第八章向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是32,则a·b为( )
A.3 B.92 C.2 D.12
答案B
2.(多选)下列命题中是真命题的是( )
A.|a·b|=|a|·|b|
B.a·b=0?a=0或b=0
C.|λa|=|λ|·|a|
D.λa=0?λ=0或a=0
答案CD
3.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则
等于( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,
所以△OAB是等边三角形.
所以=120°.
答案B
4.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是( )
A.P1P2·P1P3 B.P1P2·P1P4
C.P1P2·P1P5 D.P1P2·P1P6
解析设正六边形的边长为a,则
P1P2·P1P3=32a2,P1P2·P1P4=a2,
P1P2·P1P5=0,P1P2·P1P6=-12a2.
答案A
5.在△ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且AB·AC=8,则△ABC的形状为 .?
答案等边三角形
6.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为 .?
答案3
7.若四边形ABCD满足AB+CD=0,且AB·BC=0,试判断四边形ABCD的形状.
解因为AB+CD=0,
所以AB=DC,即AB∥DC,且AB=DC,
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为AB·BC=0,所以AB⊥BC,即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
8.已知在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,若|c|=m,|b|=n,=θ.
(1)试用m,n,θ表示S△ABC;
(2)若c·b<0,且S△ABC=154,|c|=3,|b|=5,则为多少?
解(1)S△ABC=12AB·AC·sin∠CAB=12mnsin θ.
(2)因为S△ABC=154=12|b||c|sin θ,
所以154=12×3×5sin θ.所以sin θ=12.因为c·b<0,所以θ为钝角.所以θ=150°,即=150°.
能力提升
1.下列命题中,正确命题的个数是( )
①AB+BA=0 ②0·AB=0 ③AB?AC=BC
④0·AB=0
A.1 B.2 C.3 D.4
解析由两相反向量的和为零向量知命题①正确;
由于两向量的数量积结果为一实数知命题②错误,正确结果应为0;
由向量的减法运算法则知AB?AC=CB,命题③错误;
由向量数乘的意义知0·AB=0,命题④错误,
即正确命题的个数是1,故选A.
答案A
2.有4个式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-AB=BA;④|a·b|=|a||b|.
其中正确式子的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析因为向量乘以实数仍然为向量,
所以0·a=0,式子①正确,②错误;
由AB+BA=AA=0,
所以0-AB=BA,式子③正确;
由|a·b|=|a||b||cos θ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.
故选C.
答案C
3.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是( )
A.若a·b=b·c,则a=b
B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2
C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|
D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),则a∥b
解析对于选项A,若a·b=b·c,
则(a-c)·b=0,故A错误;
对于选项B,若a⊥b,所以a·b=0,
则a·b=(a·b)2,故B正确;
对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;
对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),推出a=-λ2λ1b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正确.综上可知:选项BD正确,故选BD.
答案BD
4.以下四个命题中,正确的是( )
A.若OP=12OA+13OB,则P,A,B三点共线
B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|
D.△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC=0
解析因为OP=12OA+13OB中12+13≠1,
所以P,A,B三点不一定共线,
因为{a,b,c}为空间的一个基底,
所以a,b,c不在同一个平面,
因此a+b,b+c,c+a也不在同一个平面,从而{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底,
因为|(a·b)c|=|a·b||c|=|a|·|b|·|c|·|cos|,所以|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|不恒成立,
因为△ABC为直角三角形时角A不一定为直角,
即AB·AC=0不一定成立,所以D错误,
综上可知选B.
答案B
5.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )
A.-4 B.4 C.-125 D.125
解析向量a在向量b上的投影的数量等于a·b|b|=-123=-4.故选A.
答案A
6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD=120°,则AD在AB方向上的投影的数量为( )
A.23 B.-23 C.-2 D.2
解析由题意知向量AD和AB的夹角为120°,所以AD在AB方向上的投影的数量为|AD|cos 120°=4×-12=-2.故选C.
答案C
7.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足AO=12(AB+AC),且|AB|=1,则BA在BC方向上的投影的数量为( )
A.12 B.-12 C.32 D.-32
解析由AO=AB+AC2可知O为BC中点,所以△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
由|AB|=1,|BC|=2,可得∠ABC=60°,BA与BC的夹角为θ=60°.
因此BA在BC上的投影的数量为|BA|cos 60°=1×12=12,故选A.
答案A
8.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为2π3时,a在e上的投影的数量为( )
A.2 B.-2 C.23 D.-23
解析a在e上的投影的数量为|a|cos=|a|a·e|a||e|=a·e|e|=4×1×cos2π3=-2,故选B.
答案B
9.已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为32,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析由题意知|b|cos θ=cos θ=32,
∵θ∈[0,π],∴θ=30°.故选A.
答案A
10.已知平面向量a,b的夹角为π3,|a|=4,|b|=2,则a在b方向上的投影的数量为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
解析由题意得a·b=|a||b|cosπ3=4×2×12=4.a在b方向上的投影的数量为|a|cos=4×cosπ3=2.故选A.
答案A
11.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则AC·AE=( )
A.3 B.3 C.23 D.12
解析由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=23,根据向量数量积的几何意义可得AC·AE=AC2=12,
故选D.
答案D
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则AB·CB=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析由向量的投影的几何意义及图像可知:AB在CB方向上的投影的数量为|BC|=1,由向量数量积的几何意义得AB·CB=|BC|2=1.故选C.
答案C
13.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则OA·AB= ( )
A.4 B.-4 C.8 D.-8
解析设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,
OA·AB=2AM·OA=2|AM|·|OA|·cos(π-∠OAB)=-2×2·|AO|·cos∠OAB=-4|AM|=-8.故选D.
答案D
14.(双空)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b=42,则a与b的夹角为 .若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,=π3,则|d|= .?
解析设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=422×4=22,又因为θ∈[0,π],所以θ=π4.因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c|·|d|·cos,得4=1×|d|×cosπ3,所以|d|=8.
答案π4 8
15.在四边形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形ABCD是( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
解析∵AB=DC,
∴AB与DC平行且相等,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又AC·BD=0,∴AC⊥BD,
即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,
∴平行四边形ABCD为菱形.
故选A.
答案A
16.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影的数量为-1.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
解(1)由题意知|a|=2,|b|=1.
又向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos θ=-1,
∴cos θ=-12,∴θ=2π3.
(2)易知a·b=-1,则(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)∵向量λa+b与a-3b互相垂直,
∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,
∴λ=47.
课件26张PPT。8.1.1 向量数量积的概念一、两个向量的夹角
1.设a,b是两个非零向量,能否把a,b平移到共同起点?
提示:能.
2.填空:
两个向量的夹角.3.做一做:作出向量a与b的夹角: 答案:略 二、向量数量积的定义
1.如图,在力F的作用下,木块在水平方向上移动了5 m,若F=3 N,则力F做的功是多少?2.填空:
(1)一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
(2)数量积的性质
①a⊥b?a·b=0,且a·b=0?a⊥b;④|a·b|≤|a||b|(共线时取等号).
3.做一做:若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b= .?
答案:±12三、向量的投影与向量数量积的几何意义
1.若A(1,1),B(5,8),过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A1,A2,过点B作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,则提示:(4,0) (0,7)
2.填空:(2)给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.(3)一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
①两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.
②当e为单位向量时,a·e=|a|cos.
即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.3.做一做:已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测与向量数量积有关命题的判断
例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|=|a|·|b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a|·|b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中因为a·b=|a|·|b|·cos θ,所以由|a·b|=|a|·|b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a|·|b|·cos π=-|a|·|b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟两向量夹角的关注点
两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为 (或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
变式训练1若a⊥b,则a·b=0;反之成立吗?
答案:成立.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求向量的投影的数量或数量积 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.求向量数量积的步骤
(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos.
2.求投影的数量的两种方法
(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量数量积的性质
例3已知a,b是两个非零向量.
(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角;
(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
分析:利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解.
解:(1)因为a·b=|a||b|cos,所以|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|=6.
又|a|=3,|b|=4,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,求a·b.
解:由|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,知a⊥b,
故a·b=0.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用数形结合法求向量的夹角
求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
解:根据向量加法的几何意义,如图所示.方法点睛熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是( )解析:如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
∵|a+b|=|a-b|,
∴四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形所以cos A<0.所以角A是钝角.
所以△ABC是钝角三角形.
答案:C
2.已知e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断中正确的是( )
A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1
C.e1·e2=±1 D.|e1·e2|<1
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.对任意向量a和b,|a||b|与a·b的大小关系是( )
A.|a||b|≤a·b B.|a||b|>a·b
C.|a||b|≥a·b D.|a||b|答案:C答案:-2 2
5.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影的数量为 .?8.1.2 向量数量积的运算律
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于( )
A.43 B.34 C.-43 D.-34
答案A
2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则AP·(PB+PC)=( )
A.49 B.43 C.-43 D.-49
答案A
3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于 ( )
A.7 B.10 C.13 D.4
答案C
4.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=3,则a2+a·b=( )
A.10 B.10 C.7 D.7
解析a2+a·b=|a|2+|a||b|cos 60°=4+2×3×12=7.
答案C
5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,且a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|=( )
A.1 B.2 C.4 D.5
解析∵c=-(a+b),∴c2=a2+b2+2a·b.
∵a·b=0,∴c2=5,即|c|=5.故选D.
答案D
6.(多选)已知向量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于 ( )
A.4 B.2 C.1 D.32
解析∵|m-n|2=m2-2m·n+n2
=3-2×3×2×32+4=1,
∴|m-n|=1.
m在n方向上的投影的数量为|m|cosπ6=3×32=32.
答案CD
7.如图,已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上,CB·CA=DA·DE,|CA|=|CB|=|DA|=|DE|,|CA?CB|=22,在边DE上有2个不同的点F,G,则AD·(BF+BG)的值为 .?
解析由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形,斜边长为22,AD·(BF+BG)=BC·(BF+BG)=2BC2+2BC2=16.
答案16
8.已知向量a,b,c满足a-b+2c=0,且a⊥c,|a|=2,|c|=1,则|b|= .?
解析因为a-b+2c=0,
所以b=a+2c,b2=a2+4a·c+4c2=8,
所以|b|=22.
答案22
9.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?
解若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,
μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
∵a+b+c=0,c=-a-b,
∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=152.
∴9μ-2×25-2μ×152+152=0.∴μ=-8512.
∴存在μ=-8512,使得μa+b与a-2b垂直.
10.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若AB=b,AC=a,作△ABC,求△ABC的面积.
解(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,
∴cos θ=a·b|a||b|=-64×3=-12.∴θ=2π3.
(2)|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16-12+9=13.
(3)S△ABC=12|AB||AC|sin A=12×3×4×sin2π3=33.
能力提升
1.如图所示,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是( )
A.AB∥CD
B.(AB+BC)⊥(BC+CD)
C.(AB?AD)·(BA?BC)=0
D.AB·AD=BC·CD
答案D
2.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析由b,c是平面内任意向量知A错误;
由三角形的三边关系得B正确;
由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得C错误;D显然正确.
答案BD
3.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的( )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
解析∵OB·OC=OC·OA,∴OC⊥AB.
同理OB⊥AC,OA⊥BC,
∴O是△ABC高的交点.
答案D
4.
如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD等于( )
A.23 B.32 C.33 D.3
解析方法1:(基底法)∵BC=3 BD,
∴AC=BC?BA=3 BD?BA=3(AD?AB)+AB=3 AD+(1-3)·AB.
又∵AD⊥AB,|AD|=1,
∴AC·AD=3 AD·AD+(1-3)AB·AD=3.
方法2:(定义法)设BD=a,则BC=3a,如图所示,作CE⊥BA,交BA的延长线于E,易知∠DAC=∠ACE,在△BAD与△BEC中,∠B=∠B,∠DAB=∠CEB=90°,
∴△BAD∽△BEC,∴BDBC=ADCE,
∴CE=3,∴cos∠DAC=cos∠ACE=ECAC=3AC.
∴AC·AD=|AC||AD|cos∠DAC=3.故选D.
答案D
5.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )
A.8 B.-8 C.8或-8 D.6
解析∵a·b=|a||b|cos θ=2×5cos θ=-6,
∴cos θ=-35,∵0≤θ≤π,
∴sin θ=1-cos2θ=45.
∴|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×45=8.
答案A
6.(双空)(原创)已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足|OA|=|OB|=|OC|,则AO在AB方向上的投影的数量为 ,AO·BC= .?
解析∵|OA|=|OB|=|OC|,
∴点O为△ABC的外心,
设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ,
∴AO在AB方向上的投影的数量为|AO|cos θ,BO在AB方向上的投影的数量为|BO|cos θ.
由题意可知|AO|cos θ+|BO|cos θ=|AB|=6.
又∵|OA|=|OB|=|OC|,
∴|AO|cos θ=3,即AO在AB方向上的投影的数量为3.
∴AO·AB=|AO||AB|cos θ=3|AB|=18,AO·AC=8,
∴AO·BC=AO·(AC?AB)=AO·AC?AO·AB=8-18=-10.
答案3 -10
7.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 .?
解析∵a⊥b,且|a|=|b|=1,∴a·b=0,|a+b|=2,又∵(a-c)·(b-c)=a·b+c·c-(a+b)·c=c2-(a+b)·c=0,即|c|2=(a+b)·c=|a+b||c|cos,∴|c|=|a+b|cos=2cos≤2,故|c|的最大值为2.故填2.
答案2
8.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=12.
(1)若a·b=12,求向量a,b的夹角;
(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.
解(1)∵(a-b)·(a+b)=12,
∴a2-b2=|a|2-|b|2=12.
又∵|a|=1,∴|b|=22,cos=a·b|a||b|=22,
故向量a,b的夹角为π4.
(2)|a-2b|=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1.
9.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解(1)因为a⊥b,所以a·b=0.
又x⊥y,所以x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,
所以k=14(t2-3t)(t≠0),
即k=f(t)=14(t2-3t)(t≠0).
(2)由(1),知k=f(t)=14(t2-3t)
=14t-322?916,
所以函数k=f(t)的最小值为-916.
课件19张PPT。8.1.2 向量数量积的运算律1.向量数乘有哪些运算律?
提示:(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.填空:
向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则3.做一做:已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.
答案:134.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)(a·b)·c=a·(b·c). ( )
(2)若a⊥b,则a·b=0. ( )
(3)若a∥b,则a·b>0. ( )
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R). ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量数量积的计算
例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:
(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求向量的数量积时,常用到的结论
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求向量的模
例2已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.
分析:通过数量积a·b来探求已知条件|3a-2b|=3与目标式|3a+b|之间的关系.
解:因为|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2=1.
又因为|3a-2b|=3,所以(3a-2b)2=9,
所以9|a|2-12a·b+4|b|2=9,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为60°,|ka-2b|=13,求k的值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量在几何中的应用
例3已知△ABC三边长分别为a,b,c,以A为圆心,r为半径作圆,如图探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算.
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.2 B.0
C.-1 D.-2答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.
提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.(双空)已知|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为60°,则|2a-b|= .(a+b)与(a-b)的夹角的余弦值为 .?答案:-16 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知两单位向量a与b的夹角为120°.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的夹角的余弦值.
解:∵a,b是两个单位向量,∴|a|=|b|=1.
又∵a与b的夹角为120°,8.1.3 向量数量积的坐标运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(多选)设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m⊥n等价的为( )
①m·n=0;②x1x2=y1y2;
③|m+n|=|m-n|;④|m+n|=m2+n2.
A.① B.② C.③ D.④
解析由公式知①正确,②错误;对③④两边平方,化简,得m·n=0,因此也是正确的,故选A,C,D.
答案ACD
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析设c=(x,y),
则由(a+b)·c=52,得x+2y=-52.
又cos=a·c|a||c|=x+2y5×5=-12,
即=120°.
答案C
3.已知向量a,b的夹角为π2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.23 B.3 C.21 D.41
解析∵|a|=22+(-1)2=5,
a·b=|a||b|cosπ2=0,
∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=(5)2+4×22=21,∴|a+2b|=21.
答案C
4.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析∵AB=(1,1),AC=(-3,3),
∴AB·AC=1×(-3)+1×3=0.
∴AB⊥AC,∴A=90°,故选A.
答案A
5.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),a+2b=(4,5),则cos θ=( )
A.1010 B.31010
C.35 D.45
解析∵a=(2,1),a+2b=(4,5),∴b=(1,2).
cos θ=a·b|a||b|=45×5=45.
答案D
6.(双空)已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
解析∵a·b=2,∴x=2.
∵a+b=(3,1),∴|a+b|=10.
答案2 10
7.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
答案-17
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
解(1)∵a∥b,∴x1y2-x2y1=0,
即-2-2x=0,可得x=-1.
(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),
∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,
即4-4x+8=0,
解得x=3,∴b=(3,-1).
设向量a与b的夹角为θ,
则cos θ=a·b|a||b|=55.
9.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+mb,若c与d的夹角为45°,求实数m的值.
解∵a=(1,2),b=(-2,-3),
∴c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1),
d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2-3m),
∴c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m.
又|c|=1,|d|=(1-2m)2+(2-3m)2,c与d的夹角为45°,
∴2-3m=1×(1-2m)2+(2-3m)2cos 45°,
即(1-2m)2+(2-3m)2=2(2-3m),
等价于2-3m≥0,5m2-8m+3=0,解得m=35.
能力提升
1.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为( )
A.0 B.-1 C.2 D.1
解析因为f(x)=u·v=(x+2)x+3
=x2+2x+3=(x+1)2+2,
所以当x=-1时,f(x)取得最小值2.
答案B
2.
函数y=tanπ4x-π2的部分图像如图所示,则(OB?OA)·OB=( )
A.-4
B.2
C.-2
D.4
解析A(2,0),B(3,1),(OB?OA)·OB=OB2?OA·OB=10-6=4.
答案D
3.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P,使AP·BP有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0) B.(2,0)
C.(3,0) D.(4,0)
解析设点P的坐标为(x,0),
则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).
AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,AP·BP有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.
答案C
4.在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,E为BC的中点,点F在CD上,若AB·AF=2,则AE·BF的值为 ( )
A.2 B.2 C.0 D.1
解析建立如图所示的坐标系xAy,可得A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(x,2),
则AB=(2,0),AF=(x,2),
于是AB·AF=2x=2,
解得x=1,因此F(1,2),AE=(2,1),BF=(1-2,2),AE·BF=2(1-2)+1×2=2.故选A.
答案A
5.若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b,则向量b的坐标为( )
A.-22,-322 B.22,322
C.-322,22 D.322,-22
解析设b=(x,y),由已知条件,
知|a|=|b|,a·b=|a||b|cos 45°.
所以x2+y2=5,2x+y=5×5×22,
解得x=22,y=322或x=322,y=-22.
因为向量a按逆时针旋转π4后,向量对应的点在第一象限,所以x>0,y>0.所以b=22,322,故选B.
答案B
6.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为 .?
解析∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,
∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).
∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,
∴MN=(y-x,x-y)=(-8,8),∴|MN|=82.
答案82
7.定义一种新运算??:a??b=|a|·|b|sin θ,其中θ为a与b的夹角,已知a=(-3,1),b=12,0,则a??b= .?
解析据定义a??b=2×12×sin θ,又cos θ=a·b|a||b|=-32,所以sin θ=12,即a??b=12.
答案12
8.(双空)(原创)已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
解析由题意知向量m+n=(2λ+3,3),m-n=(1,-1),
∵(m+n)⊥(m-n),∴λ=0.
m=(2,1),n=(1,2),cos=45,m+n=(3,3).
m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos=(m+n)·n|n|=955.
答案45 955
9.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=3|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解(1)由|ka+b|=3|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,
所以k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
所以(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
因为|a|=1,|b|=1,
所以k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
所以a·b=2k2+28k=k2+14k.
(2)由(1),得a·b=k2+14k=14k+1k,由函数的单调性的定义,易知f(k)=14k+1k在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当k=1时,a·b的最小值为f(1)=14×(1+1)=12.
此时a,b的夹角为θ,
则cos θ=a·b|a||b|=121=12,所以θ=60°.
10.已知向量a=(1,3),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
解(1)因为a-b=(1,3)-(-2,0)=(3,3),
所以a-b的坐标为(3,3).
设a-b与a之间的夹角为θ,
则cos θ=(a-b)·a|a-b||a|=3×1+3×39+3×1+3=32,
而0≤θ≤π,故θ=π6.
(2)因为a-tb=(1,3)-t(-2,0)=(1+2t,3),
所以|a-tb|=(1+2t)2+3=4t+122+3,
在-1,-12上递减,在-12,1上递增,
所以t=-12时,|a-tb|的最小值为3,t=1时,|a-tb|的最大值为23,
故|a-tb|的取值范围为[3,23].
课件21张PPT。8.1.3 向量数量积的坐标运算1.已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若e1,e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴正半轴同向的单位向量,则a,b如何用e1,e2来表示?并求出a+b与λa的坐标.
提示:a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b
=(x1+x2,y1+y2),λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1).
2.填空:
(1)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.(3)向量的长度、距离和夹角公式: 3.做一做:已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量数量积的坐标运算
例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).
(1)求(a+b)2;
(2)求(a+b)·(a-b).
分析:利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
解:(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)方法一:∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.
方法二:∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用向量数量积解决长度和夹角问题
例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积. (3)求夹角的余弦值cos θ.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:要对△ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用向量数量积的坐标运算求解几何问题
例4求证:直径所对的圆周角为直角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测向量中的数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:
(1)向量的几何表示关注方向.
(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.
(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).答案:C 方法点睛建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.(双空)已知向量a=(2,4),b=(-2,2),若c=a+(a·b)b,则|c|= ,cos= .?4.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且a与b的夹角大于90°,则实数m的取值范围为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+λb,λ为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b.8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
课后篇巩固提升
基础巩固
1.cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°的值为( )
A.1 B.22 C.32 D.12
解析原式=cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°=cos(70°-25°)=cos 45°=22.
答案B
2.化简sinπ4-3x×cosπ3-3x-sinπ4+3x×sinπ3-3x的结果为( )
A.cos5π12 B.-cos5π12
C.sin5π12 D.-sin5π12
答案B
3.在△ABC中,cos A=35,cos B=513,则cos C等于( )
A.-3365 B.3365 C.-6365 D.6365
答案B
4.(多选)已知cos α=55,则cosα-π4可以取的值为 ( )
A.31010 B.-1010 C.255 D.-31010
答案AB
5.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tan α·tan β的值为( )
A.2 B.12 C.-2 D.-12
解析由cos(α+β)=15,cos(α-β)=35可得
cosαcosβ-sinαsinβ=15,cosαcosβ+sinαsinβ=35,
则sin αsin β=15,cos αcos β=25.
故tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=1525=12.
答案B
6.向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),a与b的夹角为60°,则直线xcos α-ysin α=12与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=12的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.随α,β的值而定
答案B
7.(双空)已知α,β均为锐角,且sin α=55,cos β=1010,则α-β的值为 ,cos(α+β)= .?
答案-π4 -210
8.已知sin(α-45°)=-210,0°<α<90°,则cos α= .?
解析因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,
所以cos(α-45°)=1-sin2(α-45°)=7210,
所以cos α=cos[(α-45°)+45°]
=cos(α-45°)cos 45°-sin(α-45°)sin 45°=45.
答案45
9.已知α,β均为锐角,cos α=17,cos(α+β)=-1114,求角β.
解因为α,β均为锐角,
所以0<α<π2,0<β<π2,0<α+β<π.
又cos(α+β)=-1114,
所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=5143.
由cos α=17,得sin α=1-cos2α=473,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-1114×17+5143×473=12.
又因为β是锐角,所以β=π3.
10.已知函数f(x)=2cosωx+π6(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π,
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈0,π2,f5α+5π3=-65,f5β-5π6=1617,求cos(α+β)的值.
解(1)∵f(x)=2cosωx+π6,ω>0的最小正周期T=10π=2πω,∴ω=15.
(2)∵f(x)=2cos15x+π6,
∴f5α+5π3=2cosα+π3+π6=-2sin α.
∴sin α=35.∵f5β-5π6=2cosβ-π6+π6=2cos β,∴cos β=817.
∵α,β∈0,π2,∴cos α=45,sin β=1517,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=45×817?35×1517=-1385.
能力提升
1.cos 80°·cos 20°-sin(-80°)·sin 160°的值是( )
A.12 B.32 C.-12 D.-32
解析cos 80°·cos 20°-sin(-80°)·sin 160°
=cos 80°·cos 20°+sin 80°·sin 20°=cos 60°=12,
故选A.
答案A
2.已知cos α=210,α∈(-π,0),则cosα-π4=( )
A.-35 B.-45 C.35 D.45
解析∵cos α=210,α∈(-π,0),
∴sin α=-1-cos2α=-7210,
∴cosα-π4=cos αcosπ4+sin αsinπ4=210×22+-7210×22=-35.故选A.
答案A
3.(多选)若α,β均为第二象限角,满足sin α=35,cos β=-513,则cos(α+β)和cos(α-β)的值分别为( )
A.-3365 B.-1665 C.3356 D.5665
解析∵sin α=35,cos β=-513,α,β均为第二象限角,
∴cos α=-1-sin2α=-45,
sin β=1-cos2β=1213,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-45·-513?35·1213=-1665,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-45·-513+35·1213=5665,故选BD.
答案BD
4.若-π2<β<0<α<π2,cosπ4+α=13,cosπ4?β2=33,则cosα+β2=( )
A.539 B.33 C.-33 D.-69
解析∵-π2<β<0<α<π2,cos π4+α=13,cos π4?β2=33,
∴sinπ4+α=223,sinπ4?β2=63,
∴cosα+β2=cosπ4+α-π4?β2=cosπ4+αcosπ4?β2+sinπ4+αsin π4?β2
=13×33+223×63=539.
故选A.
答案A
5.(双空)已知α,β均为锐角,且满足sin α=22,cos β=45,则cos(α-β)= ,cos 2β= .?
解析因为α,β均为锐角,且sin α=22,cos β=45,
所以cos α=22,sin β=35.因为22>35,所以α>β,
因此cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=22×45+22×35=7210,sin(α-β)=1-cos(α-β)2=210,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=22×45?22×35=210,sin(α+β)=1-cos(α+β)2=7210,
cos 2β=cos((α+β)-(α-β))=cos(α-β)cos(α+β)+sin(α-β)sin(α+β)=725.
答案7210 725
6.已知cosα-π6-sin α=235,则cosα+7π6的值是 .?
解析由于cosα-π6-sin α=235,
整理得32cos α+12sin α-sin α=235,
即32cos α-12sin α=235,则cosα+π6=235,
可得cosα+7π6=-cosα+π6=-235.
答案-235
7.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a-b|=255.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若sin α=35,求cos β的值.
解(1)由题意得|a|=1,|b|=1,
则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β)=45,
解得cos(α+β)=35.
(2)∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),
由sin α=35,cos(α+β)=35可得cos α=45,sin(α+β)=45,
故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=35×45+45×35=2425.
8.已知向量a=(sin α,5cos α-sin α),b=(cos β-5sin β,cos β),且a·b=2.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若0<α<π2,0<β<π2,且sin α=1010,求2a+β的值.
解(1)因为a=(sin α,5cos α-sin α),b=(cos β-5sin β,cos β),
所以a·b=sin α(cos β-5sin β)+(5cos α-sin α)cos β=5cos αcos β-5sin αsin β=5cos(α+β),
因为a·b=2,所以5cos(α+β)=2,
即cos(α+β)=255.
(2)因为0<α<π2,sin α=1010,
所以cos α=31010.
因为0<α<π2,0<β<π2,所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=255,所以sin(α+β)=55,
所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=22.因为0<α<π2,0<β<π2,
所以0<2α+β<3π2,所以2α+β=π4.
9.已知函数f(x)=Asinx+π4(x∈R),且f(0)=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-15,α是第二象限角,求cos α.
解(1)依题意得f(0)=Asinπ4=22A=1,故A=2.
(2)由(1)得f(x)=2sinx+π4,
由f(α)=-15可得f(α)=2sinα+π4=-15,
则sinα+π4=-210,∵α是第二象限角,
∴2kπ+π2<α<2kπ+π(k∈Z),
∴2kπ+3π4<α+π4<2kπ+5π4(k∈Z),
又∵sinα+π4=-210<0,
∴α+π4是第三象限角,
∴cosα+π4=-1-sin2(α+π4)=-7210,
∴cos α=cos(α+π4)-π4
=cosα+π4cosπ4+sinα+π4sinπ4
=-7210×22?210×22=-45.
课件21张PPT。8.2.1 两角和与差的余弦1.(1)向量a,b的数量积公式是什么?
(2)若a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),则a·b=?
提示:(1)a·b=|a|·|b|·cos.
(2)a·b=cos αcos β+sin αsin β.
2.填空:3.做一做:cos 105°= .? 4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. ( )
(2)cos(α+β)=cos α+cos β. ( )
(3)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β对任意α,β都成立. ( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给角求值问题
例1求下列各式的值:
(1)cos 15°-cos 75°;
(2)sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°;分析:注意结构形式,将其变形为两角和与差的余弦形式,套用公式. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决给角求值问题的策略
公式Cα±β是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,灵活变换角或名称,同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如,30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求值问题 分析:将β转化为(α+β)-α,再利用公式. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求值问题的两个主要技巧
一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.
二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求角问题 分析:利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决给值求角问题的策略
求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测角的变换技巧的应用
角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真地分析.
(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,
例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.在△ABC中,已知cos Acos B>sin Asin B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案:C答案:AD 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.cos 78°cos 18°+cos 12°cos 72°= .? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课件21张PPT。第1课时 两角和与差的正弦两角和与差的正弦公式
1.用公式C(α±β)可以得到sin(α+β)的公式吗?2.填空
Sα+β:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.?
Sα-β:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.?
3.做一做:sin 105°= .?4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β. ( )
(2)sin α+sin β=sin(α+β). ( )
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β. ( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求值 分析:若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin β的运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在例1中,试求β. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用两角和与差的正弦公式化简
例2化简下列各式:分析:(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法.(2)观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟化简三角函数式的标准和要求
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
(3)使三角函数式的次数尽可能低;
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用两角和与差的正弦公式证明 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角恒等式证明的策略
三角恒等式的证明的实质是通过恒等变形消除待证式两边结构上的差异,常用策略是变角、变函数名称.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一题多解——两角和与差的正弦求解 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛熟练三角公式是一题多解的基础. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:1 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.设A,B,C为△ABC的三个内角,且x2-xsin Acos B+sin C=0的两根为α,β,α+β= αβ,判断△ABC的形状.
解:因为α,β是方程x2-xsin Acos B+sin C=0的两根,
所以α+β=sin Acos B,αβ=sin C.
又因为α+β= αβ,
所以2sin Acos B=sin[π-(A+B)].
所以2sin Acos B=sin(A+B).
所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,sin A·cos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.
又因为0所以A-B=0,即A=B.
所以△ABC为等腰三角形.课件18张PPT。第2课时 两角和与差的正切1.两角和(差)的正、余弦公式是什么?
提示:sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
2.填空3.做一做:tan 105°= .? 4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)tan α+tan β=tan(α+β). ( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给角求值问题
例1求下列各式的值.分析:根据所给角的特征,将式子转化为符合两角和与差的正切公式的形式,同时正向或逆向运用公式或公式的变形求三角函数值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给式求值问题 反思感悟给式求值问题的求解策略
若所求三角函数的角可用已知三角函数的角的和或差表示就可求出其值,即角变换思想同样可以运用到和差角的正切公式上求值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求角问题 分析:已知α-β及β角的正切,要求2α-β的正切,必须通过角变换,2α-β=α+(α-β),α=(α-β)+β,故需先求出α角的正切.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求角问题的求解步骤
(1)求角的范围;(2)求出此角的一种适当的三角函数值;(3)得出角的数值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测活用公式求值
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用.
如:Tα±β可变形为如下几个公式探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛(1)利用tan 45°=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形公式求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C
2.tan 15°+tan 75°=( )
A.4 B.2 C.1 D.2答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.计算(1+tan 10°)(1+tan 35°)等于 .?
答案:2探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
课后篇巩固提升
1.sin 10°cos 35°-sin 260°sin 145°的值是( )
A.22 B.-22
C.sin 25° D.-sin 25°
答案A
2.(多选)已知sin α=-35,α∈π,3π2,则sinα-π4和sinα+π4的值分别为( )
A.3210 B.7210 C.210 D.-7210
解析∵α∈π,3π2,sin α=-35,∴cos α=-45,
sinα+π4=sin αcosπ4+cos αsinπ4
=-35×22+-45×22=-7210.
sinα-π4=sin αcosπ4-cos αsinπ4=-35×22+45×22=210.
答案CD
3.在△ABC中,A=15°,则3sin A-cos(B+C)的值为( )
A.32 B.22 C.2 D.2
解析原式=3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin 45°=2.
答案C
4.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析∵2cos Bsin A=sin C,
∴2cos Bsin A=sin(A+B).
∴2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B.
∴sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0.
∵A,B是△ABC的内角,∴A=B.
∴△ABC是等腰三角形.
答案C
5.已知α∈π,3π2,sin α=-14,β∈3π2,2π,cos β=45,则α+β为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案C
6.(双空)已知向量a=(cos x,sin x),b=(2,2),a·b=85,则cosx-π4= ,cos= .?
答案45 45
7.已知sin α=12,sin β=13,则sin(α+β)sin(α-β)= .?
答案536
8.已知cosπ4-α=35,sin3π4+β=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值.
解因为α+β+π2=3π4+β-π4-α,
所以sin(α+β)=-cosπ2+(α+β)
=-cos 3π4+β-π4-α
=-cos3π4+βcosπ4-α-sin3π4+βsinπ4-α.
又因为π4<α<3π4,0<β<π4,
所以-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π.
所以sinπ4-α=-45,cos3π4+β=-1213.
所以sin(α+β)=--1213×35?513×-45=5665.
9.已知M(1+cos 2x,1),N(1,3sin 2x+a),若f(x)=OM·ON(O为坐标原点).
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈0,π2时,f(x)的最大值为4,求a的值.
解(1)f(x)=OM·ON
=1+cos 2x+3sin 2x+a,
∴f(x)=cos 2x+3sin 2x+a+1.
(2)f(x)=cos 2x+3sin 2x+a+1
=2sin2x+π6+a+1,
∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6.
∴当2x+π6=π2时,即x=π6时,f(x)取得最大值为3+a,∴3+a=4,∴a=1.
能力提升
1.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则log5tanαtanβ2等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案C
2.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于( )
A.2+3 B.2+32 C.2-3 D.2-32
解析原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°
=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=6-246+24=2-3.
答案C
3.已知f(x)=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在0,π6上是减函数,则θ的一个值是( )
A.π4 B.π C.43π D.54π
解析f(x)=2sin3x+θ-π4,∵f(x)是奇函数,
∴f(0)=2sinθ-π4=0,∴θ=kπ+π4,k∈Z.
∵f(x)在0,π6上是减函数,∴k为奇数.
当k=1时,θ=54π.
答案D
4.在△ABC中,已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰非直角三角形
解析∵sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B=sin(A-B+B)=sin A≥1,且0≤sin A≤1,∴sin A=1,即A=π2,∴△ABC是直角三角形.
答案C
5.函数y=sin x+cos x+2x∈0,π2的最小值是( )
A.2-2 B.2+2
C.3 D.1
解析y=sin x+cos x+2=2sinx+π4+2.
∵x∈0,π2,∴x+π4∈π4,34π,
∴ymin=2×22+2=3.
答案C
6.已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),若AC·BC=-1,则sinα+π4= .?
解析∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3),∴AC·BC=(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=cos2α-3cos α+sin2α-3sin α=1-32sinα+π4=-1.
∴sinα+π4=23.
答案23
7.已知sin α+cos α=62,α∈0,π4,则sinα-5π4= .?
解析sinα-5π4=sin αcos5π4-cos αsin5π4
=22cos α-22sin α=22(cos α-sin α).
∵α∈0,π4,∴cos α>sin α,
∴(sin α+cos α)2=32,
(sin α-cos α)2=12,∴cos α-sin α=22.
∴sinα-5π4=22×22=12.
答案12
8.已知f(x)=sin 2x+3cos 2x-1,x∈0,π2.
(1)求f(x)的最大值;
(2)求f(x)在定义域上的单调递增区间.
解(1)f(x)=2sin2x+π3-1.
∵0≤x≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3.
∴f(x)max=1.
(2)由π3≤2x+π3≤π2,得0≤x≤π12.
∴f(x)在定义域上的单调递增区间为0,π12.
9.已知向量a=(sin x,cos x-1),b=(3,-1),设f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心;
(2)已知α为锐角,β∈(0,π),fα+π6=135,sin(α+β)=-1213,求sin(2α+β)的值.
解由题意得f(x)=a·b=3sin x-cos x+1
=2sinx-π6+1.
(1)f(x)的最小正周期T=2π,
令x-π6=kπ(k∈Z),
则x=kπ+π6(k∈Z),
又fkπ+π6=2sin(kπ)+1=1,
因此函数f(x)的对称中心为kπ+π6,1,k∈Z.
(2)fα+π6=2sinα+π6?π6+1=2sin α+1=135?sin α=45.
∵α∈0,π2,∴cos α=35.
∵α∈0,π2,β∈(0,π),
∴α+β∈0,3π2.
又sin(α+β)=-1213<0,∴α+β∈π,3π2,
∴cos(α+β)=-513,
∴sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=-1213×35+-513×45=-5665.
10.已知函数f(x)=sin2x+π6+sin2x-π6+cos 2x+a(a∈R,a为常数).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)当x∈0,π2时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
解(1)∵f(x)=2sin 2xcosπ6+cos 2x+a
=3sin 2x+cos 2x+a=2sin2x+π6+a,
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.
当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,
即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,
故所求区间为 kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).
(2)当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,
∴x=π2时,f(x)取得最小值.
∴2sin2×π2+π6+a=-2,
∴a=-1.
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切
课后篇巩固提升
基础巩固
1.化简1+tan15°1-tan15°等于( )
A.3 B.32 C.3 D.1
解析1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan 60°=3.
答案A
2.已知tan α=12,tan β=13,且角α,β为锐角,则α+β的值是( )
A.3π4 B.π4或3π4
C.π4 D.5π4
答案C
3.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
答案A
4.已知tanα+β+π6=12,tanβ-π6=-13,则tanα+π3的值为( )
A.22 B.57 C.15 D.1
解析tanα+π3=tanα+β+π6-β-π6=12+131+12×-13=1.
答案D
5.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 三角形.?
解析由根与系数的关系,得tanA+tanB=53,tanAtanB=13.
则tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=531-13=52.
∵在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)=-52<0,
∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.
答案钝角
6.已知A,B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B= .?
解析(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2,
∴tan Atan B=1-(tan A+tan B).
∴tan(A+B)=tanA+tanB1-[1-(tanA+tanB)]=1.
∵A,B都是锐角,∴0答案π4
7.已知tanπ4+α=12,求tan α的值.
解∵tanα+π4=12,则tanα+tanπ41-tanαtanπ4=1+tanα1-tanα=12,
∴tan α=-13.
8.在非直角三角形中,求证:tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
证明∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,即tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C.
∴tan A+tan B=-tan C+tan A·tan B·tan C,
∴tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
能力提升
1.已知α∈π2,π,tanα+π4=17,那么sin α-cos α的值为( )
A.-15 B.75 C.-75 D.34
答案B
2.(多选)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为12,32和-45,35,则tan(α+β),sin(α+β)的值分别为( )
A.48-25311 B.253-4811
C.3+4310 D.3-4310
解析由题意可得sin α=32,cos α=12,sin β=35,cos β=-45,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=3-4310.
tan α=3,tan β=-34,
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=48-25311,故选AD.
答案AD
3.在△ABC中,tan A=12,cos B=31010,则tan C=( )
A.-1 B.1
C.3 D.-2
解析因为cos B=31010,且0所以sin B=1-cos2B=1010.所以tan B=13,
所以tan C=-tanA+B=-tanA+tanB1-tanAtanB
=-12+131-12×13=-1.故选A.
答案A
4.下列结果为3的是( )
①tan 25°+tan 35°+3tan 25°·tan 35°;
②(1+tan 20°)(1+tan 40°);
③1+tan15°1-tan15°;
④tanπ61-tan2π6.
A.①② B.①③
C.①②③ D.①②③④
解析①∵tan 25°+tan 35°=tan(25°+35°)(1-tan 25°·tan 35°)=3?3tan 25°tan 35°,
∴原式=3?3tan 25°tan 35°+3tan 25°tan 35°=3.
②(1+tan 20°)(1+tan 40°)=1+tan 20°+tan 40°+tan 20°·tan 40°=1+3(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°·tan 40°=1+3-(3-1)tan 20°tan 40°≠3.
③原式=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan 60°=3.
④原式=331-332=32.
答案B
5.已知sin α=12,α是第二象限角,tan(α+β)=-3,则tan β的值为( )
A.-3 B.3 C.-33 D.33
解析∵sin α=12,α是第二象限角,∴tan α=-33,
∴tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=-3+332=-33.
答案C
6.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=233,则tan A·tan B的值为( )
A.14 B.13 C.12 D.1
解析∵C=120°,∴A+B=60°.
∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanA·tanB=3.
∵tan A+tan B=233,∴1-tan Atan B=23.
∴tan Atan B=13.
答案B
7.(双空)已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,则tanα+π4= ,tan(α+2β)= .?
解析tanα+π4=tan(α+β)-β-π4
=tan(α+β)-tanβ-π41+tan(α+β)tanβ-π4=23+21+23×(-2)=-8.
tanβ-π4=tanβ-11+tanβ=-2,tan β=-13,
tan(α+2β)=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)·tanβ=311.
答案-8 311
8.在△ABC中,高AD把BC分为长2 cm和3 cm的两段,∠A=45°,则S△ABC= .?
解析设AD=x cm,由已知得tan∠BAD=BDAD=2x,tan∠CAD=DCAD=3x,又∠BAD+∠CAD=45°,
则tan 45°=tan∠BAD+tan∠CAD1-tan∠BADtan∠CAD=2x+3x1-6x2=1,
化简得x2-5x-6=0,解得x=6,x=-1(舍去).
所以S△ABC=12×AD×BC=12×6×5=15(cm2).
答案15 cm2
9.已知3tan αtan(α+β)=4[tan(α+β)-tan α-tan β],且cos(π+β)>0,则sin(β-3π)= .?
答案35
10.已知α,β为锐角,cos α=35,cos(α+β)=-55.
(1)求sin β的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解(1)∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<π.
又cos α=35,cos(α+β)=-55,
∴sin α=45,sin(α+β)=255,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=255×35?-55×45=255.
(2)∵0<α<π2,0<β<π2,cos α=35,sin β=255,
∴tan α=43,tan β=2,
∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=43-21+43×2=-211.
11.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=2π3和②tanα2tan β=2-3同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
解由①得α2+β=π3,则tanα2+β=tanπ3,
即tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=3.
把条件②代入上式,得
tanα2+tan β=3×(1-2+3)=3-3. ③
由②③知,tanα2,tan β是一元二次方程x2-(3-3)x+2-3=0的两个实数根.
解这个方程,得tanα2=2-3,tanβ=1,或tanα2=1,tanβ=2-3.
∵α是锐角,∴0<α2<π4.∴tanα2≠1.
故tanα2=2-3,tan β=1.
∵0<β<π2,由tan β=1,得β=π4,
代入①,得α=π6.
∴存在锐角α,β使两个条件同时成立.
8.2.3 倍角公式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.计算:sinπ12cosπ122cos2π12-1=( )
A.36 B.33 C.233 D.23
解析sinπ12cosπ122cos2π12-1=12sinπ6cosπ6=12×1232=36.故选A.
答案A
2.已知sin 2α=-2425,α∈-π4,0,则sin α+cos α=( )
A.-15 B.15 C.-75 D.75
解析(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α
=1+sin 2α=125.
∵-π4<α<0,∴sin α+cos α>0.
∴sin α+cos α=15.
答案B
3.已知角α终边过点(-3,1),则sin 2α=( )
A.32 B.±32
C.-32 D.-34
解析∵sin α=12,cos α=-32,
∴sin 2α=2×12×-32=-32.
答案C
4.sin2π12-cos2π12+sinπ12cosπ12=( )
A.1+234 B.1-234
C.-14 D.34
解析sin2π12-cos2π12+sinπ12cosπ12
=-cosπ6+12sinπ6=1-234,故选B.
答案B
5.(多选)已知函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x,x∈R,则f(x)( )
A.是最小正周期为π的奇函数
B.最小值为-12,最大值为12
C.最小值为0,最大值为12
D.是最小正周期为π2的偶函数
解析因为f(x)=2cos2x·sin2x=12sin22x=1-cos4x4,所以f(x)的周期为π2,且为偶函数.最小值为0,且最大值为12.
答案CD
6.已知sin α=5-12,则sin 2α-π4= .?
答案2-5
7.若tan α=12,则cos 2α+π2= .?
解析cos2α+π2=-sin 2α=-2sinαcosαsin2α+cos2α=-2tanα1+tan2α=-11+14=-45.
答案-45
8.已知α为第三象限的角 ,cos 2α=-35,求tanπ4+2α
的值.
解∵α为第三象限角,
∴sin α<0,cos α<0.
由cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α=-35,
得cos α=-55,sin α=-255.
∴tan α=2.
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=2×21-22=-43.
∴tanπ4+2α=1-431-1×-43=-17.
9.已知α为锐角,且sin α=45.
(1)求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值;
(2)求tanα-5π4的值.
解(1)因为α为锐角,且sin α=45,
所以cos α=1-sin2α=35.
所以sin2α+sin2αcos2α+cos2α=sin2α+2sinαcosα3cos2α-1
=452+2×45×353×352-1=20.
(2)由(1)得tan α=sinαcosα=43,
所以tanα-5π4=tanα-tan5π41+tanαtan5π4=tanα-11+tanα=17.
10.设函数f(x)=(sin x+cos x)2+23sin2x-3.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈π4,5π6时,求函数f(x)的值域.
解(1)f(x)=1+sin 2x+23×1-cos2x2?3=1+sin 2x-3cos 2x=2sin2x-π3+1,
由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,
可得函数f(x)的递增区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.
(2)由π4则-32即函数f(x)的值域为(1-3,3].
能力提升
1.计算:2cos2α-1tanπ4-αsin2π4+α的结果为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解析2cos2α-1tanπ4-αsin2π4+α
=cos2αsinπ4-αcosπ4-αcos2π4-α
=cos2αsinπ4-αcosπ4-α
=2cos2αsinπ2-2α=2,故选B.
答案B
2.若cosπ4-θcosπ4+θ=260<θ<π2,则sin 2θ= ( )
A.23 B.73 C.76 D.346
答案B
3.3-sin70°2-cos210°等于( )
A.12 B.22 C.2 D.32
答案C
4.函数f(x)=cos 2x+2sin x的最小值和最大值分别为 ( )
A.-3,1 B.-2,2
C.-3,32 D.-2,32
答案C
5.(多选)已知sin(π-θ)=23|θ|<π2,则sin 2θ,cos 2θ分别是( )
A.829 B.223 C.459 D.19
解析因为sin(π-θ)=23|θ|<π2,
所以sin θ=23,cos θ=53,从而sin 2θ=2×23×53=459,cos 2θ=1-2sin2θ=19,故选CD.
答案CD
6.若sinπ6-α=13,则cos2π3+2α= .?
解析观察发现2π3+2α=2π3+α,而π3+α+π6-α=π2,则cosπ3+α=sinπ6-α,
所以cos2π3+2α=2cos2π3+α-1
=2sin2π6-α-1=-79.
答案-79
7.若sinα-π4cos2α=-2,则sin α+cos α的值为 .?
解析由已知得sinαcosπ4-cosαsinπ4cos2α-sin2α
=22(sinα-cosα)(cosα+sinα)(cosα-sinα)
=-12(sinα+cosα)=-2.
∴sin α+cos α=12.
答案12
8.已知sin α+cos α=13,α∈(0,π),求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.
解∵sin α+cos α=13,∴(sin α+cos α)2=19,
即1+2sin αcos α=19,
则sin 2α=2sin αcos α=-89.
又0<α<π,∴π2<α<π,sin α>0,cos α<0.
又(sin α-cos α)2=1-sin 2α=179,
∴cos α-sin α=-173,
cos 2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-179.
∴tan 2α=sin2αcos2α=81717.
9.已知向量m=(sin x,-1),向量n=3cosx,-12,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在0,π2上的最大值,求锐角A.
解(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+3sin xcos x+32
=1-cos2x2+32sin 2x+32
=32sin 2x-12cos 2x+2=sin2x-π6+2,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由(1)知f(x)=sin2x-π6+2.
当x∈0,π2时,-π6≤2x-π6≤5π6.
由正弦函数的图像可知,当2x-π6=π2时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-π6=π2,
所以A=π3.
10.已知函数f(x)=2cos xsinx+π3?3sin2x+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求方程f(x)=2在x∈[0,2 019]上解的个数.
解(1)因为f(x)=2cos x12sin x+32cos x-3·1-cos2x2+12sin 2x,所以f(x)=sin 2x+3·1+cos2x2?3·1-cos2x2,
所以f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3,
因此该函数的最小正周期为π.
令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,
则-512π+kπ≤x≤112π+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为-512π+kπ,112π+kπ,k∈Z.
(2)由题意得sin2x+π3=1,
所以2x+π3=2kπ+π2,k∈Z,x=kπ+π12,k∈Z,
因为x∈[0,2 019],
当k=0时,x=π12,当k=1时,x=1312π,…,
当k=642时,x=642π+π12≈2 016,
当k=643时,x>2 019.
所以方程f(x)=2在x∈[0,2 019]上解的个数为643.
课件22张PPT。8.2.3 倍角公式1.(1)角 +β+40°与α+2β+80°是什么关系?
(2)试用角α的三角函数表示sin 2α,cos 2α,tan 2α.
提示:(1)角α+2β+80°是 +β+40°的二倍角.
(2)2α=α+α,再利用两角和的三角公式展开.
2.填表:倍角公式探究一探究二探究三思维辨析当堂检测化简、求值问题
例1求下列各式的值:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟化简、求值问题的求解策略
解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求值问题 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求值问题的求解策略
由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值或求相关角时,关键在于“变角”,把“目标角”变换成“已知角”.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值求角问题
例3如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟给值求角问题的求解策略
要求角,应先求出该角的一种三角函数值,再根据范围求得角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测逆用公式巧解题
在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.
(1)公式逆用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)倍角的余弦公式有三种形式:
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
在应用时要注意选择合适的形式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例求值:
(1)sin 10°sin 50°sin 70°;
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续使用,最后利用诱导公式化简求值.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课件20张PPT。第1课时 半角的正弦、余弦和正切1.不查表求sin 22.5°,cos 22.5°的值. 2.填空: 3.做一做:sin 15°= ;cos 15°= .? 探究一探究二探究三规范解答当堂检测分析:先化简,再求值. 探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备. 探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测利用半角公式化简三角函数式 探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.探究一探究二探究三规范解答当堂检测延伸探究在例2中,若去掉条件“180°<α<360°”,结果如何? 探究一探究二探究三规范解答当堂检测利用半角公式证明问题 探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测反思感悟三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有目的性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测运用公式求解三角函数综合题的思路 (1)将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)求函数f(x)的递减区间及函数图像的对称中心.
审题策略(1)先用倍角公式化简,再用辅助角公式进行变形;(2)用正弦型函数的性质解答问题.探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简.
(2)统一化成f(x)=asin ωx+bcos ωx+k的形式.
(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简不到位;(3)求单调区间时未用区间.探究一探究二探究三规范解答当堂检测探究一探究二探究三规范解答当堂检测答案:D 答案:B 探究一探究二探究三规范解答当堂检测答案:CD 探究一探究二探究三规范解答当堂检测课件20张PPT。第2课时 三角函数的积化和差与和差化积一、积化和差公式
1.(1)积化和差公式有何特点?
(2)积化和差公式右侧系数都为 吗?
提示:(1)积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
(2)否.sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].2.填空: 3.做一做:计算(1)sin 52.5°·cos 7.5°= ;?
(2)sin αsin 3α= .?二、和差化积公式
1.和差化积公式有何特点?
提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异形式. 3.做一做:计算(1)sin 54°-sin 18°= ;? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数式的化简与求值 分析:先化简条件,再求值. 反思感悟三角函数化简与求值的策略
当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例若不利用积化和差公式,如何求解? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测证明恒等式 分析:根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一. 反思感悟三角恒等式证明的常用方法
当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知sin A+sin 3A+sin 5A=a,cos A+cos 3A+cos 5A=b,求证:(2cos 2A+1)2=a2+b2.
证明:由题意知(sin A+sin 5A)+sin 3A=2sin 3A·cos 2A+sin 3A=a,
(cos A+cos 5A)+cos 3A=2cos 3Acos 2A+cos 3A=b,
则sin 3A(2cos 2A+1)=a,①
cos 3A(2cos 2A+1)=b.②
两式平方相加,得(2cos 2A+1)2=a2+b2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测与三角函数有关的综合问题 分析:先将解析式化简,然后求解. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数综合问题的求解策略
求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测积化和差、和差化积公式的应用规律
(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.
(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.
余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.sin 15°sin 30°sin 75°的值是 .? 5.(双空)sin 105°+sin 15°= ,
cos 75°×cos 15°= .?8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如果sin θ=35,5π2<θ<3π,那么tanθ2+cosθ2的值为 ( )
A.1010-3 B.3-1010
C.-30+1010 D.30+1010
答案B
2.设a=12cos 6°-32sin 6°,b=2tan13°1+tan213°,c=1-cos50°2,则有( )
A.a>b>c B.aC.a解析因为a=sin 24°,b=tan 26°,c=sin 25°,所以a答案C
3.若sinα1+cosα=12,则sin α+cos α的值是( )
A.75 B.85 C.1 D.2915
答案A
4.下列各式中,值为12的是( )
A.sin 15°cos 15° B.2cos2π12-1
C.1+cos30°2 D.tan22.5°1-tan222.5°
解析tan22.5°1-tan222.5°=12tan 45°=12.
答案D
5.已知sin α=-817,且α∈π,3π2,则sinα2= ,cosα2= ,tanα2= .?
解析∵π<α<3π2,∴cos α=-1517.
∴π2<α2<3π4,∴sinα2=1-cosα2=41717.
cosα2=-1+cosα2=-1717.
tanα2=sinα2cosα2=-4.
答案41717 -1717 -4
6.设-3π<α<-5π2,则化简1-cos(α-π)2的结果为 .?
解析∵-3π2<α2<-5π4,∴cosα2<0,1-cos(α-π)2=1+cosα2=-cosα2.
答案-cosα2
7.已知α为三角形的内角,sin α=35,则tanα2= .?
答案3或13
8.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,3).
(1)求tan(-α)+sinπ2+αcos(π-α)sin(-3π-α)的值;
(2)求tan 2α+tanα2的值.
解(1)由题意得sin α=12,cos α=-32,tan α=-33,
则原式=-tanα+cosα(-cosα)·sinα=33-3232×12=-23.
(2)tan 2α=2tanα1-tan2α=-3,tanα2=sinα1+cosα=121-32=2+3.
故tan 2α+tanα2=2.
能力提升
1.设5π<θ<6π,cosθ2=a,则sinθ4等于( )
A.-1+a2 B.-1-a2
C.-1+a2 D.-1-a2
解析由于5π<θ<6π,所以5π4<θ4<3π2.
所以sinθ4=-1-cosθ22=-1-a2.
答案B
2.若f(x)=2tan x-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值为( )
A.43 B.833 C.4 D.8
答案D
3.(多选)已知函数f(x)=cos2x-sin2x+1,则( )
A.f(x)的对称轴为x=π4+kπ2(k∈Z)
B.f(x)的对称轴为x=kπ2(k∈Z)
C.f(x)的最小正周期为π,最大值为2
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1
解析f(x)=1+cos2x2?1-cos2x2+1=cos 2x+1,
故T=2π2=π,f(x)max=1+1=2.
f(x)的对称轴为2x=kπ(k∈Z),x=kπ2(k∈Z),故选BC.
答案BC
4.已知f(x)=sin2x+π4,若a=f(lg 5),b=flg15,则( )
A.a+b=0 B.a-b=0
C.a+b=1 D.a-b=1
解析∵f(x)=1-cos2x+π22=1+sin2x2,
∴a=1+sin(2lg5)2,b=1+sin2lg152=1-sin(2lg5)2,∴a+b=12+12sin(2lg 5)+12?12sin(2lg 5)=1.
答案C
5.化简2-2-2+2+2cosα(3π<α<4π)等于( )
A.sinα16 B.2sinα16
C.2cosα16 D.cosα16
解析原式=2-2-2+2cosα2=2-2-2+2cosα2=2-2-2cosα4=2-2+2cosα4=2-2cosα8=2-2cosα8=2sinα16=2sinα16.
答案B
6.若sin(π-α)=45,α∈0,π2,则sin 2α-cos2α2的值等于 .?
答案425
7.若θ∈(π,2π),则1-cosθ1+cosθ= .?
解析∵θ∈(π,2π),∴sin θ<0,
∴1-cosθ1+cosθ=1-cos2θ1+cosθ=-sinθ1+cosθ=-tanθ2.
答案-tanθ2
8.设a=(1+cos α,sin α),b=(1-cos β,sin β),c=(1,0),α∈(0,π),β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π6,求sinα-β8的值.
解由题意得
cos θ1=a·c|a||c|=1+cosα2+2cosα=1+cosα2=cosα2.
因为θ1∈[0,π],α2∈0,π2,所以θ1=α2.
同理,cos θ2=b·c|b||c|=1-cosβ2=sinβ2=cosβ2-π2,
因为θ2∈[0,π],β2?π2∈0,π2,所以θ2=β2?π2.
将θ1=α2,θ2=β2?π2代入θ1-θ2=π6中,得α-β2=-π3,故sinα-β8=sin-π12=sinπ4-π3=2-64.
9.已知sinπ4+2αsinπ4-2α=14,α∈π4,π2,求2sin2α+tan α-1tanα-1的值.
解因为sinπ4+2αsinπ4-2α=14,
所以2sinπ4+2αcosπ4+2α=12,
即sinπ2+4α=12.所以cos 4α=12.
而2sin2α+tan α-1tanα-1
=-cos 2α+sin2α-cos2αsinαcosα=-cos2α+2tan2α.
因为α∈π4,π2,所以2α∈π2,π.
所以cos 2α=-1+cos4α2=-32,
tan 2α=-1-cos4α1+cos4α=-33.
所以-cos2α+2tan2α=--32+2-33=523,
即2sin2α+tan α-1tanα-1的值为532.
8.2.4 三角恒等变换的应用
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
课后篇巩固提升
基础巩固
1.化简cosα-cos3αsin3α-sinα的结果为( )
A.tan α B.tan 2α
C.cos α D.cos 2α
答案B
2.若cos(α+β)cos(α-β)=13,则cos2α-sin2β=( )
A.-23 B.-13 C.13 D.23
答案C
3.函数y=sinπ3+2x·sinπ3-2x的最大值为( )
A.34 B.-14 C.14 D.-34
答案A
4.cos 75°-cos 15°的值为( )
A.12 B.-12
C.23 D.-22
解析原式=-2sin 45°·sin 30°=-22.
答案D
5.cos 37.5°·cos 22.5°的值是( )
A.32+6+24 B.6+24
C.1232-6+24 D.1212+6+24
解析原式=12(cos 60°+cos 15°)=1212+6+24.
答案D
6.(多空)已知sin α+sin β=12,cos α+cos β=13,则tan(α+β)= ,cos(α-β)= .?
解析由sin α+sin β=12,cos α+cos β=13,
得2sinα+β2cosα-β2=12,2cosα+β2cosα-β2=13,
两式相除得tanα+β2=32,
则tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=2×321-322=-125.
(sin α+sin β)2=sin2α+sin2β+2sin αsin β=14,
(cos α+cos β)2=cos2α+cos2β+2cos αcos β=19,
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-5972.
答案-125 -5972
7.函数y=cosx+π3cosx+2π3的最大值是 .?
答案34
8.已知tan α,tan β是方程x2+3x-4=0的两个根,求cos2α+cos2βsin2α+sin2β的值.
解由根与系数的关系知tan α+tan β=-3,tan αtan β=-4,
故原式=2cos(α+β)cos(α-β)2sin(α+β)cos(α-β)=cos(α+β)sin(α+β)=1tan(α+β)=1-tanαtanβtanα+tanβ=1+4-3=-53.
9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,且A>C,B=60°,能否利用log4sin A+log4sin C=-1求出A和C的大小?若能,请求出;若不能,请说明理由.
解能.在△ABC中,B=60°,∴A+C=120°. ①
∵log4sin A+log4sin C=-1,
∴sin Asin C=14.
∵sin Asin C=12[cos(A-C)-cos(A+C)],
∴12[cos(A-C)-cos(A+C)]=14,
∴cos(A-C)=12+cos(A+C)=12+cos 120°=0.
又∵0°由①②,得A=105°,C=15°.
能力提升
1.化简cos2π7+cos4π7+cos6π7的结果为( )
A.sinπ7 B.12sinπ7
C.-12 D.-12cosπ7
答案C
2.sin α+sin β=33(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.-2π3 B.-π3 C.π3 D.2π3
答案D
3.已知α-β=π3,且cos α-cos β=13,则cos(α+β)等于 ( )
A.13 B.23 C.79 D.89
答案C
4.(多选)在△ABC中,若sinAsinB=cosBcosA,则△ABC可以是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.任意三角形 D.钝角三角形
解析由题意知sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,因此sin 2A-sin 2B=0,由和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,于是cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,即A+B=π2或A=B.故选ABD.
答案ABD
5.若x+y=1,则sin x+sin y与1的大小关系是( )
A.sin x+sin y>1 B.sin x+sin y=1
C.sin x+sin y<1 D.不确定
解析∵sin x+sin y=2sinx+y2·cosx-y2=2sin12·cosx-y2,
又0<12<π6<π2,
∴sin12∴sin x+sin y=2sin12·cosx-y2∴sin x+sin y<1.
答案C
6.cos 72°-cos 36°的值为 .?
解析cos 72°-cos 36°=-2sin 54°sin 18°=-2sin18°cos36°cos18°cos18°=-sin72°2cos18°=-12.
答案-12
7.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)= .?
解析sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos 2α-cos 2β)
=-12[(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]
=cos2β-cos2α=-m.
答案-m
8.已知0<α<π,0<β<π,且cos α+cos β-cos(α+β)=32,则2α+β等于 .?
解析因为cos α+cos β-cos(α+β)=32,
所以2cosα+β2·cosα-β2?2cos2α+β2-1?32=0,
即4cos2α+β2-4cosα-β2·cosα+β2+1=0,
因为方程有实根,所以Δ=16cos2α-β2-16≥0,则cos2α-β2=1,所以α=β,于是4cos2α-4cos α+1=0,
即(2cos α-1)2=0,所以α=β=π3,从而2α+β=π.
答案π
9.求证:2sin2θsin2φ+2cos2θcos2φ=1+cos 2θcos 2φ.
证明左边=2·1-cos2θ2·1-cos2φ2+2·1+cos2θ2·1+cos2φ2=12(1-cos 2θ-cos 2φ+cos 2θcos 2φ)+12(1+cos 2θ+cos 2φ+cos 2θcos 2φ)=12(2+2cos 2θcos 2φ)=1+cos 2θcos 2φ=右边.
所以原式成立.
10.已知△ABC的三个内角A,B,C满足(1)A+C=2B;(2)1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.
解由题设条件知B=60°,A+C=120°,
因为-2cos60°=-22,所以1cosA+1cosC=-22.
所以cos A+cos C=-22cos Acos C.
利用和差化积及积化和差公式得,
2cosA+C2cosA-C2=-2[cos(A+C)+cos(A-C)],
所以cosA-C2=-2-12+2cos2A-C2-1,
化简得42cos2A-C2+2cosA-C2-32=0,
又2cosA-C2-222cosA-C2+3=0,
因为22cosA-C2+3≠0,所以cosA-C2=22.
习题课——三角恒等变换
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(多选)函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是( )
A.π B.2 C.1 D.2π
解析由f(x)=sin xcos x+32cos 2x
=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+π3,
得最小正周期为π,振幅为1.
答案AC
2.已知A1,sinαsin(α+2β),Bsinαsin(α-2β)-2,1,且OA·OB=0,sin β≠0,sin α-kcos β=0,则k=( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.以上都不对
解析由题意sinαsin(α-2β)-2+sinαsin(α+2β)=0,化简得sin α=±2cos β,易知k=±2,所以选C.
答案C
3.若函数f(x)=sinx3cosφ3+cosx3sinφ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为( )
A.π2 B.2π3
C.3π2 D.5π3
解析f(x)=sinx3cosφ3+cosx3sinφ3=sinx3+φ3.
由题意,知函数f(x)=sinx3+φ3(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+kπ,k∈Z,所以φ=3π2+3kπ,k∈Z.又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C.
答案C
4.定义行列式运算a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3.将函数f(x)=3 sinx1 cosx的图像向左平移n(n>0)个单位,所得图像对应的函数g(x)为奇函数,则n的最小值为( )
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
解析∵f(x)=3cos x-sin x=232cos x-12sin x=2cosx+π6,
又平移后图像对应函数g(x)=2cosx+n+π6为奇函数,∴n+π6=kπ+π2(k∈Z),即n=kπ+π3(k∈Z),又n>0,∴n的最小值为π3,故选B.
答案B
5.(多选)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x,则下列说法错误的为( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图像关于直线x=-π8对称
D.将f(x)的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像
解析由f(x)=(sin x+cos x)cos x,
得f(x)=22sin2x+π4+12,
所以f(x)最小正周期为π,A错;
所以f(x)的最大值为22+12,B错;
f(x)的对称轴为x=π8+kπ2,k∈Z,
所以x=-π8不是f(x)的对称轴,C错;
将f(x)的图像向右平移π8个单位得y=22sin 2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=22sin 2x为奇函数.
答案ABC
6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2= .?
解析∵α是第三象限的角,
∴kπ+π2<α2∴tanα2<0.
∵cos α=-45,
∴cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2
=1-tan2α21+tan2α2=-45,解得tanα2=-3,
∴tanα2+π4=tanα2+tanπ41-tanα2tanπ4=-3+11+3=-12.
答案-12
7.函数f(x)=3sin23x-2sin213xπ2≤x≤3π4的最小值是 .?
解析因为函数f(x)=3sin23x-2sin213x=3sin23x+cos23x-1=2sin23x+π6-1,
又π2≤x≤3π4,所以23x+π6∈π2,2π3.
所以当2x+π6=2π3时,f(x)取得最小值3-1.
答案3-1
8.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a-b|=105,
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若cos α=1213,求cos β的值.
解(1)由题意可得a-b=(cos α-cos β,sin α+sin β),
∵|a-b|=105=
(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2-2cos(α+β),
∴cos(α+β)=45.
(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,
∴α+β仍为锐角,
sin(α+β)=1-cos2(α+β)=35.
∵cos α=1213,∴sin α=1-cos2α=513,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.
9.已知函数f(x)=sin2ωx+3sin ωx·sinωx+π2(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)在区间0,2π3上的取值范围.
解(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin 2ωx=32sin 2ωx-12cos 2ωx+12=sin2ωx-π6+12.
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
所以2π2ω=π,解得ω=1.
(2)由(1)得f(x)=sin2x-π6+12,
因为0≤x≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,
所以-12≤sin2x-π6≤1.
因此0≤sin2x-π6+12≤32,
所以f(x)的取值范围是0,32.
能力提升
1.设当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos θ=( )
A.255 B.-255 C.55 D.-55
解析f(x)=2sin x-cos x=5sin(x-φ)=5sin x·cos φ-5cos xsin φ;其中cos φ=25,sin φ=15;
由题意得θ-φ=2kπ+π2(k∈Z),
即θ=φ+2kπ+π2(k∈Z);
所以cos θ=cosφ+2kπ+π2=cosφ+π2=-sin φ=-15=-55.
答案D
2.若函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(x∈R),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是( )
A.13 B.32 C.43 D.23
解析f(x)=sin ωx+3cos ωx=2sinωx+π3,又f(α)=-2,f(β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.
答案D
3.已知函数f(x)=3cosπ2+2x+2sin2π2+x,x∈0,π2,则f(x)的最小值为( )
A.-1 B.2 C.3 D.1-3
解析f(x)=-3sin 2x+2cos2x=-3sin 2x+1+cos 2x=2cos2x+π3+1,
因为0≤x≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,
所以当2x+π3=π,即cos2x+π3=-1时,函数f(x)取最小值为-1.
答案A
4.已知函数f(x)=cos x(sin x-3cos x),则( )
A.f(x)的周期为2π
B.f(x)在区间-π6,π6上单调
C.f(x)的图像关于直线x=-π12对称
D.f(x)的图像关于点π6,0对称
解析f(x)=cos xsin x-3cos2x=12sin 2x-32·cos 2x-32=sin2x-π3?32,所以T=2π2=π,排除A;令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以f(x)在区间-π12,5π12上单调,排除B;sin-2π12-π3=-1,所以f(x)的图像关于直线x=-π12对称,C正确;fπ6=sinπ3-π3?32≠0,所以f(x)的图像关于点π6,0不对称,排除D.
答案C
5.已知向量a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈π2,π,若a·b=25,则tanα+π4=( )
A.13 B.27 C.17 D.23
解析由a·b=25,得cos 2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈π2,π,则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.
答案C
6.已知ω>0,a>0,f(x)=asin ωx+3acos ωx,g(x)=2cosx+π6,h(x)=f(x)g(x),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g(x)+h(x)的图像的一条对称轴方程可以为( )
A.x=π6 B.x=13π6
C.x=-23π12 D.x=-29π12
解析由题意得f(x)=asin ωx+3acos ωx=2asinωx+π3,由题图可得2a=2,即a=1,f(x)=2sinωx+π3;而gπ3=2cosπ3+π6=0,h(x)=f(x)g(x)中,x≠π3,所以fπ3=2sinπ3ω+π3=0,f(0)=g(0);而ω>0,解得ω=2,即f(x)=2sin2x+π3,所以F(x)=g(x)+h(x)=g(x)+f(x)g(x)=2cosx+π6+2sin2x+π32cosx+π6=2cosx+π6+2sinx+π6=22sinx+π6+π4=22sinx+5π12,而Fπ6≠±22,排除A;F13π6≠±22,排除B;F-23π12=22,即x=-23π12,即g(x)+h(x)的一条对称轴.
答案C
7.(双空)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值为 ,最小值为 .?
解析由题意可得2a-b=(2cos θ-3,2sin θ-1),
则|2a-b|=(2cosθ-3)2+(2sinθ-1)2=8-43cosθ-4sinθ=8-8sinθ+π3,当sinθ+π3=-1时,上式取最大值4,当sinθ+π3=1时,上式取最小值0.
答案4 0
8.设f(x)=3sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有m≤f(x),则实数m的取值范围是 .?
解析f(x)=3sin 3x+cos 3x=232sin3x+12cos3x=2sin3x+π6,所以f(x)min=-2,于是若对任意实数x都有m≤f(x),则m≤-2.
答案(-∞,-2]
9.已知函数f(x)=sinx-π6+cosx-π3,g(x)=2sin2x2.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=335,求g(α)的值;
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
解f(x)=sinx-π6+cosx-π3
=32sin x-12cos x+12cos x+32sin x=3sin x,
g(x)=2sin2x2=1-cos x,
(1)由f(α)=335,得sin α=35,
又α是第一象限角,
所以cos α>0.
从而g(α)=1-cos α=1-1-sin2α=1-45=15.
(2)f(x)≥g(x)等价于3sin x≥1-cos x,
即3sin x+cos x≥1.于是sinx+π6≥12.
从而2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6,k∈Z,
即2kπ≤x≤2kπ+2π3,k∈Z,
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+2π3,k∈Z.
10.若函数f(x)=sin x+3cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点α,β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求tan(α+β)的值.
解(1)由题意得sin x+3cos x
=212sin x+32cos x=2sinx+π3,
∵函数f(x)=sin x+3cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点,
∴关于x的方程sin x+3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解,
∴方程sinx+π3=-a2在(0,2π)内有相异二解.
∵0结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解,
则满足-1<-a2<1,且-a2≠32,
解得-2∴实数a的取值范围是(-2,-3)∪(-3,2).
(2)∵α,β是方程的相异解,
∴sin α+3cos α+a=0, ①
sin β+3cos β+a=0, ②
①-②,得(sin α-sin β)+3(cos α-cos β)=0,
∴2sinα-β2cosα+β2-23sinα+β2sinα-β2=0.
又sinα+β2≠0,
∴tanα+β2=33,
∴tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=3.
课件27张PPT。习题课——三角恒等变换1.填空:
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,?
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β,?(2)倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcos α,?
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(3)有关公式的逆用、变形
①tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β);?探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角函数的化简求值 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟三角函数化简与求值的基本思路
(1)化为特殊角的三角函数值;
(2)化为正、负相消的项,消去求值;
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角函数的条件求值 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟给值求值问题的解题思路
(1)化简所求式子.
(2)观察所求式子与已知条件之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测给值求角问题 分析:利用二倍角公式化简求解. 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟给值求角问题的求解策略
给值求角实质上也转化为给值求值,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角变换的综合应用 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测反思感悟函数性质问题的求解策略
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式;(3)根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值;
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测三角变换的综合应用问题 审题策略求最小正周期、最值、单调区间问题,往往需要先将原解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+k形式后再求解.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测答题模板第1步:化简函数解析式;
第2步:借助于y=sin x(或y=cos x)的性质求解;
第3步:给出正确结论.
失误警示造成失分的原因如下:
(1)化简过程出错,导致整题错误;
(2)正弦函数的图像性质记忆不清;
(3)在求区间时,未用区间表示最后结果.探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测A.-2 B.2 C.-4 D.4
答案:CA.-2 B.2 C.-1 D.1
答案:D答案:1 探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测