第七章三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列说法正确的是( )
A.[0°,90°)的角是第一象限的角
B.第一象限的角都是锐角
C.平角跟周角不是象限内的角
D.钝角是大于第一象限的角
答案C
2.若α为第一象限的角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在象限为( )
A.第一象限 B.第一或第二象限
C.第一或第三象限 D.第一或第四象限
解析若k为偶数,则k·180°+α的终边在第一象限;若k为奇数,则k·180°+α的终边在第三象限.
答案C
3.(多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是( )
A.-75°角是第四象限的角
B.225°角是第三象限的角
C.475°角是第二象限的角
D.-315°角是第一象限的角
解析因为-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以ABCD四个选项都是正确的.
答案ABCD
4.与-420°角终边相同的角是( )
A.-120° B.420° C.660° D.280°
解析与-420°角终边相同的角为k·360°-420°,k∈Z.
当k=3时,3×360°-420°=660°.
答案C
5.终边与坐标轴重合的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
答案C
6.若角α和β的终边关于直线y=-x对称,且α=30°,则β= .?
解析如图,OA为角α的终边,OB为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性,知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=k·360°-120°,k∈Z.
答案k·360°-120°,k∈Z
7.已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解(1)∵-1 910°=-6×360°+250°,
∴β=250°,即α=250°-6×360°.
又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.
(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).
∵-720°≤θ<0°,
∴-720°≤250°+k·360°<0°,
解得-9736≤k<-2536.
又k∈Z,∴k=-1或k=-2.
∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.
8.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它们所成的角为多少?
解时针每小时转-360°12,即-30°,则每分钟转-0.5°,而分针每分钟转-360°60,即-6°.故2小时15分钟后,时针转过(2×60+15)×(-0.5°)=-67.5°,分针转过(2×60+15)×(-6°)=-810°.
2小时15分钟后为10点20分.此时如图所示,分针指向4,时针则由10转过了20×(-0.5°)=-10°,故此时时针和分针所成的角为170°.
能力提升
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角必是第一、第二象限角
B.第二象限角必是钝角
C.不相等的角终边一定不同
D.锐角一定是第一象限角
解析90°的角可以是三角形的内角,但它不是第一、第二象限角,排除A;460°的角是第二象限角,但不是钝角,排除B;390°的角与30°的角不相等,但是它们的终边相同,排除C;易得D正确.
答案D
2.(多选)如果α是第三象限的角,那么α3可能是下列哪个象限的角( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为α是第三象限的角,则α∈(k·360°+180°,k·360°+270°),k∈Z,所以α3∈(k·120°+60°,k·120°+90°),k∈Z,所以α3可以是第一、第三、第四象限角.
答案ACD
3.若角α与45°角的终边相同,角β与-135°角的终边相同,则α与β之间的关系是( )
A.α+β=-50°
B.α-β=180°
C.α+β=k·360°+180°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)
解析α=k1·360°+45°(k1∈Z),β=k2·360°-135°(k2∈Z),α-β=k·360°+180°,k∈Z.
答案D
4.
如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α<315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
解析在(-360°,360°)范围内,终边落在阴影部分的角可表示为[-45°,120°],再写出终边相同的角的集合,即{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}.
答案C
5.已知集合M=xx=k2·180°+45°,k∈Z,P=xx=k4·180°+45°,k∈Z,则集合M与P之间的关系为( )
A.M?P B.P?M
C.P=M D.P∪M=M
解析因为M={x|x=90°·k+45°,k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°,k∈Z},P={x|x=45°·k+45°,k∈Z}={x|x=(k+1)·45°,k∈Z},所以M?P.
答案A
6.若α为锐角,则-α+k·180°(k∈Z)的终边所在的象限是 .?
解析因为α为锐角,所以-α的终边在第四象限.所以-α+k·180°(k∈Z)的终边在第二或第四象限,注意将k分成奇数与偶数讨论.
答案第二或第四象限
7.若α、β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= .?
解析先求出β的一个角,β=α+180°=60°,再由终边相同的角的概念知,β=k·360°+60°,k∈Z.
答案k·360°+60°,k∈Z
8.若角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,求β.
解在(-360°,0°)范围内,与-60°角关于直线x+y=0对称的角为-30°角,所以β=k·360°-30°(k∈Z).
9.若角β的终边落在150°角终边所在的直线上,写出角β的集合;当β∈(-360°,360°)时,求β.
解因为角β的终边落在150°角终边所在的直线上,
所以在[0°,360°)内的角为150°和330°.
所以β的集合A={β|β=k·360°+150°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+330°,k∈Z}={β|β=(2k+1)180°-30°,k∈Z}∪{β|β=(2k+2)180°-30°,k∈Z}={β|β=n·180°-30°,n∈Z},即满足要求的角β的集合A={β|β=n·180°-30°,n∈Z}.
令-360°
得-156所以当β∈(-360°,360°)时,β=-210°,-30°,150°,330°.
课件22张PPT。7.1.1 角的推广一、角的概念的推广
1.如图,射线OA绕端点O旋转,请回答下面问题:(1)当OA旋转到OB时,角的始边、终边、顶点各是什么?
提示:始边为OA,终边为OB,顶点为O.
(2)若OA按逆时针旋转,第一次到OB时,∠AOB多大?
提示:∠AOB=120°.
(3)若将(2)改为顺时针呢?
提示:∠AOB=-240°.
(4)若OA按逆时针旋转120°到OB位置,再按顺时针方向旋转200°到OC位置,则∠AOC多大?
提示:∠AOC=120°-200°=-80°.2.填空:
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有两个相反的方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角称为正角;按照顺时针方向转旋而成的角称为负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为零角.这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角.
3.做一做:一个角为30°,其终边按顺时针方向旋转三周后与这个角的始边构成的角度是多少?
解:终边按顺时针方向旋转三周,转过的角度为-360°×3=-1 080°,再加上原来的30°,可得旋转后的角度是-1 050°.二、象限角
1.30°,-45°角分别是第几象限角?
提示:30°角是第一象限角,-45°角是第四象限角.
2.30°,390°,-330°角的终边有什么关系?
提示:终边相同.3.填空:
(1)象限角的定义:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
(2)象限角的集合:(3)终边相同的角
任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.4.做一做:与-150°角终边相同的角可表示为 ,它是第 象限的角.?
答案:k·360°-150°(k∈Z) 三探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 有关角的概念问题
例1下列各种说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角就是锐角
C.锐角是第一象限的角
D.小于90°的角都是锐角
解:析:根据锐角和第一象限的角的定义来进行判定.
因为锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限的角的集合是{α|k·360°<α-60°角与300°角是终边相同的角,它们并不相等,故选项A错误;390°角是第一象限的角,但它不是锐角,故选项B错误;-30°角是小于90°的角,但它不是锐角,故选项D错误.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断角的概念问题的关键与技巧
(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.
(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1判断下列说法是否正确:
(1)第一象限的角小于第二象限的角;
(2)若90°≤α≤180°,则α为第二象限的角.
解:(1)不正确.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,显然390°>120°,所以(1)是错误的.
(2)不正确.其中90°,180°角都不是象限角,显然(2)是错误的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测终边相同的角的问题
例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,
(1)有几种终边不相同的角?
(2)在集合S中有几个在[-360°,360°)内的角?
分析:从代数角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,…,可以得α为…,-135°,-45°,45°,135°,225°,…;从图形角度看,是以45°角为基础,依次加上(或减去)90°的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得各角,如图所示,结合图形求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角的终边相同的角.又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
所以在[-360°,360°)内的角共有8个.反思感悟运用终边相同的角的注意事项
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下四点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉.
(2)α是任意角.
(3)k·360°与α之间用“+”连接.
(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2如图所示,写出终边落在直线y= x上的角的集合.S=S1∪S2={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测终边相同的角的集合之间的关系
例3已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
解:因为30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,
所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;
当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,
所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内,集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内.所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
所以A∩B={α|30°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟区域角表示的步骤
(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域;(2)确定-360°<α<360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角;(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用图形数形结合解题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°<α<90°+k·120°,k∈Z},求A∩B.
解:对于集合A,当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<α<90°+n·360°.
当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<α<210°+n·360°.
当n=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<α<330°+n·360°.
故A∩B={α|k·360°-45°<αA.第一象限的角一定不是负角
B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限的角
D.终边和始边都相同的角一定相等
答案:C
2.和-463°角终边相同的角可以表示为( )
A.k·360°+463°(k∈Z) B.k·360°+103°(k∈Z)
C.k·360°+257°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z)
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:第二或第四
4.终边在120°角终边所在直线上的所有角的集合是 ,上述集合在[-180°,180°)内的角是 .?
解:析:所求角的集合是{α|α=k·360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}
={α|α=n·180°+120°,n∈Z}.当n=-1,0时,
取得在[-180°,180°)内的角为-60°,120°.
答案:{α|α=n·180°+120°,n∈Z} -60°,120°探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.写出与角α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
解:由终边相同的角的表示知,与角α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+250°,k∈Z}.
因为-720°≤β<360°,
由-720°≤k·360°+250°<360°(k∈Z),当k=-2时,β=-2×360°+250°=-470°.
当k=-1时,β=-1×360°+250°=-110°.
当k=0时,β=0×360°+250°=250°.
所以符合不等式的元素β为-470°,-110°,250°.7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(多选)下列结论正确的是( )
A.π3=60° B.10°=π18
C.36°=π5 D.5π8=115°
解析∵π=180°,∴π3=60°,正确.10°=π18,正确.36°=π5,正确.5π8=112.5°≠115°,D不正确.
答案ABC
2.下列各对角中,终边相同的是( )
A.3π2和2kπ-3π2(k∈Z) B.-π5和22π5
C.-7π9和11π9 D.20π3和122π9
答案C
3.-2912π的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析-2912π=-2π-512π,故在第四象限.
答案D
4.若圆的半径变成原来的2倍,扇形的弧长也变成原来的2倍,则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增加到原来的2倍
D.扇形的圆心角增加到原来的2倍
解析扇形的圆心角α=lR,l,R均变为原来的2倍,故α不变.
答案B
5.在半径为2的圆内,长度为4的弧所对的圆心角的度数为 .?
解析圆心角α=42=2=180π×2°=360π°.
答案360π°
6.(双空)若将时钟拨慢5分钟,则分针转了 弧度,时针转了 度.?
解析将时针拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角都是正角,这时,分针转过的角度是360°12=30°,即30×π180=π6弧度,时针转过的角度是30°12=2.5°.
答案π6 2.5
7.
如图,扇形AOB的面积是4 cm2,周长是10 cm,求扇形的圆心角α的弧度数.
解设弧AB长为l cm,扇形半径为r cm,
则l+2r=10,12lr=4,解得r=4,l=2,或r=1,l=8(不合题意,舍去).
所以α=lr=24=12.
8.把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限的角:
(1)274π;(2)-1 104°.
解(1)27π4=6π+3π4.
因为3π4是第二象限的角,所以27π4是第二象限的角.
(2)-1 104°=-1 104×π180=-92π15=-8π+28π15.
因为28π15是第四象限的角,所以-1 104°是第四象限的角.
能力提升
1.已知αα=kπ+(-1)k·π4,k∈Z,则角α的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第一或第二象限 D.第三或第四象限
解析因为αα=kπ+(-1)k·π4,k∈Z,
所以当k=2m(m∈Z)时,α=2mπ+π4,终边在第一象限;当k=2m+1(m∈Z)时,α=2mπ+3π4,终边在第二象限.所以角α的终边在第一或第二象限.
答案C
2.某扇形的周长为6,面积为2,则其圆心角的弧度数是 ( )
A.1或4 B.1或2
C.2或4 D.1或5
解析设此扇形的半径为r,圆心角的弧度数是α(0<α<2π),则有12α·r2=2,2r+α·r=6,解得α=1或α=4.
答案A
3.集合A=αα=kπ+π2,k∈Z与集合B=α?α=2kπ±π2,k∈Z?的关系是( )
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.以上都不对
解析∵B=αα=2kπ+π2或α=2kπ+3π2,k∈Z=αα=kπ+π2,k∈Z=A,∴A=B.故选A.
答案A
4.《九章算术》是我国古代数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”意思说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少?书中给出了计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是( )
A.415 B.158
C.154 D.120
解析由题意,根据给出的计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,再由扇形的弧长公式,可得扇形的圆心角α=lr=308=154.
答案C
5.(双空)已知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为 ;扇形的面积为 .?
解析设扇形的半径为r,因为扇形的周长为6,圆心角为1,所以有2r+r=6,解得r=2,扇形面积为12×1×22=2.
答案2 2
6.某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为d cm,所形成的扇形面积为S cm2,则当t∈[0,60]时d与S关于时间t(s)的函数关系式为 .?
解析因为秒针的旋转方向为顺时针,
所以t s后秒针端点A转过的角α=-πt30 rad,
所以秒针端点A转过的路程为d=|α|·r=πt6(cm),
所以转过的扇形面积为S=12|α|·r2=5πt12(cm2).
所以d=πt6(t∈[0,60]),S=5πt12(t∈[0,60]).
答案d=πt6(t∈[0,60]),S=5πt12(t∈[0,60])
7.已知扇形的圆心角为α,半径为R.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?
解(1)弧长l=αR=60×π180×10=10π3(cm).
(2)由已知c=l+2R,得
S扇=12l·R=12(c-2R)R=cR2-R2
=-R-c42+c216,
故当R=c4时,S扇取最大值,
此时l=c2,α=lR=c2c4=2,
所以当α为2 rad时,该扇形的面积最大.
课件23张PPT。7.1.2 弧度制及其与角度制的换算一、弧度制 提示:没有关系. 2.填空:
(1)弧度制.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
(2)弧度数.
在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对圆心角为α rad,则α= .弧长比半径的值不依赖于半径,只与圆心角α的大小有关.3.做一做:下列叙述中,正确的是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度等于半径长的弧
C.无论是用角度制还是弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关答案:D 二、角度制与弧度制的换算
1.在☉O中,圆周角O用角度制度量为 ,用弧度制度量为 .由此可得到的结论为 .?
提示:360° 2π rad 360°=2π rad
2.填空:
角度制与弧度制的换算.3.做一做:(填下表)
特殊角的弧度数.三、扇形的弧长及面积公式
1.初中阶段学过的扇形的弧长公式及面积公式分别是什么?2.填空:
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则探究一探究二探究三思维辨析当堂检测弧度制的概念
例1下面各命题中,是假命题的为 .(填序号)?解:析:根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小均与所在圆的半径的长短无关,而是与圆心角的大小有关,所以④是假命题.
答案:④探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列说法正确的是( )
A.1弧度是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,弧度是角的一种度量单位
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测角度制与弧度制的互化
例2(1)①将112°30'化为弧度为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2(1)将-157°30'化成弧度为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测扇形面积公式、弧长公式的应用
例3已知扇形的周长为10 cm,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?
解:设扇形的半径为r cm,则弧长为(10-2r)cm,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟弧度制下解决扇形相关问题的步骤 必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最短?
解:设扇形的弧长为l,周长为y,由题意知,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测函数与方程思想的应用
在扇形的周长及面积的最值问题求解过程中,充分渗透了函数与方程思想的运用.如已知扇形的周长为l,求扇形面积的最值问题,可建立面积关于半径r的二次函数,当然也可以建立关于圆心角的函数,再根据函数的性质即可求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例一扇形的周长为20 cm,则扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形面积最大?方法点睛当扇形周长一定时,其面积有最大值,最大值的求法是把面积S转化为r的函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.将-300°化为弧度为( ) 答案:B 2.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20 cm,则扇形的周长为( )
A.6π cm B.60 cm
C.(40+6π)cm D.1 080 cm答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.终边在第四象限的对角线上的角的集合是( )答案:D 4.已知α=1 690°,θ∈(-2π,0),若角α与θ的终边相同,则θ= .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如图所示的阴影部分用弧度制可表示为 .?7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知P(-1,t)在角α的终边上,若sin α=255,则t= ( )
A.12 B.-2
C.2 D.±2
解析∵sin α=t1+t2=255,显然t>0,∴t=2.
答案C
2.
如图,在平面直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P.若∠AOP=θ,则点P的坐标是( )
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
答案A
3.下列各式为正值的是( )
A.cos 2-sin 2 B.cos 2·sin 2
C.tan 2·cos 2 D.sin 2·tan 2
解析因为cos 2<0,sin 2>0,tan 2<0,
所以tan 2·cos 2>0.
答案C
4.已知cos α=m,0<|m|<1,且tan α=1-m2m,则角α的终边在( )
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析因为cos α=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上.又因为1-m2>0,所以cos α与tan α同号,所以角α的终边在第一或第二象限.
答案A
5.(多选)角α的终边上有一点P(a,a),a∈R,且a≠0,则sin α的值可以是( )
A.22 B.-22 C.12 D.-12
解析当a>0时,|OP|=a2+a2=2a,由三角函数的定义得sin α=a2a=22;当a<0时,|OP|=-a2+a2=-2a,由三角函数的定义得sin α=a-2a=-22,故A,B正确.
答案AB
6.若sin α=-35,且tan α>0,则cos α= .?
解析∵sin α<0,tan α>0,∴α是第三象限角.
设P(x,y)为α终边上一点,则x<0,y<0,r=x2+y2,∴sin α=yr=-35,r=-53y,因此cos α=xr=-r2-y2r=-45.
答案-45
7.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是 .?
解析因为xr≤0,yr>0,所以x≤0,y>0,
即3a-9≤0,a+2>0,故-2答案(-2,3]
8.函数y=tanx1+sinx的定义域是 .?
解析函数定义域为x≠kπ+π2,k∈Z,1+sinx≠0,
即x≠kπ+π2,k∈Z,x≠2kπ+3π2,k∈Z,解得x≠kπ+π2,k∈Z.
答案xx≠kπ+π2,k∈Z
9.已知角θ的终边上有一点P(-3,m),且sin θ=24m,求cos θ与tan θ的值.
解由已知,得24m=m3+m2,解得m=0或m=±5.
(1)当m=0时,cos θ=-1,tan θ=0;
(2)当m=5时,cos θ=-64,tan θ=-153;
(3)当m=-5时,cos θ=-64,tan θ=153.
能力提升
1.有下列说法,其中正确的个数是( )
①终边相同的角的三角函数值相同;②同名三角函数的值相同,角也相同;③终边不相同的角,它们的同名三角函数值一定不相同;④不相等的角,同名三角函数值也不相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析终边相同的角的三角函数值相同;同名三角函数值相同,角不一定相同;终边不相同的角,它们的同名三角函数值也可能相同;不相等的角,同名三角函数值可能相同.故只有①正确.
答案B
2.已知α=5π6,则点P(sin α,cos α)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析α=5π6,其终边在第二象限,这时sin α,cos α分别为正值和负值,所以点P在第四象限.
答案D
3.函数y=sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是( )
A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3}
C.{-1,3} D.{-1,1}
解析由题意可知,角x的终边不能落在坐标轴上.当角x的终边在第一象限时,y=1+1+1=3;当角x的终边在第二象限时,y=1-1-1=-1;当角x的终边在第三象限时,y=-1-1+1=-1;当角x的终边在第四象限时,y=-1+1-1=-1.因此所求函数的值域为{-1,3}.
答案C
4.若α是第二象限的角,则sin 2α,sinα2,tan 2α,tan α2中必取正数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案B
5.(双空)已知点P(3,y)在角α的终边上,且满足y<0,cos α=35,则tan α的值为 ,sin α的值为 .?
解析因为332+y2=35,y<0,
所以y=-4.所以tan α=-43,sin α=-432+(-4)2=-45.
答案-43 -45
6.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是其终边上一点,且|OP|=10,则m-n等于 .?
解析分析知角α的终边位于第三象限,故m<0,n<0,且n=3m,m2+n2=10,m=-1,n=-3,因此m-n=2.
答案2
7.若函数f(x)的定义域是(-1,0),则函数f(sin x)的定义域是 .?
解析f(x)的定义域为(-1,0),若f(sin x)有意义,需-1答案2kπ-π,2kπ-π2∪2kπ-π2,2kπ(k∈Z)
8.已知sin α<0,且tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求角α2的终边所在的象限;
(3)试判断sinα2,cosα2的符号.
解(1)∵sin α<0,且tan α>0,∴角α是第三象限的角,即απ+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z.
(2)∵π+2kπ<α<3π2+2kπ(k∈Z),∴π2+kπ<α2<3π4+kπ(k∈Z).当k为偶数时,角α2的终边在第二象限;当k为奇数时,角α2的终边在第四象限.∴角α2的终边在第二或第四象限.
(3)当角α2的终边在第二象限时,sinα2>0,cosα2<0;当角α2的终边在第四象限时,sinα2<0,cosα2>0.
课件22张PPT。7.2.1 三角函数的定义一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 提示:α. 2.填空:
设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,则它与3.做一做:如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α=( )答案:C 2.填空: 3.做一做:函数y=tan α+sin α的定义域是 .? 三、正弦、余弦与正切在各象限的符号
1.点P(x,y)在各象限内x,y的正负如何?
提示:第一象限:x>0,y>0,
第二象限:x<0,y>0,
第三象限:x<0,y<0,
第四象限:x>0,y<0.
2.填空:
三角函数在各象限的符号.规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.做一做:(1)若sin α,cos α都是负数,则α是第 象限角.?
(2)若tan α<0,则α是第 象限角.?
答案:(1)三 (2)二或四探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数的定义
例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.反思感悟三角函数值的求解策略
当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测判断三角函数值的符号
例2判断下列三角函数值的符号.(2)sin 3·cos 4·tan 5.
分析:确定一个角的某一三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限;
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:∵α是第二象限的角,
∴-1∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数的定义域
例3求下列函数的定义域:分析:本题主要考查三角函数的定义域以及定义域的求法,应考虑到分式中分母不等于零、偶次根式有意义等条件,还要注意使tan x有意义,解不等式组即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数定义域的求解策略
求三角函数的定义域,除了使已知的式子有意义外,三角函数本身的定义域也不可忽视,若式中含有tan x,则x的取值要特别注意.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:∵sin x·tan x≥0,
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x=0,可得x是第一、第四象限的角或x轴上的角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在三角函数定义中的应用
典例已知角α的终边落在直线y=2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
解:当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取点P(1,2).设点P到原点的距离为r,方法点睛直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故α的终边有两种情况,需分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) 答案:A
2.若tan θ·sin θ<0,且tan θ·cos θ>0,则θ是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:0 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测7.2.2 单位圆与三角函数线
课后篇巩固提升
1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是( )
A.第一象限的角
B.第一、第二象限的角
C.第三象限的角
D.第一、第三象限的角
解析由正切线的定义知,当角α是第一、第三象限的角时,正切线都在第一象限.
答案D
2.下列不等式中,成立的是( )
A.sin-π18>sin π10
B.cos-23π5C.cos 4>cos 12
D.tan 7π5答案B
3.若θ∈0,π2,则sin θ+cos θ的一个可能值是( )
A.23
B.2π7
C.4-22
D.1
解析由θ∈0,π2,知sin θ+cos θ>1,四个选项中仅有4-22>1,故选C.
答案C
4.已知sin α>sin β,则下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
答案D
5.使不等式2-2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.x2kπ+π4≤x≤2kπ+3π4,k∈Z
B.x2kπ+π4≤x≤2kπ+7π4,k∈Z
C.x2kπ-5π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z
D.x2kπ+5π4≤x≤2kπ+7π4,k∈Z
解析由2-2sin x≥0,得sin x≤22,利用单位圆与三角函数线可得2kπ-5π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z.
答案C
6.函数y=sinx-cosx的定义域为 .?
解析利用三角函数线,画出满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).
因此所求定义域为x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z.
答案x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z
7.(多选)给出以下四个选项,其中正确的选项是( )
A.若0<α<π2,则sin α+cos α>1
B.若π2<α<π,则-1C.若3π2<α<2π,则-1D.若π<α<3π2,则sin α+cos α<-1
解析如图所示,
角α的正弦线为MP,余弦线为OM,则sin α+cos α=MP+OM,所以0<α<π2,此时角α在第一象限,则sin α+cos α=OM+MP>OP=1,故A正确;若π2<α<π,则sin α+cos α=OM+MP,此时角α的终边在第二象限,-1答案ABCD
8.借助三角函数线比较sin3π5,sin4π5,sin9π10的大小,由大到小排列为 .?
解析在单位圆中作出3π5,4π5,9π10角的正弦线,可知sin3π5>sin4π5>sin9π10.
答案sin3π5>sin4π5>sin9π10
9.求下列函数的定义域:
(1)y=2cosx-1;(2)y=lg(3-4sin2x).
解(1)如图①,
因为2cos x-1≥0,
所以cos x≥12.
所以x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z).
(2)如图②,因为3-4sin2x>0,
所以sin2x<34.
所以-32所以x∈2kπ-π3,2kπ+π3∪2kπ+2π3,2kπ+4π3
(k∈Z).
课件23张PPT。7.2.2 单位圆与三角函数线一、单位圆
1.什么是圆?圆的两大要素是什么?
提示:平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆;圆心和半径是圆的两大要素.
2.填空:
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.
3.做一做:角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos α,sin α)?二、三角函数线
1.什么叫点P在直线l上的射影?
提示:过点P作直线的垂线,则垂足Q称为点P在直线l上的射影.
2.填空:正弦线、余弦线与正切线探究一探究二探究三思维辨析当堂检测作出三角函数线
例1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角α终边的反向延长线(α为第二或第三角限角)于探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用三角函数线解不等式
例2在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,先抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用三角函数线比较大小 ①sin θ+cos θ<0;
②sin θ-cos θ>0;
③|sin θ|<|cos θ|;
④sin θ+cos θ>0.解析:画出单位圆如图所示,借助三角函数线进行判断.sin θ>0,cos θ<0,且|sin θ|<|cos θ|.
所以①②③正确,④错误.
答案:④探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2cos 1,sin 1,tan 1的大小关系是 ( )
A.sin 1B.sin 1C.cos 1D.cos 1答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sin α,cos α,tan α的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1.
证明:当角α的终边在x(或y)轴上时,正弦线(或余弦线)变成一个点,而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1),所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边,有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|>1.综上,有|sin α|+|cos α|≥1.方法点睛要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知角α的正弦线是单位的有向线段,则角α的终边 ( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
答案:B
3.已知角α的余弦线长度不大于角α的正弦线长度,那么角α的终边落在第一象限内的范围是( )答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.(多选)下列不等式成立的是( ) 答案:AD 7.2.3 同角三角函数的基本关系式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知cos α=513,且α∈(0,π),则tan α=( )
A.125 B.512 C.-125 D.-512
解析∵sin2α+cos2α=1,α∈(0,π),
∴sin α=1213.
∵tan α=sinαcosα,
∴tan α=125.
答案A
2.已知tan α=mπ<α<3π2,则sin α=( )
A.mm2+1 B.±mm2+1
C.±mm2+1 D.-mm2+1
答案D
3.已知sin αcos α=18,0<α<π2,则sin α+cos α的值是 ( )
A.14 B.-32 C.32 D.52
解析由题意,(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=54,因为0<α<π2,所以sin α+cos α>0,则sin α+cos α=52.
答案D
4.化简1+2sin4cos4的结果是( )
A.sin 4+cos 4 B.sin 4-cos 4
C.cos 4-sin 4 D.-cos 4-sin 4
解析因为π<4<3π2,所以sin 4<0,cos 4<0.又1+2sin4cos4=(sin4+cos4)2,所以1+2sin4cos4=|cos 4+sin 4|=-cos 4-sin 4.
答案D
5.若sinα1+1tan2α?cosα1+tan2α=-1,则α是第 象限的角.?
答案四
6.若tan α=13,则sin αcos α的值为 .?
答案310
7.证明:
(1)1-cos2αsinα-cosα?sinα+cosαtan2α-1=sin α+cos α;
(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).
证明(1)左边=sin2αsinα-cosα?sinα+cosαsin2α-cos2αcos2α
=sin2αsinα-cosα?cos2α(sinα+cosα)(sinα-cosα)(sinα+cosα)
=sin2αsinα-cosα?cos2αsinα-cosα=sin α+cos α=右边.
故原式成立.
(2)因为左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α
=2+2tan2α+2sin2α-sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)
=1+cos2α+2tan2α+2sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
所以左边=右边,原式成立.
能力提升
1.若tan θ+1tanθ=4,则sin θcos θ等于( )
A.110 B.18 C.16 D.14
解析∵tan θ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4,sin θcos θ=14.故选D.
答案D
2.
在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ=( )
A.1 B.725 C.-725 D.-2425
解析由题意得直角三角形的面积S=1-1254=625,
设三角形的直角边长分别为x,y,
则有x2+y2=1,12xy=625?x=35,y=45,或x=45,y=35.
因为θ为较小的锐角,
所以sin θ=351=35,cos θ=451=45,
sin2θ-cos2θ=352-452=-725,故选C.
答案C
3.(多选)化简1-sin2160°的结果是( )
A.cos 160° B.|cos 160°|
C.±cos 160° D.-cos 160°
解析因为160°角为第二象限角,所以1-sin2160°=cos2160°=|cos 160°|=-cos 160°,选项B、D正确.
答案BD
4.(双空)已知sin α,cos α是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sin α+cos α= ,m= .?
解析由题意知sinα+cosα=12,sinα·cosα=-m2.
∵(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α,
∴14=1-m,∴m=34.
答案12 34
5.若非零实数m,n满足tan α-sin α=m,tan α+sin α=n,则cos α等于 .?
答案n-mm+n
6.已知A是△ABC的一个内角,且tan A=-54,求sin A,cos A的值.
解∵tan A=-54,且A是△ABC的一个内角,
∴π20,cos A<0.
由sinAcosA=-54,sin2A+cos2A=1,解得sinA=54141,cosA=-44141.
7.已知tan α=m(m≠0),求sin α和cos α的值.
解∵sinαcosα=tan α=m,∴sin α=mcos α.
又sin2α+cos2α=1,∴m2cos2α+cos2α=1,
∴cos2α=11+m2.
当α为第一或第四象限的角时,cos α=11+m2,sin α=m1+m2;
当α为第二或第三象限的角时,cos α=-11+m2,sin α=-m1+m2.
8.求证:sin α(1+tan α)+cos α1+1tanα=1sinα+1cosα.
证明因为左边=sin α1+sinαcosα+cos α1+cosαsinα
=sin α+sin2αcosα+cos α+cos2αsinα
=sin2α+cos2αsinα+sin2α+cos2αcosα
=1sinα+1cosα=右边,所以原等式成立.
9.已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:
(1)m的值;
(2)方程的两根及此时θ的值.
解由根与系数的关系,可知
sinθ+cosθ=3+12, ①sinθ·cosθ=m2,②Δ=4+23-8m≥0,③
(1)由①式平方得1+2sin θcos θ=2+32,
所以sin θcos θ=34.
综合②得m2=34,所以m=32.
由③得m≤4+238=2+34,而32<2+34,
所以m=32.
(2)当m=32时,原方程变为2x2-(3+1)x+32=0,解得x1=32,x2=12.
所以sinθ=32,cosθ=12或cosθ=32,sinθ=12.
又因为θ∈(0,2π),所以θ=π3或θ=π6.
课件25张PPT。7.2.3 同角三角函数的基本关系式1.若P为单位圆,与角α终边的交点坐标为(x,y),则sin α,cos α各为何值?x与y有什么关系?
提示:sin α=y,cos α=x,x2+y2=1.
2.填空:(1)同角三角函数的基本关系式:
当α∈R 时,sin2α+cos2α=1;(2)关系式的变形 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用同角三角函数基本关系式求值 分析:先利用平方关系求出sin α的值,再利用商关系求出tan α的值.在求sin α的值时,先由余弦值为负确定角α的终边在第二或第三象限,然后分象限讨论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测易错警示利用同角基本关系式解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值
(1)对分式齐次式,因为cos α≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tan α的代数式,从而得解;
(2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tan α的代数式,从而得解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用同角三角函数关系式化简
例3化简:所以|sin 40°-cos 40°|=cos 40°-sin 40°.
(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β
=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β
=cos2β+sin2β=1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用同角三角函数关系式证明 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.证明恒等式的常用思路:
(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;
(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;
(3)比较法(作差法,作比法).
2.常用的技巧:
(1)巧用“1”的代换;
(2)化切为弦;
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3已知tan2α=2tan2β+1,求证sin2β=2sin2α-1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平方关系的应用技巧
在sin α+cos α,sin α-cos α和sin αcos α三个式子中,已知其中一个可以求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.另外,在化简、证明时,经常利用“1”的代换,将1±2sin αcos α化为完全平方式(sin α±cos α)2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例已知sin α+cos α=m(m≠1),求下列各式的值.
(1)sin αcos α;(3)sin3α+cos3α. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛可以通过平方、切化弦、分解因式或配方等手段将所求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求值的目的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.若α是三角形的一个内角,且sin α+cos α= ,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案:D答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测7.2.4 诱导公式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.sin-π3+2sin4π3+3sin2π3等于( )
A.1 B.12
C.0 D.-1
答案C
2.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45,则sin(π-α)= ( )
A.-45 B.45
C.-35 D.35
解析由三角函数的定义可得sin α=-45,则sin(π-α)=sin α=-45.
答案A
3.已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-33π4,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b
解析因为a=-33,b=22,c=-22,
所以b>a>c.
答案A
4.(多选)化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)的结果是 ( )
A.sin 2-cos 2 B.|cos 2-sin 2|
C.±(cos 2-sin 2) D.无法确定
解析原式=|sin(π-2)+cos(π-2)|=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.
答案AB
5.已知tanα-π6=12,且α∈0,π2,则cos2π3-α= ( )
A.-55 B.55
C.-255 D.255
解析由tanα-π6=12>0,且α∈0,π2可得0<α-π6<π3,
则sinα-π6=55,故cos2π3-α=cosπ2-α-π6=sinα-π6=55.
答案B
6.设tan(5π+α)=m,则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-α)-cos(π+α)的值为 .?
解析由题意知tan α=m,原式=-sinα-cosα-sinα+cosα=-tanα-1-tanα+1=m+1m-1.
答案m+1m-1
7.已知sinπ3-α=12,则cosπ6+α= .?
解析∵π3-α+π6+α=π2,
∴cosπ6+α=sinπ3-α=12.
答案12
8.化简:(1)1+cosπ2+αsinπ2-αtan(π+α);
(2)sin(2π-α)cos(π+α)cosπ2+αcos11π2-αcos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin9π2+α.
解(1)原式=1+(-sin α)cos αtan α=1-sin2α=cos2α.
(2)原式=
(-sinα)(-cosα)(-sinα)cos5π+π2-α(-cosα)sin(π-α)[-sin(π+α)]sin4π+π2+α
=-sin2αcosα-cosπ2-α(-cosα)sinα[-(-sinα)]sinπ2+α
=sin2αcosαsinα-cosαsin2αcosα
=-sinαcosα=-tan α.
9.已知sin(5π+α)=lg1310,求cos(2π+α)的值.
解∵sin(5π+α)=sin(π+α)=-sin α,
lg1310=lg 10-13=-13,
∴sin α=13,∴cos(2π+α)=cos α=±1-sin2α=±1-132=±223.
能力提升
1.已知函数f(x)=cosx2,则下列等式成立的是( )
A.f(2π-x)=f(x)
B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=f(x)
D.f(-x)=-f(x)
解析f(-x)=cos-x2=cosx2=f(x).
答案C
2.已知f(cos x)=sin x,设x是第一象限角,则f(sin x)为 ( )
A.sec x B.cos x C.sin x D.1-sin x
解析f(sin x)=fcosπ2-x=sinπ2-x=cos x.
答案B
3.已知α为锐角,2tan(π-α)-3cosπ2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )
A.355 B.377 C.31010 D.13
解析由已知可知-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0,
所以tan α=3.
又tan α=sinαcosα,所以9=sin2αcos2α=sin2α1-sin2α.
所以sin2α=910.
因为α为锐角,所以sin α=31010.
答案C
4.已知sin(2π+θ)tan(π+θ)tan(3π-θ)cosπ2-θtan(-π-θ)=1,则
3sin2θ+3sinθcosθ+2cos2θ的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.6
解析因为原式=sinθ·tanθ·tan(-θ)-sinθ·tanθ=tan θ=1,
所以3sin2θ+3cos2θsin2θ+3sinθ·cosθ+2cos2θ
=3tan2θ+3tan2θ+3tanθ+2=1.
答案A
5.已知tan(π-θ)=3,则sin(π2+θ)-cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=( )
A.-1 B.-12
C.1 D.12
解析由tan(π-θ)=3,得-tan θ=3,即tan θ=-3,
则sin(π2+θ)-cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=cosθ+cosθcosθ-sinθ=2cosθcosθ-sinθ=21-tanθ=12.
答案D
6.tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 89°= .?
解析因为tan 1°·tan 89°=1,
所以tan 1°·tan 2°·…·tan 89°=1×1×…×144个×tan 45°=1.
答案1
7.(双空)已知函数f(x)=cosxπ6,x≤0,log12(x+2),x>0,则f(2)= ,f[f(2)]= .?
解析由题意可得f(2)=log12(2+2)=log124=-2,则f[f(2)]=cos-π3=cosπ3=12.
答案-2 12
8.已知α是第三象限的角,且f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)tan-α+3π2cot(-α-π)sin(-α-π).
(1)化简f(α);
(2)若cosα-3π2=15,求f(α)的值.
解(1)f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)tan3π2-αcot(-α-π)sin(-α-π)=sinα·cosα·cotα-cotα·sinα=-cos α.
(2)∵cosα-3π2=-sin α,∴sin α=-15.又α是第三象限的角,∴cos α=-1-sin2α=-256,
∴f(α)=256.
9.已知tan α,1tanα是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根,且3π<α<7π2,求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.
解tan α,1tanα是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根,1=tan α·1tanα=13(3k2-13),
所以k2=163当k2=163时,Δ=9k2-4×3(3k2-13)>0.
因为3π<α<7π2,所以tan α>0,sin α<0,cos α<0.
又tan α+1tanα=--3k3=k,所以k>0,故取k=433.
于是tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=433,即sin αcos α=34.
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=2+32.
因为sin α+cos α<0,所以sin α+cos α=-3+12.
于是cos(3π+α)+sin(π+α)=cos(π+α)+sin(π+α)=-(cos α+sin α)=3+12.
课件22张PPT。7.2.4 诱导公式一、角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系(诱导公式①)
1.已知角β=2kπ+α,k∈Z.
(1)角α与β的终边有什么关系?
提示:终边相同.
(2)作出角β的三角函数线,通过作图,你会发现角α,β的三角函数值有何关系?
提示:(作图略)sin β=sin α,cos β=cos α,tan β=tan α.
2.填空:
(1)诱导公式①
sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,?
tan(α+k·2π)=tan α.?
(2)公式①可概括为:终边相同的角的同名三角函数值相等.3.做一做:
计算:(1)sin 390°= ;?
(2)cos 765°= ;?
(3)tan(-300°)= .?二、角的旋转对称
1.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),其对称轴方程是什么?
提示:x=2.
2.填空:
一般地,角α的终边和角β的终边关于角 的终边所在直线对称.
3.做一做:
60°和120°角的终边关于 角的终边所在的直线对称.?
答案:90°三、角α与-α的三角函数值之间的关系(诱导公式②)
1.对于任意角α,sin(-α),cos(-α),tan(-α) 与sin α,cos α,tan α有关系吗?
提示:有.sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
2.填空:
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.?
3.做一做:
计算:(1)sin(-45°)= ;?
(2)cos(-765°)= ;?
(3)tan(-750°)= .?四、角α与π±α的三角函数值之间的关系(诱导公式③④)
1.利用三角函数线分析sin(α+π),sin(α-π),cos(α+3π),tan(α-3π)与α的三角函数有什么关系?
提示:sin(α+π)=-sin α,sin(α-π)=-sin α,cos(α+3π)=-cos α,tan(α-3π)=tan α.
2.填空:
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α,
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.?
3.做一做:(1)sin(180°+30°)= ;?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测直接利用诱导公式化简、求值
例1(1)已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是 ( )分析:(1)239°=180°+59° 149°=180°-31° 59°+31°=90°→选择公式化简求值探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:(1)sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)
=-sin 59°(-tan 31°)
=-sin(90°-31°)·(-tan 31°)
=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决化简求值问题的策略:
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值(式)求值问题 反思感悟解给值(或式)求值的基本思路
给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式作适当化简后再作处理.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用诱导公式证明问题 分析:观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从左边入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边.反思感悟三角恒等式的证明策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在化简中的应用
典例化简:方法点睛对于式中含有kπ(k∈Z)的情况,将k分为k=2n和k=2n+1(k∈Z)两种情况求解更易于诱导公式的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.sin 600°=( ) 答案:D 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 答案:sin 3-cos 3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=1sinx的定义域为( )
A.R
B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.[-1,0)∪(0,1]
D.{x|x≠0}
答案B
2.函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(-a)=2,则f(a)的值为( )
A.3 B.0
C.-1 D.-2
答案B
3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图像不可能是( )
解析当a=0时,f(x)=1,选项C符合;
当0<|a|<1时,T>2π,f(x)的最大值小于2,选项A符合;
当|a|>1时,T<2π,选项B符合.
排除选项A,B,C,故选D.
答案D
4.函数y=sinx+π4的一个单调增区间是( )
A.[-π,0] B.0,π4
C.π4,π2 D.π2,π
解析对于A选项,当x∈[-π,0]时,-3π4≤x+π4≤π4,所以函数y=sinx+π4在区间[-π,0]上不单调;
对于B选项,当x∈0,π4时,π4≤x+π4≤π2,所以函数y=sinx+π4在区间0,π4上单调递增;
对于C选项,当x∈π4,π2时,π2≤x+π4≤3π4,所以函数y=sinx+π4在区间π4,π2上单调递减;
对于D选项,当x∈π2,π时,3π4≤x+π4≤5π4,所以函数y=sinx+π4在区间π2,π上单调递减.故选B.
答案B
5.(多选)下列函数图像相同的是( )
A.y=sin x与y=sin(π-x)
B.y=sinx-π2与y=sinπ2-x
C.y=sin x与y=sin(-x)
D.y=sin(2π+x)与y=sin x
解析根据诱导公式,y=sin(π-x)=sin x,故选A;y=sin(2π+x)=sin x,故选D.
答案AD
6.比较大小:
(1)sin74 cos53;?
(2)cos-π18 cos-π10.?
解析(1)因为cos53=sinπ2+53,
又π2<74<π2+53<3π2,但y=sin x在π2,3π2上是减函数,
所以sin74>sinπ2+53=cos53,
即sin74>cos53.
(2)因为-π2<-π10<-π18<0,且y=cos x在-π2,0上是增函数,所以cos-π18>cos-π10.
答案(1)> (2)>
7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的周期函数,若f(x)=cosx,-π2≤x≤0,sinx,0解析由题意,得f15π4=f3π+3π4=f3π4=sin3π4=sinπ-π4=sinπ4=22.
答案22
8.判断函数f(x)=xsin(π+x)的奇偶性.
解函数的定义域R关于原点对称.
∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,
f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x),
∴f(x)是偶函数.
9.用“五点法”作出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的图像.
解列表如下:
x
0
π2
π
3π2
2π
sin x
0
1
0
-1
0
2-sin x
2
1
2
3
2
描点,用光滑曲线连起来,图像如图所示.
能力提升
1.已知a=2sin 59°,b=sin 15°+cos 15°,c=22sin 31°·cos 31°,则实数a,b,c的大小关系是( )
A.aC.a≥c≥b D.a≥b≥c
解析a=2sin 59°,
b=sin 15°+cos 15°=2sin 60°,
c=22sin 31°cos 31°=2sin 62°.
因为y=sin x在[0°,90°]内单调递增,
所以a答案B
2.函数y=lg x与y=sin x的图像交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析在同一坐标系中作出函数y=lg x与y=sin x的图像,如图所示.
由图像可知,它们有三个交点.
答案D
3.(多选)函数y=sin x与y=sin(-x)的图像关于( )对称.
A.x轴 B.y轴
C.直线y=x D.直线x=π2
解析∵函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称,
∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图像关于y轴对称.
∵函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称,y=sin(-x)=-sin x,
∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图像关于x轴对称.
答案AB
4.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A.π4 B.π2 C.π D.2π
解析由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.
因为f(x)=2sin x的周期为2π,
所以|x1-x2|的最小值为π.
答案C
5.函数y=sin2x+2cos2x-sin x-3的最大值是( )
A.34 B.-34 C.3 D.-3
解析令t=sin x,t∈[-1,1],
则y=sin2x+2cos2x-sin x-3=-t2-t-1=-t+122-34,ymax=-34,故选B.
答案B
6.若f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2-sin x,则当x<0时,f(x)= .?
解析当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.
又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)=-x2-sin x.
答案-x2-sin x
7.已知方程cos2x+4sin x-a=0有解,则a的取值范围是 .?
答案[-4,4]
8.求函数f(x)=sinx-12+lg(25-x2)的定义域.
解由题意可知sinx-12≥0,25-x2>0,
作出函数y=sin x的图像如图.
满足sin x-12≥0的x的集合为2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z).
又25-x2>0,即-5故该函数的定义域为-5,-7π6∪π6,5π6.
9.若函数y=a-bsin x的最大值为32,最小值为-12,求函数f(x)=-4absin x的最值.
解①当b>0时,
由题意,得a+b=32,a-b=-12,解得a=12,b=1.
所以f(x)=-2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得a-b=32,a+b=-12,
解得a=12,b=-1.所以f(x)=2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
10.设函数f(x)=1sinx.
(1)请指出函数y=f(x)的定义域、周期性和奇偶性;(不必证明)
(2)请以正弦函数y=sin x的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明:y=f(x)在区间0,π2上单调递减.
(1)解∵函数f(x)=1sinx,∴sin x≠0,x≠kπ,k∈Z,
故函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
显然,f(x)的周期,即y=sin x的周期为2π.
由于满足f(-x)=1sin(-x)=-1sinx=-f(x),故f(x)为奇函数.
(2)证明正弦函数y=sin x在区间0,π2上单调递增,设0∴f(x1)=1sin x1>1sin x2=f(x2),
即f(x1)>f(x2),
因此y=f(x)在区间0,π2上单调递减.
课件27张PPT。7.3.1 正弦函数的性质与图像1.什么叫角α的正弦线?
提示:角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,则 即为角α的正弦线.
2.描点法作图的基本步骤是什么?
提示:描点法作图的基本步骤是:取值、列表、描点、连线、成图.
3.填空:
(1)对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数.?(2)正弦函数的性质与图像 (3)周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.
(4)正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线.4.做一做:求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间. 5.做一做:下列函数中,不是周期函数的是( )
A.y=-sin x,x∈R
B.y=3,x∈R
C.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]
D.y=sin x,x∈(0,+∞)
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测用“五点法”作函数的图像
例1作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图像简图.
解:列表如下:作出图像如图所示: 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟用“五点法”画函数图像的基本步骤
(1)列表: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像为图中的( ) 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:方法1:利用五点法作出x∈[0,2π]上的函数图像,列表如下: 描点、连线得其大致图像如图所示,对照选项中的图像,可知选B.
方法2:令x=0,则y=1-sin 0=1,因此图像过点(0,1),可排除C,D;又令答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测求定义域 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟函数定义域的求法
求三角函数的定义域,一般应根据各式有意义转化为求不等式(组)的解的问题,利用三角函数线或三角函数的图像进行求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测函数奇偶性的判断
例3判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);分析:利用函数奇偶性的定义进行判断.
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,
所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x),
因此f(x)是偶函数.
(2)函数应满足1+sin x≠0,所以函数的定义域不关于原点对称.
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟判断函数奇偶性的方法
(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测正弦函数单调性的应用
例4比较下列各组数的大小:分析:变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(4)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
因为0°<14°<70°<90°,
所以sin 14°所以-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°.
反思感悟利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法
(1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;
(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测分类讨论思想在正弦函数中的应用
典例求函数y=asin x+b(a≠0)的最值.
解:若a>0,当sin x=1时,ymax=a+b.
当sin x=-1时,ymin=-a+b.
若a<0,当sin x=-1时,ymax=-a+b,
当sin x=1时,ymin=a+b.
方法点睛研究函数的最值时,不但要注意定义域,同时还需注意单调性.如y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.正弦函数y=sin x(x∈R)的图像的一条对称轴是( )
A.y轴 B.x=
C.直线x=π D.x轴
答案:B
2.下列大小关系正确的是( )探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.若a=sin 1,b=sin 2,c=sin 3,则a,b,c由小到大的顺序为 .?
解析:由题意知sin 2=sin(π-2),sin 3=sin(π-3),所以sin(π-3)即sin 3答案:c解:y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-27.3.2 正弦型函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若将函数y=2sin(3x+φ)的图像向右平移π4个单位后得到的图像关于点π3,0对称,则|φ|的最小值是( )
A.π4 B.π3
C.π2 D.3π4
解析将函数y=2sin(3x+φ)的图像向右平移π4个单位后得到的函数为
y=2sin3x-π4+φ=2sin3x+φ-3π4,由3x+φ-3π4=kπ(k∈Z),得x=kπ3+π4-φ3(k∈Z).
令kπ3+π4-φ3=π3(k∈Z).
所以φ=kπ-π4(k∈Z),|φ|的最小值为π4.
答案A
2.函数y=2sinπ3-2x的单调递增区间是( )
A.2kπ-π12,2kπ-5π12(k∈Z)
B.kπ-7π12,kπ-π12(k∈Z)
C.2kπ-7π12,2kπ-π12(k∈Z)
D.kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)
答案B
3.要得到y=sin2x+π4的图像,只要将y=sin 2x的图像( )
A.向右平移π4个单位
B.向左平移π4个单位
C.向右平移π8个单位
D.向左平移π8个单位
答案D
4.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)A≠0,|φ|<π2,若x=2π3是f(x)图像的一条对称轴方程,则下列说法正确的是( )
A.f(x)图像的一个对称中心为5π12,0
B.f(x)在-π3,π6上是减函数
C.f(x)的图像过点0,12
D.f(x)的最大值是A
解析∵x=2π3是f(x)图像的一条对称轴方程,∴2×2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),又|φ|<π2,∴φ=π6,
∴f(x)=Asin2x+π6.
f(x)图像的对称中心为kπ2?π12,0(k∈Z),故A正确;由于A的正负未知,所以不能判断f(x)的单调性和最值,故B、D错误;f(0)=A2≠12,故C错误.故选A.
答案A
5.某正弦曲线的一个最高点为14,3,与其相邻的一个最低点到这个最高点的一段图像交x轴于点-14,0,最低点的纵坐标为-3,则这个正弦曲线的解析式为( )
A.y=3sinπx+π4 B.y=3sinπx-π4
C.y=3sin2πx+π8 D.y=3sin2πx-π8
解析由题意知A=3,T4=12,即T=2,由2πω=2,得ω=π.因此该函数为y=3sin(πx+φ),则π4+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π4+2kπ,k∈Z.∵当k=0时,φ=π4,∴y=3sinπx+π4.
答案A
6.函数y=2 020sinx2+π3的振幅为 ,周期为 ,初相为 .?
答案2 020 4π π3
7.若函数y=5sink3x+π3的周期不大于1,则自然数k的最小值为 .?
解析∵T=2πk3=6πk,且|T|≤1,即6πk≤1,且k为自然数,∴k≥6π,因此kmin=19.
答案19
8.求函数f(x)=cos2x-sin x,x∈-π4,π4的最大值.
解f(x)=1-sin2x-sin x=-sinx+122+54.
因为-π4≤x≤π4,所以当x=-π6,即sin x=-12时,f(x)取得最大值54.
9.如图为函数y=Asin(ωx+φ)的图像的一段.试确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
解解法1:由图可知A=3,Bπ3,0,C5π6,0,
则π3ω+φ=π,5π6ω+φ=2π?ω=2,φ=π3.
故y=3sin2x+π3.
解法2:由振幅情况知A=3,T2=5π6?π3=π2,
T=π=2πω?ω=2.
由Bπ3,0,令π3×2+φ=π,得φ=π3.
故y=3sin2x+π3.
解法3:由T=π,A-π6,0知,图像由y=3sin 2x向左平移π6个单位而得,故y=3sin 2x+π6=3sin2x+π3.
能力提升
1.如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)+k在一个周期内的图像,那么这个函数的一个解析式为( )
A.y=2sinx2+π6-1 B.y=2sin2x+π6-1
C.y=3sin2x+π3-1 D.y=3sin2x+π6-1
答案C
2.已知函数f(x)=sin2x+π3,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )
A.π12 B.5π12 C.π6 D.5π6
解析由题意得g(x)=sin2(x-φ)+π3=sin2x-2φ+π3,因为g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或最小值,所以sin-2φ+π3=±1,所以-2φ+π3=kπ+π2,k∈Z,解得φ=-kπ2?π12,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时,φmin=5π12,故选B.
答案B
3.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像如图所示,为了与g(x)=-Acos ωx的图像重合,可以将f(x)的图像( )
A.向右平移π12个单位 B.向右平移5π12个单位
C.向左平移7π12个单位 D.向左平移5π12个单位
解析由题图所示可知A=1,T=4712π-π3=π,所以ω=2ππ=2,f(x)=sin2x+π3,g(x)=-cos 2x=-sinπ2-2x+2kπ=sin2x-π2+2kπ=sin2x-5π12+kπ+π3(k∈Z),可验证得k=0时,B正确,k=1时,C正确,故选BC.
答案BC
4.函数y=sin2x-π3的图像可由函数y=sin x的图像作两次变换得到,第一次变换是针对函数y=sin x的图像而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图像而言的.现给出下列四个变换:①图像上所有点向右平移π6个单位;②图像上所有点向右平移π3个单位;③图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);④图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变).
请按顺序写出两次变换的代表序号: .(只需填写一组)?
解析y=sin x图像上所有点向右平移π3个单位,得y=sinx-π3,再将图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得y=sin2x-π3.故选②④.或y=sin x图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得y=sin 2x,再将图像上所有点向右平移π6个单位得y=sin 2x-π6=sin2x-π3,故选④①.
答案②④或④①
5.已知ω>0,函数f(x)=sinωx+π4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是 .?
解析结合y=sin ωx的图像可知y=sin ωx在π2ω,3π2ω上单调递减,而y=sinωx+π4=sinωx+π4ω,可知y=sin ωx的图像向左平移π4ω个单位之后可得y=sinωx+π4的图像,故y=sinωx+π4在π4ω,5π4ω上单调递减,应有π2,π?π4ω,5π4ω,解得12≤ω≤54.
答案12,54
6.(双空)函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的最小值为-2,其图像相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π,又图像过点(0,1),则这个函数解析式是 ,单调递增区间为 .?
答案y=2sin13x+π6 [6kπ-2π,6kπ+π],k∈Z
7.关于函数f(x)=4sin2x+π3(x∈R)有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos2x-π6;
③y=f(x)的图像关于点-π6,0对称;
④y=f(x)的图像关于直线x=-π6对称.
其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上).?
解析如图所示为y=4sin2x+π3的图像.
函数图像与x轴的交点均匀分布,相邻的两个交点的距离为π2,故命题①不是真命题;因为与x轴的每一个交点都是函数图像的一个对称中心,所以③是真命题;因为函数图像的对称轴都必须经过图像的最高点或最低点,所以直线x=-π6不是对称轴,故④不是真命题;最后由诱导公式可知cos2x-π6=sin2x-π6+π2=sin2x+π3,所以命题②是真命题,应填②③.
答案②③
8.已知函数f(x)=Asinωx+π3(A>0,ω>0)的最小正周期为π,且该函数图像上的最低点的纵坐标为-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程.
解(1)∵f(x)的最小正周期为π,又ω>0,T=2πω=π,∴ω=2ππ=2.
又函数f(x)图像上的最低点纵坐标为-3,且A>0,∴A=3.
∴f(x)=3sin2x+π3.
(2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,
可得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z,
由2x+π3=π2+kπ,得x=π12+kπ2,k∈Z,
∴函数f(x)的对称轴方程为x=π12+kπ2,k∈Z.
课件30张PPT。7.3.2 正弦型函数的性质与图像一、正弦型函数
1.什么叫正弦函数?
提示:形如y=sin x的函数叫正弦函数.
2.填空:
一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 .?二、正弦型函数的图像变换 3.填空:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两种主要途径:三、正弦型函数的性质
1.正弦函数的性质主要有哪些?2.填空:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像,我们可以得到它的性质.
(1)定义域:R.
(2)值域:[-A,A].(4)奇偶性:当φ=0时,为奇函数;当φ≠0时,为非奇非偶函数. 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测作正弦型函数的图像 分析:采用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:列表: 描点画图: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正弦型函数的图像变换 解:变换过程可以先伸缩后平移,也可先平移后伸缩,
变换一(先伸缩后平移):探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正弦型函数的综合应用 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟(1)记住一个重要结论:对于函数f(x)来说,若总有f(a+x)=f(a-x),则该函数图像关于直线x=a对称.
(2)求f(x)的最值时,注意定义域的作用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测整体法求复合函数的单调区间
典例求下列函数的单调递增区间.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正的,再利用整体代换,即把ωx+φ代入相应不等式中,求解相应的变量x的取值范围.
(2)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要遵循“同增异减”的法则.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:AC 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(1)用“五点法”作出函数的简图;
(2)此函数图像是由y=sin x的图像经过怎样变换得到的?
(3)求此函数图像的对称轴、对称中心及函数的单调递增区间.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)列表如下: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测7.3.3 余弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=cos4x+π3的图像的两条相邻对称轴间的距离为( )
A.π8 B.π4 C.π2 D.π
解析y=cos4x+π3的最小正周期T=2π4=π2.
其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为d=T2=π4.
答案B
2.函数y=3cos 2x+4是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
解析T=2π|ω|=π,f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x),所以函数的最小正周期为π,是偶函数,故选A.
答案A
3.若f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数t都有ft+π4=f(-t),且fπ8=-1,则实数m=( )
A.±1 B.±3 C.-3或1 D.-1或3
解析∵ft+π4=f(-t)对任意t成立,
∴f(x)关于x=π8对称.
∴fπ8=m±2=-1,∴m=-3或m=1.
答案C
4.函数y=-cosx2-π3的单调递增区间是( )
A.2kπ-4π3,2kπ+2π3(k∈Z)
B.4kπ-4π3,4kπ+2π3(k∈Z)
C.2kπ+2π3,2kπ+8π3(k∈Z)
D.4kπ+2π3,4kπ+8π3(k∈Z)
解析令2kπ≤x2?π3≤2kπ+π,k∈Z,
则4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3,k∈Z.
故该函数的递增区间为4kπ+2π3,4kπ+8π3,k∈Z.
答案D
5.同时具有性质“①最小正周期是π;②图像关于直线x=π3对称;③在-π6,π3上是减函数”的一个函数是 ( )
A.y=sinx2+π6
B.y=cos2x+π3
C.y=sin2x-π6
D.y=cos2x-π6
答案B
6.函数y=sin2x-cos x+1的最大值为 .?
解析y=sin2x-cos x+1=-cos2x-cos x+2
=-cos x+122+94.
∵-1≤cos x≤1,
∴当cos x=-12时,ymax=94.
答案94
7.(双空)函数y=log12(cos x)的定义域是 .函数y=log12(cos2x+2cos x+1)的值域为 .?
解析函数y=log12cos x有意义,则cos x>0,由余弦函数y=cos x的图像可知,当2kπ-π20,故函数y=log12cos x的定义域为x2kπ-π2cos x∈[-1,1],cos2x+2cos x+1∈[0,4],所以y=log12(cos2x+2cos x+1)∈[-2,+∞).
答案-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z [-2,+∞)
8.已知函数y=a-bcos x的最大值是32,最小值是-12,求函数y=-4bsin ax的最大值、最小值及周期.
解∵-1≤cos x≤1,由题意知b≠0.
当b>0时,-b≤-bcos x≤b,
∴a-b≤a-bcos x≤a+b.
∴a+b=32,a-b=-12,解得a=12,b=1.
∴y=-4bsin ax=-4sin12x.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时,b≤-bcos x≤-b,
∴a+b≤a-bcos x≤a-b.
∴a-b=32,a+b=-12,解得a=12,b=-1.
∴y=-4bsin ax=4sin12x.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
9.已知函数y=12cos x+12|cos x|.
(1)画出函数的简图.
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
(3)指出这个函数的单调增区间.
解(1)y=12cos x+12|cos x|
=cosx,x∈2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),0,x∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z).
函数图像如图.
(2)由图像可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像可知函数的单调递增区间为2kπ-π2,2kπ(k∈Z).
能力提升
1.若把函数y=3cos2x+π3的图像上的所有点向右平移m(m>0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.23π B.π3 C.π6 D.π12
解析y=cos2x+π3y=3cos 2x+π6-m.
因为图像关于y轴对称,所以当x=0时,2×0+π3-2m=kπ(k∈Z),m=π6?kπ2(k∈Z),当k=0时,m=π6,故选C.
答案C
2.下列四个函数中,既是0,π2上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( )
A.y=|sin x| B.y=|sin 2x|
C.y=|cos x| D.y=cos 2x
答案A
3.三个数cos32,sin110,-cos74的大小关系是( )
A.sin110>cos32>-cos74
B.cos32>-cos74>sin110
C.cos32D.-cos74解析sin110=cosπ2-110,-cos74=cosπ-74.
因为π>32>π2?110>π-74>0,而y=cos x在[0,π]上单调递减,
所以cos32即cos32答案C
4.下列函数中,图像的一部分如图所示的是( )
A.y=sinx+π6 B.y=sin2x-π6
C.y=cos4x-π3 D.y=cos2x-π6
答案D
5.已知ω>0,函数f(x)=cosπ4-ωx在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.(0,2] B.0,12
C.12,34 D.12,54
解析令t=π4-ωx,则函数f(x)=cosπ4-ωx,由y=cos t及t=π4-ωx复合而成,
因为ω>0,所以t=π4-ωx为减函数,
要使得函数f(x)=cosπ4-ωx在π2,π上单调递减,
则y=cos t必须递增,
令-π+2kπ≤t≤2kπ(k∈Z),
即-π+2kπ≤π4-ωx≤2kπ(k∈Z),
解得π4ω?2kπω要使得函数f(x)=cosπ4-ωx在π2,π上单调递减,
则π2,π?π4ω?2kπω,5π4ω?2kπω(k∈Z),
即π4ω-2kπω≤π2,5π4ω-2kπω≥π,解得ω≥1-8k2(k∈Z),ω≤5-8k4(k∈Z).
当k=0时,12≤ω≤54.
当k≠0时,ω不存在,故选D.
答案D
6.设函数f(x)=cos2x+π3+1,有以下结论:
①点-5π12,0是函数f(x)图像的一个对称中心;
②直线x=π3是函数f(x)图像的一条对称轴;
③函数f(x)的最小正周期是π;
④将函数f(x)的图像向右平移π6个单位后,对应的函数是偶函数.
其中所有正确结论的序号是 .?
解析∵f(x)的图像是由y=cos2x+π3向上平移1个单位得到,
y=cos2x+π3的对称中心的纵坐标为0,
∴f(x)的对称中心的纵坐标为1,故①错;
当x=π3时,f(x)取得最小值0,
∴x=π3是f(x)的一条对称轴,故②正确;
T=2π2=π,故③正确;
f(x)的图像向右平移π6个单位后,得到y=cos 2x+1的图像,它是偶函数,故④正确.
答案②③④
7.(双空)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后,与函数y=sin2x+π3的图像重合,则φ= .此时y=cos(2x+φ)的单调递减区间为 .?
解析∵函数y=cos(2x+φ)向右平移π2个单位,
得到y=sin2x+π3,
即y=sin2x+π3向左平移π2个单位得到y=cos(2x+φ),
∴y=sin2x+π2+π3=sin2x+π+π3=-sin2x+π3=cosπ2+2x+π3=cos2x+5π6=cos(2x+φ),即φ=5π6.
令2kπ≤2x+5π6≤2kπ+π(k∈Z),得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),
∴y=cos(x+y)的单调递减区间为kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).
答案5π6 kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z)
8.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.
(1)求fπ8的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移π6个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
解(1)因为f(x)的周期T=π,故2πω=π,所以ω=2.
所以f(x)=2cos 2x.所以fπ8=2cosπ4=2.
(2)将y=f(x)的图像向右平移π6个单位后,得到y=fx-π6的图像,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=fx4-π6的图像,所以g(x)=fx4-π6=2cos2x4-π6=2cosx2-π3.当2kπ≤x2?π3≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为4kπ+2π3,4kπ+8π3
(k∈Z).
9.已知函数f(x)=2cos2x+π4,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈-3π8,π4时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根, 求实数k的取值范围;
(3)将函数f(x)=2cos2x+π4的图像向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.
解(1)由余弦函数的单调性,解不等式2kπ+π<2x+π4<2kπ+2π,k∈Z,
得3π8+kπ(2)函数f(x)=2cos2x+π4的单调递增区间为3π8+kπ,7π8+kπ,k∈Z,单调递减区间为7π8+kπ,11π8+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)在-3π8,-π8上单调递增,在-π8,π4上单调递减,
则f-3π8=0,f-π8=2,fπ4=-2,
所以当0≤k<2时,函数y=k与函数y=f(x)的图像有两个公共点,
即当0≤k<2时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
(3)函数f(x)=2cos2x+π4的图像向右平移m(m>0)个单位,
得到图像对应的函数为g(x)=2cos2x+π4-2m,则g(x)是奇函数,
g(0)=2cos0+π4-2m=0,
即π4-2m=kπ+π2,k∈Z,
则m=-π8?kπ2,k∈Z,
因为m>0,所以当k=-1时,mmin=3π8.
课件24张PPT。7.3.3 余弦函数的性质与图像一、余弦函数的性质与图像
1.将函数y=sin x的图像向左平移 个单位得到图像对应函数的解析式是什么?
提示:y=cos x.
2.填空:
(1)余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数.(2)余弦函数的性质与图像 (3)余弦曲线:函数y=cos x的图像称为余弦曲线.?
3.做一做:函数y=2cos x-1的最大值是 ,周期是 ,单调递增区间为 .?
答案:1 2π [2kπ-π,2kπ],k∈Z二、余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
1.什么是正弦型函数?
提示:y=Asin(ωx+φ).
2.填空:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测余弦函数图像的画法 分析:列表,描出五个关键点,用光滑曲线连接即可.
解:列表如下:描点绘图,如图所示. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟“五点法”作图的应用技巧
在画函数y=Acos(ωx+φ)的图像时,所取的五点应由探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:列表如下: 描点作图(如图). 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数的定义域问题
例2求下列函数的定义域:探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用数轴求解,如图所示: 反思感悟1.用三角函数的图像解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图像.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
2.利用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)找出使sin x=a(或cos x=a)的两个x值的终边所在的位置.
(2)根据变化趋势确定不等式的解集.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测与余弦函数有关的值域问题
例3求下列函数的值域:
(1)y=-2cos x-1;探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法
(1)sin x,cos x的有界性,即|sin x|≤1,|cos x|≤1;
(2)sin x,cos x的单调性,通常结合函数图像来解决;
(3)化为sin x=f(y)或cos x=f(y),再利用|f(y)|≤1来确定;
(4)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)y=sin2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2.
∵-1≤cos x≤1,
∴函数y=sin2x+2cos x-2的值域为[-4,0].探究一探究二探究三思维辨析当堂检测应用数形结合法解三角不等式 方法点睛结合函数图像解不等式,可使抽象问题直观化. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.(多选)已知函数f(x)=cos x,下列结论不正确的是 ( )
A.函数y=f(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)在区间(-π,0)内单调递减
C.函数y=f(x)的图像关于x=π轴对称答案:BD 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:f(x1)与f(x2)分别是f(x)的最小值与最大值,则|x1-x2|的最小值为半个周期,即|x1-x2|min=4π.
答案:4π探究一探究二探究三思维辨析当堂检测7.3.4 正切函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础巩固
1.y=tan xx≠kπ+π2,k∈Z的单调性为( )
A.在整个定义域上为增函数
B.在整个定义域上为减函数
C.在-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z)上为增函数
D.在-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z)上为减函数
解析由正切函数的性质可知,C选项正确.
答案C
2.函数y=1tanx-π4A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,+∞)
解析∵-π4答案B
3.函数f(x)=tan2xtanx的定义域为( )
A.xx∈R,且x≠kπ4,k∈Z
B.xx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z
C.xx∈R,且x≠kπ+π4,k∈Z
D.xx∈R,且x≠kπ-π4,k∈Z
解析2x≠kπ+π2,x≠kπ+π2,x≠kπ,k∈Z,∴x≠kπ4,k∈Z.
∴f(x)的定义域为xx≠kπ4,k∈Z.
答案A
4.要得到y=tan 2x的图像,只需将y=tan2x+π6的图像( )
A.向左平移π6个单位 B.向左平移π12个单位
C.向右平移π6个单位 D.向右平移π12个单位
答案D
5.(多选)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|=π4,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π2
B.ω=4
C.函数f(x)图像的对称中心的坐标为kπ8,0(k∈Z)
D.函数|f(x)|图像的对称轴方程均可表示为x=kπ2(k∈Z)
解析∵|AB|=π4,则T=π4,∴ω=4.故A错,B正确;
令4x=12kπ,k∈Z,∴x=18kπ,k∈Z.
∴y=tan 4x的图像的对称中心为kπ8,0(k∈Z).故C正确.
y=|f(x)|图像的对称轴方程为x=kπ8(k∈Z),故D错.
答案BC
6.函数y=3tan(π+x),-π4解析函数y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在-π4,π6上是增函数,所以-3答案(-3,3]
7.已知f(x)=atanx2-bsin x+4(其中a,b为常数,且ab≠0),若f(3)=5,则f(2 018π-3)= .?
解析f(3)=atan32-bsin 3+4=5,
所以atan32-bsin 3=1.
f(2 018π-3)=atan2 018π-32-bsin(2 018π-3)+4=atan1 009π-32-bsin(-3)+4=-atan32+bsin 3+4=-atan32-bsin3+4=-1+4=3.
故f(2 018π-3)=3.
答案3
8.已知函数f(x)=3tan12x-π3.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性.
解(1)由12x-π3≠π2+kπ,k∈Z,
解得x≠5π3+2kπ,k∈Z.
所以定义域为xx≠5π3+2kπ,k∈Z,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T=π12=2π.f(x)的定义域不关于原点对称,
所以f(x)为非奇非偶函数.
由-π2+kπ<12x-π3<π2+kπ,k∈Z,
解得-π3+2kπ所以函数的单调递增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπ
(k∈Z).
9.函数y=Atan(ωx+φ)(0<φ<π)的图像与x轴相交的两邻点坐标分别为-π2,0,π6,0,且过点(0,-3),求此函数的表达式.
解由题意知函数的周期为T=π6?-π2=2π3,所以ω=πT=32,故y=Atan32x+φ.又函数图像过点π6,0,则有32×π6+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-π4,k∈Z.故φ=3π4.
又图像过(0,-3),则有-3=Atan32×0+3π4,得A=3,故函数的表达式为y=3tan32x+3π4.
能力提升
1.已知a=tanπ5,b=tan2π7,c=sinπ5,则有( )
A.aB.cC.cD.b解析∵函数y=tan x在0,π2上单调递增,且0<π5<2π7<π2,
∴tanπ5tanπ5-sinπ5=sinπ5cosπ5-sinπ5=sinπ5·1-cosπ5cosπ5.
∵00,∴tanπ5-sinπ5>0,即a>c.∴c答案C
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间π2,3π2内的图像是( )
答案D
3.若将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位后,与函数y=tanωx+π6的图像重合,则ω的最小值为( )
A.16 B.14 C.13 D.12
解析将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位,得y=tanωx+π4-ωπ6.
又因为平移后函数的图像与y=tanωx+π6的图像重合,所以π4?ωπ6?π6=kπ(k∈Z),即π12?ωπ6=kπ(k∈Z).
所以当k=0时,ωπ=π2,即ω的最小值为12.故选D.
答案D
4.tan 1,tan 2,tan 3,tan 4的大小关系是 (按从小到大的顺序排列).?
解析∵tan 1=tan(π+1),而π2<2<3<π<4<π+1<3π2,又y=tan x在π2,3π2内单调递增,∴tan 2答案tan 25.下面五个命题中,正确命题的序号是 .?
①y=tan2x-π4的最小正周期是π4;
②终边在坐标轴上的角的集合是αα=kπ2,k∈Z;
③y=4tan2x+π3的图像向右平移π6个单位,可得y=4tan 2x的图像;
④函数f(x)=3tan2x-π3在区间-π12,5π12内是增函数.
答案②③④
6.设函数f(x)=tanx2?π3.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤3的解集.
解(1)由x2?π3≠kπ+π2,k∈Z,得到函数的定义域为xx≠5π3+2kπ,k∈Z;
周期T=2π;增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπ(k∈Z),无减区间;对称中心为2π3+kπ,0(k∈Z).
(2)由题意得kπ-π4≤x2?π3≤kπ+π3,k∈Z,可得不等式-1≤f(x)≤3的解集为xπ6+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z.
7.若函数f(x)=tan2x-atan x|x|≤π4的最小值为-6,求实数a的值.
解设t=tan x,因为|x|≤π4,所以t∈[-1,1],
则原函数化为y=t2-at=t-a22?a24,对称轴为t=a2.
①若-1≤a2≤1,即-2≤a≤2时,
则当t=a2时,ymin=-a24=-6,
所以a2=24(舍去);
②若a2<-1,即a<-2时,二次函数在[-1,1]上单调递增,当t=-1时,ymin=1+a=-6,所以a=-7;
③若a2>1,即a>2时,二次函数在[-1,1]上单调递减,当t=1时,ymin=1-a=-6,所以a=7.
综上所述,a=-7或a=7.
8.已知函数f(x)=log12|tan x|.
(1)求其定义域和值域;
(2)判断其奇偶性;
(3)判断其周期性;
(4)写出其单调区间.
解(1)由题意知|tan x|>0,则tan x≠0,即x≠kπ,且x≠kπ+π2,k∈Z,∴其定义域为xx≠kπ,且x≠kπ+π2,k∈Z.
∵|tan x|>0,
∴其值域为R.
(2)∵函数定义域关于原点对称,又
f(-x)=log12|tan(-x)|=log12|tan x|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)∵y=|tan x|在其定义域内为周期函数,且最小正周期为π,∴f(x)也是周期函数,且最小正周期为π.
(4)单调增区间为kπ-π2,kπ,k∈Z,单调减区间为kπ,kπ+π2,k∈Z.
课件25张PPT。7.3.4 正切函数的性质与图像一、正切函数的性质与图像
1.(1)正切函数y=tan x的定义域是什么?
(2)诱导公式tan(π+x)=tan x说明了正切函数的什么性质?tan(kπ+x)(k∈Z)与tan x的关系怎样?
(3)诱导公式tan(-x)=-tan x说明了正切函数的什么性质?2.填空:
(1)对于任意一个角x,只要x≠ +kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数.
(2)正切函数的性质(3)正切函数的图像
①正切函数的图像:二、正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的性质
1.由y=tan 2x的图像向右移动 个单位得到的函数解析式是什么?它的周期为多大?2.填空:y=Atan(ωx+φ)的性质 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求函数的定义域
例1求下列函数的定义域:分析:根据题意列出不等式,再根据图像找出不等式的解集.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用正切函数的图像解不等式tan x>a的解题步骤 (4)把解扩展到整个定义域内.
同理,也可解形如tan x分析:对于(1),由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解;对于(2)可利用正切函数单调性进行比较.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求函数的值域 分析:利用换元法,将原函数化为二次函数的形式来解决. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟换元法求值域的关注点
使用换元法求函数值域时,一定要注意换元后自变量的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数形结合思想在三角中的应用 方法点睛数形结合法求解问题的关键是准确地画出图像. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练在区间[0,2π]上,使sin x>cos x成立的x的取值范围为( ) 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 答案:0 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测7.3.5 已知三角函数值求角
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=arctan x?π4的一个值域是( )
A.-π2,π2 B.-π4,π4
C.-π4,π4 D.-3π4,π4
解析因为x≥0,所以arctanx∈0,π2,则arctanx?π4∈-π4,π4,故选B.
答案B
2.若P(sin θ,cos θ)是角α终边上的一点,则α的值等于 ( )
A.π2-θ B.θ
C.2kπ+π2-θ(k∈Z) D.kπ+π2-θ(k∈Z)
解析由题意可知tan α=tanπ2-θ,则α=kπ+π2-θ,k∈Z.
答案D
3.已知α是三角形的内角,且sin α=32,则α等于( )
A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
解析因为α∈(0,π),且sin α=32,故α=π3或α=2π3.
答案D
4.(多选)已知cos x=-22,0A.3π4 B.5π4 C.4π3 D.7π4
解析∵x∈0,3π2且cos x=-22,∴x∈π2,3π2,
∴x=5π4或x=3π4.
答案AB
5.若sin x=-14,x∈π2,3π2,则x=( )
A.arcsin-14
B.2π+arcsin-14
C.π+arcsin14
D.π-arcsin14
解析由题意得sin(π-x)=-14,∵x∈π2,3π2,
∴π-x∈-π2,π2,
则π-x=arcsin-14,
因此x=π-arcsin-14=π+arcsin 14.
故选C.
答案C
6.arccoscos-π3= .?
解析∵cos-π3=cosπ3,且cosπ3=12∈[0,1],
∴arccoscos-π3=arccoscosπ3=π3.
答案π3
7.函数y=3-2x+π-arccos(2x-3)的定义域是 .?
答案1,32
8.已知集合A=xsinx=12,集合B=xtanx=-33,求A∩B.
解因为A=xsinx=12,
所以A=xx=2kπ+π6,k∈Z或x=2kπ+5π6,k∈Z.
因为B=xtanx=-33,
所以B=xx=kπ+5π6,k∈Z
=xx=2kπ+5π6,k∈Z或x=2kπ+11π6,k∈Z.
所以A∩B=xx=2kπ+5π6,k∈Z.
能力提升
1.若0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析由题意可得sin2x=45,则sin x=±255,当sin x>0时,x的值有两个,分别在第一、二象限,当sin x<0时,x的值也有两个,分别在第三、四象限.故选D.
答案D
2.若tan2x+π3=33,则在区间[0,2π]上使其成立的x值的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析∵tan2x+π3=33,∴可知2x+π3=kπ+π6(k∈Z),即x=kπ2?π12(k∈Z),∵x∈[0,2π],∴当k=1时,x=5π12,当k=2时,x=11π12,当k=3时,x=17π12,当k=4时,x=23π12,共4个值符合要求.
答案B
3.已知等腰三角形的顶角为arccos-12,则底角的正切值是( )
A.33 B.-12 C.3 D.12
解析由题意得三角形顶角为arccos-12=2π3,
底角为π-2π32=π6.故tanπ6=33.
答案A
4.若P(-1,2)是钝角α的终边上一点,则角α可以表示为 ( )
A.arcsin255
B.arccos-55
C.arctan(-2)
D.以上都不对
解析由题意可得sin α=255,cos α=-55,tan α=-2,
又α∈π2,π,
可知α=π-arcsin255=arccos-55
=π+arctan(-2).
故选B.
答案B
5.若A为△ABC的一个内角,且sin A+cos A=15,则A为( )
A.arcsin 45 B.arcsin-15
C.π-arcsin 45 D.π2+arccos 45
解析因为sin2A+cos2A=1,sin A+cos A=15,
所以sin A=45,cos A=-35,故A=π-arcsin 45.
答案C
6.(双空)若x=π3是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α= .x=-7π6时2cos(x+α)= .?
答案4π3 3
7.(双空)方程cos x=sinπ6的解集为 .不等式cos x>sin π6的解集为 .?
解析因为cos x=sinπ6,又由诱导公式可得sinπ6=cosπ3=cos-π3,
所以x=2kπ±π3,k∈Z,方程cos x=sinπ6的解集为xx=2kπ±π3,k∈Z.
所以不等式cos x>sinπ6的解集为x2kπ-π3答案xx=2kπ±π3,k∈Z x2kπ-π38.设sin θ,cos θ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,3π2<θ<2π,求m和θ的值.
解由根与系数的关系,得sinθ+cosθ=m, ①sinθcosθ=2m-14.②
②代入①的平方,得1+2×2m-14=m2,
解得m=1+32或m=1-32.
因为3π2<θ<2π,所以sin θcos θ<0,
所以m<12,故m=1-32,
则原方程变为4x2-2(1-3)x-3=0.
由于sin θ<0,cos θ>0,
所以cos θ=12,所以θ=5π3.
9.已知△ABC的三个内角A,B,C满足sin(180°-A)=2cos(B-90°),3cos A=-2cos(180°+B),求角A,B,C的大小.
解∵sin(180°-A)=2cos(B-90°),
∴sin A=2sin B. ①
又3cos A=-2cos(180°+B).
∴3cos A=2cos B. ②
①2+②2,得cos2A=12,即cos A=±22.
∵A∈(0,π),∴A=π4或A=3π4.
(1)当A=π4时,有cos B=32,
又B∈(0,π),∴B=π6,C=7π12.
(2)当A=3π4时,由②得cos B=3cos3π42=-32<0.
可知B为钝角,在一个三角形中不可能出现两个钝角,此种情况无解.
综上,可知角A,B,C的大小分别为π4,π6,7π12.
课件22张PPT。7.3.5 已知三角函数值求角2.填空:如图所示,分别写出sin α的正弦线、余弦线与正切线.2.填空: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知正弦值求角 分析:借助正弦函数的图像及所给角的范围求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知正弦值求角的解题策略
给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用.对于sin x=a(x∈R),-1≤a≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsin a(k∈Z)或x=2kπ+π-arcsin a(k∈Z).从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsin a,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知余弦值求角
例2已知cos x=- ,
(1)若x∈[0,π],求x;(2)若x∈[0,2π],求x.
分析:借助余弦函数的图像及所给角的范围求解即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知余弦值求角的解题策略
cos x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccos a,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知cos x=-0.345.
(1)当x∈[0,π]时,求x;
(2)当x∈R时,求x的取值集合.
解:(1)∵cos x=-0.345,且x∈[0,π],
∴x=arccos(-0.345)=π-arccos 0.345.
(2)当x∈R时,先求出[0,2π]上的解.
∵cos x=-0.345,∴x是第二或第三象限的角,
由(1)知x1=π-arccos 0.345为第二象限的角,∴x2=π+arccos 0.345,
因此当x=2kπ+x1或2kπ+x2,k∈Z时,cos x=-0.345,
即所求x的集合为{x|x=2kπ±arccos(-0.345),k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知正切值求角 (2)当x为三角形的一个内角时,求角x的值;
(3)当x∈R时,求角x的值.
分析:先求出满足tan α= 的锐角α,再由诱导公式转换得出.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟对于已知正切值求角有如下规律: 变式训练2已知tan x=2,且x∈[3π,4π],求x.(用符号表示)
解:∵3π≤x≤4π,∴x-3π=arctan 2,得x=3π+arctan 2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知三角函数值求角的方法
三角函数中求角的问题是一个综合性问题.如果已知一个角的三角函数值,求这个角,我们可以按照“已知三角函数值求角”的步骤来求.
已知三角函数值求角的步骤如下:
(1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限(或终边在哪条坐标轴上);
(2)若函数值为正数,先求出对应锐角α,若函数值为负数,先求出与其绝对值对应的锐角α;
(3)根据角所在象限,由诱导公式得出0~2π间的角.如果适合已知条件的角在第一象限,则它是α;如果适合已知条件的角在第二象限,则它是π-α;如果适合已知条件的角在第三、第四象限,则它分别是π+α和2π-α;
(4)如果要求适合条件的所有角,则利用终边相同的角的表达式来写出.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛在解决与三角形有关的问题时一定要注意两个隐含条件:一是A+B+C=π,二是三角形内角范围为(0,π).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:AB 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.满足等式sin(2x+45°)=cos(30°-x)的最小正角x是 .?
解析:sin(2x+45°)=sin(60°+x),要使x>0,且最小,则2x+45°=60°+x,所以x=15°.
答案:15°
5.若arccos(2x-1)有意义,则x的取值范围是 .?
解析:要使arccos(2x-1)有意义,则需-1≤2x-1≤1,即0≤x≤1,故x∈[0,1].
答案:[0,1]7.4 数学建模活动:周期现象的描述
课后篇巩固提升
基础巩固
1.单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin2πt+π6,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为( )
A.2 s B.1 s C.12 s D.14 s
解析由题意,知周期T=2π2π=1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为12 s.
答案C
2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
x
1
2
y
10 000
9 500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
解析因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,即sin(2ω+φ)=0,sin(ω+φ)=1,
所以2ω+φ=mπ,m∈Z,ω+φ=π2+2nπ,n∈Z.
易得3ω+φ=-π2+2kπ,k∈Z.
又当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9 500,所以y=9 000.
答案C
3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N+)
B.f(x)=9sinπ4x-π4(1≤x≤12,x∈N+)
C.f(x)=22sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N+)
D.f(x)=2sinπ4x+π4+7(1≤x≤12,x∈N+)
解析令x=3可排除D,令x=7可排除B,由A=9-52=2可排除C;或由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7-3)=8,则ω=π4,
f(x)=2sinπ4x+φ+7.
∵当x=3时,y=9,
∴2sin3π4+φ+7=9,
即sin3π4+φ=1.
∵|φ|<π2,∴φ=-π4.
∴f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N+).
答案A
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sint2(t≥0),则人流量增加的时间段是( )
A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]
解析由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为4kπ-π,4kπ+π,k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π].因为[10,15]?[3π,5π],所以选C.
答案C
5.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),0<φ<π2,函数图像如图所示,则φ= .?
解析根据图像,知16,0,1112,0两点的距离刚好是34个周期,所以34T=1112?16=34.
所以T=1,则ω=2πT=2π.
因为当t=16时,函数取得最大值,
所以2π×16+φ=π2+2kπ,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π6.
答案π6
6.
如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:
(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;
(2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?
解(1)由已知可设y=40.5-40cos ωt(t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=2π12,即ω=π6.
所以y=40.5-40cosπ6t(t≥0).
(2)令y=40.5-40cosπ6t=60.5,
得cosπ6t=-12,
所以π6t=23π或π6t=43π,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).
7.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为h=3sin2t+π4.
(1)求小球开始振动的位置;
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间;
(3)经过多长时间小球往返振动一次?
(4)每秒内小球能往返振动多少次?
解(1)令t=0,得h=3sinπ4=322,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322 cm处.
(2)由题意知,当h=3时,t的最小值为π8,即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.
当h=-3时,t的最小值为5π8,即小球第一次下降到最低点的时间为5π8 s.
(3)T=2π2=π,即经过约π s小球往返振动一次.
(4)f=1T=1π,即每秒内小球往返振动1π次.
8.某港口水深y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asin ωt+b的图像.
(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
解(1)由已知数据,描出曲线如图:
易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,
则ω=2πT=π6,y=3sinπ6t+10(0≤t≤24).
(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,
由y≥11.5得3sinπ6t+10≥11.5,即sinπ6t≥12. ①
∵0≤t≤24,∴0≤π6t≤4π. ②
由①②得π6≤π6t≤5π6或13π6≤π6t≤17π6.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时.
课件17张PPT。7.4 数学建模活动:周期现象的描述数学建模
数学建模是数学学习的一种新的方式,是对现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.(它是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果,是用精确的语言表达对象的内在特性,是利用各种数学概念、关系、表达式建立的模型.)
按广义理解,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程以及算法系统都可称为数学模型;按狭义理解,数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构,如二元一次方程是“鸡兔同笼”问题的数学模型,“一笔划”问题是“七桥问题”的数学模型,等等.在一般情况下数学模型按狭义理解.它为我们提供了自主学习的空间,把学到的知识应用于实践,使我们体验到数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,逐步提高创新意识和实践能力.一般说来,数学建模过程可用右面的框图表示: 建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.
中学数学中的应用问题不全属于中学数学建模活动,只有符合以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴,其他的只属于数学求解的应用问题.
作为数学建模活动的应用问题的是中学数学全面培养我们的数学应用意识和应用能力,全面提高我们的综合分析问题和解决实际问题的重要手段,也是培养和提高我们数学素质的重要方法.在实际教学中,近十几年来,国内外(特别是美国和日本)都把利用数学知识解决实际问题能力的培养作为数学教育的核心,在数学建模应用问题教学中选择“好”材料,设计“好”练习尤为重要.探究一探究二当堂检测三角函数模型在物理学中的应用
例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
分析:确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.探究一探究二当堂检测解:列表如下: 描点、连线,图像如图所示. 探究一探究二当堂检测(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.探究一探究二当堂检测变式训练交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.探究一探究二当堂检测三角函数模型的实际应用
例2已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图像.
(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
分析:(1)根据y的最大值和最小值求A,b,确定周期后求ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.探究一探究二当堂检测探究一探究二当堂检测延伸探究若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何? 探究一探究二当堂检测反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤 探究一探究二当堂检测1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( ) 答案:A 探究一探究二当堂检测2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定答案:C 探究一探究二当堂检测3.已知电流强度I与时间t的关系为I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其在一个周期内的图像如图所示,则该函数的解析式为( )答案:C 探究一探究二当堂检测4.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为习题课——y=Asin(ωx+φ)的图像性质的综合应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.将函数y=sinx+π6(x∈R)的图像上所有的点向左平移π4个单位,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,则所得的图像的解析式为( )
A.y=sin2x+5π12(x∈R)
B.y=sinx2+5π12(x∈R)
C.y=sinx2-π12(x∈R)
D.y=sinx2+5π24(x∈R)
解析将函数y=sinx+π6(x∈R)的图像上所有的点向左平移π4个单位,得y=sinx+π4+π6=sinx+5π12,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得y=sin12x+5π12.
答案B
2.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,若将其图像向左平移π6个单位后,得到函数g(x)的图像,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图像( )
A.关于点π12,0对称 B.关于点5π12,0对称
C.关于直线x=5π12对称 D.关于直线x=π12对称
解析由已知得T=2πω=π,则ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin2x+π6+φ=sin2x+π3+φ,又g(x)为奇函数,则π3+φ=kπ(k∈Z),则φ=-π3|φ|<π2,即f(x)=sin2x-π3.把x=5π12代入得sin2×5π12-π3=1,所以直线x=5π12为f(x)图像的对称轴,故选C.
答案C
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2的图像(部分)如图所示,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=2sinπx+π3(x∈R)
B.f(x)=2sin2π+π6(x∈R)
C.f(x)=2sinπx+π6(x∈R)
D.f(x)=2sin2πx+π3(x∈R)
解析由题中图像可知,f(x)的最小正周期T=4×56?13=2,
又T=2πω,∴ω=π,
又f(x)max=2,f(x)min=-2且A>0,∴A=2,
∵f13=2sinπ3+φ=2,∴π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,即φ=2kπ+π6,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=π6,f(x)=2sinπx+π6(x∈R),故选C.
答案C
4.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P032,12,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为( )
A.y=sinπ30t+π6 B.y=sin-π60t-π6
C.y=sin-π30t+π6 D.y=sin-π30t-π3
解析由题意知,函数的周期为T=60,∴ω=2π60=π30.
设函数解析式为y=sin-π30t+φ.
∵初始位置为P032,12,
∴当t=0时,y=12,
∴sin φ=12,∴φ可取π6,
∴函数解析式为y=sin-π30t+π6.故选C.
答案C
5.(双空)函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .f(x)取最大值时,x= .?
解析由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式可得T=2π|ω|=π,则ω=2.当sin2x+π3=1时,2x+π3=π2+2kπ(k∈Z), 则x=π12+kπ(k∈Z).
答案2 π12+kπ(k∈Z)
6.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像向左平移π6个单位后得到函数y=g(x)的图像,若函数y=g(x)为偶函数,则函数y=f(x)在0,π2上的值域为 .?
解析f(x)向左平移π6个单位得g(x)=2sin2x+π6+φ=2sin2x+π3+φ,
∵g(x)为偶函数,∴π3+φ=π2+kπ,k∈Z,
∴φ=π6+kπ,k∈Z.
∵0<φ<π,∴φ=π6,
∴f(x)=2sin2x+π6.
当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6.
∴sin2x+π6∈-12,1.
∴f(x)的值域为[-1,2].
答案[-1,2]
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<π2?的一段图像如图.
(1)求f(x)的解析式.
(2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位,才能使得到的图像对应的函数为偶函数?
解(1)由题图知A=3,2πω=434π-π4=5π,∴ω=25.
∵f(x)=3sin25x+φ过点π4,0,
∴sinπ10+φ=0.
又∵|φ|<π2,∴φ=-π10,∴f(x)=3sin25x-π10.
(2)由f(x+m)=3sin25(x+m)-π10=3sin25x+25m-π10为偶函数(m>0),知2m5?π10=kπ+π2,即m=52kπ+3π2.
∵m>0,∴mmin=3π2.故至少把f(x)的图像向左平移3π2个单位,才能使得到的图像对应的函数是偶函数.
8.已知函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的图像如图所示.
(1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;
(2)求函数在区间-π2,-π12上的最大值和最小值,并指出取得最值时的x的值.
解(1)由题中图像知,函数的最大值为2,最小值为-2,∴A=2,
又∵T4=π6--π12,∴T=π,2πω=π,∴ω=2.
∴函数的解析式为y=2sin(2x+φ).
∵函数的图像经过点π6,2,
∴2sinπ3+φ=2,∴sinφ+π3=1,
又∵0<φ<π2,∴φ=π6.
故函数的解析式为y=2sin2x+π6,其振幅是2,初相是π6.
(2)∵x∈-π2,-π12,∴2x+π6∈-5π6,0.
于是,当2x+π6=0,即x=-π12时,函数取得最大值0;
当2x+π6=-π2,即x=-π3时,函数取得最小值-2.
能力提升
1.函数y=sin2x-π3在区间-π2,π上的简图是 ( )
解析将y=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12,再将所有点向右平移π6个单位即y=sin2x-π3的图像,依据此变换过程可得到A中图像是正确的.也可以分别令2x-π3=0,π2,π,3π2,2π得到五个关键点,描点、连线、扩展得函数y=sin2x-π3的图像.
答案A
2.设函数f(x)=2sin2x+π6,将f(x)图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x),则g(x)图像的一条对称轴方程为( )
A.x=π24 B.x=5π12
C.x=π2 D.x=π12
解析函数f(x)=2sin2x+π6,将f(x)图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x)=2sin4x+π6,令4x+π6=kπ+π2,k∈Z,可解得函数对称轴方程为x=14kπ+π12,k∈Z,当k=0时,x=π12是函数的一条对称轴,故选D.
答案D
3.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期是π,若将该函数的图像向右平移π3个单位后得到的函数图像关于点π6,0对称,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=sin2x-π6
B.f(x)=sin2x-π3
C.f(x)=sin2x+π6
D.f(x)=sin2x+π3
解析∵f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,∴2πω=π,解得ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ),将该函数的图像向右平移π3个单位后,所得图像对应的函数解析式为y=sin2x-π3+φ=sin2x+φ-2π3.
由题意得0=sin2×π6+φ-2π3,∴φ=π3.
因此所求函数解析式为f(x)=sin2x+π3.
答案D
4.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,则f16的值为( )
A.-34 B.-14 C.-12 D.34
解析因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如题图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=12,T=2,
因为T=2πω,
所以ω=π,因为函数是偶函数,0<φ<π,所以φ=π2,所以函数的解析式为f(x)=12sinπx+π2,
所以f16=12sinπ6+π2=34.故选D.
答案D
5.已知函数f(x)=sink4x+π6,其中k>0,若当自变量x在任何两个整数间(包含整数本身)变化时,至少含有2个周期,则最小的正整数k为( )
A.50 B.51
C.12 D.13
解析由题意知最小正周期T≤12,即2πk4≤12,得k≥16π,所以k的最小正整数为51.
答案B
6.已知将函数f(x)=sin(ωx+φ)0<ω<6,-π2<φ<π2的图像向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像,f(x)和g(x)的图像都关于x=π4对称,则ω·φ= .?
解析由题意知g(x)=fx-π3=sinωx-πω3+φ.
∵f(x)和g(x)的图像都关于x=π4对称,
∴π4ω+φ=π2+kπ,k∈Z,π4ω+π3ω+φ=π2+k'π,k'∈Z,
解得ω=3(k'-k),k',k∈Z.
∵0<ω<6,∴ω=3,
∴φ=-π4+kπ,k∈Z,
又-π2<φ<π2,∴φ=-π4,
∴ω·φ=-3π4.
答案-3π4
7.函数f(x)=sin2x-π3的图像为C,有以下结论:①图像C关于直线x=11π12对称;②图像C关于点2π3,0对称;③函数f(x)在区间-π12,5π12内是增函数;④由y=sin 2x的图像向右平移π3个单位可以得到图像C.其中正确的结论是 .(写出所有正确结论的序号)?
解析因为f11π12=sin2×11π12-π3=-1,所以图像C关于直线x=11π12对称,即①正确;因为f2π3=sin2×2π3-π3=0,所以图像C关于点2π3,0对称,即②正确;当-π12答案①②③
8.作出函数y=32sin13x-π3在长度为一个周期的闭区间上的图像.
解列表:
13x-π3
0
π2
π
3π2
2π
x
π
5π2
4π
11π2
7π
y=32sin13x-π3
0
32
0
-32
0
描点画图(如图).
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,-π2<φ<π2在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设0解(1)由题设图像,易得A=2,34T=11π12?π6=9π12,
所以T=π,所以ω=2πT=2.
所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数f(x)的图像经过点π6,2.
所以2sin2×π6+φ=2,即sinπ3+φ=1.
又因为-π2<φ<π2,所以-π6<π3+φ<5π6.
所以π3+φ=π2,所以φ=π6.
故所求函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+π6.
(2)由题意,知方程f(x)=m有两个不同的实数根等价于函数f(x)=2sin2x+π6的图像与g(x)=m的图像有两个不同的交点.
因为0易画出函数f(x)=2sin2x+π6的图像与函数g(x)=m的图像(如图所示).
依据图像可知:
当-2即方程f(x)=m有两个不同的实数根,
故所求实数m的取值范围为(-2,1)∪(1,2).
①当-2所以x1+x22=2π3,即x1+x2=4π3.
②当1所以x3+x42=π6,即x3+x4=π3.
综上,当-2当1课件28张PPT。习题课——y=Asin(ωx+φ)的图像性质的综合应用一、y=Asin(ωx+φ)的有关概念
1.什么是正弦型函数?
提示:形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数)的函数叫正弦型函数.
2.填空:二、五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,如何列表?三、通过图像变换作函数y=Asin(ωx+φ)的图像
1.如何由y=sin x的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测五点法作图及图像变换 (1)用“五点法”作出它在一个周期内的图像.
(2)说明它的图像可由y=sin x的图像如何变换得到?解:(1)列表如下: 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测描点并连线得函数图像,如图. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解: 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测根据图像确定函数解析式 分析:由周期确定ω,由特殊点确定φ. 答案:A 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟求函数解析式的关注点
(1)解决此类问题要有数形结合的意识,图像是解决此类问题的重要工具.首先要对y=Asin x的图像与性质能准确地把握;其次,要明确y=Asin x与y=Asin(ωx+φ)+k在图像和性质上的异同,主要比较定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、对称性、最值等方面;(2)要熟记特殊角的三角函数值,并要学会逆向思考,注意角的范围.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测三角函数模型的应用
例3如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?分析:(1)根据题意,用θ表示出点B的坐标,再得h与θ的关系;
(2)应用h与θ的关系式求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)以圆心O为原点,
建立如图所示的平面直角坐标系,∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟解决三角函数模型应用问题的方法
转化为y=sin x,y=cos x等基本初等函数可以解决图像、最值、单调性等问题.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2如图,大风车叶轮最高顶点离地面14.5 m,风叶轮直径为14 m,风叶轮以每分钟2周的速度匀速转动,风叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点.假设风叶轮离地面高度y(单位:m)与风叶轮离地面最低点开始转动的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin ω(t-b)+c(a>0,ω>0)来表示,试求出其中四个参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 (1)求f(x)的最大值、最小值,及此时相应x的值;
(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心;
(3)求f(x)的单调递增区间.
分析:运用整体代换的思想,借助函数y=sin x的性质求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测一题多解——求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
典例如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图像,试确定A,ω,φ的值,并确定其一个函数解析式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测提示一先通过观察确定A和周期T,再由五点作图中的关键点确定φ值.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测提示二对φ的确定还可以代入图形中点的坐标解出,但要根据题目中φ的限制条件合理确定φ值.
解法二:(待定系数法)
由图像知振幅A=3.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛通过将若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数φ.这里需要注意的是,所选择的点要认清其属“五点法”中的哪一点,并能正确代入列式.依据五点法列表原理,点的序号与式子关系如下:
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:AB 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:A 答案:±2 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用五点法作出它的简图.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测描点、连线得到函数的简图如图所示. 课件24张PPT。章末整合例1已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.
(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积.方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.变式训练1用一根长为10 m的绳索围成一个圆心角小于π且半径不超过3 m的扇形场地,设扇形的半径为x m,面积为S m2.
(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;
(2)当半径x和圆心角α为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大值.例2利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围. 方法技巧利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,先抓住边界值,再注意角的范围的写法要求.变式训练2利用三角函数线,写出满足|cos α|>|sin α|的角α的集合. 解:如图,作出单位圆.
所以角α满足的集合为名师点评1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
2.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos α≠0,所以可除以cos α,这样可将被求式化为关于tan α的表示式,然后代入tan α=m的值,从而完成被求式的求值.方法技巧1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:
(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
3.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.(1)解析:y=cos 2x+2sin x-2
=-sin 2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos 2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
答案:[-4,0]规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法:
(1)y=asin 2x+bsin x+c(a≠0),利用换元思想设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)的范围,最后得最值.变式训练5函数y=sin 2x+cos x的最大值为 .? 第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知角α的终边与单位圆交于点-32,-12,则sin α的值为( )
A.-32 B.-12 C.32 D.12
解析由正弦函数的定义,知sin α=y=-12.
答案B
2.把-765°化成2kπ+α(0≤α<2π),k∈Z的形式是 ( )
A.-4π-π4
B.-4π+7π4
C.-6π-π4
D.-6π+7π4
解析由题意,可得-765°=-720°-45°=-1 080°+315°=-6π+7π4,故选D.
答案D
3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长为( )
A.2 B.sin 2
C.2sin1 D.2sin 1
解析连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,半弦长为1,其所对的圆心角也为1,故半径为1sin1,这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1,故选C.
答案C
4.要得到函数y=sin2x+π3的图像,只需将函数y=sin 2x的图像( )
A.向左平移π6个单位
B.向右平移π3个单位
C.向左平移π3个单位
D.向右平移π6个单位
解析∵y=sin2x+π3=sin2(x+π6),
∴只需将函数y=sin 2x的图像向左平移π6个单位即可得到函数y=sin2x+π3的图像.
答案A
5.已知f(x)=sinx+π2,g(x)=cosx-π2,则f(x)的图像( )
A.与g(x)的图像相同
B.与g(x)的图像关于y轴对称
C.向左平移π2个单位,得g(x)的图像
D.向右平移π2个单位,得g(x)的图像
解析因为f(x)=sinx+π2=cos x,所以将其图像向右平移π2个单位,得y=g(x)=cosx-π2的图像.
答案D
6.若函数f(x)=sin 2x+2cos x在区间-2π3,θ上的最大值为1,则θ的值是( )
A.0 B.π3 C.π2 D.-π2
解析由f(x)=sin 2x+2cos x=1-cos 2x+2cos x取到最大值1,
可知cos x=0,结合三角函数的图像易知θ=-π2,故选D.
答案D
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<π2,则( )
A.A=4 B.ω=1
C.φ=π6 D.B=4
解析根据函数的最大值和最小值得A+B=4,A-B=0,
求得A=2,B=2,
函数的周期为5π12?π6×4=π,即π=2πω,ω=2,
当x=π6时函数取最大值,即sin2×π6+φ=1,2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z).
∵|φ|<π2,∴φ=π6.
故选C.
答案C
8.设函数f(x)=2sinωx+φ+π4ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在π4,3π4上单调递减
B.f(x)在0,π2上单调递减
C.f(x)在0,π2上单调递增
D.f(x)在π4,3π4上单调递增
解析由题意知:2πω=π?ω=2,
∵f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,
∴φ+π4=π2+kπ,k∈Z?φ=π4+kπ,k∈Z.
又|φ|<π2,∴φ=π4,
f(x)=2sin2x+π4+π4=2cos 2x.
当x∈π4,3π4时,2x∈π2,3π2;当x∈π2,3π2时,cos x不单调,可知A,D错误;
当x∈0,π2时,2x∈(0,π);当x∈(0,π)时,cos x单调递减,
∴x∈0,π2时,cos 2x单调递减,可知B正确,C错误.故选B.
答案B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=tan x,则下列结论正确的是( )
A.2π是f(x)的一个周期
B.f-3π4=f3π4
C.f(x)的值域为R
D.f(x)的图像关于点π2,0对称
解析A.f(x)=tan x的最小正周期为π,所以2π是f(x)的一个周期,该选项正确;
B.f-3π4=1,f3π4=-1,所以该选项是错误的;
C.f(x)=tan x的值域为R,所以该选项是正确的;
D.f(x)=tan x的图像关于点π2,0对称,所以该选项是正确的.
故选ACD.
答案ACD
10.同时满足下列三个条件的函数为( )
①在0,π2上是增函数;②为R上的奇函数;③最小正周期为T≥π.
A.y=tan x B.y=|cos x|
C.y=tanx2 D.y=sin12x
解析A中y=tan x,在0,π2上是增函数且为奇函数又是以π为最小正周期的函数,三个条件均满足;
B中y=|cos x|,为偶函数且在0,π2上是减函数又是以π为最小正周期的函数,不满足;
C中y=tanx2,以2π为最小正周期,不满足条件③;
D中y=sinx2,在0,π2上是增函数且为奇函数又是以4π为最小正周期的函数,满足三个条件. 故选AD.
答案AD
11.已知函数y=sin2x-π6,则以下说法正确的是 ( )
A.周期为π4
B.非奇非偶函数
C.函数图像的一条对称轴为直线x=π3
D.函数在2π3,5π6上为减函数
解析该函数的周期T=π2;
因为f(-x)=sin-2x-π6=sin2x+π6,所以该函数是非奇非偶函数;函数y=sin2x-π6在2π3,5π6上是减函数,但y=sin2x-π6在2π3,5π6上是增函数,令x=π3,则y=sin2×π3?π6=1,x=π3为函数图像的对称轴,因此BC正确.
答案BC
12.将函数f(x)的图像向右平移π6个单位,再将所得函数图像上的所有点的横坐标缩短到原来的23,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图像.已知函数g(x)的部分图像如图所示,则函数f(x)( )
A.最小正周期为π,最大值为2
B.最小正周期为π,图像关于点π6,0中心对称
C.最小正周期为π,图像关于直线x=π6对称
D.最小正周期为π,在区间π6,π3上单调递减
解析由题图可知,A=2,T=42π9?π18=2π3,
ω=2πT=3.
又由g2π9=2可得φ=-π6+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<π2,∴φ=-π6.
∴g(x)=2sin3x-π6,f(x)=2sin2x+π6.
∴f(x)的最小正周期为π,最大值为2,选项A正确;对于B,令2x+π6=kπ(k∈Z),则x=kπ2?π12,可知函数f(x)图像的对称中心为kπ2?π12,0)(k∈Z),B错误;对于C,令2x+π6=kπ+π2(k∈Z),所以x=kπ2+π6(k∈Z),函数图像的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z),C正确;又当x∈π6,π3时,2x+π6∈π2,5π6,所以f(x)在π6,π3上是减函数,D正确.故选ACD.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知角α的终边经过点P(8,y),且cos α=45,则y的值为 .?
解析由题意得cos α=882+y2=45,解得y=±6.
答案±6
14.函数y=sin(x+1)+1的值域是 .?
解析∵函数y=sin(x+1)的值域是[-1,1],
∴函数y=sin(x+1)+1的值域是[0,2].
答案[0,2]
15.已知f(x)=ax3+bsin x+1,且f(1)=5,则f(-1)的值为 .?
解析∵f(1)=5,∴a+bsin 1=4,
∴-a-b·sin 1=-4,
∴f(-1)=-a-b·sin 1+1=-3.
答案-3
16.(双空)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,则ω= ;f(0)= .?
解析由题意可知周期为T=4×7π12?π3=π,
ω=2πT=2,
又2sin2×7π12+φ=-2,取φ=π3,即f(x)=2sin2x+π3,
可得f(0)=2sinπ3=3.
答案2 3
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知角α的终边上有一点P(-3,m+1),m∈R.
(1)若α=120°,求实数m的值;
(2)若cos α<0,且tan α>0,求实数m的取值范围.
解(1)依题意得tan α=m+1-3=tan 120°=-3,
所以m=2.
(2)由cos α<0,且tan α>0,得α为第三象限角,
所以m+1<0,即m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).
18.(12分)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点P的坐标是(-1,2).
(1)求sin α,tan α;
(2)求2sin(π-α)-sin(π2-α)sin(2π-α)+cos(π+α);
解(1)∵P(-1,2),
∴sin α=255,
tan α=-2.
(2)∵sin α=255,α为第二象限角,
∴cos α=-55,
2sin(π-α)-sin(π2-α)sin(2π-α)+cos(π+α)=2sinα-cosα-sinα-cosα
=2×255+55-255+55=-5.
19.(12分)已知f(x)=sin2x+π6+32,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间.
(2)函数f(x)的图像可以由函数y=sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到?
解(1)T=2π2=π,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z可知kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
所以所求的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)变换情况如下:
y=sin 2xy
=sin2x+π12y=sin2x+π6+32.
20.(12分)已知函数f(x)=sin2x+π4+1.
(1)用“五点法”作出f(x)在x∈-π8,7π8上的简图;
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.
解(1)∵-π8≤x≤7π8,
∴0≤2x+π4≤2π.
列表如下:
2x+π4
0
π2
π
3π2
2π
x
-π8
π8
3π8
5π8
7π8
f(x)
1
2
1
0
1
画出图像如下图所示:
(2)由2x+π4=kπ+π2,k∈Z,
得x=kπ2+π8,k∈Z,
可知函数图像的对称中心为kπ2+π8,1,k∈Z.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,
故函数的增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
(3)当2x+π4=2kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+π8,k∈Z时,
函数f(x)取得最大值,且最大值为2.
故函数f(x)的最大值为2,
此时x=kπ+π8,k∈Z.
21.(12分)如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解(1)设种群数量y关于t的解析式为
y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
则-A+b=700,A+b=900,
解得A=100,b=800.
∵周期T=2×(6-0)=12,
∴ω=2πT=π6,
∴y=100sinπ6t+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sinπ6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,∴取φ=-π2,
∴y=100sinπ6t-π2+800.
(2)当t=2时,y=100sinπ6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750.
22.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)当x∈0,π2时,求f(x)的取值范围.
解(1)由题中图像知A=2,
T=2×11π12?5π12=π,2πω=π,则ω=2,
由图像过点5π12,0得2sin5π6+φ=0,观察图像取5π6+φ=π,得φ=π6,故f(x)=2sin2x+π6.
(2)结合(1)中求得的函数解析式:
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,
解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
故函数的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
(3)∵0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6,因此-12≤sin2x+π6≤1,
故f(x)的取值范围为[-1,2].
课件17张PPT。章末整合例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线.
(1)若a与b的夹角为60°,求(2a-b)·(a+b);
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
解:(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a|·|b|cos θ-|b|2=2×1+1×4×cos 60°-42=-12.
(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,
即k2a2-b2=0,
∵a2=1,b2=16,∴k2-16=0,故k=±4.方法技巧 求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.例2(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 .?
(2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.解:(1)∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为k>0,且k≠1.例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.
(1)若b⊥c,求k的值;
(2)求a与b夹角的余弦值.解:(1)由题意可知c=(3-2k,2-4k);
∵b⊥c,∴b·c=-2(3-2k)-4(2-4k)=0,规律方法 1.求向量夹角的方法: (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|代入公式求解.
(3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角.变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则a与b的夹角为 .?
解析:设向量a与b的夹角为θ,∵b⊥(a+2b),
∴b·(a+2b)=a·b+2b2=|a|·|b|cos θ+2|b|2=0,即4|b|2cos θ+2|b|2=0,(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.方法技巧 三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.第八章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是( )
A.6π B.2π C.2π3 D.π3
解析由y=sin 3x+cos 3x?y=222sin 3x+22cos 3x=2sin3x+π4,
可知该函数的最小正周期T=2π|ω|=2π3,故选C.
答案C
2.已知a·b=3,|b|=1,则a在b方向上的投影的数量为( )
A.3 B.2 C.3 D.2
解析a在b方向上的投影的数量为|a|cos θ=a·b|b|=31=3,故选A.
答案A
3.已知sinα+2cosαsinα-2cosα=5,则cos2α+12sin 2α=( )
A.-25 B.3 C.-3 D.25
解析因为sinα+2cosαsinα-2cosα=5,所以tanα+2tanα-2=5?tan α=3,cos2α+12sin 2α=cos2α+sinαcosαcos2α+sin2α
=1+tanα1+tan2α=1+31+9=25,故选D.
答案D
4.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.π2
解析∵|a|=4,|b|=3,又(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-3|b|2-4a·b=37-4a·b=61,∴a·b=|a|·|b|·cos=-6,cos=-12,=120°,
因此向量a与b的夹角为2π3.故选C.
答案C
5.若cos θ=-35,且180°<θ<270°,则tanθ2的值为( )
A.2 B.-2 C.±2 D.±12
解析∵cos θ=-35,且180°<θ<270°,
∴90°<θ2<135°,
∴tanθ2=-1-cosθ1+cosθ=-2.
答案B
6.
如图所示,等边三角形ABC的边长为2,D为边AC上的一点,且AD=λAC,△ADE也是等边三角形,若BE·BD=449,则λ的值是( )
A.23 B.33 C.34 D.13
解析BE·BD=(BA+AE)·(BA+AE+ED)=BA2+BA·AE+BA·ED+AE·BA+AE2+AE·ED=22+2·2λcosπ3-2·2λ+2·2λcosπ3+4λ2+4λ2cos2π3=2λ2+4=449?λ2=49,
因为λ>0,所以λ=23,故选A.
答案A
7.已知向量a=(-1,2),b=(x,4),且a∥b,则|a+b|= ( )
A.5 B.53 C.35 D.5
解析∵a∥b,∴-4-2x=0,∴x=-2.
∴b=(-2,4),∴a+b=(-3,6),∴|a+b|=35.
故选C.
答案C
8.已知sin(α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为( )
A.37-2212 B.3-21412
C.37+2212 D.3+21412
解析因为sin(α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,
又cos(2β)=2cos2β-1=-79<0,
所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系,
可得cos(α+2β)=-74,sin β=223,
所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]
=sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β
=34×13--74×223=3+21412,故选D.
答案D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=cos x(cos x+3sin x)-12,则下面的结论不正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π6个单位,得到曲线C2
解析∵y=cos x(cos x+3sin x)-12=cos2x+3sin xcos x-12
=1+cos2x2+32sin 2x-12=12cos 2x+32sin 2x
=cos 2xcosπ3+sin 2xsinπ3=cos2x-π3,
∴将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位,得到曲线C2,根据选项,ACD不合题意,故选ACD.
答案ACD
10.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是 ( )
A.|b|=2 B.a·b=2
C.a-b与a垂直 D.a∥b
解析由题意知|a|=1,|b|=2,A正确;
a·b=1,B错误;
∵(a-b)·a=(0,-1)·(1,0)=0,
∴(a-b)⊥a,C正确;
∵不存在实数λ,使得b≠λa,
∴a∥b不正确,D错误,故选AC.
答案AC
11.已知函数y=lgx2-56x+76的零点是x1=tan α和x2=tan β(α,β均为锐角,且α>β),则α+β=( ),tan(α-β)=( ).
A.π6 B.π4 C.17 D.67
解析由题意知y=lgx2-56x+76的零点是方程x2-56x+76=1的解,即x2-56x+16=0,
tan α+tan β=56,tan α·tan β=16,
因为α,β均为锐角且α>β,
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=1?α+β=π4,
tan α-tan β=(tanα+tanβ)2-4tanα·tanβ=16,
tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=17,
故选BC.
答案BC
12.以下是函数f(x)=sin 2x+3cos 2x的单调递增区间的是( )
A.-5π12,π12 B.5π3,13π6
C.7π12,13π12 D.19π12,25π12
解析f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3,
由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),
即函数的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z),
当k=0时,得-5π12,π12,当k=1时,得7π12,13π12,当k=2时,得19π12,25π12.故选ACD.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cos α=35,α∈0,π2,则cosπ3+α= .?
解析因为cos α=35,α∈0,π2,则sin α=45,
所以cosπ3+α=cosπ3cos α-sinπ3sin α=12×35?32×45=3-4310.
答案3-4310
14.已知sin α=3cos α,则cos 2α= .?
解析因为sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,解得cos2α=110,sin2α=910,
故cos 2α=cos2α-sin2α=110?910=-45.
答案-45
15.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 .?
解析建立如图所示的坐标系,则A(1,0),B(cos 120°,sin 120°),
即B-12,32.
设∠AOC=α,则OC=(cos α,sin α).∵OC=xOA+yOB=(x,0)+-y2,32y=(cos α,sin α),
∴x-y2=cosα,32y=sinα.∴x=sinα3+cosα,y=2sinα3,
∴x+y=3sin α+cos α=2sin(α+30°).
∵0°≤α≤120°,∴30°≤α+30°≤150°.
∴当α=60°时,x+y有最大值2.
答案2
16.(双空)已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,则tanα+π4= ,tan(α+2β)= .?
解析tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=23+21+23×(-2)=-8.
tanβ-π4=tanβ-11+tanβ=-2,tan β=-13.
tan(α+2β)=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)·tanβ=311.
答案-8 311
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知平面向量a=(1,2),b=(1,x).
(1)若a⊥b,求向量a+b与b夹角的余弦值;
(2)若|a-b|=a·b,求实数x的值.
解(1)由a⊥b,可得1×1+2×x=0,解得x=-12,
所以a+b=2,32,故cos=(a+b)·b|a+b||b|=2×1+32×(-12)22+(32)?212+(-12)?2=55.
(2)a-b=(0,2-x),a·b=1+2x,
由|a-b|=a·b,得|2-x|=1+2x,
解得x=-3或x=13.
又|2-x|=1+2x>0,所以x=-3舍去,故实数x=13.
18.(12分)已知向量a与b不共线,且|a|=1,|b|=4.
(1)若a与b的夹角为120°,求(2a-b)·(a+b);
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a|·|b|cos θ-|b|2=2×1+1×4×cos 120°-42=-16.
(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,
即k2a2-b2=|a|2-|b|2=0,
则k2-16=0,k=±4.
19.(12分)已知函数f(x)=cos2ωx+3sin ωxcos ωx(ω>0)的图像的相邻两条对称轴的距离为3π2.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α是第一象限角,且f32α+π2=2326,求sin(α+π4)cos(4π+2α)的值.
解(1)因为f(x)=cos2ωx+3sin ωxcos ωx=1+cos2ωx2+32sin 2ωx,所以f(x)=sin2ωx+π6+12的最小正周期T=2π2ω=3π,解得ω=13,
则f(x)=sin23x+π6+12.
令2kπ-π2≤23x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)可得3kπ-π≤x≤3kπ+π2(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为3kπ-π,3kπ+π2 (k∈Z).
(2)因为f32α+π2=2326,即sinα+π2+12=cos α+12=2326,所以cos α=513,又α是第一象限角,所以sin α=1213,所以sin(α+π4)cos(4π+2α)=22·sinα+cosαcos2α=22(cosα-sinα)=-13214.
20.(12分)已知函数f(x)=sin x+3cos x+sinx+π3,x∈R.
(1)求fπ3的值;
(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.
解(1)fπ3=sinπ3+3cosπ3+sinπ3+π3
=32+32+32=332.
(2)f(x)=sin x+3cos x+sinx+π3
=sin x+3cos x+12sin x+32cos x
=32sin x+332cos x
=312sin x+32cos x=3sinx+π3.
若f(α)=1,则3sinα+π3=1,
即sinα+π3=13,∵0<α<π,∴π3<α+π3<4π3,∵sinα+π3=13∈0,12,
∴0<α+π3<π6(舍)或5π6<α+π3<π,
cosα+π3=-1-19=-223,
则cos α=cosα+π3?π3=cosα+π3cosπ3+sinα+π3sinπ3=-223×12+13×32=3-226.
21.(12分)已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)求f(x)在区间0,2π3上的最小值.
解(1)∵f(x)=sin x+3cos x-3=2sinx+π3-3,∴f(x)的最小正周期为2π.
由2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z),得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6(k∈Z),∴f(x)的单调递减区间是2kπ+π6,2kπ+7π6 (k∈Z).
(2)∵0≤x≤2π3,
∴π3≤x+π3≤π,-3≤f(x)≤2-3.
当x+π3=π,即x=2π3时,f(x)取得最小值.
∴f(x)在区间0,2π3上的最小值为f2π3=-3.
22.(12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,3sin 2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间.
(2)当x∈0,π6时,-4解(1)∵f(x)=2cos2x+3sin 2x+m=2sin2x+π6+m+1,
∴函数f(x)的最小正周期T=π,
在[0,π]上的单调递增区间为0,π6,2π3,π.
(2)∵当x∈0,π6时,f(x)单调递增,
∴当x=π6时,f(x)的最大值等于m+3.
当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.
由题设知m+3<4,m+2>-4,解得-6