sin φ.
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cos φ＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最小值．
[解](1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx.
所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ .
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝ f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．
[解](1)f(x)＝＝＝
＝＝2cos 2x，
∴f＝2cos＝2cos ＝.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin.
∵x∈，∴2x＋∈.
∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.
22.(本小题满分12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝ .
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α< ，－<β<0，且sin β＝－ ，求sin α.
[解](1)∵|a|＝1，|b|＝1，
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，
|a－b|2＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
由sin β＝－得cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.
模块综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [∵α为第二象限角，∴cos α＝－＝－.]
2.已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )
A．4 cm2 B．6 cm2
C．8 cm2 D．16 cm2
A [由题意得 解得 所以S＝lr＝4(cm2)．]
3.已知cos＝2cos(π－α)，则tan(－α)＝( )
A．－2 B．2
C．－ D．
A [∵cos＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，
∴tan α＝2，∴tan(－α)＝－tan α＝－2.故选A．]
4．已知α是锐角，a＝，b＝，且a∥b，则α为( )
A．15° B．45°
C．75° D．15°或75°
D [∵a∥b，∴sin α·cos α＝× ，即sin 2α＝.
又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°.∴2α＝30°或2α＝150°.即α＝15°或α＝75°.]
5．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2, 则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C [依据题意a·b＝－3，|a|·|b|＝× 2＝6，cos 〈a，b〉＝－，故a与b的夹角为120°.]
6．已知cos＝－，且x是第三象限角，则的值为( )
A．－ B．－
C． D．
D [因为x是第三象限角，所以π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z，所以＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z，所以sin ＜0，而cos＝－，所以sin＋x＝－＝－，故＝＝tan ＝＝，选D．]
7．将函数y＝sin (2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A． B．
C．0 D．－
B [y＝sin (2x＋φ)y＝sin＝sin .
当φ＝时，y＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos 2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin 2x，为奇函数．故选B．]
8．函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为( )
D [当x＝时，y＝1＞0，排除C．
当x＝－时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除B．
当x＝π时，y＝－π＜0，排除A．故选D．]
9．已知单位向量a，b满足|a－b|＝，若a－c，b－c共线，则|c|的最小值为( )
A． B．1
C． D．
D [设＝a，＝b，＝c.
∵|a－b|＝＝，且|a|＝|b|＝1.
∴解得∠AOB＝120°.
∵a－c与b－c共线，∴与共线，即点C在直线AB上．
∴当OC⊥AB时，|c|取得最小值，即|c|min＝1×cos 60°＝.故选D．]
10．给出以下命题：
①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β；
②若函数y＝2cos的最小正周期是4π，则a＝；
③函数y＝是奇函数；
④函数y＝的周期是π；
⑤函数y＝sin x＋sin |x|的值域是[0,2]．
其中正确命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
D [对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝，sin 390°＝sin 30°＝，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T＝＝4π，得a＝± ，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x|sin x－1≠0}＝，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f(x)＝.若T＝π，则有f＝f，而f＝＝1.5，f＝＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y＝sin x＋sin |x|＝ ，而当f(x)＝2sin x(x≥0)时，－2≤ 2sin x≤2，故函数y＝sin x＋sin |x|的值域为[－2,2]，故⑤错误；综上可知选D．]
11.函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图像如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)的值等于( )
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．－2－2
C [由图像可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0，＝8，从而f(x)＝2sin x.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＝2＋2.]
12.已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝( )
A．0 B．－
C． D．－
B [由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a,4b,5c能组成三角形，又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
5 [∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0，∴t＝5.]
14．函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为__________．
3 [∵f(x)＝cos＝0，∴3x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝π；
当k＝2时，x＝π；当k＝3时，x＝π.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝π或x＝π，故零点的个数为3，]
15．函数y＝sinsin的最大值是________．
[∵y＝sinsin
＝－cos－cos 2x＋－
＝－cos＋cos
＝－cos＋×，
∴ymax＝＋＝.]
16．如图，在同一平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.
3 [由tan α＝7，得tan＝＝－.
以O为原点，OA方向为x轴正半轴建立坐标系(图略)，则A点坐标为(1,0)．
由tan＝－，的模为1，
可得B.
由tan α＝7，的模为，可得C.
由＝m＋n，代入A，B，C点坐标可得，
解得 所以m＋n＝3.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
[解](1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝±.
(2)因为a－b与a垂直，
所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－cos θ＝0，
所以cos θ＝.
又0°≤ θ ≤ 180°，所以θ＝45°.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为 ，求x的值．
[解](1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得 sin x－ cos x＝0，
∴tan x＝1.
(2)∵m与n的夹角为 ，
∴m·n＝|m|·|n|cos ，
即 sin x－ cos x＝ ，∴sin＝ .
又∵x∈，∴x－ ∈，
∴x－ ＝ ，即x＝ .
19．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan (α－β)的值．
[解](1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2 α＋cos2 α＝1，
所以cos2α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝，
因此tan (α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此，tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]
＝＝－.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－sinsinx＋－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)若函数g(x)＝f，求函数在区间上的最值．
[解](1)由已知，有f(x)＝cos xsin x＋cos x－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
∴最小正周期为T＝π，
由2x－＝kπ，得x＝＋，k∈Z.
∴对称中心为k∈Z.
(2)由g(x)＝f，得g(x)＝sin，
当x∈时，2x＋∈，可得g(x)在区间上单调递增，
当x∈时，2x＋∈，可得g(x)在区间上单调递减．
∴g(x)max＝g＝.
又g＝－＜g＝，∴g(x)min＝－.
21.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角 β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)若A，B两点的纵坐标分别为，，求cos ( β－α)的值；
(2)已知点C是单位圆上的一点，且＝＋，求和的夹角θ.
[解](1)设A， B， 则x＋＝1, 又x1>0, 所以x1＝， 所以A.
x＋＝1, 又x2<0, 所以x2＝－， 所以B.
所以sin α＝， cos α＝， sin β＝， cos β＝－，
所以cos ( β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝× ＋× ＝.
(2)根据题意知||＝1, ||＝1, ||＝1, 又＝＋，
所以四边形 CAOB是平行四边形．
又||＝||, 所以?CAOB是菱形，
又||＝||＝||, 所以△AOC是等边三角形，
所以∠AOC＝60°， 所以∠AOB＝120°，
即与的夹角θ为120°.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰好有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解](1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－＝2π，
由T＝，得ω＝1.
又 解得
令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
又|φ|＜，
解得φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，
又k＞0，所以k＝3，令t＝3x－，
因为x∈，t∈，
若sin t＝s在t∈上有两个不同的解，
则s∈，
所以方程f(kx)＝m在x∈上恰好有两个不同的解，
则m∈[＋1,3)，
即实数m的取值范围是[＋1,3)．
