课件45张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积
8.1.1向量数量积的概念∠AOB > ＝ < 投影的数量 平面向量的夹角 与向量数量积有关的概念 点击右图进入…Thank you for watching !
8.1 向量的数量积
8.1.1向量数量积的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)
3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点)
1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养．
2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.
1.两个向量的夹角
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
(1)当〈a，b〉∈时，a·b>0;
当〈a，b〉＝时，a·b＝0；
当〈a，b〉∈时，a· b<0.
(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝
向量垂直
的充要条件
a⊥b ?a·b＝0
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为( )
A． B． C． D．
D [向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cos ＝.故选D．]
2.在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
C [在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．]
3.如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．
互补 [根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补．]
4．如图所示，一个大小为5 N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．
8 J 6 J [拉力F对小车做的功WF＝FScos θ＝5×2×0.8 J＝8 J，
小车克服阻力做的功为W克f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]
平面向量的夹角
【例1】(1)(2019·东营高一检测)已知向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝( )
A． B． C． D．
(2)已知△ABC中， AB＝4，BC＝2，·＝－4，则向量与的夹角为________， 向量与的夹角为________．
[思路探究](1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角．
(2)先由向量的数量积公式计算B，再由平面几何性质计算∠ACB，∠BAC，最后求向量的夹角．
(1)D(2)90° 150° [ (1)因为向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，所以cos 〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝.
(2)在△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，·＝－4，
所以||||cos 〈，〉＝－4，
得4×2cos(π－B)＝－4，所以cos B＝，得B＝60°.
如图，延长BC到D，使CD＝BC，则△ABD为等边三角形，所以AC⊥BC，∠BAC＝30°，所以向量与的夹角为90°，与的夹角为150°.]
求平面向量的夹角的方法技巧
(1(已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cos 〈a，b〉＝，若是特殊角，再求向量的夹角.
(2(在△ABC中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.
1.若两个单位向量的数量积等于－1，则这两个单位向量的夹角为( )
A．0 B． C． D．π
D [设两个单位向量分别为e1，e2，则e1·e2＝cos 〈e1，e2〉＝－1，由于〈e1，e2〉∈[0, π]，
所以〈e1，e2〉＝π.]
2.已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，则sin〈a，b〉＝________.
[因为a是单位向量，且3a·b＝|b|，则3|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|，得cos 〈a，b〉＝，
又sin2〈a，b〉＋cos 2〈a，b〉＝1，得sin2〈a，b〉＝.又0≤〈a，b〉≤π，得sin〈a，b〉＝.]
与向量数量积有关的概念
【例2】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
(2)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________.
[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
(1)③④(2)8 [(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)．
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos∠ABC＝4×2＝8.]
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2.求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
3.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|
0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________．(填序号)
①②⑥ [由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；
a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；
当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．]
平面向量数量积的几何意义
【例3】(1)(2019·永州高一检测)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，则a在b上投影的数量为________，b在a上投影的数量为________．
[思路探究](1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉，再求向量的夹角．
(2)先由平面向量数量积的公式计算cos 〈a，b〉，再计算投影的数量．
(1)A(2)－ －2 [(1)因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为，则|b|cos 〈a，b〉＝，
得cos 〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝＝30°.
(2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，
所以|a||b|cos 〈a，b〉＝－4，得cos 〈a，b〉＝－.
所以a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝－，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝－2.]
关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项
(1(向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数.
(2(向量a在向量b上的投影的数量是|a|cos 〈a，b〉，向量b在向量a上的投影的数量是|b|cos〈a，b〉，二者不能混为一谈.
4．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为( )
A．r B．2r
C．1 D．2
D [如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH＝||cos ∠CAB，
所以·＝||||cos ∠CAB＝||||＝2.]
5．已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝________.
6 [因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.]
1.对正投影的三点诠释
(1)a·b等于|a|与b在a方向上的正投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正投影的乘积．其中a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影是不同的．
(2)b在a方向上的正投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成 .
(3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
2.知识导图
——向量数量积——
∣
1.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝( )
A．2 B．3
C．6 D．0
B [因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝|a||b|cos ＝2×3×＝3.]
2.已知平面向量|a|＝1，|b|＝2，则a2＋b2＝( )
A．2 B．3
C．5 D．－5
C [因为|a|＝1，|b|＝2，
所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5.]
3.已知向量|a|＝6，|b|＝2，向量a，b的夹角为120°，则向量a在b上的投影的数量为( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
D [根据向量数量积的几何意义，向量a在b上的投影的数量为|a|cos 120°＝6×＝－3.]
4．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，和的夹角为________．
45° 135° [等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB, CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°.]
8.1.2 向量数量积的运算律
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)
2.能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点，难点)
1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．
2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.
1.两个向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
思考1：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：
(1)实数a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.
(2)向量a，b的数量积的分配律：(a＋b)·c＝____.
[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c
2.重要公式：
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2
思考2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；
向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；
向量数量积公式：(a±b)2＝__________.
[提示](1)a2－b2 ；a2－b2
(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2
1.下面给出的关系式中正确的个数是( )
① 0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；
④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos 2 θ≠a2·b2，选C．]
2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )
A．0 B．a
C．b D．c
B [b·c＝|b||c|cos 45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]
3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝( )
A．2 B．2
C．6 D．12
D [∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12.]
4．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是________．
①③④ [根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，② 错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]
利用向量数量积的运算律计算
【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
(2)(2019·东营高一检测)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－e2，b＝e1＋λe2.
①若a⊥b，求实数λ的值；
②若a与b的夹角为60°，求实数λ的值．
[思路探究](1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算．
(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值．
(1)18 [在平行四边形ABCD中，得＝＋，＝－.
由AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，得·＝·(＋)＝0?·＝－·.
所以·＝·(－)＝·－·＝－2·＝2·
＝2||||cos〈，〉＝2||2＝18.]
(2)[解] ①由a⊥b, 得a·b＝0，则(e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝0，－λ＝0，所以λ＝.
②因为e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos 〈e1－e2，e1＋λe2〉＝，且·＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，
|e1－e2|＝＝＝2，
|e1＋λe2|＝＝＝，∴－λ＝2××cos 60°＝，
解得λ＝.
利用向量数量积的运算律计算的注意事项
(1(计算(λa＋μb(·(λa＋μb(，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.
(2(三个实数的积满足结合律(ab(c＝a(bc(＝(ac(b，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：(a·b(·c＝a·(b·c(＝(a·c(·b，这是因为上式的本质为λc＝μa＝kb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.
1.已知△ABC外接圆半径是1，圆心为O，且3＋4＋5＝0，则·＝( )
A． B． C．－ D．
C [由3＋4＋5＝0，得5＝－3－4，两边平方，得252＝92＋162＋24·，
因为△ABC外接圆半径是1，圆心为O，所以25＝9＋16＋24·，即·＝0.
所以·＝(5)·(－)＝(－3－4)·(－)＝(－3·＋32－42＋4·)＝－.]
利用平面向量的数量积证明几何问题
【例2】 如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE.
[思路探究] 借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算·＝0完成证明．
[证明] 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则
·＝·
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0.
所以AD⊥CE.
利用向量法证明几何问题的方法技巧
(1(利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.
(2(进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.
(3(将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.
2.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求||；若不存在，请说明理由．
[解](1)根据题意得：＝＝b，
＝＝＝－＝－a，
∴＝＋＝b－a；
(2)结论：在线段BC上存在使得4||＝||的一点F满足AF⊥BE，此时||＝.
理由如下：
设＝t＝tb，则＝(1－t)b，(0≤t≤1)，
∴＝＋＝a＋tb，
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝，
∵AF⊥BE，
∴·＝(a＋tb)·＝a·b－a2＋tb2
＝×－＋t＝0，
解得t＝，从而＝a＋b，
∴||＝＝
＝＝.
1.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0?b＝0
a≠0，a·b＝0?/ b＝0
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)?/ a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律
2.知识导图
——数量积运算律——
∣
1.已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝( )
A．2 B．3
C．5 D．－5
C [因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5.]
2.已知?ABCD中，||＝4，||＝3，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．2 B．5
C．6 D．8
C [·＝(＋)·(＋)
＝·＝2－2
＝×42－×32＝6.故选C．]
3.已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
A [因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cos 120°＋4＝4.所以|a＋2b|＝2.]
4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.
[因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos 30°＝1，
即|b|2－2|b|＋3＝0，所以(|b|－)2＝0，所以|b|＝.]
课件37张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积
8.1.2 向量数量积的运算律b·a 利用向量数量积的运算律计算 利用平面向量的数量积证明几何问题 点击右图进入…Thank you for watching !8.1.3 向量数量积的坐标运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示．(难点)
2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算．(重点)
1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养．
2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.
1.向量的数量积的坐标公式
设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)数量积公式：a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量垂直公式：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
思考1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2，如果对于平面向量a，有a＝xe1＋ye2，则向量a的坐标为______，记作______，
[提示](x，y) a＝(x，y)．
2.三个重要公式
(1)向量的模：a2＝x＋y?|a|＝.
(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
思考2：(1)若点A(－3,0), B(3,0)，则||＝______.
(2)若点A(－3,3), B(3，－5)，则||＝______.
[提示](1)6(2)10
(3)向量的夹角公式：
cos 〈a，b〉＝＝.
1.已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )
A．5 B．4
C．－2 D．－1
D [a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A． B．2
C．5 D．50
A [∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝ .故选A．]
3.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos 〈a，b〉＝________.
－ [∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2 ，|b|＝＝10.
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－ .]
4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________.
±4 [|a|＝＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]
利用向量数量积的坐标公式计算
【例1】(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．
[思路探究](1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算．
(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算．
(1)12 [∵b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，
∴b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a＝(2,3)，
∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.]
(2)[解] a·b＝1×2＋3×5＝17.
因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，
所以3a－b＝(1,4)，
所以|3a－b|＝＝.
因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，
所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
1.数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解．
2.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算．
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，
于是有|a|＝.
1.已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(0,2)，若OC⊥AB于点C，则·(＋)＝________.
[设点C的坐标为(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得＝(－1,2)，＝(x－1，y)，
因为OC⊥AB于点C，∴，
即，解得，
∴＝，＋＝(1,2)，所以·(＋)＝.]
2.已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
[解] 法一：设c＝(x，y)，
则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，
得
解得或
所以c＝或c＝.
法二：由于a·b＝×1＋(－1)×＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝，即其长度为正方形对角线长度(|b|＝2)的一半，故c＝(a＋b)
＝或c＝－(a＋b)
＝.
向量数量积的坐标公式与夹角问题
【例2】(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，若a与b垂直，则实数x的值是( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
(2)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ.
①若θ＝120 °，求λ的值．
②要使θ为锐角，求λ的取值范围．
[思路探究](1)根据向量垂直的坐标关系求解．
(2)①由θ＝120 °求cos θ＝，建立方程求λ的值．
②要使θ为锐角，则cos θ>0，且a与b不能共线，建立不等式求λ的取值范围．
(1)D [因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，a与b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1.故选D．]
(2)[解] ①由于a＝(1,3)，b＝(2，λ)，则
a·b＝2＋3λ，当θ＝120 °时，cos 120 °＝＝－，
得＝－，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0，
解得λ＝，由于a·b＝2＋3λ<0，所以λ<－，得λ＝.
②由θ为锐角，得cos θ>0，且cos θ≠1，∵a·b＝|a||b|·cos θ＞0，
∴a·b>0，即1×2＋3λ>0，解得λ>－.若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6.
但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上所述，λ>－且λ≠6.
利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cos 〈a，b〉＝＝，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．
(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：
(1)若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．
(3)若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．
3.已知a＝(sin α，cos α)，|b|＝2.
(1)若向量b在a方向上的投影为－1，求a·b及a与b的夹角θ.
(2)若a＋b与b垂直，求|2a－b|.
[解](1)由向量数量积的几何意义知，a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，
∴a·b＝1·(－1)＝－1.
设a与b的夹角θ，θ∈[0，π]，
则cos θ＝＝＝－，∴θ＝.
(2)若a＋b与b垂直，∴(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，∴a·b＝－4，
∴|2a－b|＝＝
＝＝2.
向量数量积的坐标公式的综合问题
【例3】 在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动．
(1)求证：·为定值；
(2)求·的最大值．
[思路探究](1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．
(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值．
[解] 法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，
·＝·＝||||cos ∠ BCE＝||2＝1(定值)．
(2)如图，作CN⊥EM，垂足为N，则
△EBM∽△CNM，得＝，
所以EM·MN＝CM·MB＝，
所以·＝||||cos ∠ CEN＝||(||cos ∠ CEN)＝||||＝||(||＋||)＝||2＋||||＝||2＋≤ ||2＋＝1＋＋＝，
所以当点E在点A时，·取得最大值.
法二：(坐标法)以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x∈[0,1],
(1)·＝(1－x,1)·(0,1)＝1(定值)．
(2)由上述可知，C(1,1)，M，
设E(x,0)，x∈[0,1]，
则·＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋，
当x∈[0,1]时，(1－x)2＋单调递减，
当x＝0时，·取得最大值.
解决向量数量积的最值的方法技巧
(1(“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.
(2(“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
B [如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2－，
当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－，选B．]
5．在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且满足＝，则·的取值范围是________．
[1,9] [分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，
设M(3，b)，N(x,1)，因为＝，
所以b＝，则＝(x,1)，＝，
故·＝x＋1(0≤x≤3)，
所以1≤x＋1≤9，所以·的取值范围是[1,9]．
]
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝ 计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2.知识导图
1.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [因为a＝(1,2)，b＝(－3,2)，
所以a·b＝1×(－3)＋2×2＝1.]
2.已知a＝(1,2)，b＝(6，－3)，则必有( )
A．a∥b B．b＝3a
C．a⊥b D．b＝－3a
C [由a＝(1,2)，b＝(6，－3)，得1×6＋2×(－3)＝0?a⊥b.]
3.已知向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
D [因为向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a·b＝－6，|a|＝2，|b|＝3，则cos 〈a，b〉＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以a与b的夹角为135°.]
4．(2019·扬州高一检测)已知向量 a＝(1，－1)，向量b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝________.
1 [由向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
得2a＋b＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.]
课件55张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积
8.1.3 向量数量积的坐标运算0 利用向量数量积的坐标公式计算 向量数量积的坐标公式与夹角问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 向量数量积的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝，则a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．－1
A [因为向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝θ，tan θ＝，θ∈[0, π]，则θ＝60°，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1.]
2.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝3
B [已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3 cos 〈a，b〉＝3，
所以cos 〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝0，所以a＝3b，a∥b，|a＋b|＝4，|a－b|＝2，故选B．]
3.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是( )
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1
C [因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1；
当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1.综上所述，得e1·e2＝±1.]
4．如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是( )
A．·
B．·
C．·
D．·
A [法一：设正六边形的边长为2，则AC＝2，·＝||||cos 30°＝6，
·＝||||cos 60°＝4，
·＝||||cos 90°＝0，
·＝||||cos 120°＝－2.
法二：显然，向量在上投影的数量最大，
所以·最大．]
5．已知单位向量a，b满足|a－b|＝|a＋2b|，则a，b夹角为( )
A． B． C． D．
C [∵a，b是单位向量，且|a－b|＝|a＋2b|，
∴(a－b)2＝(a＋2b)2，
∴a2－2a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴1－2a·b＋1＝1＋4a·b＋4，∴a·b＝－，
∴cos〈a，b〉＝＝－，
又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.故选C．]
6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论错误的是( )
A．·＝0 B．·＝2
C．·＝2 D．||cos B＝||
C [在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，
则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，
所以·＝0 ，选项A正确；
·＝||||cos 45°＝2，选项B正确；
·＝||||cos 135°＝－2，选项C不正确；
向量在上投影的数量为||，即||cos B＝||，选项D正确，故选C．]
二、填空题
7．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为______．
3 [因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝3.]
8．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
－25 [ ∵||2＝||2＋||2，
∴B＝90°，∴·＝0.
∵cos C＝，cos A＝，
∴·＝||·||cos(180°－C)
＝4×5×＝－16.
·＝||·||cos(180°－A)
＝5× 3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.]
9．已知正方形ABCD的边长为2，则向量在上的投影的数量为________，在上的投影的数量为________．
0 － [法一：因为正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量A在A上的投影的数量为|A|cos 90°＝0，A在上的投影的数量为|A|cos 135°＝2×＝－.
法二：如图，正方形ABCD的边长为2，⊥A，则向量在上的投影的数量为0，在A上的投影的数量为，所以在上的投影的数量为－.
]
三、解答题
10．已知|a|＝2，b2＝3，
若(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.
[解] 因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝.
(1)当a∥b时， a·b＝|a||b|cos 0°＝2××1＝2或a·b＝|a||b|cos 180°＝2××(－1)＝－2.
(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos 90°＝2××0＝0.
(3)当a与b的夹角为150°时， a·b＝|a||b|cos 150°＝2××＝－3.
[等级过关练]
1.已知a是非零向量，e是单位向量，则下列表示正确的是( )
A．a·e＝|a| B．a·e<|a|
C．a·e≤|a| D．|a·e|<|a|
C [因为a是非零向量，e是单位向量，则a·e＝|a||e|cos 〈a，b〉＝|a|cos 〈a，b〉≤|a|，
|a·e|≤|a|，故选C．]
2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝－8，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
B [依题意，得·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]
3.己知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点．则·的值为________．
－a2 [如图，因为向量在上投影的数量为a，即||cos ∠ ADE＝a，所以在上投影的数量为－a，所以·＝||||cos 〈，〉＝－a||＝－a2.
]
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E则·＝________________________.
[建立平面直角坐标系，如图所示．
矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)．
直线BD的方程为y＝x.
由AE⊥BD，则直线AE的方程为y－3＝－x，即y＝－x＋3.
由，解得，E
所以＝，＝，
所以·＝×＋×＝.]
5．已知△ABC的面积为S满足≤2S≤3，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
[解] 因为△ABC中，·＝3，与夹角θ＝π－B，所以·＝||||cos 〈，〉＝3，即||||cos θ＝3，得||||＝.
又S＝||||sinB＝||||sin(π－θ)
＝||||sin θ＝tan θ，
由≤2S≤3得≤3tan θ≤3，所以≤tan θ≤1，由于θ∈[0, π]，所以≤θ≤.
课时分层作业(十四) 向量数量积的运算律
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )
A．－ B． C．－3 D．3
C [向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b＝|a||b|cos 150°＝2××＝－3.故选C．]
2.在△ABC中，∠ BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝( )
A．－ B．－
C． D．
C [因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝.]
3.已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
C [因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cos θ＝＝，因为θ∈[0, π]，所以θ＝.]
4．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )
A．－ B．－
C． D．
A [因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得
e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a上投影的数量为＝＝－，故选A．]
5．已知平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
C [如图所示，由题设知，＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·＝||2－|AD|2＋·－·＝×36－×16＝9.]
6．已知非零向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为( )
A． B． C． D．
C [由|a＋2b|＝|a|，得a2＋4a·b＋4b2＝7a2，
即a·b＝a2－b2.
由a⊥(a－2b)，得a·(a－2b)＝0，即a·b＝a2.
所以a2－b2＝a2，所以|a|＝|b|≠0，
所以向量a，b的夹角θ满足cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C．]
二、填空题
7．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
2 [因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，则||＝2.]
8．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.
－ [由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)·
＝·＋·＝1×cos ＋×＝－.]
9．(2019·南阳高一检测)已知向量||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30 °，设＝m＋n，(m, n∈R)，则＝________.
3 [||＝1，||＝，·＝0，
所以OA⊥OB，
∴||＝2＝2||，
∴∠OBC＝30°，
又因为∠AOC＝30°，所以⊥，
故(m＋n)·(－)＝0，
从而－m2＋n2＝0，
所以3n－m＝0，即m＝3n，
所以＝3.]
三、解答题
10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.
[解] 设圆心为O，连接OC，则||＝||，＝(＋)，
所以||2＝||2，2＝(＋)2，得||2＝(＋)2，
即(－)2＝(＋)2，得2＋2－2·＝2＋2＋2·
所以4·＝0，·＝0，所以⊥，
即∠ ACB＝90°.
[等级过关练]
1.已知和是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2－与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
C [设2－与的夹角为θ，则cos θ＝，又和是平面内的两个单位向量，则||＝1，||＝1，则(2－)·＝－(2－)·＝－2·＋2＝－2||·||cos 60°＋||2＝0，所以cos θ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C．]
2.(2019·沈阳高一检测)已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R, ||在t＝t0时取得最小值，当0A． B．
C． D．
C [因为向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，所以·＝2cos θ，
＝－＝(1－t)－t，得||2＝2＝(1－t)22－2t(1－t)·＋t22＝(5＋4cos θ)t2－(2＋4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，所以t0＝，由0<<，
解得－3.已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋2＝0，且||＝||，则·＝________.
－3 [如图，由＋＋2＝0，得＋＝2，所以O是AB的中点，因为△ABC外接圆的圆心为O，所以AB是△ABC外接圆的直径，∠ACB＝90°，且||＝||＝||＝1，所以∠ABC＝30°， ||＝.
所以·＝||||cos 150°＝2××＝－3.
]
4．对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a*b＝b*a；
②λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)；
③(a＋b)*c＝a*c＋b*c；
④若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
①④ [当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④ .]
5．已知△ABC是边长为2的正三角形．
(1)计算|＋|＋|－|；
(2)若－λ与向量的夹角大于90°，求实数λ的取值范围．
[解](1)因为 |＋|2＝(＋)2
＝2＋2＋2·＝4＋4＋2×2×2×＝12，
|－|2＝(－)2
＝2＋2－2·＝4＋4－2×2×2×＝12，
所以|＋|＋|－|＝4.
(2)因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.所以实数λ的取值范围是(2，＋∞).
课时分层作业(十五) 向量数量积的坐标运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( )
A．1 B． C．－ D．－1
A [由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]
2.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上投影的数量是( )
A．－3 B．－
C．3 D．
A [依题意得，＝(－2，－1)，
＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，
||＝，因此向量在方向上投影的数量是＝＝－3，选A．]
3.设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b等于( )
A．－ B．－
C． D．
D [由向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)
得a＋2b＝(－1＋2m,4)，
2a－b＝(－2－m,3)，由题意得
3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，
所以a·b＝－1×＋2×1＝.]
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A． B．(－，－)
C． D．
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴ 2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
联立①②解得x＝－，y＝－.
所以c＝.]
5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
A． B．
C．2 D．10
B [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，
由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴ x＝2.
由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴ y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.]
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角是直角
B．a与b的夹角是锐角
C．a＋b与a－b的夹角是钝角
D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量
D [由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得
a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．
a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝＝－.故选D．]
二、填空题
7．已知向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，则a与b夹角的大小为____．
[∵ 向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，
∴a与b夹角θ满足
cos θ＝＝－＝－，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]
8．已知向量a＝( 1, 2)，b＝( x, 4)，且a∥b，则 |a－b|＝________.
[由题意，向量a∥b，则4－2x＝0，解得x＝2，所以b＝(2,4)，
则a－b＝(－1，－2)，所以|a－b|＝＝.]
9．已知矩形ABCD的中心为O，AD＝2，若·＝8，则∠BAC＝__________， 向量与的夹角为________．
[因为矩形ABCD的中心为O，AD＝2，得·＝0，由·＝8，得(＋)·(＋)＝8，所以·＋2－2＋·＝2－4＝8，
即2＝12，||＝2.
如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
则A(－，－1)，B(，－1)，C(，1) ，D(－，1)，
得＝(2，0) ，＝(2，2) ，
＝(－，－1) ， ＝(，－1) , ＝(0,2)，
＝(－，－1)，得·＝12，
||＝2，||＝4 ，
所以cos ∠BAC＝＝＝，
且0<∠BAC<π，所以∠BAC＝.
cos 〈， 〉＝＝＝－，
且0≤〈，〉≤π，所以∠AOB＝.
]
三、解答题
10．已知平面上三点A，B，C，满足＝(2,4)，＝(2－k,3)．
(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；
(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．
[解](1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥，得4(2－k)＝6，解得k＝.
(2)因为＝(2－k,3)，所以＝(k－2，－3)，所以 ＝＋＝( k,1)．
由于A，B，C三点构成直角三角形，所以
当A是直角时，⊥，所以 ·＝0，得2k＋4＝0，解得 k＝－2；
当B是直角时，⊥，所以 ·＝0，得 k2－2k－3＝0，解得 k＝3或 k＝－1；
当C是直角时，⊥，所以 ·＝0,16－2k＝0，解得 k＝8.
综上所述，实数k的值为－2，－1,3,8.
[等级过关练]
1.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C．或－ D．或
C [∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)，cos 〈，〉＝＝，
当x＞0时，cos 〈，〉＝，当x＜0时，cos 〈，〉＝－.故选C．]
2.已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
A [如图，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
则A(0,0)，B，C(0，t)，
所以＝(1,0)，＝(0,1)，所以＝＋＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)，所以点P的坐标为(1,4)，＝(－1，－4)，＝(－1，t－4)，
所以·＝1－－4t＋16＝17－≤－4＋17＝13.(当且仅当＝4t，即t＝时取等号)，所以·的最大值为13.]
3.(2019·顺德高一检测)已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝________.
1 [因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，把|a＋2b|＝2两边平方可得a2＋4a·b＋4b2＝12，
即|a|2＋4|a|·|b|cos 〈a，b〉＋4|b|2＝12，代入数据可得22＋4×2|b|×＋4|b|2＝12，
整理可得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.]
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
[法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，
＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，
＝，＝，
＝，＝，
由·＝b2－a2＋c2＝4，
·＝－a2＋＝－1，
解得b2＋c2＝，a2＝，
则·＝(b2＋c2)－a2＝.
法二：设＝a，＝b，则
·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，
·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，
解得|a|2＝，|b|2＝，
则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.]
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R.
(1)求λ为何值时， |c|最小？此时b与c的位置关系如何？
(2)求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？
[解](1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得
c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，
|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2
＝25＋4，
当λ＝－时，|c|最小，此时c＝，
b·c＝0，所以b⊥c.
(2)设向量a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＝，
要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，
由于θ∈[0, π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝(1,2)．
所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.
