7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)
2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像．(难点)
1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．
2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.
1.正弦函数的性质
(1)函数的周期性
①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋ ，(k∈Z)时，y最大值＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，y最小值＝－1
2.正弦函数的图像
(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，要想得到y＝sin x(x∈R)的图像，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．
(2)“ 五点法” 作y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，，(π，0)，和和(2π，0)．
思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？
[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)… ，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋ ，(k∈Z)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．
1.函数y＝xsin x是( )
A．奇函数，不是偶函数 B．偶函数，不是奇函数
C．奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数
B [f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，∴y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．]
2.下列图像中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )
D [把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]
3.点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
C [由题意－m＝sin ，∴－m＝1，
∴m＝－1.]
三角函数奇偶性的判定
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)．
[解](1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
∵f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1
解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵ f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴ f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x(与f(－x(的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
1.判断函数f(x)＝cos＋x2sin x的奇偶性．
[解] 原式＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
正弦函数的单调性及应用
【例2】 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°和cos 160°；
(2)sin 和cos .
[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
[解](1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°.
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
(2)∵cos ＝sin，
又<<π<＋<π，
y＝sin x在上是减函数，
∴sin >sin＝cos ，
即sin >cos .
比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.
2.比较大小：
(1)sin 250°与sin 260°；
(2)sin与sin.
[解](1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，
所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.
(2)sin＝－sin ＝－sin
＝－sin＝－sin .
sin＝－sin ＝－sin .
因为0＜＜＜，且函数y＝sin x，x∈是增函数，
所以sin ＜sin ，－sin>－sin，
即sin＜sin.
正弦函数的值域与最值问题
【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝3＋2sin；
(2)y＝1－2sin2x＋sin x.
[思路探究](1)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．
(2)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．
[解](1)∵－1≤sin≤1，
∴－2≤2sin≤2，
∴1≤2sin＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin的值域为[1,5]．
(2)y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为.
1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．
2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x就得出－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
3.设|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
[解] f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋.
∵|x|≤，
∴－≤sin x≤，
∴当sin x＝－时取最小值为.
正弦函数的图像
【例4】 用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
[解] 按五个关键点列表：
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
y＝1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－；y最小值为－1，此时x＝.
1.解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取－π，－，0，，π，然后相应求出y值，作出图像．
2.“五点法”作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
3.仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．
4．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]上的图像．
[解] 取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝＋sin x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
1.正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
2.正弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称．
(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
3.正弦函数单调性的说明
(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
4．正弦函数最值的释疑
(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.
(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．
5．“ 五点法” 画正弦函数图像
“ 五点法” 是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
1.以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
B [观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．]
2.函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
D [可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B．]
3.若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
[－1,0] [因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．
[解] 列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：
课件48张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像非零常数T每一个周期所有周期中最小的正数最小的正数三角函数奇偶性的判定 正弦函数的单调性及应用点击右图进入…Thank you for watching !7.3.2 正弦型函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．(重点)
2.会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．(难点)
通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.
1.正弦型函数
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，w≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝，频率f＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．
2.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：
(4)用“变换法”作图：
y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像y＝sin(ωx＋φ)的图像y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
思考：由y＝sin x的图像，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？
[提示] 变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)．
1.函数y＝4sin＋1的最小正周期为( )
A． B．π
C．2π D．4π
B [T＝＝π.]
2.要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
B [将y＝sin x的图像向左平移个单位可得到y＝sin的图像．]
3.已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.
10π 3 [由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.]
正弦型函数的性质与图像
【例1】 用“五点法”作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究] 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解] ①列表：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝＝ ，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋ π(k∈Z)．
1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0， ，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像．
2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．
1.作出函数y＝ sin在x∈上的图像．
[解] 令X＝2x－ ，列表如下：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点连线得图像如图所示．
正弦型函数的图像变换
【例2】 函数y＝2sin－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究] 由周期知“ 横向缩短” ，由振幅知“ 纵向伸长” ，并且需要向左、向下移动．
[解] 法一：y＝sin x
三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略
(1(确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.
(2(已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图像，只需把函数y＝sin x，x∈R的图像上所有的点：
①向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)；
②向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)；
③向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
③ [y＝sin xy＝sin
y＝sin.]
求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】 如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像，确定其一个函数解析式．
[思路探究] 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.
[解] 由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点A，
∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移 个单位得到，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
确定函数y＝Asin(ωx＋φ(的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1(代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω已知或代入图像与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上(.
(2(五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点(为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”(为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点(为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像的“谷点”(为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．
[解] 由图像可知
A＝2，＝－＝1，∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin(πx＋φ)．
代入得2sin＝2，
∴sin＝1，∵|φ|＜ ，
∴φ＝ ，∴y＝2sin.
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
[探究问题]
1.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(k∈Z)成中心对称．
【例4】 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝ 对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[思路探究] 利用正弦函数的性质解题．
[解](1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋ ，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
(2)∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝ 对称，
∴f(0)＝f，即sin φ＝sin＝cos φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝ ，∴f(x)＝sin.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心(k∈Z)．
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．
2.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
4．函数f(x)＝3sin的图像为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图像C关于直线x＝ 对称；
②图像C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图像向右平移 个单位长度可以得到图像C．
②③ [f＝3sin＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图像向右平移 个单位，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图像，故④错．
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 (纵坐标不变)而得到的．
3.A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当04．由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝ ，x2＝ 是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B． C．1 D．
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－ ，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A．]
2.要得到y＝3sin的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
C [y＝3sin 2x的图像y＝3sin2x＋的图像，即y＝3sin的图像．]
3.函数y＝2sin图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋＝kπ＋ ，k∈Z，
x＝kπ＋ ，k∈Z，
k＝0时，x＝.]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝＝.又x＝6时，×6＋φ＝0，∴φ＝－ ，且|φ|<π.
∴所求函数的解析式为y＝2sin
课件55张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.2 正弦型函数的性质与图像右左A 正弦型函数的性质与图像 正弦型函数的图像变换 点击右图进入…Thank you for watching !7.3.3 余弦函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．(重点)
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)
1.通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．
2.借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
1.余弦函数的图像
把正弦函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图像，该图像称为余弦曲线．
2.余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
3.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
思考：在[0,2π]上画余弦函数图像的五个关键点是什么？
[提示] 画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
1.用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
B [令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B．]
2.使cos x＝1－m有意义的m的值为( )
A．m≥0 B．0≤m≤2
C．－11
B [∵－1≤cos x≤1，∴－1≤1－m≤1，
解得0≤m≤2.故选B．]
3.比较大小：(1)cos 15°________cos 35°；
(2)cos________cos.
(1)>(2)< [(1)∵y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°，
所以cos 15°>cos 35°.
(2)∵cos＝cos ，cos＝cos ，
并且y＝cos x在x∈[0，π]上为减函数，
又∵0<<<π，
∴cos >cos ，即cos用“五点法”作余弦型函数的图像
【例1】 用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．
[思路探究] 在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图
1.“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点．
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
1.用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0,2π]的简图．
[解] 按五个关键点列表、描点画出图像(如图)．
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cos x
1
3
5
3
1
求余弦型函数的单调区间
【例2】 求函数y＝cos的单调递减区间．
[思路探究] 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cos化为y＝cos形式，故只需求y＝cos的单调递减区间即可．
[解] y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z.
1.求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2.具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
2.求函数y＝2的单调递增区间．
[解] y＝2＝2.结合y＝|cos x|的图像．由kπ－≤x－≤kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝2的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
有关三角函数的最值问题
【例3】 已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
[思路探究] 欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
[解] ∵函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得
∴
当b<0时，由题意得
∴
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.
函数的最大值均为2.
1.对于求形如y＝acos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围．
2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
3.函数y＝sin2x＋cos x的值域为________．
[设cos x＝t，因为－≤x≤，则t∈，
所以y＝1－cos2x＋cos x＝－2＋，t∈，
故当t＝，即x＝±时，y的最大值为；
当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.
所以函数的值域为.]
正、余弦函数的对称性
[探究问题]
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示] 正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
2.正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示] 正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．
3.如何求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示] 只需令ωx＋φ＝kπ＋即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．
【例4】 已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
[解](1)令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z.
令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1(f(x(＝Asin(ωx＋φ((或Acos(ωx＋φ((的图像关于x＝x0对称?f(x0(＝A或－A.
(2(f(x(＝Asin(ωx＋φ((或Acos(ωx＋φ((的图像关于点(x0，0(中心对称?f(x0(＝0.
4．把函数y＝cos的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．
[解] 由题意平移后的函数为y＝cos，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos取得最大值为1或最小值为－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)．
∴φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值.
1.余弦曲线和正弦曲线的关系
2.余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3.余弦函数的奇偶性
(1)余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
4．余弦函数单调性的说明
(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．余弦函数最值的释疑
(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1.
(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值.
1.下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
D [∵T＝＝，∴ω＝4.]
2.函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
B [∵y＝sin＝sin
＝－sin＝－cos x，∴函数y＝sin是偶函数．]
3.函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是___________．
[0，π] [y＝cos(－x)＝cos x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos x
0
1
2
1
0
描点连线，如图．
课件51张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.3 余弦函数的性质与图像1－1用“五点法”作余弦型函数的图像求余弦型函数的单调区间 点击右图进入…Thank you for watching !7.3.4 正切函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间上的性质．(重点)
2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．(重点、难点)
1.通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．
2.借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.
1.正切函数的性质
(1)函数y＝tan x 的图像与性质.
解析式
y＝tan x
图像
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间 k∈Z 内都是增函数
(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是.
2.正切函数的图像
(1)正切函数的图像：
y＝tan x 的图像如图．
(2)正切函数的图像叫做正切曲线．
(3)正切函数的图像特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z) 且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
思考：正切函数的图像是对称的吗？
[提示] 正切函数是奇函数，其图像关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(k∈Z)，正切函数的图像不是轴对称图形．
1.函数y＝－3tan x＋7的值域是( )
A．R B．
C．(0，＋∞) D．(k∈Z)
A [因为y＝tan x，x∈R的值域为R，所以y＝－3tan x＋7的值域也为R.]
2.y＝tan定义域为________．
[∵2x－≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠＋π，k∈Z.]
3.函数y＝tan的单调增区间为________．
，k∈Z [令kπ－得kπ－π即y＝tan的单调增区间为
，k∈Z.]
正切函数的定义域、值域问题
【例1】(1)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________．
(2)函数y＝tan(sin x)的值域为________．
(3)求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈的值域．
[思路探究](1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．
(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
(1)(2)[－tan 1，tan 1] [(1)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则即－1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.
(2)因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]?，
所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．]
(3)[解] 令t＝tan x，
∵x∈，∴t＝tan x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，y取最大值6，
t＝－时，y取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]．
1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z；
(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
2.解正切不等式的两种方法：
(1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
1.求函数y＝的定义域．
[解] 根据题意，
得解得(k∈Z)．
所以函数的定义域为
∪(k∈Z)．
正切函数的奇偶性、周期性
【例2】(1)函数y＝4tan的周期为________．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
[思路探究](1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
(2)可按定义法的步骤判断．
(1) [由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.]
(2)[解] ①由
得f(x)的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
1.函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
2.(1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
[解](1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，
关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x
＝－f(x)，
∴函数是奇函数.
正切函数的单调性
【例3】(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路探究](1)可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可．
(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在上的单调性判断大小关系．
[解](1)y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是2kπ－，2kπ＋π(k∈Z)，无增区间．
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2求y＝Atan(ωx＋φ(的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ3.(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解](1)∵y＝tan单调区间为(k∈Z)，
∴kπ－<2x－＋∴函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ，
tan＝－tan＝－tan ，又0<<<，
而y＝tan x在上单调递增，
所以tan －tan ，
即tan>tan.
正切函数的图像及应用
【例4】 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
[解] 由y＝|tan x|得，
y＝
其图像如图所示．
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
1.作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
(1)保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
(2)将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
4．设函数f(x)＝tan，
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
[解](1)∵f(x)＝tan，
∴w＝，周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝.
令－＝，则x＝.
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数f(x)＝tan－在一个周期内的简图(如图)．
1.对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
2.“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
3.解答正切函数图像与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图像的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.
1.函数y＝tan x的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
B [根据函数的单调性可得．]
2.直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B． C． D．
C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.]
3.函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.]
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
[解](1)要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义，则－tan x>0，所以tan x<.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像(图略)，
得kπ－课件57张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.4 正切函数的性质与图像R 奇函数 正切曲线 y轴 正切函数的定义域、值域问题 正切函数的奇偶性、周期性 点击右图进入…Thank you for watching !7.3.5 已知三角函数值求角
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角．(重点、难点)
2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1.已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y.
2.已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．
3.已知正切值，求角
一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_y.
思考：符号arcsin a(a∈[－1,1])arccos a(a∈[－1,1])，arctan a(a∈R)分别表示什么？
[提示] arcsin a表示在区间上，正弦值为a的角；arccos a表示在区间上，余弦值为a的角；arctan a表示在区间上，正切值为a的角．
1.下列说法中错误的是( )
A．arcsin＝－ B．arcsin 0＝0
C．arcsin(－1)＝π D．arcsin 1＝
C [根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－，故C项错误．]
2.已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝( )
A． B． C．或 D．或
D [因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D．]
3.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________.
或 [∵x∈[0，π]，
∴2x∈[0,2π]．
∵tan 2x＝－，
∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.]
已知正弦值求角
【例1】 已知sin x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
[思路探究] 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
[解](1)∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限角，且sin ＝sin＝，
∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
2.对于已知正弦值求角有如下规律：
sin x＝a(|a|≤1)
x∈
x∈[0,2π]
x＝arcsin a
0≤a≤1
－1≤a＜0
x1＝arcsin a
x2＝π－arcsin a
x1＝π－arcsin a
x2＝2π＋arcsin a
1.已知sin α＝，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R.
[解](1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝arcsin .
(2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)，
α2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)，
即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z).
已知余弦值求角
【例2】 已知cos x＝－.
(1)当x∈[0，π]时，求值x；
(2)当x∈R时，求x的取值集合．
[思路探究] 解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．
[解](1)∵cos x＝－且x∈[0，π]，
∴x＝arccos.
(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角．
由(1)知x＝arccos是第二象限角，
又cos
＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或
x＝2π－arccos＋2kπ(k∈Z)时，
cos x＝－，即所求x值的集合是
.
cos x＝a(－1≤a≤1(，当x∈[0，π]时，则x＝arccos a，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}.
2.已知cos x＝－且x∈[0,2π)，求x的取值集合．
[解] 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限角，由cos＝－cos ＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos＝－cos ＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝.
故所求角的集合为.
已知正切值求角
【例3】 已知tan α＝－3.
(1)若α∈，求角α；
(2)若α∈R，求角α.
[思路探究] 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解．
[解](1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．
(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．
1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角．
2.tan α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k∈Z}．
3.已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
[解] ∵tan x＝－1＜0，
∴x是第二或第四象限角．
由tan＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
三角方程的求解
[探究问题]
1.已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？
[提示] 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．
2.怎样求解三角方程？
[提示] 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccos a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．
【例4】 若cos x＝cos，求x的值．
[思路探究] 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角．
[解] 在同一个周期[－π，π]内，
满足cos x＝cos的角有两个：和－.
又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos的x为2kπ±(k∈Z)．
已知三角函数值求角的步骤：
(1(由三角函数值的符号确定角的象限；
(2(求出[0，2π(上的角；
(3(根据终边相同的角写出所有的角.
4．已知sin x＝，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．
[∵x∈[0,2π]，且sin x＝＞0，
∴x∈(0，π)，当x∈时，
y＝sin x递增且sin＝，
∴x＝，又sin＝sin＝，
∴x＝也符合题意．
∴x的取值集合为.]
1.反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围
名称
反正弦
反余弦
反正切
记法
arcsin α
arccos α
arctan α
取值范围
[0，π]
2.已知三角函数值求角的步骤
一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0,2π]的角；四、给答案．
3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．
1.已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A． B．
C． D．
B [因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝.]
2.函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．
[由题意可得，
解得1≤x≤，所以函数的定义域为.]
3.等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________.
π－2arcsin [由题意，α∈，又sin α＝，
所以<α<，<2α<，<π－2α<，
所以β＝π－2arcsin.]
4．求值：.
[解] arcsin ＝，arccos＝，
arctan(－)＝－，
∴原式＝＝1.
课件46张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.5 已知三角函数值求角已知正弦值求角 已知余弦值求角 点击右图进入…Thank you for watching !
三角函数的定义
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例1】 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
－8 [r＝＝，且sin θ＝－，
所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.]
1.已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1.若角α的终边在直线y＝3x上，且sin α＜0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，求sin α，cos α，tan α.
[解] ∵sin α＜0，且角α的终边在直线y＝3x上，∴角α的终边在第三象限，又∵P(m，n)为终边上一点，∴m＜0，n＜0.
又∵∴
∴sin α＝＝－＝－，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝3.
同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
诱导公式是解决三角函数关系式化简、求值、证明的前提和基础．解答此类问题时常用到分类讨论思想、函数与方程的思想，主要体现在三角函数的定义、化简、求值等知识上．
【例2】 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解] 由根与系数的关系得：
sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋＝＋
＝－＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
两边平方可得：
1＋2sin θcos θ＝，
1＋2×＝1＋，
m＝.
(3)由m＝可解方程：
2x2－(＋1)x＋＝0，得两根和.
∴ 或
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或.
1.牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
2.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解](1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝，
又∵<α<，∴cos α∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－π＝－6×2π＋，∴f＝
cos·sin＝cos·sin
＝cos·sin＝×＝.
三角函数的图像及变换
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
【例3】 某同学用“ 五点法” 画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心．
[解](1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
因此，g(x)＝5sin＝5sin.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图像的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.
本题是“ 五点法” 作图的具体体现，对于已知图像用“ 五点法” 确定初相，这五点一定要在同一周期内；第二、第四点应分别为图像的最高点和最低点，第二、第四两点之间的图像与x轴的交点为第三点，而第五点则是最低点后面最靠近最低点的图像与x轴的交点.
3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，其中A>0，ω>0,0<φ< 的周期为π，且图像上一个最高点为M，(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值，并写出相应的x值．
[解](1)∵T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
又∵图像上一个最高点为M，
∴A＝2.
且2×＋φ＝，φ＝ ，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵0≤x≤ ，
∴≤2x＋≤ ，
∴≤sin≤1.
1≤f(x)≤2.
当2x＋＝，即x＝0时，f(x)最小值为1；
当2x＋＝，即x＝ 时，f(x)最大值为2.
三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
【例4】 已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
[思路探究](1)将2x＋ 看成一个整体，利用y＝sin x的单调区间求解．
(2)先求x∈时，2x＋ 的范围，再根据最值求a的值．
(3)先求f(x)取最大值时2x＋ 的值，再求x的值．
[解](1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤ ，∴≤2x＋≤ ，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，
∴2x＝＋2kπ，∴{x|x＝＋kπ，k∈Z}，
∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝＋kπ，k∈Z.
研究y＝Asin(ωx＋φ(的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.
4．在下列给出的函数中，以π为周期且在内是增函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝tan
D [由函数周期为π可排除选项A．x∈时，2x∈(0，π)，2x＋ ∈，此时B，C项中函数均不是增函数．故选D．]
转化与化归思想在三角函数中的应用
【例5】 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a、b的值．
[解] 令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－＋＋b＋1，
且t∈[－1,1]．
下面根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0解得(舍)
或(舍)
都不满足a的范围，舍去．
综上所述，a＝2，b＝－2.
转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题.
5．已知定义在(－∞ ,3]上的单调减函数f(x)使得f(1＋sin2x)≤f(a－2cos x)对一切实数x都成立，求a的取值范围．
[解] 根据题意，对一切x∈R都成立，有：
?
??
?∴a≤－1.
数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“ 以形助数” 和“ 以数解形” 使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的．“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系．“以数解形” 是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性．由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影．
【例6】 函数y＝ 的最小值为________，最大值为________．
[思路探究] 根据题目特征，构造符合题意图形，运用“ 数形结合” 思想往往可以很简捷地解决问题．
[如图所示，y＝ 可看做定点A(3,2)与动点B(－cos x，sin x)连线的斜率，而动点(－cos x，sin x)是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题．根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，所以最小值为 ，取最大值为.]
6．求函数y＝ 的值域．
[解] 将y＝ 看成是单位圆上的点(cos x，sin x)到点(2，－1)的斜率，即求斜率的范围．如图所示，
由解析几何知识可求得过点(2，－1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k∈，即值域y∈.
课件48张PPT。第七章 三角函数章末复习课三角函数的定义 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用 三角函数的图像及变换 三角函数的性质 转化与化归思想在三角函数中的应用 数形结合思想 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 余弦函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于原点和坐标轴对称
C [由y＝－cos x的图像知关于原点和x轴对称．]
2.设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
B [∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]
3.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
A [因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin的周期为π，且在上为减函数．]
4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A． B．∪
C． D．
A [∵sin x>|cos x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈.]
5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
D [作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.]
6．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
D [∵T＝＝≤2，∴|k|≥4π，又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.]
二、填空题
7．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________.
± [∵4π＝ ，∴ω＝±.]
8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(－π，0] [∵y＝cos x在[－π，0]上为增函数，
又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]?[－π，0]，∴a≤0.
又∵a>－π，∴－π9．方程x2＝cos x的实根的个数是________．
2 [在同一坐标系中，作出y＝x2和y＝cos x的图像如图，由图可知，有两个交点，也就是实根的个数为2.
]
三、解答题
10．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，求|φ|的最小值．
[解] 由题意得3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，∴φ＝kπ－ ，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
[等级过关练]
1.函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是( )
A．－1 B．1
C．－ D．－5
C [由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2(1－cos2x)＋2cos x－3＝－2－.∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，函数有最大值－.]
2.方程cos x＝lg x的实根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
C [如图所示，
作出函数y＝cos x和y＝lg x的图像．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．]
3.函数y＝ 的定义域是________．
，k∈Z [2cos x＋1≥0，
cos x≥－ ，
结合图像知x∈，k∈Z.]
4．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为 ，且满足f(x)＝ 则f＝________.
[∵T＝ ，∴f＝f
＝f＝sin＝.]
5．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
[解] 由5cos＝ ，
得cos＝.
∵函数y＝cos x在每个周期内出现函数值为 有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值 不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.
课时分层作业(十一) 正切函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.与函数y＝tan的图像不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
D [当x＝ 时，2x＋＝ ，而 的正切值不存在，所以直线x＝ 与函数的图像不相交．]
2.在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图像(如图所示)，可以看到在区间内二者有三个交点．]
3.已知函数y＝tan ωx在内是增函数，则( )
A．0＜ω≤2 B．－2≤ω＜0
C．ω≥2 D．ω≤－2
A [根据函数y＝tan ωx在内是增函数，可得ω≤，
求得ω≤2，再结合ω＞0，故选A．]
4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．
A [由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.]
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图像关于点成中心对称
D．图像关于直线x＝成轴对称
B [令kπ－6．已知a，b是不等于1的正数，θ∈，若atan θ＞btan θ＞1，则下列关系式成立的是( )
A．a＞b＞1 B．a＜b＜1
C．b＜a＜1 D．b＞a＞1
B [∵θ∈，∴－tan θ＞0.
由atan θ＞btan θ＞1，即＞＞1，
知＞＞1，∴a＜b＜1.]
二、填空题
7．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相邻两支的交点的距离为________．
[直线y＝a与函数y＝tan ωx的图像相邻两支的交点的距离正好是一个周期．]
8．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
[－1,0) [函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.]
9．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
[－4,4] [∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，y的最小值为－4，
当t＝1，即x＝时，y最大值为4.
故所求函数的值域为[－4,4]．]
三、解答题
10．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
[解] y＝tan x＋|tan x|＝
其图像如图所示，
由图像可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；
最小正周期T＝π.
[等级过关练]
1.函数y＝ 的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
C [要使函数有意义，只需logtan x≥0，即02.函数y＝cos x|tan x|，x∈的大致图像是( )
A B C D
C [当－3.函数f(x)＝lg 为________函数(填“ 奇” 或“ 偶”)．
奇 [由>0，
得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．]
4．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图像不相交，则k＝________.
或－ [直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图像不相交，由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋ ，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝ 或k＝－.]
5．已知－≤x≤ ，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
[解] ∵－≤x≤ ，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－ 时，f(x)有最小值为1，
当tan x＝1即x＝ 时，f(x)有最大值为5.
课时分层作业(十二) 已知三角函数值求角
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知sin x＝，x∈，则x＝( )
A．arcsin B．＋arcsin
C．π－arcsin D．
C [∵arcsin∈，∴π－arcsin∈，
∴sin x＝，x∈，x＝π－arcsin.]
2.若sin(x－π)＝－，且－2πA．π B．－π
C．－π或－π D．π或－π
C [∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，
∴sin x＝，∴x＝2kπ＋(k∈Z)，又因－2π3.已知cos x＝－，x∈[0，π]，则x的值为( )
A．arccos B．π－arccos
C．－arccos D．π＋arccos
B [arccos∈，∴π－arccos∈.
∴cos x＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos.]
4．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值为( )
A．， B．±
C．± D．±
C [由cos(π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－，又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，∴x＝±.]
5．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值为( )
A． B．－
C． D．－
A [arccos＝，故底角为＝，∴tan＝.]
6．已知tan x＝，则x＝( )
A． B．
C． D．
A [由正切函数的性质可知，由tan x＝，得x＝kπ＋，
即方程的根为，k∈Z.]
二、填空题
7．已知cos＝－，x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．
[令θ＝2x＋，∴cos θ＝－.
当0≤θ≤π时，θ＝，当π≤θ≤2π，θ＝.∴当x∈R时，θ＝∈R，∴2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，又x∈[0,2π]，
∴x∈.]
8．若tan x＝，且x∈(－π，π)，则x＝________.
或－ [∵tan x＝＞0，且x∈(－π，π)，
∴x∈∪，
若x∈，则x＝，
若x∈，则x＝－π＝－，
综上x＝或－，
]
9．集合A＝，B＝，则A∩B＝________.
[∵sin x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.又∵tan x＝－，∴x＝kπ－，k∈Z.∴A∩B＝.]
三、解答题
10．利用三角函数线求满足tan α≥ 的角α的范围．
[解] 如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan α≥.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥ ，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥ ，有k·180°＋30°≤α[等级过关练]
1.已知sin θ＝－且θ∈，则θ可以表示成( )
A．－arcsin B．－－arcsin
C．－π＋arcsin D．－π－arcsin
D [由－1＜－＜0，
∴arcsin∈
由此可知：－arcsin∈
－－arcsin∈
－π＋arcsin∈
它们都不能表示θ，所以应选D．]
2.设α＝arcsin，β＝arctan，γ＝arccos，则α、β、γ的大小关系是( )
A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β
C．β＜α＜γ D．β＜γ＜α
3.若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝______.
[∵2cos(x＋α)＝1，∴cos(x＋α)＝，
又∵x＝是方程的解．∴cos＝.
又∵α∈(0,2π)，∴＋α∈∴＋α＝，
∴α＝.]
4．已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，则α的取值集合为________．
[因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝cos 2x，
由f(α)＝，得cos 2α＝，即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z，
则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，所以α∈.]
5．已知函数f(α)＝
(1)化简f(α)
(2)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
[解](1)函数f(α)＝
＝＝－cos α，
(2)若f＝2f(α)，即－cos＝－2cos α，即 sin α＝－2cos α.
再根据 sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＝，
∴f(α)·f＝－cos α·
＝－sin αcos α＝2cos2α＝.
课时分层作业(八) 正弦函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.三角函数y＝sin是( )
A．周期为4π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
A [三角函数y＝sin是奇函数，它的周期为＝4π，故选A．]
2.下列图像中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )
A B C D
D [由y＝sin x在[0,2π]上的图像作关于x轴的对称图形，应为D项．]
3.函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝ 对称
B [y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图像关于原点对称．]
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
A [易知y＝sin x在R上为奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝0.]
5．不等式sin x＞0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．
B [由y＝sin x在[0,2π]的图像可得．]
6．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [作出y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像，可知只有一个交点．]
二、填空题
7．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝－的交点有________个．
两 [作y＝cos x，x∈[0,2π]的图像及直线y＝－(图略)，知两函数图像有两个交点．]
8．函数y＝的定义域为________．
，k∈Z [由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]的图像，
可知≤x≤π，又有y＝sin x的周期性，
可得y＝的定义域为，k∈Z.]
9．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
0 [∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)
＝335
＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
＝sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＝0.]
三、解答题
10．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解] f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图像如图所示，
若使f(x)的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3)．
[等级过关练]
1.函数y＝cos x·|tan x|0≤x＜π且x≠的图像是( )
A B
C D
C [当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；当当π2.方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
A [在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根．]
3.函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝图像(图略)，由图易得：－＜x＜0或＋2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈N.]
4．函数f(x)＝＋的定义域为________．
(－4，－π]∪ [0，π] [?
?－4＜x≤－π或0≤x≤π.]
5．若函数y＝2sin x的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
[解] 数形结合，如图所示 ，y＝2sin x，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
课时分层作业(九) 正弦型函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.函数y＝3sin的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝－ D．x＝
B [令sin＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋(k∈Z)，取k＝1时，x＝.]
2.已知简谐运动f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
A [将(0,1)点代入f(x)可得sin φ＝.∵|φ|< ，
∴φ＝ ，T＝＝6.]
3.下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图像关于x＝ 对称的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D [∵T＝π，∴排除A；又因为图像关于x＝ 对称．
∴当x＝ 时，y取得最大值(最小值)．代入B、C、D三项验证知D正确．]
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图像，只需将y＝f(x)的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
A [由T＝π＝ 得：ω＝2，g(x)＝cos 2x＝sin，
f(x)＝sin的图像向左平移单位，得到y＝sin＝sin＝g(x)的图像．]
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f等于( )
A． B．0
C．2 D．－2
B [法一：由图可知，T＝－＝π，即T＝，
∴ω＝＝3.
∴y＝2sin(3x＋φ)，
将代入上式得，sin＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.
∴f＝2sin＝0.
法二：由图可知， T＝－＝π，即T＝.又由正弦图像性质可知，若f(x0)＝0，则f＝0.
∴f＝f＝0.]
6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
A [T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝，∴φ＝－，故选A．]
二、填空题
7．先作函数y＝sin x的图像关于y轴的对称图像，再将所得图像向左平移 个单位，所得图像的函数解析式是________．
y＝sin [作函数y＝sin x的图像关于y轴的对称图像，其函数解析式为y＝sin(－x)，再将函数y＝sin(－x)的图像向左平移 个单位，得到函数图像的函数解析式为：y＝sin＝sin.]
8．先将y＝sin x的图像向右平移 个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为 的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0)的图像，则ω＝________，φ＝________.
3 － [由已知得到函数解析式为y＝sin且＝ ，∴ω＝3，φ＝－.]
9．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于点对称；
④y＝f(x)图像关于直线x＝－ 对称．
其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)
②③ [对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝ π－(k∈Z)，∴x1－x2是 的整数倍，
∴①错误；
对于②，由f(x)＝4sin可得
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②正确；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝ π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．]
三、解答题
10．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“ 五点法” 画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
[解](1)依题意，A＝ ，T＝4×＝π.
∵ T＝＝π，ω>0，∴ ω＝2，∴ y＝sin(2x＋φ)，
又曲线上的最高点为，
∴ sin＝1.
∵－<φ< ，∴ φ＝.
∴ y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x
0
π
π
π
π
2x＋
π
π
2π
y
1
0
－
0
1
作图如下：
[等级过关练]
1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝ 对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝ 对称
A [∵f(x)图像周期为π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin，
∴f(x)图像关于点(k∈Z)对称，关于x＝＋(k∈Z)对称．]
2.已知函数y＝sin(ωx＋φ) 的部分图像如图，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
D [由图像知＝－＝ ，∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|< ，∴φ＝－.]
3.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内，当x＝ 时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
2 [由题意知T＝2×＝π.∴ω＝＝2.]
4．设sin x＋sin y＝ ，则M＝sin x－cos2y的最大值为________，最小值为________．
－ [由题意，得sin x＝－sin y.
由sin x∈[－1,1]，得
解得－≤sin y≤1.
∴M＝－sin y－cos2y＝sin2y－sin y－
＝－ ，
则当sin y＝ 时，M最小值为－；
当sin y＝－ 时，M最大值为.]
5．已知f(x)＝－2asin＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] ∵≤x≤ ，∴≤2x＋≤ ，
∴－1≤sin≤.
假设存在这样的有理数a，b，则
当a>0时，
解得(不合题意，舍去)；
当a<0时， 解得
故a，b存在，且a＝－1，b＝1.
