7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．(重点)
2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号．(难点)
1.通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养．
2.借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养.
1.任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝ ＞0)．
三角函数
定义
名称
sin α
正弦
cos α
余弦
tan α
正切
2.三角函数在各象限的符号
思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？
[提示] 对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．
1.已知角α终边经过P，则cos α等于( )
A． B． C． D．±
B [由三角函数定义可知，设x＝，y＝，则r＝＝1，故cos α＝.]
2.若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
B [∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，
∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．]
3.若角α的终边上有一点P(3,4)，则sin α＋cos α＝________.
[由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝.]
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．
第三或第四 [∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号．
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．]
任意角三角函数的定义及应用
【例1】(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有( )
A．(－4,3) B．(3，－4)
C．(4，－3) D．(－3,4)
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
[思路探究](1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
(2)分a＞0，a＜0两种情况分别求解．
(1)A(2)1或－1 [(1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A．
(2)因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.]
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
由α的终边上一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
1.设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为，求f(θ)的值．
[解] 由点P的坐标为和三角函数定义得sin θ＝，cos θ＝，
所以f(θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2.
三角函数符号的判断
【例2】 判断下列各式的符号．
(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
(2)tan 191°－cos 191°；
(3)sin 2cos 3tan 4.
[思路探究] 先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．
[解](1)∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
(3)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＞0(，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y(的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.
2.判断下列式子的符号：
sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)．
[解] 270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－450°，
则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第三象限角，
所以sin 320°<0，cos 385°>0，tan 155°<0，tan(－480°)＞0.
所以sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)＞0，即符号为正．
1.对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
2.对三角函数定义的理解
(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
(2)要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．
(3)要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切函数值．
1.已知P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝( )
A．1 B．－5
C．－ D．
C [∵x＝1，y＝－5，
∴r＝，
∴sin α＝＝－.]
2.sin 1·cos 2·tan 3的值是( )
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
A [∵0<1<，<2<π，<3<π，
∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，
∴sin 1·cos 2·tan 3>0.]
3.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________．
[∵sin x＝|sin x|，
∴sin x≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]
4．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值．
[解] 根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
∴a＝－12，
∴P(5，－12)，r＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－.
课件34张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义任意角三角函数的定义及应用 三角函数符号的判断 点击右图进入…Thank you for watching !7.2.2 单位圆与三角函数线
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)
1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养．
2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.
1.单位圆
(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．
(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
2.三角函数线
思考：三角函数线的方向是怎样确定的？
[提示] 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．
1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
C [由三角函数线的定义知C正确．]
2.角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
C [与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]
3.角的终边与单位圆的交点的坐标是________．
[由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，
∴角的终边与单位圆的交点的坐标是.]
三角函数线的概念
【例1】(1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是( )
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
(2)分别作出π和－π的正弦线、余弦线和正切线．
(1)C [显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C．]
(2)[解] ①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝MP，cos π＝OM，tan π＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
②同理可作出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．
sin ＝M1P1，
cos＝O1M1，
tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
1.下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线．]
利用单位圆解三角不等式
【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
[思路探究] 作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．
[解](1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z }.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z }.
1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
2.求y＝lg(1－cos x)的定义域．
[解] 如图所示，
∵1－cos x＞0，
∴cos x＜，
∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
∴函数定义域为(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z).
三角函数线的综合应用
[探究问题]
1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α)呢？
[提示] 由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α)．
2.如何利用三角函数线比较大小？
[提示] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．
【例3】 已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小．
[思路探究] 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．
[解] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α.
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α.
1.本题的实质是数形结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．
2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．
3.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.
[证明]（图略） 在△OMP中，OP＝1，OM＝|cos α|，MP＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|＞1.
当点P在坐标轴上时，|sin α|＋|cos α|＝1.
综上可知，|sin α|＋|cos α|≥1.
1.应用三角函数线比较大小的策略
①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2.利用三角函数线解三角不等式的方法
①正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
②正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.
1.已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
C [由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或.]
2.在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是.]
3.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是 .
sin 1>cos 1 [∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1.]
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
[解](1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
甲 乙
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
课件40张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.2 单位圆与三角函数线正弦单位圆余弦三角函数线的概念 利用单位圆解三角不等式点击右图进入…Thank you for watching !7.2.3 同角三角函数的基本关系式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．
2.借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1.
商数关系：＝tan_α.
(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
思考：“同角”一词的含义是什么？
[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．
1.已知α∈，sin α＝，则tan α＝( )
A．－ B．2
C． D．－2
A [∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－＝－，
则tan α＝＝－，故选A．]
2.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
B [∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.]
3.若sin α＋3cos α＝0，则的值为________．
－ [因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝＝＝－.]
已知一个三角函数值求另两个三角函数值
【例1】(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)若cos α＝，求tan α的值；
(3)若tan α＝－，求sin α的值．
[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
[解](1)∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tan α＝＝－×＝.
(2)∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－.
(3)∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角．
由可得sin2α＝.
当α是第二象限角时，sin α＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
1.已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值．
[解] 法一：∵sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin α＋cos α＝±.
同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－<0,0<α<π，
∴<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝.
由，
得或，
∴tan α＝－或tan α＝－.
法二：∵sin αcos α＝－，
∴＝－，
∴＝－，
∴12tan2α＋25tan α＋12＝0，
∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0，
∴tan α＝－或tan α＝－.
化切求值
【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
[解](1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
化切求值的方法技巧
(1(已知tan α＝m，可以求 或
的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的.
(2(对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值.
2.已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2 α.
[解](1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝.
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，
则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝
＝1.
应用同角三角函数关系化简
【例3】 若sin α·tan α<0，化简＋.
[解] ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝＋
＝＋＝＋
＝＝－.
解答此类题目常用的方法有：
(1(化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2(对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3(对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
3.化简：.
[解] 原式＝
＝
＝
＝1.
1.同角三角函数基本关系式的变形形式
(1)平方关系：1－sin2 α＝cos2 α，1－cos2 α＝sin2 α.
(2)商数关系：sin α＝tan α·cos α，cos α＝.
2.已知sin α±cos α，整体代入求值
已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α cos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin α cos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin α cos α.
所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．
3.应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－ B．cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
B [由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．]
2.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A． B．－
C． D．－
B [由条件知sin α＝－
＝－＝－.]
3.已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________.
－ [∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝.
∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝.
∴1＋2sin αcos α＝.
∴sin αcos α＝－.]
4．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．
[解] 由tan α＝＝得
sin α＝cos α. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1.
∴cos2α＝.
又∵α是第三象限的角，
∴cos α＝－.
∴sin α＝cos α＝－.
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7.2.3 同角三角函数的基本关系式1 平方和商已知一个三角函数值求另两个三角函数值化切求值 点击右图进入…Thank you for watching !7.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式①、②、③、④
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握诱导公式①、②、③、④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点)
2.会用诱导公式①、②、③、④，进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过诱导公式①、②、③、④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
1.诱导公式①
sin(α＋k·2π)＝sin_α；
cos(α＋k·2π)＝cos_α；
tan(α＋k·2π)＝tan_α.
2.诱导公式②
sin(－α)＝－sin_α；
cos(－α)＝cos_α；
tan(－α)＝－tan_α.
3.诱导公式③
sin(π－α)＝sin α；
cos(π－α)＝－cos α；
tan(π－α)＝－tan α.
4．诱导公式④
sin(π＋α)＝－sin α；
cos(π＋α)＝－cos α；
tan(π＋α)＝tan α.
思考：公式①、②、③、④该如何记忆？
[提示] “ 函数名不变，符号看象限”
1.sin(－30°)的值是( )
A． B．－
C． D．－
B [sin(－30°)＝－sin 30°＝－.]
2.cos －sin＝________.
[cos －sin＝cosπ＋sinπ
＝cos＋sin＝cos ＋sin＝＋＝]
3.化简：＝________.
1 [＝
＝＝＝1.]
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数式的值．
(1)cos 210°；(2)sin π；
(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
[解](1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin＝sinπ＝sin＝sin＝.
(3)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1(“ 负化正” ：用公式②或③来转化.
(2(“ 大化小” ：用公式①将角化为0°到360°间的角.
(3(“ 小化锐” ：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角.
(4(“ 锐求值” ：得到锐角的三角函数后求值.
1.求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解](1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
给值(式)求值问题
【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)cos(180°－α)等于( )
A． B．
C． D．－
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.
(2)[解] ∵cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝，
∴cos－sin2＝－－＝－.
1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2.已知sin β＝ ，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
D [∵cos(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.]
三角函数式的化简
【例3】 化简下列各式．
(1)；
(2).
[解](1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
三角函数式的化简方法：
(1(利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2(常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3(注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
3.化简下列各式．
(1)；
(2).
[解](1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
1.诱导公式的记忆
诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“ 函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
2.利用诱导公式，还可以得出如下公式
sin(2π－α)＝－sin α；
cos(2π－α)＝cos α；
tan(2π－α)＝－tan α.
1.sin 690°的值为( )
A． B．
C．－ D．－
C [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.]
2.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [2 019°＝6×360°－141°，
∴cos 2 019°＝cos(－141°)＝cos 141°<0，
sin 2 019°＝sin(－141°)＝－sin 141°<0，
∴点P在第三象限．]
3.已知sin(π＋α)＝ ，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B．
C．± D．
B [sin α＝－ ，又α是第四象限角，
∴cos(α－2π)＝cos α＝＝.]
4.的化简结果为________．
1 [原式＝＝1.]
课件37张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式①、②、③、④给角求值问题 给值(式)求值问题 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点)
2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
1.诱导公式⑤
sin＝cos α；
cos＝sin α.
2.诱导公式⑥
sin＝cos α；
cos＝－sin α.
3.诱导公式⑦
sin＝－cos α；
cos＝sin α.
4．诱导公式⑧
sin＝－cos α；
cos＝－sin α.
思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？
[提示] 诱导公式可以归纳为k·＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．
1.已知sin 40°＝a，则cos 130°＝( )
A．a B．－a
C． D．－
B [cos 130°＝cos(90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.]
2.若cos>0，且sin<0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C [由于cos＝－sin θ>0，所以sin θ<0，
又因为sin＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．]
3.如果cos(π＋A)＝－ ，那么sin等于( )
A．－ B．
C．－ D．
B [cos(π＋A)＝－cos A＝－ ，
∴cos A＝ ，∴sin＝cos A＝.]
利用诱导公式求值
【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值．
(2)已知cos＝，求cossin的值．
[解](1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又α为第一象限角．
则cos＝－sin α＝－
＝－＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
1.已知sin＝，求cos的值．
[解] ∵＋α＋－α＝，∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
利用诱导公式化简
【例2】 化简，其中k∈Z.
[解] k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝＝1.
k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)．
仿上化简得：原式＝1.
故原式＝1.
用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
2.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝ ，求f(α)．
[解](1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)由题意知cos α＝－＝－ ，
∴f(α)＝－cos α＝.
诱导公式的综合应用
【例3】 已知f(x)＝.
(1)化简f(x)；
(2)若x是第三象限角，且cos＝，求f(x)的值；
(3)求f.
[解](1)原式＝
＝
＝
＝tan x.
(2)∵cos＝－sin x，
∴sin x＝－.
∵x是第三象限角，
∴cos x＝－＝－.
∴f(x)＝tan x＝＝＝.
(3)f＝tan
＝－tan＝－tan ＝－.
本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
3.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“ 奇变偶不变，符号看象限” ，是记住这些公式的有效方法．
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
1.若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B．
C． D．－
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－sin α＝－.]
2.已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
A [cos＝cos＝－sin＝－.]
3.如果cos α＝，且α是第四象限的角，，则cos＝________.
[∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－.
∴cos＝－sin α＝.]
4．已知sin φ＝ ，求cos＋sin(3π－φ)的值．
[解] ∵sin φ＝ ，∴cos＝cos
＝cos＝cos＝sin φ＝ ，
∴cos＋sin(3π－φ)＝＋sin(π－φ)
＝＋sin φ＝.
课件35张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.4 诱导公式
第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
利用诱导公式求值 利用诱导公式化简 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 三角函数的定义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.给出下列函数值：① sin(－1 000°)；② cos；③ tan 2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；
∵－ 是第四象限角，∴cos>0；∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.]
2.已知α∈且sin α＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．cos α·tan α＜0 B．sin α·tan α＞0
C．cos α－tan α＜0 D．sin α－tan α＞0
D [已知α∈且sin α＞0，则α∈，所以cos α＜0，tan α＜0，
所以对于选项A：cos α·tan α＞0，故选项A错误．
对于选项B：sin α·tan α＜0故选项B错误．
对于选项C：cos α－tan α不能确定符号，故选项C错误．
对于选项D：sin α－tan α＞0，故选项D正确．故选D．]
3.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )
A． B．－
C．－ D．－
A [∵sin 30°＝ ，cos 30°＝ ，
∴P点坐标为(1，－)，∴r＝2，cos α＝＝.]
4．若α为第二象限角，则－＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
C [∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴－＝＋＝2.]
5．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由题意知：sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．]
6．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan 与sin C
D [∵0＜A＜π，∴0＜ ＜ ，∴tan ＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.]
二、填空题
7．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________．
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋ ，k∈Z} [∵cos x＝|cos x|，∴cos x≥0，
∴角x的终边落在y轴或其右侧，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．]
8．下列函数值：① sin 4，② cos 5，③ tan 8，其中函数值为正的是________．
② [∵π<4< ，∴sin 4<0，∵<5<2π，
∴cos 5>0；
∵<8<3π，∴tan 8<0.]
9．已知角α的终边上一点(1，m)，且sin α＝，则m＝_______.
[角α的终边上一点P(1，m)，所以r＝|OP|＝，所以sin α＝＝，
所以m＞0，解得m＝.]
三、解答题
10．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝ ，
得sin α＝＝ ，cos α＝＝ ，tan α＝2；
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝ ，得sin α＝＝－ ，cos α＝＝－ ，tan α＝2.
[等级过关练]
1.已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是为第几象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
A [∵tan x>0，∴x是第一或第三象限角．又∵sin x＋cos x>0，∴x是第一象限角．]
2.已知角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－ ，则b的值为( )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
A [r＝ ，∴cos α＝＝－ ，∴b2＝9，b＝±3.
又cos α＝－<0，∴－b<0，b>0，∴b＝3.]
3.已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
－2
0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－24．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
2 [∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.]
5．已知＝－ ，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解](1)由＝－ ，
可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴α是第三或第四象限角或终边x轴的非负轴上的角，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
课时分层作业(四) 单位圆与三角函数线
(建议用时：60分钟)[合格基础练]
一、选择题
1.已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．y轴的非负半轴上 B．y轴的非正半轴上
C．x轴上 D．y轴上
D [由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y轴上．]
2.如果MP、OM分别是角α＝ 的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
D [如图可知，OM>MP>0.]
3.有三个命题：① 与 的正弦线相等；② 与 的正切线相等；③ 与 的余弦线相等．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
B [根据三角函数线定义可知， 与 的正弦线相等， 与 的正切线相等， 与 的余弦线相反．]
4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aC．cC [如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM>0，a＝MP<0，
c＝AT<0，且MP>AT.
∴b＞a＞c，即c＜a＜b.]
5．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( )
A．aC．bD [如图，
在单位圆O中分别作出角π、π、π的正弦线M1P1，余弦线OM2、正切线AT.由π＝π－π知M1P1＝M2P2，又<π<，易知AT>M2P2>OM2，
∴cosπ6．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin αA [如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM二、填空题
7．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
1 [角α的终边在y轴上，其正弦线的长度为1.]
8．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________．
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) [sin θ≥0，如图利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z.]
9．比较大小：sin 1________sin (填“>”或“<”)．
< [0<1<< ，结合单位圆中的三角函数线知sin 1三、解答题
10．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin θ≥；(2)－≤cos θ<.
[解](1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ＋≤θ≤2kπ＋ ，k∈Z.
(2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ－ π≤θ<2kπ－ 或2kπ＋<θ≤2kπ＋ π，k∈Z.
(1) (2)
[等级过关练]
1.点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b.sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|即|a|＜|b|，所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]
2.使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A． B．
C． D．[0，π]
A [如图，
画出三角函数线
sin x＝MP，cos x＝OM，
由于sin＝cos，sin＝cos ，
为使sin x≤cos x成立，
则由图可得－≤x≤.]
3.若0<α<2π，且sin α< ，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
∪ [利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，
所以α的取值范围是
∪.]
4．函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
(n∈Z) [∵3－4sin2x＞0，
∴sin2x＜，
∴－＜sin x＜.
如图所示．
∴x∈∪(k∈Z)，
即x∈(n∈Z)．]
5．求函数f(x)＝＋ln(sin x－)的定义域
[解] 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.下列结论中成立的是( )
A．sin α＝ 且cos α＝ B．tan α＝2且＝
C．tan α＝1且cos α＝± D．sin α＝1且tan α·cos α＝1
C [A中，sin2α＋cos2α＝ ≠1，故不成立；B中，＝ ，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．]
2.化简 的结果是( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
C [∵0<< ，∴cos >0.∴ ＝＝cos .]
3.已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A． B．±
C． D．－
C [由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.]
4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( )
A． B．
C． D．
B [1＋sin θcos θ＝＝＝＝.]
5．若sin θ＝ ，cos θ＝ ，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3C [由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.]
6．函数y＝＋的值域是( )
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
C [y＝＋.当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.]
二、填空题
7．已知＝1，则α在第________象限．
二或四 [由＝1?tan α＝－1<0.∴α在第二或第四象限．]
8．化简－ 的结果为________．
－2tan2α [－
＝
＝＝＝－2tan2α.]
9．在△ABC中， sin A＝ ，则角A＝________.
[由题意知cos A>0，即A为锐角．
将 sin A＝ 两边平方得2sin2A＝3cos A．
∴2cos2A＋3cosA－2＝0，
解得cos A＝ 或cos A＝－2(舍去)，∴A＝.]
三、解答题
10．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解](1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝， ①
sin θ·cos θ＝m. ②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，
所以θ＝或.
[等级过关练]
1.已知－<θ< ，且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A．－3 B．3或
C．－ D．－3或－
C [因为sin θ＋cos θ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sin θcos θ＝<0，故－<θ<0且cos θ>－sin θ，
∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－<θ<0，－12.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
D [sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.]
3.已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
－1 [由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝
＝＝－1.]
4．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
1 [∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，
当sin α＝0时cos α＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时sin α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.]
5．是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．
[解] 设这两个锐角为A，B，
∵ A＋B＝90°，∴ sin B＝cos A，
所以sin A，cos A为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．
所以
② 代入① 2，得9k2－8k－20＝0，解得k1＝2，k2＝－ ，当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，
∵ Δ<0，∴ 方程无解；将k＝－ 代入② ，得sin Acos A＝－<0，
所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.
课时分层作业(六) 诱导公式①、②、③、④
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算sin的值为( )
A．－ B． C． D．－
D [sin＝－sin ＝－.]
2.计算sin2(π－α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是( )
A．1 B．2
C．0 D．2sin2α
B [sin2(π－α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.]
3.计算sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是( )
A． B．
C． D．
A [原式＝sin230°＋sin245°－2sin 30°＋cos245°＝＋－1＋＝.]
4．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A． B．－
C．± D．以上都不对
B [∵sin(π－α)＝sin α＝log23 2－2＝－，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]
5．已知tan＝ ，则tan＝( )
A． B．－
C． D．－
B [∵tan＝tan＝－tan，∴tan＝－.]
6．在△ABC中，给出下列四个式子：
① sin(A＋B)＋sin C；② cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C．
其中为常数的是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
B [①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．故选B．]
二、填空题
7．已知cos＝ ，则cos＝________.
－ [∵－θ＋＋θ＝π，∴－θ＝π－，
∴cos＝cos＝－cos＝－.]
8．若tan(5π＋α)＝m，则 的值为________．
[由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.
于是原式＝＝＝.]
9．已知cos(508°－α)＝ ，则cos(212°＋α)＝________.
[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)
＝cos(148°－α)＝ ，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.]
三、解答题
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解] 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
综上所述，A＝，B＝，C＝π.
[等级过关练]
1.若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β D．cos(2π－α)＝cos β
A [∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，
∴sin α＝sin(π－β)＝sin β.]
2.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 015)等于( )
A．4 B．3
C．－5 D．5
D [f(2 009)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5，
f(2 015)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5.]
3.已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝________.
[∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，
∵π<α<2π，∴<α<2π，∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－＝.]
4．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
－2 [因为f＝sin＝sin
＝sin＝ ，
f＝f－1＝f－2＝sin－2
＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.]
5．是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β) 同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立．理由如下：
由sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β) 得，
两式平方相加得，
sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝ ，即sin α＝±.
因为α∈，所以α＝ 或α＝－.将α＝ 代入 cos α＝ cos β，得cos β＝ ，
由于β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝－ 代入sin α＝ sin β，得sin β＝－ ，由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．
综上可知，存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立．
课时分层作业(七) 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知sin＝ ，α∈，则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D．
A [由已知得，cos α＝ ，又α∈，
所以sin α＝－＝－＝－.因此，tan α＝＝－2.]
2.已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.]
3.已知sin(75°＋α)＝ ，则cos(15°－α)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
B [∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
∴cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝.]
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
C [∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.]
5．已知＝2，则sin(θ－5π)sin等于( )
A． B．±
C． D．－
C [∵＝2，sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sin
＝sin θ cos θ＝＝＝.]
6．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A． B．
C．－ D．－
B [sin 239° tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.]
二、填空题
7．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
－sin2α [原式＝－sin(7π＋α)·cos＝－sin(π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.]
8．若sin＝ ，则cos2θ－sin2θ＝________.
－ [sin＝cos θ＝ ，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.]
9．sin2＋sin2＝________.
1 [因为＋＝ ，
所以sin2＋sin2
＝sin2＋cos2－x＝1.]
三、解答题
10．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
[解] sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
[等级过关练]
1.在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2＋sin2 D．sin sin
C [sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1.]
2.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )
A． B． C． D．
C [由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．]
3.计算sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.]
4．已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
[sincos
＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝，cos α＝.]
5．已知sin α＝ ，求tan(α＋π)＋的值．
[解] 因为sin α＝ >0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.
①当α为第一象限角时，cos α＝＝ ，
原式＝＝.
②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－ ，
原式＝＝－.
综合①②知，原式＝ 或－.
