8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)
3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．
2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.
两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？
[提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α).
1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )
A． B． C． D．
A [原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝.]
2.化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )
A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)
C．cos α D．cos β
C [原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]
3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________.
[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)
＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.]
利用两角和与差的余弦公式化简求值
【例1】(1)cos 345°的值等于( )
A． B．
C． D．－
(2)化简下列各式：
①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．
(1)C [cos 345°＝cos(360°－15°)
＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝.]
(2)[解] ①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]
＝cos 45°＝，所以原式＝.
②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1.求下列各式的值：
(1)cos ；
(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．
[解](1)cos ＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)
＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]
＝cos 60°＝.
给值(式)求值
【例2】(1)已知cos α＝，α∈，则cosα－＝________.
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．
[思路探究](1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos.
(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α.
(1) [因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.]
(2)[解] 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<，
所以0<2α＋β<π.
又因为cos(2α＋β)＝，
所以0<2α＋β<，
所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
给值求值的解题步骤：
(1(找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.
(2(拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
α＝(α＋β(－β，α＝β－(β－α(，α＝(2α－β(－(α－β(，
α＝[(α＋β(＋(α－β(]，α＝[(β＋α(－(β－α(]等.
(3(求解.结合公式Cα±β求解便可.
2.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值．
[解] ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)．
又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×
＝.
已知三角函数值求角
【例3】 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．
[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝.
又sin α
∴0<α<β<，
∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
1.这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．
2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
3.设α，β是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，求证：β＝.
[证明] 由0<α<，0<β<，知0<α＋β<π，
又cos(α＋β)＝－，
故sin(α＋β)＝
＝＝.
由sin α＝，可知
cos α＝＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝，
∴β＝.
利用角的变换求三角函数值
[探究问题]
1.若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
[提示] cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
2.利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)．
3.若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos(α－β)等于什么？
[提示] cos(α－β)＝.
【例4】 若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为( )
A． B．－
C． D．－
[思路探究] 利用角的交换求解，α＋＝－.
C [∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<，<－<，
又∵cos＝，cos＝，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.故选C．]
巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明(另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差(角，如α＝(α－β(＋β，β＝－等；②倍角化为和(差(角，如2α＝(α＋β(＋(α－β(等.
4．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos 的值．
[解] ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，cos＝＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
对公式C(α－β)和C(α＋β)的三点说明
(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.
(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sinα sin β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.
1.下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ＝sin α；
③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ＝－sin α，故②错误，故选A．]
2.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于( )
A． B．－
C． D．－
A [因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.故选A．]
3.sin 75°＝________.
[sin 75°＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝×＋×
＝.]
4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，求cos β的值．
[解] ∵α，β都是锐角且cos α＝<，
∴<α<，
又sin(α＋β)＝>，
∴<α＋β<π，
∴cos(α＋β)＝－＝－，
sin α＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
课件51张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦利用两角和与差的余弦公式化简求值给值(式)求值 点击右图进入…Thank you for watching !课件46张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦利用公式化简求值 给值(式)求值 点击右图进入…Thank you for watching !课件43张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切利用公式化简求值 条件求值(角)问题 点击右图进入…Thank you for watching !8.2.3 倍角公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重点)
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．(重点、难点)
1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.
二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α .
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α .
T2α：tan 2α＝ .
思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等．
1.sin 15°sin 75°的值为( )
A． B． C． D．
B [原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]
2.计算1－2sin222.5°的结果为( )
A． B．
C． D．
B [1－2sin222.5°＝cos 45°＝.]
3.已知cos α＝，则cos 2α等于________．
－ [由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.]
利用二倍角公式化简求值
【例1】 化简求值．
(1)cos4 －sin4 ；(2)sin ·cos ·cos ；
(3)1－2sin2 750°；(4)tan 150°＋.
[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．
[解](1)cos4 －sin4
＝
＝cos α.
(2)原式＝cos
＝sin cos ＝
＝sin ＝，
∴原式＝.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝，
∴原式＝.
(4)原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－，
∴原式＝－.
二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，＝tan 2α.
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝，sin2 α＝.
1.求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)2sin2＋1；
(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解](1)原式＝＝＝.
(2)原式＝－＋2＝2－cos ＝.
(3)原式＝
＝
＝＝＝.
利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
(2)已知sin＝，则cos的值等于( )
A． B．
C．－ D．－
(3)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值．
[思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α；
(2)可利用π－2α＝2求值；
(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．
(1)D(2)C [(1)因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝＝＝－.
(2)因为cos＝sin＝sin＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]
(3)[解] ①因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.
②因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2 α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－.
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
(1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α)．
(2)sin α(或cos α)cos 2α＝1－2sin2 α(或2cos2 α－1)．
(3)sin α(或cos α)
2.(1)已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.
(2)已知sinsin＝，且α∈，求tan 4α的值．
(1)－ － [因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2 α＝1－2×＝，tan 2α＝＝－.]
(2)[解] 因为sin＝sin＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，
所以sin＝，
所以cos 2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
从而sin 2α＝－＝－，
所以tan 2α＝＝－2，
故tan 4α＝＝－＝.
利用二倍角公式证明
【例3】 求证：＝sin 2α.
[思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．
[证明] 法一：左边＝＝
＝＝
＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
证明问题的原则及一般步骤：
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
3.求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B．
[解] 左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立.
倍角公式的灵活运用
[探究问题]
1.在化简＋时，如何灵活使用倍角公式？
[提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝＋
＝＋＝＝.
2.如何求函数f(x)＝2cos2x－1－2sin xcos x(x∈R)的最小正周期？
[提示] 求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－(2sin xcos x)＝cos 2x－sin 2x＝2sin，知其最小正周期为π.
【例4】 求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x，x∈的最小值，并求其单调减区间．
[思路探究] →
→→
[解] f(x)＝5·＋·－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
f(x)取最小值为3－2.
因为y＝sin在上单调递增，
所以f(x)在上单调递减．
本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asin(ωx＋φ(的形式，再利用函数图像解决问题.
4．求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．
[解] y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝2＝2sin，
所以T＝＝π，ymin＝－2.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以令k＝0，
得函数的单调递减区间为.
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解
如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2 α；②cos2 α＝；③1－cos 2α＝2sin2 α；④sin2α＝.
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A． B．
C． D．
B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α.
∵α∈，∴2sin α＝cos α.又∵sin2 α＋cos2 α＝1，
∴sin2 α＝.又α∈，∴sin α＝.
故选B．]
2.的值为( )
A．－ B．－
C． D．
D [原式＝cos2－sin2＝cos ＝.]
3.已知tan α＝－，则＝________.
－ [＝
＝＝tan α－＝－.]
4．求下列各式的值：
(1)cos cos ；
(2)－cos2.
[解](1)原式＝
＝＝＝＝.
(2)原式＝＝－＝－cos ＝－.
课件54张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.3 倍角公式利用二倍角公式化简求值 利用二倍角公式解决条件求值问题点击右图进入…Thank you for watching !8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)
2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养．
2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
半角公式
sin＝±，cos＝±，
tan＝±＝＝.
思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？
[提示](1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号．
1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A． B．－
C． D．－
C [由题意知∈，∴cos >0，
cos ＝＝.]
2.下列各式与tan α相等的是( )
A． B．
C． D．
D [＝＝＝|tan α|；
＝＝tan ；
＝＝；
＝＝tan α.]
3.设α∈(π，2π)，则等于________．
sin [＝＝＝.
∵α∈(π，2π)，∴∈，∴sin >0，故原式＝sin .]
化简问题
【例1】 已知π<α<，求＋
的值．
[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简．
[解] 原式＝＋
∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0.
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos .
要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2 cos2，1－cos α＝2 sin2，1±sin α＝等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．
1.已知<θ<2π，试化简：－.
[解] ∵<θ<2π，∴<<π，
∴0＜sin＜，－1＜cos＜－，
从而sin＋cos＜0，sin－cos＞0.
∴原式＝－
＝－
＝－－
＝－2sin .
求值问题
【例2】 已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin ，cos ，tan 的值．
[思路探究] ―→
―→―→求
[解] 由<θ<3π，且|cos θ|＝可知，
cos θ＝－，∈.
由sin2＝＝＝，
∴sin ＝－＝－.
由cos2＝＝＝，
∴cos ＝－.
∴tan ＝＝＝2.
已知θ的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2＝，cos2＝，tan ＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求的范围.
2.已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，求sin α及tan 的值．
[解] ＝1－sin α＝，
∴sin α＝，
∴sin cos ＝＝，
∴＝＝，
解得tan ＝2或tan ＝.
∵450°<α<540°，
∴225°<<270°，
∴tan >1，∴tan ＝2.
综上可知sin α＝，tan ＝2.
三角恒等式的证明
【例3】(1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2.
(2)求证：
＝.
[思路探究](1)可由左向右证：先把左边cos2 θ降幂化为同角后整理可证．
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
[证明](1)左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
三角恒等式证明的五种常用方法：
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
3.已知0<α<，0<β<，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求证：α＋β＝.
[证明] ∵3sin β＝sin(2α＋β)，
即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，
∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
又∵4tan ＝1－tan2，
∴tan α＝＝，
∴tan(α＋β)＝2tan α＝1，
∵α＋β∈，∴α＋β＝.
三角恒等变换与三角函数图像性质的综合应用
[探究问题]
1.如何求函数y＝sin＋2sin2(x∈R)的最小正周期？
[提示] y＝sin＋1－cos
＝sin＋1＝sin＋1，
所以函数的最小正周期T＝π.
2.研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？
[提示] 研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答．
【例4】 已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
[思路探究] 利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再讨论函数的性质．
[解](1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2 ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当<2x＋≤，
即综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ(＋k(或y＝Acos(ωx＋φ(＋k(的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
4．已知函数f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解](1)f(x)＝－sin 2x－cos 2x＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
由于x∈，所以2x－∈，
则sin∈.
所以f(x)在上的最大值为2，最小值为－2.
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.
1.已知cos α＝，α∈，则sin 等于( )
A． B．－
C． D．
A [由题知∈，
∴sin >0，sin ＝＝.]
2.已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值等于( )
A． B．－
C．－ D．
C [由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.]
3.函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
π [∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.]
4．求证：＝.
[证明] 原式可变形为
1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，①
①式右边＝(1＋2cos22θ－1＋2sin 2θcos 2θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos2θ＋sin2θ)
＝2sin 2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．
∴①式成立，即原式得证．
课件51张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角的正弦、余弦和正切化简问题 求值问题 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．(难点)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点)
1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．
2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1.积化和差公式
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
2.和差化积公式
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.这样，上面的四个式子可以写成，
sin x＋sin y＝2sin cos ；
sin x－sin y＝2cos sin ；
cos x＋cos y＝2cos cos ；
cos x－cos y＝－2sin sin .
思考：和差化积公式的适用条件是什么？
[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．
1.计算sin 105°cos 75°的值是( )
A． B． C．－ D．－
B [sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.]
2.sin 20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为( )
A．－ B．
C． D．－
B [sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°
＝＋[cos(10°－50°)－cos]＝＋
＝－sin 50°＋cos 40°
＝－sin 50°＋sin 50°＝.故选B．]
3.下列等式正确的是( )
A．sin x＋sin y＝2sin sin
B．sin x－sin y＝2cos cos
C．cos x＋cos y＝2cos cos
D．cos x－cos y＝2sin sin
C [由和差化积公式知C正确．]
积化和差问题
【例1】(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
[解](1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°
＝－sin 50°＋sin 50°＝.
(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)
＝cos 70°＋cos 110°＋＝.
积化和差公式的功能与关键
(1(功能：①把三角函数的一种形式(积的形式(转化为另一种形式(和差的形式(.
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.
(2(关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
1.求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．
[解] 原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)
＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－
＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70°
＝－sin 70°＋sin 70°＝.
和差化积问题
【例2】 已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
[解] ∵cos α－cos β＝，
∴－2sinsin＝. ①
又∵sin α－sin β＝－，
∴2cossin＝－. ②
∵sin≠0，
∴由①②，得－tan＝－，即tan＝.
∴sin(α＋β)＝
＝＝＝.
1.(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．
[解] 因为cos α－cos β＝，
所以－2sin sin ＝. ①
又因为sin α－sin β＝－，
所以2cos sin ＝－. ②
因为sin ≠0，
所以由①②，得－tan ＝－，即tan ＝.
所以cos(α＋β)＝
＝＝＝－.
2.(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－”变为“cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，结果如何？
[解] 因为cos α＋cos β＝，
所以2cos cos ＝. ①
又因为sin α＋sin β＝－，
所以2sin cos ＝－. ②
所以cos ≠0，所以由①②，得tan ＝－，
所以sin(α＋β)＝
＝＝＝－.
和差化积公式应用时的注意事项
(1(在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.
(2(根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
(3(为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos －cos α.
公式的综合应用
[探究问题]
1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
2.在△ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示] 在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，
sin＝cos，cos＝sin，
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C．
【例3】 在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C
＝4sinsincos.
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
[解] 左边＝sin(B＋C)＋2sin·cos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝4sinsincos＝右边，
∴原等式成立．
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
2.在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos ·cos .
[证明] 由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，
即＝90°－，∴cos ＝sin .
∴sin A＋sin B＋sin C
＝2sin·cos＋sin(A＋B)
＝2sin·cos＋2sin·cos
＝2sin
＝2cos ·2cos ·cos
＝4cos cos cos ，
∴原等式成立．
1.公式的记忆
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”
(正代表sin α，余代表cos α)
2.公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.
1.sin 75°－sin 15°的值为( )
A． B．
C． D．－
B [sin 75°－sin 15°＝2cossin＝2××＝.故选B．]
2.函数y＝sincos x的最大值为( )
A． B．
C．1 D．
B [∵y＝sincos x
＝
＝＝sin－.
∴函数y的取最大值为.]
3.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin αcos β＝________.
[sin αcos β＝sin(α＋β)＋sin(α－β)＝×＋×＝.]
4．化简下列各式：
(1)；
(2).
[解](1)原式＝
＝＝＝tan .
(2)原式＝
＝
＝＝.
课件44张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.4 三角恒等变换的应用
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积积化和差问题 和差化积问题 点击右图进入…Thank you for watching !8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)
1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1.两角和与差的正弦公式
(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
2.辅助角公式
f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？
[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，加减相同”．
1.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( )
A． B．
C． D．以上都不对
A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝.]
2.函数y＝sin x－cos x的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
C [y＝sin x－cos x＝＝sin，∴函数的最小正周期为T＝2π.]
3.已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－，则sin(α＋β)＝________.
0 [∵α为锐角，且sin α＝，
∴cos α＝.
又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－，
∴cos β＝，sin β＝－.
∴sin(α＋β)＝×＋×＝0.]
利用公式化简求值
【例1】(1)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值．
(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．
[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
(1)C [
＝
＝
＝＝sin 30°＝.]
(2)[解] 原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°
＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.
(3)[解] sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·
cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
1.化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
[解](1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
给值(式)求值
【例2】 设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究] 应用公式?注意角的范围?求出所给角的正弦值．
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，
因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．
[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1.
2.(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝.
因为β为第三象限，所以cos β＝－.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
辅助角公式的应用
[探究问题]
1.函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
[提示] 不对．因为sin x＋cos x
＝
＝＝sin，
所以函数的最大值为.
2.函数f(x)＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？
[提示] 因为f(x)＝3sin x＋4cos x
＝5，
令cos φ＝，sin φ＝，
则f(x)＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数的最大值为5.
3.如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式？
[提示] asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则
asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．
【例3】 设函数f(x)＝sin x＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．
[思路探究] 辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并．
[解](1)f(x)＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝＝sin ，
当sin ＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的最小值为－，x的集合为
.
(2)将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图像；
然后将y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin的图像.
(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？
[解] 由本例解析知函数可化为f(x)＝sin，
当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为减函数．
所以函数f(x)的单调增区间为
(k∈Z)，
函数f(x)的单调减区间为
(k∈Z)．
1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．
2.函数图像可通过y＝sin x→y＝sin→y＝
sin的顺序得到．
1.两角和与差的正弦公式的结构特点
(1)公式中的α，β均为任意角．
(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.
1.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [∵cos α＝－，α为第三象限角，
∴sin α＝－，由两角和的正弦公式得
sin ＝sin αcos ＋cos α·sin
＝×＋×＝－.]
2.函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
B [f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋
sin x＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B．]
3.sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.
[原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝
sin(25°＋35°)＝sin 60°＝.]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，
∴α－β＝－.
第2课时 两角和与差的正切
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)
1.通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．
2.借助两角和与差的正切的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1.两角和的正切公式
Tα＋β：tan(α＋β)＝ .
2.两角差的正切公式
Tα－β：tan(α－β)＝ .
思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？
[提示](1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
(2)1－tan αtan β＝.
(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)．
(4)tan αtan β＝1－.
1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
D [tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D．]
2.若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则tan的值等于( )
A． B．－
C．－7 D．7
D [若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则sin θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝，tan＝＝7，故选D．]
3.设tan α＝，tan β＝，且角α，β为锐角，则α＋β的值是________．
[∵tan α＝，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1，
又∵α，β均为锐角，即α，β∈，
∴0<α＋β<π，则α＋β＝.]
利用公式化简求值
【例1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°；(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
[解](1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
(2)＝
＝＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
1.求下列各式的值：
(1)；
(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
[解](1)原式＝
＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°
＝tan 120°＝－.
条件求值(角)问题
【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．
[解] 由条件得
cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
1.通过先求角的某个三角函数值来求角．
2.选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
3.给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
2.(1)已知α∈，sin α＝，求tan的值；
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．
[解](1)因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，
所以tan α＝＝＝－，
故tan＝＝＝.
(2)由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
公式的变形应用
[探究问题]
1.判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
2.在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？
[提示] 根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．
【例3】 已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究] →→
→.
[解] 由tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，
∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－tan Btan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝
＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形．
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用
1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan ；
＝tan .
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
1.公式T(α±β)的适用范围和结构特征
(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
2.两角和与差的正切公式的变形
变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等.
1.设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝( )
A． B．－
C．5 D．－5
A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝，选A．]
2.tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A． B．1
C． D．
B [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]
3.计算＝________.
1 [＝
＝tan 45°＝1.]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值．
[解] ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝＝.
平面向量的数量积
平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．
【例1】 非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值．
[思路探究]
→→
[解] 由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得
解得
所以|a||b|＝－a·b，
所以cos θ＝＝－.
1.如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则·＝( )
A． B． C．－ D．－
C [设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝，·＝||||cos(π－∠ABC)＝2×1×＝－.故选C．]
向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．
【例2】 已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
[思路探究](1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；
(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．
[解](1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
∴∴
∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
则∴
2.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求.
[解] 设D(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(x－3，y－2)，＝(－6，－3)，
∵⊥，∴·＝0，
则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0， ①
∵∥，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0， ②
解由①②构成的方程组得
则D点坐标为(1,1)，所以＝(－1,2).
平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．
2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．
3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．
【例3】 已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.
求证：(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB．
[证明] 如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则
A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．
∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
解得x＝，∴y＝，即P.
∴||2＝＋＝4＝||2，
∴||＝||，即AP＝AB．
3.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．
[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴⊥，＝.
设C点的坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴C点的坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
给值求值问题
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
【例4】 已知<α<π，tan α＋＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[思路探究](1)结合α的取值范围，求解tan α的值；
(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan α的式子代入求值即可．
[解](1)由tan α＋＝－，得3tan2α＋10tan α＋3＝0，即tan α＝－3或tan α＝－.
又<α<π，所以tan α＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＝－.
4．已知sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
[解] ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－.
sin＝－.
cos(α＋β)＝sin＝sin
＝sincos－cossin＝×－×＝－.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
【例5】 已知向量a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
[思路探究](1)可先由f(θ)＝0求tan θ，再化简后，由tan θ值代入求值；
(2)先化简成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域．
[解](1)∵a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，
∴f(x)＝a·b＝sin x－cos x，
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，
∴tan θ＝，
∴
＝
＝
＝
＝－2＋.
(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，取最小值－，
当x－＝，即x＝时，取最大值2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
5．已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)，且m·n＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
[解](1)由题意得m·n＝sin A－cos A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x
＝－2＋.
因为x∈R，所以sin x∈[－1,1]，因此，
当sin x＝时，f(x)有最大值，
当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域为.
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
【例6】 已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值．
[思路探究] 先根据α－，－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由＝－求解．
[解] ∵sin＝，且α－为第二象限角，
∴cos＝－＝－.
又cos＝－，且－β为第三象限角，
∴sin＝－＝－.
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝－.
6．已知sin α－cos α＝－，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin α和cos α的值；
(2)求cos的值．
[解](1)由题意得(sin α－cos α)2＝，
即1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝.又2α∈，
∴cos 2α＝＝，
∴cos2 α＝＝，
∵α∈，
∴cos α＝＝，
sin α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，
∴cos＝，
cos＝cos
＝cos αcos＋sin αsin
＝×＋×＝.
数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．
【例7】 已知向量＝(2,0)，＝(0,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是( )
A． B．
C． D．
[思路探究] 计算向量的模长，得到点A在以C(0,2)为圆心，为半径的圆上，利用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案．
D [∵＝(2,0)，＝(0,2)，＝(cos α，sin α)，
∴||＝＝，
A的轨迹是以C(0,2)为圆心，以为半径的圆，
在△COD中，OC＝2，CD＝，∠CDO＝，所以∠COD＝，
所以当A在D处时，则与夹角最小为－＝，
当A在E处时与夹角最大为＋＝，
∴与夹角的取值范围是，故选D．]
7．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A．－1 B． C．＋1 D．＋2
C [∵|a|＝|b|＝1，
且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．
∴c－a－b＝(x－1，y－1)．
∵|c－a－b|＝1，
∴＝1，
即(x－1)2＋(y－1)2＝1.
又|c|＝，如图所示．
由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝＋1＝＋1.]
课件55张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换章末复习课平面向量的数量积 向量的坐标运算 平面向量的应用 给值求值问题 三角恒等变形的综合应用转化与化归的思想 数形结合思想 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 两角和与差的余弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算cos 8°cos 38°＋sin8°sin38°等于( )
A． B． C． D．－
C [逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin8°sin38°＝cos(8°－38°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝.]
2.已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A． B．
C． D．
B [因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.]
3.满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝π B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
B [由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝， α＝，β＝满足题意．]
4．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A． B．
C． D．
A [因为θ∈，
所以θ＋∈，所以sin＝.
故cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.]
5．若sin x＋sin y＝，cos x＋cos y＝，则sin(x＋y)等于( )
A． B．
C． D．1
A [由sin x＋sin y＝，得sin2x＋sin2y＋2sin xsin y＝，①
由cos x＋cos y＝，得cos2x＋cos2y＋2cos xcos y＝，②
两式相加得：cos(x－y)＝0.
②－①得：cos 2x＋2cos(x＋y)＋cos 2y＝2cos(x＋y)＋2cos(x＋y)cos(x－y)＝2cos(x＋y)＝1，
∴cos(x＋y)＝，则x＋y＝2kπ±，
验证x＋y＝2kπ－不成立，∴x＋y＝2kπ＋，
则sin(x＋y)＝sin＝sin＝.故选A．]
6．下列关于函数f(x)＝cos cos(－x)－sin x＋sinx的性质叙述错误的是( )
A．最小正周期为π
B．函数图像关于直线x＝对称
C．函数图像关于直线x＝－对称
D．函数图像关于点对称
D [函数f(x)＝coscos(－x)－sinx＋·sinx＝coscos(－x)＋sinsin(－x)＝cos ＝cos，所以函数的最小正周期是π，由2x＋＝kπ， k∈Z，得x＝－， k∈Z，所以函数图像关于直线x＝－， k∈Z，对称，故选项B、C都正确．由2x＋＝kπ＋， k∈Z，得x＝＋， k∈Z，所以函数图像关于点对称，其中，k∈Z，故选项D不正确．所以选D．]
二、填空题
7．计算cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝________.
－ [法一：cos(α＋120°)cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°)cos(－α)－sin(α＋120°)sin(－α)
＝cos [(α＋120°)＋(－α)]＝cos 120°＝－.
法二：cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°) cos α＋sin(α＋120°)sin α
＝cos [(α＋120°)－α]＝cos 120°＝－.]
8．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)＝________.
[因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
所以|a|＝|b|＝1，
又因为a与b的夹角为，
所以a·b＝|a||b|cos＝1×1×＝.
又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)
＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
所以cos(α－β)＝.]
9．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝________.
[由三角函数的定义可得，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.]
三、解答题
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
[解] ∵ <α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，<α＋β<2π，∴<2β<，2β＝π，∴β＝.
[等级过关练]
1.若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
B [因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以 或
解得 于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]
2.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )
A． B． C． D．
C [cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cos α＝，
cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin(α－β)＝，代入上式得cos β＝×＋×＝＝，所以β＝.]
3.已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，则cos(α－β)＝________.
[因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－＝－，
又cos β＝－，β∈，
所以sin β＝＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×＋×＝.]
4．已知△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________.
－ [因为cos B＝－，且0所以sin B＝＝＝，
且0所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝×＋×＝－.]
5．(1)把向量＝(x，y)绕原点顺时针方向旋转角α，得到向量＝(x′，y′)，用x，y及角α的三角函数表示x′.
(2)利用(1)的结论解答下面的问题：
如图点B(2,0)，半圆上动点A，求等边三角形ABC(逆时针方向排列)的顶点C的横坐标的取值范围．
[解](1)设的模为r，在角θ的终边上，则x＝rcos θ，y＝rsin θ，由题意可得在角θ－α的终边上，且的模也是r，
由三角函数的定义可得x′＝rcos(θ－α)＝rcos θcos α＋rsin θsin α＝xcos α＋ysin α.
即x′＝xcos α＋ysin α.
(2)设点C(x1，y1)，因为动点A在半圆上，
所以设点A(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤180°，
则向量的坐标为(cos θ－2，sin θ)，
向量的坐标为(x1－2，y1)，
由已知可得向量绕点B顺时针方向旋转60°得到向量.
所以由(1)的结论得x1－2＝(cos θ－2)cos 60°＋sin θsin 60°
＝cos θ＋sin θ－1＝cos(θ－60°)－1，
所以x1＝1＋cos(θ－60°)，
因为0°≤θ≤180°，
所以－60°≤θ－60°≤120°，
所以－≤cos(θ－60°)≤1，
所以x1∈.
课时分层作业(十七) 两角和与差的正弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算sin8°cos 38°－sin82°sin38°等于( )
A． B． C．－ D．－
C [逆用两角差的正弦公式，得sin8°cos 38°－sin82°sin38°＝sin8°cos 38°－cos 8°sin38°＝sin(8°－38°)＝sin(－30°)＝－.]
2.sincos ＋cos sin＝( )
A． B．－
C． D．－
A [逆用两角和的正弦公式，得sincos －θ＋cos sin
＝sin＝sin＝.]
3.已知sin＝，则cos＝( )
A． B．－
C． D．－
D [∵sin＝sin
＝cos＝，
∴cos＝cos＝cos 2
＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选D．]
4．已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )
A． B． C．－ D．－
A [因为α是第二象限角， 且sin α＝， 所以cos α
＝－＝－.
又因为β是第四象限角， cos β＝， 所以sinβ
＝－＝－.
sin(α－β)＝sinα cos β－cos α sinβ＝×－×＝＝.]
5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
D [∵A＝180°－(B＋C)，∴sin A＝sin(B＋C)
＝2sin Bcos C．
又sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0.
则B＝C，故△ABC为等腰三角形．]
6．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠ CED等于( )
A． B． C． D．
B [由题意知sin∠BEC＝，cos ∠BEC＝，
又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos ∠BEC－cos sin∠BEC＝×－×＝.]
二、填空题
7．函数f(x)＝sin＋cos 的最小正周期和最大值分别为________．
π，1 [f(x)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋cos 2xcos －sin 2xsin ＝cos 2x，∴最小正周期T＝＝π，f(x)max＝1.]
8．计算 的值是________．
[因为sin68°＝sin60°cos 8°＋cos 60°sin8°，cos 68°＝cos 60°cos 8°－sin60°sin8°，
所以＝＝tan60 °＝ .]
9．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤ x＜，则f(x)的最大值为________．
2 [f(x)＝cos x＝cos x＋sin x
＝2＝2sin.
∵0≤x＜，∴≤ x＋＜.
∴≤sin≤ 1.
∴1≤ f(x)≤ 2.∴f(x)的最大值为2.]
三、解答题
10．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
[解] ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝.
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin(β＋)＝sin βcos ＋cos βsin＝×＋×＝－.]
[等级过关练]
1.已知cos ＋sin α＝，则sin的值为( )
A． B． C．－ D．－
C [∵cos ＋sin α＝cos α＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝.
∴sin＝－sin
＝－＝－.]
2.已知α∈，α＋β∈，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则( )
A．β∈ B．β∈
C．β∈ D．β∈
C [∵已知α∈，α＋β∈，且cos α＝∈，∴α∈.
∵sin(α＋β)＝∈，∴α＋β∈，
∴β∈，故选C．]
3.关于函数 f(x)＝sinx＋cos x，有下述三个结论：
① f(x)是偶函数；
②f(x)在上单调递增；
③当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，则cos θ＝.
其中，所有正确结论的编号是____________．
②③ [函数 f(x)＝sinx＋cos x
＝2
＝2＝2sin，
显然， f(x)不是偶函数，①不正确；
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，
所以f(x)在上单调递增，从而f(x)在上单调递增，②正确；
函数f(x)的最大值为2，
此时x＋＝＋2kπ，x＝＋2kπx＝θ，k∈Z，所以cos θ＝， ③正确．]
4．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于________．
[由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)＝＝.又cos α＝得sin α＝.
cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.]
5．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[解](1)由f＝Asin
＝Asin ＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
3－3＝，
得，sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，f
＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
课时分层作业(十八) 两角和与差的正切
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于( )
A． B． C． D．
C [tan＝tan＝＝.]
2.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tanα－等于( )
A．－ B．
C．－3 D．3
B [a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan＝＝＝.]
3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A．m B．(1－m)
C．(m－1) D．(m＋1)
B [由公式变形tan α＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)
＝(1－m)．]
4．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B．
C．1或 D．1或10
C [∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg 10a＋lg ＝1－lg 10alg ，1＝1－lg 10alg，
∴lg 10alg＝0.
lg 10a＝0或lg＝0.得a＝或a＝1.]
5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tanB 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
A [因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，
所以tan(A＋B)＝＝ ，所以06．下列式子或叙述不正确的为( )
A．tan＝
B．存在α、β，满足tan(α－β)＝tan α－tan β
C．存在α、β，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
D．对任意α、β，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
D [tan＝，A正确．
存在α＝β＝，满足tan(α－β)＝tanα－tanβ，B正确．
存在α＝0，β＝，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，C正确．
对任意α、β，tan(α＋β)＝，D不正确．]
二、填空题
7.＝________.
[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]
8．若＝，tan(β－2α)＝1，则tan(α－β)＝________.
2 [由＝，得＝，即tan α＝3.
又tan(β－2α)＝1，
∴tan(α－β)＝tan[－α－(β－2α)]＝－tan[α＋(β－2α)]
＝－＝－＝2.]
9．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
1 [∵tan β＝＝.∴tan β＋tan αtan β
＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β
＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.]
三、解答题
10．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解](1)∵tan＝2，∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式＝
＝＝
＝tan(β－α)＝＝＝.
[等级过关练]
1.已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
C [由根与系数的关系得：tan α＋tan＝－，tan αtan＝.
tan＝＝＝1，得c＝a＋b.]
2.在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B等于( )
A．30° B．45°
C．120° D．60°
D [由公式变形得：tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C．
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3.∴tan B＝，B＝60°.]
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠ BAC＝________.
[∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6.
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]
4．已知tan＝2，则的值为________．
[因为tan＝2，所以＝2，
解得tan α＝.
所以＝
＝＝＝.]
5．如图，在单位圆上，∠AOB＝α，∠BOC＝，且△AOC的面积等于.
(1)求sin α的值；
(2)求2cossin.
[解](1)由题意可知，∠AOC＝＋α，
∴S△AOC＝sin＝，
∴sin＝，
∵＜α＜，
∴＜α＋＜，
∴cos＝－，
sin α＝sin
＝sincos－cossin，
＝×＋×＝.
(2)2cossin＝2sin2＝1－cos＝.
课时分层作业(十九) 倍角公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1. sin 105°cos 105°的值为( )
A． B．－
C． D．－
B [sin105°cos 105°＝sin210°＝sin(180°＋30°)
＝－sin30°＝－.]
2.若tan α＝3，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
D [＝＝＝2tanα＝6.]
3.设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)的值等于( )
A． B．－
C．－ D．4
B [∵f(tan x)＝，∴f(2)＝＝－.
∴故选B．]
4.－等于( )
A．－2cos 5° B．2cos 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
C [原式＝－
＝(cos 50°－sin 50°)＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.]
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
A [设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝，∴cos θ＝＝.
∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.]
6．下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法错误的是( )
A．最小正周期为π
B．最大值为1，最小值为－1
C．函数图像关于直线x＝0对称
D．函数图像关于点对称
C [函数f(x)＝1－2sin2＝cos
＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确．
最大值为1，最小值为－1，B正确．
由2x＝kπ＋?x＝＋，k∈Z，得函数图像关于直线x＝＋，k∈Z对称，C不正确．
由2x＝kπ?x＝，k∈Z，得函数图像关于点，k∈Z对称，D正确．]
二、填空题
7．函数f(x)＝2cos2－1的最小正周期为________．
π [f(x)＝cos＝sin 2x，故f(x)的最小正周期为π.]
8．计算＝________.
－ [＝·＝tan150°
＝－tan30°＝－.]
9．求函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
[－5,3] [f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；当sin x＝－1时，f(x)min
＝－5.]
三、解答题
10．已知cos＝，α∈.
求：(1)cos α－sin α的值；
(2)cos的值．
[解](1)∵cos＝，α∈，
∴＝，
cos α＋sin α＝平方化简可得sin 2α＝－，
又α∈，
∴sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝－
＝－＝－
(2)cos＝cos 2α－sin 2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)－sin 2α＝.]
[等级过关练]
1.已知sin＝，则等于( )
A． B．±
C． D．±
B [∵＝＝，
由sin＝，
得(sin θ－cos θ)＝，两边平方得：sin 2θ＝，
∴cos 2θ＝±.∴原式＝＝±，故选B．]
2.4cos 50°－tan 40°等于( )
A． B．
C． D．2－1
C [4cos 50°－tan 40°＝
＝＝
＝＝＝.]
3.函数y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
π [∵y＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋，∴周期T＝π.]
4．已知tan ＝3，则＝________.
3 [＝
＝＝tan ＝3.]
5．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos 2x＋2·sin xcos x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
[解](1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ，∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sincos ＋cos sin
＝×＋×＝.
课时分层作业(二十) 半角的正弦、余弦和正切
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知cos α＝，α∈，则sin 等于( )
A． B．－
C． D．
A [∵α∈，∴∈，sin ＝＝.]
2.设α是第二象限角，tan α＝－，且sin A．－ B．
C． D．－
A [因为α是第二象限角，且sin 因为tan α＝－，所以cos α＝－，所以cos
＝－＝－.]
3.若sin74°＝m，则cos 8°＝( )
A． B．±
C． D．±
C [∵sin74°＝m＝cos 16°，∴cos 8°＝
＝，故选C．]
4．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，则tan的值为( )
A．2 B．－2
C． D．－
B [法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，
∴tan <0，
∴tan ＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，
∴sin θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝－2.]
5．已知tan＝3，则cos θ等于( )
A． B．－
C． D．－
B [cos θ＝＝＝＝－.]
6．若cos α＝－，α是第三象限角，则等于( )
A．－ B． C．2 D．－2
A [∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝＝＝＝－.故选A．]
二、填空题
7．设5π＜θ＜6π，cos ＝a，则sin 的值等于________．
－ [由sin2＝，∵θ∈(5π，6π)，
∴∈，
∴sin ＝－＝－.]
8．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝________.
－ [sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.]
9．已知α是第三象限角，sin α＝－，则tan的值是________．
－ [∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋，
∴kπ＋＜＜kπ＋，
∴tan＜－1，sinα＝＝－，
整理得12tan2＋25tan＋12＝0
∴tan＝－或－(排除)．]
三、解答题
10．已知0＜x＜＜y＜π，cos(y－x)＝.若tan＝，分别求：
(1)sin和cos的值；
(2)cos x及cos y的值．
[解](1)由tan x＝＝＝且x为锐角，
所以cos x＝＝，
因为cos x＝2cos2－1＝，解得cos＝，
而tan＝＝，所以sin＝cos x＝.
(2)由题知0＜y－x＜π，而cos(y－x)＝得到y－x为锐角，
所以sin(y－x)＝＝，
则tan(y－x)＝＝.
由tanx＝，所以tan y＝－.则cos x＝，
因为y为钝角，所以cos y＝－
＝－.
[等级过关练]
1.已知sin θ＝，cos θ＝,θ∈，则tan 等于( )
A．－ B．5
C．－5或 D．－或5
B [由sin2θ＋cos 2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8，当m＝0时，sin θ<0，不符合<θ<π.
∴m＝0舍去，故m＝8，sin θ＝，cos θ＝－，tan ＝＝＝5.]
2.若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan等于( )
A． B． C． D．
D [∵α∈(0，π)，且3sinα＋2cos α＝6sincos＋2(2cos2－1)＝2，∴6sincos＋4cos2＝4，
即3sincos＋2cos2＝2，
∴＝＝2，解得tan＝或tan＝0(舍去)，故选D．]
3.··＝________.
tan [原式＝··＝·＝·＝＝tan .]
4．设0≤ α≤ π，不等式8x2－8xsin α＋cos 2α≥0对任意x∈R恒成立，则α的取值范围是________．
∪ [由题意知，Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin2α－cos 2α≤ 0，所以4sin2α≤1，
所以－≤ sin α≤ .因为0≤ α≤ π，所以0≤ α≤ 或≤α≤π.]
5．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.
∵0＜α＜，∴＜α＋＜.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
课时分层作业(二十一) 三角函数的积化和差与和差化积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.cos 15° sin 105°＝( )
A．＋ B．－
C．＋1 D．－1
A [cos 15°sin 105°＝ [sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝ [sin 120°－sin(－90°)]＝ ×＋ ×1＝＋ .]
2.sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( )
A．0 B． C． D．1
A [原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.]
3.函数f(x)＝2sin sin的最大值等于( )
A．2sin2 B．－2sin2
C．2cos 2 D．－2cos 2
A [f(x)＝2sin sin＝－[cos α－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.
当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α
＝2sin2 .]
4．将cos 2x－sin2y化为积的形式，结果是( )
A．－sin(x＋y)sin(x－y) B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)
B [cos2x－sin2y＝－＝(cos 2x＋cos 2y)＝cos(x＋y)cos(x－y)．]
5．若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝( )
A． B．－
C . D．－
A [∵cos xcos y＋sin xsin y＝，∴cos＝，∵sin 2x＋sin 2y＝，∴2sincos＝，
∴2sin·＝，∴sin(x＋y)＝，故选A．]
二、填空题
6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．
2sin sin [cos 2α－cos 3α＝－2sin ·sin＝－2sin sin＝2sin sin .]
7．sin·cos 化为和差的结果是________．
cos(α＋β)＋ sin(α－β) [原式＝sin＋α＋β＋sin(α－β)＝ cos(α＋β)＋ sin(α－β)．]
8.＝________.
[原式＝＝＝ .]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)sin 54°－sin 18°；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.
[解](1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝2·＝＝＝＝ .
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°
＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°)
＝2××cos 26°＋＋cos 26°
＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－ .
10．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．
[解] 由题意，得cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．
∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，∴－1≤sin(A－C)≤1，∴－≤－sin(A－C)≤.
∴cos Asin C的取值范围是.
[等级过关练]
1.cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝( )
A． B．－
C． D．－
A [cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝＋cos 80°－cos 80°＝ .]
2.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝________.
A．－ B．
C． D．－
A [cos α＋cos β＝2cos cos ＝2cos cos
＝cos ＝，
∴cos(α＋β)＝2cos 2－1＝2×－1＝－.]
3.函数y＝coscos的最大值是________．
[由题意知，y＝
＝(－cos 2x＋cos )＝－cos 2x，
因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.]
4.＋＝________.
[＋＝＋
＝
＝＝
＝＝2cos 30°＝.]
5．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
[解](1)f(x)＝＝
＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1.
(2)∵f(x)＝22－且－1