7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般)
2.理解象限角的概念．(重点)
3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(难点)
1.通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．
2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养.
1.角的概念
(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角．
(2)角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转而形成的角
负角
按顺时针方向旋转而形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2.角的加减法运算
引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？
[提示] 不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
1.钟表的分针在一个半小时内转了( )
A．180° B．－180° C．540° D．－540°
D [钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]
2.下列各角中，与330°角的终边相同的角是( )
A．510° B．150° C．－150° D．－390°
D [与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．]
3.下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)
①②③④ [由象限角定义可知①②③④都不正确．]
任意角的概念
【例1】(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A?C
C．(A∩C)＝B D．(B∪C)?C
(2)设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
[思路探究] 利用角的概念进行判断．
(1)D(2)D [(1)第一象限角可表示为k·360°<α(2)直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．]
1.判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
1.有下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．
其中正确说法的序号是________．
③ [①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；
②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；
③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．]
象限角与区域角的表示
【例2】(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．
[思路探究]
(1)C [在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α(2)[解] 阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．
集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．
2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
[解] 在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
[探究问题]
1.由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
[提示](1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
2.若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示](1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例3】(1)若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
[思路探究](1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；
(2)由α的范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
(1)C [因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．]
(2)[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
(变结论)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角．
∴为第一、第二或第四象限角．
解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或f(α,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论.
1.终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置
角α的集合表示
在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
2.象限角的集合表示
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α3.对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).
1.以下说法正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
B [对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A?B，故选B．]
2.已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有( )
A．M＝N B．NM
C．MN D．M∩N＝
C [由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图(1))
又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角(如图(2))，因而MN，故正确答案为C．]
3.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
k·360°(k∈Z) [根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·360°(k∈Z)．]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°.
[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
课件51张PPT。第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广转角一条射线旋转角始边终边没有作任何旋转逆时针方向旋转顺时针方向旋转和 第几象限的角 整数个周角 任意角的概念 象限角与区域角的表示 点击右图进入…Thank you for watching !7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)
2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
1.通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．
2.借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.
1.角度制与弧度制的定义
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．
(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．
2.角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝.
3.角度与弧度的互化
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．
5．扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
思考2：在弧度制下的扇形面积公式S＝lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？
[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．
1.1 080°等于( )
A．1 080 B．
C． D．6π
D [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.]
2.与角π终边相同的角是( )
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
C [选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A项错；2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B项错；2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为π，故D项错．]
3.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．
6π [扇形的面积为×62×＝6π.]
弧度制的概念
【例1】 下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．]
弧度制与角度制的区别与联系
区别
①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；
②定义不同
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
1.下列各说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
[答案] D
角度制与弧度制的转换
【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：
(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角π，－π；
(2)终边相同的角的表示．
解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°(k∈Z)的形式．
[解](1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．
α1＝－570°＝－π＝－4π＋π，
α2＝750°＝π＝4π＋.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.
角度制与弧度制的转换中的注意点
(1(在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数.
(2(特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.
(3(在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法.
(4(判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.
2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[解] 因为30°＝ rad,210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1.用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．
【例3】(1)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 rad B．2 rad
C．3 rad D．4 rad
(2)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路探究](1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得．
(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．
(1)B [设扇形半径为r，弧长为l，由题意得
解得
则圆心角α＝＝2 rad.]
(2)[解] 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
则l＝20－2r，∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)．
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.
此时α＝＝＝2 rad.
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大面积为25 cm2.
(变条件)用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，
∴l＝30－2r，从而S＝·l·r＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－＋.
∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr；(这里α必须是弧度制下的角)；
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
1.释疑弧长公式及扇形的面积公式
(1)公式中共四个量分别为α，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．
(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝α·r，α＝，r＝；②S＝αr2，α＝.
2.角度制与弧度制的比较
角度
制
用度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“°”不能省略
角的正负
与方向有关
六十
进制
弧度
制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角的大小与半径无关
单位“rad”可以省略
角的正负
与方向有关
十进制
1.把56°15′化为弧度是( )
A． B．
C． D．
D [56°15′＝56.25°＝×＝.]
2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A．π B．π
C．π D．π
A [240°＝240× rad＝π rad，∴弧长l＝α·r＝π×10＝π，选A．]
3.将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
－10π＋π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，
所以－1 485°可以表示为－10π＋π.]
4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．
[解] 设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝ lr，得lr＝1.②
由①②得r＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad.
∴扇形的圆心角为2 rad.
课件45张PPT。第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算弧度角度制半径长圆心角1 rad0 弧度制的概念 角度制与弧度制的转换 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 角的推广
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.－1 120°角所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．]
2.终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
D [终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．]
3.若角θ是第四象限角，则270°＋θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C [因为角θ是第四象限角，所以－90°＋k·360°<θ则180°＋k·360°<270°＋θ<270°＋k·360°(k∈Z)，
故270°＋θ是第三象限角，故选C．]
4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )
A．x轴非负半轴上
B．y轴非负半轴上
C．x轴或y轴上
D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上
C [当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°；当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝90°＋n·360°；当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝180°＋n·360°；当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝270°＋n·360°.因此，集合M中各角的终边都在x轴或y轴上．]
5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
A [当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A．]
6．终边在直线y＝x上的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
C [设终边在直线y＝x上的角的集合为P，
则P＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°＋45°，k∈Z}
＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选C．]
二、填空题
7．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．
1 110° [按逆时针方向旋转得到的角是正角，旋转三周则得30°＋3×360°＝1 110°.]
8．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是______度，分针所转成的角度是________度．
－5 －60 [将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.]
9．若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
214° －146° [∵2 014°＝5×360°＋214°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝214°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是214°，最大负角是－146°.]
三、解答题
10．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．
(1) (2)
[解] 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
[等级过关练]
1.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
C [由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．]
2.若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°，(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
D [α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，
∵180°－120°＝60°，
∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选D．]
3.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.
150°＋k·360°，k∈Z [∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同．
∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.]
4．终边在直线y＝x上的角的集合是________．
{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z} [如图，直线y＝x过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，
终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．]
5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知：
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得：α＝15°，β＝65°.
课时分层作业(二) 弧度制及其与角度制的换算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－ π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－ π
D． 化成度是15°
C [对于A,60°＝60×＝；对于B，－＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－ π；对于D，＝×180°＝15°.]
2.若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [∵－π<－3<－ ，∴α是第三象限角．]
3.将1 920°转化为弧度数为( )
A． B．
C． D．
D [1 920°＝1 920×＝.]
4．把－ π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－ B．－
C． D．
A [－＝－2π－.
∴－ 与－ 是终边相同的角，且此时|－ |＝ 是最小的．]
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A． B．
C． D．2
C [如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为 R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.]
6．已知半径为1的扇形面积为 π，则扇形的圆心角为( )
A． π B． π
C． π D． π
C [∵S＝ rl，∴＝ l，∴l＝ ，故选C．]
二、填空题
7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的 倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．
3 [设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的 倍，则弧度数变为＝3· ，即弧度数变为原来的3倍．]
8．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．
32 [∵R＝16，α＝2 rad，
∴l＝α·R＝16×2＝32.]
9．若角α的终边与 π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与 角的终边相同的角是________．
， ， ， [由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝ ， ， ，.]
三、解答题
10．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
[解] 取AB的中点D，连接OD，
∵120°＝ π＝ π，
∴l＝6× π＝4π，∴ 的长为4π.
∵S扇形OAB＝ lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
[等级过关练]
1.若α是第四象限角，则π－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C [∵α是第四象限角．∴2kπ－<α<2kπ(k∈Z)，
∴－2kπ<－α<－2kπ＋.∴－2kπ＋π<π－α<－2kπ＋.
∴π－α是第三象限角．]
2.集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩ Q＝( )
A．
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
B [如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]为空集，分别取k＝－1,0，于是P∩Q＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．]
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________．
[设半径为R，则R sin 1＝1，∴R＝ ，∴弧长l＝.]
4．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
－，－，， [由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π.]
5．如图，已知一长为 dm，宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
[解] AA1所对的圆半径是2 dm，圆心角为 ，A1A2所对圆半径是1 dm，圆心角是 ，A2A3所对的圆半径是 dm，圆心角是 ，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝ π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋××1＋××＝(dm2).
