一、解三角形
1．正弦定理及其推论：
设△ABC的外接圆半径为R，则
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(4)在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B.
2．余弦定理及其推论：
(1)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
(2)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?∠C为直角；c2>a2＋b2?∠C为钝角；c2
3．正弦定理、余弦定理解三角形的问题：
(1)两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角．
②已知两边和其中一边的对角，求其他边角．
(2)两类余弦定理解三角形的问题：①已知三边求三角．
②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角．
4．三角形面积公式：
(1)S＝aha＝bhb＝chc.
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
二、复数
1．形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
2．a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
3．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
4．|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
5．设复数z1，z2对应的向量为，，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数，z1－z2是连接向量与的终点并指向的向量所对应的复数．
6．z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.
7．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)
(1)复数的加、减法法则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)复数代数形式的乘法法则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(3)复数代数形式的除法法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
三、立体几何初步
1．多面体及其结构特征
(1)棱柱：
①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；
③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台：
①上下底面互相平行、且是相似图形；
②各侧棱延长线相交于一点．
2．圆柱、圆锥、圆台和球
圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体．
3．斜二测画法的意义及建系原则
(1)斜二测画法中“斜”和“二测”：
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
(2)斜二测画法中的建系原则：
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．
4．空间几何体的表面积和体积
(1)多面体的表面积：
各个面的面积之和，也就是展开图的面积．
(2)旋转体的表面积：
圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
球：S＝4πR2.
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
①柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
②锥体的体积公式：V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
③台体的体积公式：V台体＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．
④球的体积公式：V球＝πR3.
5．共面与异面直线
(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．
(2)异面直线：既不相交又不平行的直线．
6．平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
7．基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c.
8．直线与平面平行的判定与性质
(1)判定：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行．那么这条直线和这个平面平行．
(2)性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
9．平面与平面平行的判定
(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(2)符号语言：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.
(3)图形语言：如图所示．
10．平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明两直线平行．
11．直线与平面垂直的判定定理
定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
推论2：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行．
12．直线与平面垂直的性质
性质：如果—条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号表示：?a⊥b.
13．面面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
14．面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．
(教师独具)
1．在三角形中，大边对大角，小边对小角． (√)
2．任意给定三边和三角中的三个元素，都可以用正弦、余弦定理解三角形． (×)
[提示] 已知三角无法解得三角形三边．
3．已知三角形两边及一边的对角时，解可能有两个． (√)
4．已知三角形两边及一边的对角时，解一定有两个． (×)
[提示] 可能无解，也可能一解，也可能两解．
5．在△ABC中，若a2[提示] 若a26．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (√)
7．三角形中已知三边无法求其面积． (×)
[提示] 可由余弦定理求其中的一个角的余弦，从而可求其正弦，然后再用三角形面积公式求解．
8．两个不可到达的点之间的距离无法求得． (×)
[提示] 可构造三角形，利用正弦定理或余弦定理求解．
9．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (×)
[提示] 当b＝0时，z为实数．
10．若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (√)
11．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． (√)
12．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (×)
[提示] 在复平面内，虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数．
13．复数的模一定是正实数． (×)
[提示] 当复数z＝0时，复数的模为0，不是正实数．
14．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充分但不必要条件．(×)
[提示] a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要但不充分条件．
15．因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． (×)
[提示] 虚数的模是实数，因此可以比较大小．
16．两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件． (×)
[提示] 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分不必要条件．
17．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0. (×)
[提示] 举反例，例如z1＝－1，z2＝i时 ，满足z＋z＝0，但z1与z2不一定相等．
18．两个共轭虚数的差为纯虚数． (√)
19．空间中两直线没有交点，则两直线平行． (×)
[提示] 还可以是异面．
20．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，所围成的几何体是棱柱．
(×)
[提示] 还要有每相邻两个四边形公共边平行．
21．棱锥是由一个面是多边形，其余各面是三角形所围成的几何体．(×)
[提示] 各三角形必须有一个公共顶点．
22．圆台也可以看作是一个圆锥截去一个小圆锥所形成的几何体． (√)
23．三点确定一个平面． (×)
[提示] 不共线三点才能确定平面．
24．球的表面积公式为S＝πR2. (×)
25．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台． (×)
[提示] 棱台侧棱延长后会交于一点．
26．一条直线平行于两平行平面中的一个平面，也平行于另一个． (×)
[提示] 可能直线在平面内．
27．一条直线平行于两互相垂直的两平面中的一个，就会垂直于另一平面．
(×)
[提示] 还可能相交、平行，在平面内．
28．若a∥b，bα，则a∥α. (×)
[提示] 还需要aα.
29．如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么两平面平行．
(×)
[提示] 两直线相交时才成立．
30．垂直于同一直线的两直线平行． (×)
31．垂直于同一直线的两平面平行． (√)
32．垂直于同一平面的两平面平行． (×)
33．锥体的体积等于底面面积与高之积． (×)
34．经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径． (√)
35．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α. (×)
[提示] 90°时斜率不存在．
36．正棱锥是底面是正多边形的棱锥． (×)
37．两平面互相垂直，其中一个平面内的直线垂直于另一平面． (×)
38．两平面互相平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面． (√)
39．平行于同一直线的两平面平行． (×)
1．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝( )
A．2 B．
C. D．1
C [因为z＝＝＝，
所以|z|＝＝.
故选C.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
D [因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i.故选D.]
3．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.]
4．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
D [z＝＝＝＝1＋i.]
5．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
A [因为asin A－bsin B＝4csin C，
所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，因为＝6.
故选A．]
6．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
B [对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.]
7．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°， 则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
D [因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，
因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE平面PAC，所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，
所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π＝π，故选D.
]
8．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
118.8 [由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，
四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O-EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]
9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
6 [法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]
10．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
[因为bsin A＋acos B＝0，所以＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，所以tan B＝－1.又B∈(0，π)，所以B＝.]
11．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E-BB1C1C的体积．
[解] (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.
所以四棱锥E-BB1C1C的体积
V＝×3×6×3＝18.
12．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
[解] (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，
故DM＝2.
所以四边形ACGD的面积为4.
13．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
14．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝
sin Bsin A．
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是.
15．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
[解] (1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．
由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝.
从而点C到平面C1DE的距离为.
课件57张PPT。模块复习课2Ra>b
直角钝角锐角a＝0且b≠0实部虚部a＝c且b＝db＝0b≠0a＝c且b＝－d (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i 互相平行互相平行平行四边形相交于一点多边形一个公共顶点互相平行相似一个半圆的直径所在的直线矩形的一边直角三角形的一直角边直角梯形垂直于底边的腰一半不变Sh有且只有几个点几条直线不相交不平行互相平行 a∥c
平面外平面内平行平行相交交线平行垂直于同一平面两条相交平行直线中任意 它们交线一条垂线一个平面内Thank you for watching !
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解空间几何体的概念．(一般)
2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)
3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(难点)
4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(易错点)
1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养.
1．空间几何体
如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．
2．直观图
立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图．
3．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)．
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半．
(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．
4．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．
(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段．
(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．
注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆．
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
C [在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.]
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
3．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
C [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.]
4．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
C [如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．
]
画平面图形的直观图
【例1】 用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)
[解] (1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图．
(变条件)若将本例中的等腰梯形ABCD改为正五边形ABCDE，如图所示，那么其直观图如何画出？
[解] 画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
画平面图形的直观图的技巧
1．在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半．
2．原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．
3．原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．
画空间几何体的直观图
【例2】 用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
[思路探究] →→→
[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
简单几何体直观图的画法步骤
1．画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．
3．确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
4．连线成图．
2．画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图．
[解] (1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如左图所示．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图.
直观图的还原和计算问题
[探究问题]
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示] 原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin 45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S.
【例3】 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
[思路探究] 由直观图还原平面图形的关键：
(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．
(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
[解] ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．
菱形 [如图所示，在原图形OABC中，应有OA BC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝
2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
1．斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.
(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
2．斜二测画法中的建系原则
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上．
3．直观图中“变”与“不变”
(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变．
(2)点的共性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)．
(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． ( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴． ( )
(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变． ( )
(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ( )
[解析] 平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
D [由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]
3.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
B [由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]
4.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.]
5．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解] (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
课件49张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法斜二测画法形状大小平面图形135°不变一半直观图 不变 擦除虚线画平面图形的直观图 画空间几何体的直观图 点击右图进入…Thank you for watching !11.1.2 构成空间几何体的基本元素
学 习 目 标
核 心 素 养
1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)
2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点)
3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
1.通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.
1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
3．点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
Al
A在α内
A∈α
A在α外
Aα
l在α内
lα
l在α外
lα
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
4.空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，无公共点
异面直线
既不平行也不相交，无公共点
5.直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交
相线与平面平行
公共点
无数个
1个
0个
符号表示
aα
a∩α＝A
a∥α
图形表示
6.两个平面的位置关系
位置关系
平行
相交
图示
表示法
α∥β
α∩β＝a
公共点个数
0个
无数个
7.直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．
(2)点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．
(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]
2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
A [A中只有移动相同距离才能形成长方体．]
3．下列说法正确的是________．
(1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．
(2)(3) [(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．]
4．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．
(1)EF与BB1垂直；(2)EF与BD垂直；(3)EF与CD异面；(4)EF与A1C1异面．
(4) [连接A1B(图略)，∵E，F分别是AB1，BC1的中点，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．]
图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，aα B．Pa，aα
C．Pa，a∈α D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B.
②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．
[思路探究] 直线和平面看作点的集合?类比元素与集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示．
(1)A [由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为aα，故A正确．]
(2)解：①用符号表示：
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如图．
三种语言的转换方法
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别．
1．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：________.
(2)点A与平面α：________.
(3)直线AB与平面α：____________.
(4)直线CD与平面α：__________.
(5)平面α与平面β：__________.
[答案] (1)Cβ (2)Aα (3)AB∩α＝B (4)CDα (5)α∩β＝BD
从运动观点认识几何体
【例2】 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
① ② ③
[思路探究] 线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
[解]
① ② ③
用运动观点认识几何体
1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．
2.本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．
[解]
长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；
它们共同组成了课桌这个几何体．
【例3】 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
[思路探究] 观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
1．在本例中其他条件不变，
(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
[解] (1)有平面AB′，平面CD′.
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
[解] 有A′A，A′B′，D′D，D′C′.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？
[解] A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
1．根据点、线、面之间的语言描述能够正确的使用符号语言表示它们之间的位置关系．
2．判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法．
3．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分． ( )
(2)直线的移动只能形成平面． ( )
(3)平静的太平洋就是一个平面． ( )
[解析] (1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C [选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.]
3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
D [可参考长方体中各条线的位置关系判断．]
4．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________cm；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.
(1)3 (2)4 (3)5 [如图，
在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，
∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.]
5．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析．
[解] 这两个平面平行(如图①)或相交(如图②)
课件55张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
点线面所有点 A∈l l∩m＝A
一个无平行相交无无数0任意一点任意一点图形语言、文字语言、符号语言的相互转化从运动观点认识几何体 点击右图进入…Thank you for watching !11.1.3 多面体与棱柱
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解多面体的定义及其分类．(重点)
2.理解棱柱的定义和结构特征．(重点)
3.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)
1.通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养.
2.借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.
1．多面体
(1)定义
由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．
(2)相关概念(如图所示)
①多面体的面、棱与顶点
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．
②多面体的面对角线与体对角线
一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线．
③多面体的截面与表面积
一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.
多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)．
(3)凸多面体
把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．
思考1：长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．
思考2：最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个．
2．棱柱
(1)定义
有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．
(2)图示及相关概念
棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．
(3)棱柱的表示方法
棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′.
(4)棱柱的高与侧面
过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．
(5)棱柱的分类
特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱．
(6)平行六面体与直平行六面体
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．
1．一个多面体的面至少为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
B [由多面体的特征知，一个多面体至少有4个面，它是三棱锥．]
2．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
D [由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]
3．下面没有体对角线的一种几何体是( )
A．三棱柱 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
A [三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]
4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
5 6 9 [面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]
棱柱的有关概念
【例1】 下列关于棱柱的说法正确的个数是( )
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．1 B．2 C．3 D．4
A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．]
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．
1．一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形
D [对于A，满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形；对于B，垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面；对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.]
多面体的表面展开图
【例2】 某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
A B C D
A [两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．]
多面体展开图问题的解题策略
1．绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
2．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
A B C D
C [将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．]
多面体或棱柱的计算问题
【例3】 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值．
[解] 将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)．
(1)∵矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，
∴三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2.
(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，∴最短路线长为BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，
∴A1M＝AM，即＝1.
求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤
此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化．其基本步骤是：(1)将立体图形展开为平面图形；(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段；(3)计算此线段的长．
3．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
72 [棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]
1．在理解的基础上，牢记多面体与棱柱的有关概念，能根据定义判断几何体的形状．
2．能够绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．几种常见四棱柱的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形． ( )
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． ( )
(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和． ( )
(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列说法中正确的是( )
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]
3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
D [由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.]
4．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．
O [由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E、S、P、D，故H的反面的字母为O.]
5．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
[解] 截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
课件41张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱平面多边形 不在同一各个多边形公共边公共点同一面面积之和平面图形内部都在这个平面的同一侧平行四边形互相平行
底面上底面下底面侧面侧棱垂线 垂直正棱柱平行四边形棱柱的有关概念 多面体的表面展开图 点击右图进入…Thank you for watching !11.1.4 棱锥与棱台
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)
2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)
1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养.
2.借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.
1．棱锥
(1)关于棱锥的定义、分类、图形及表示，请填写下表：
棱锥
图形及表示
定义
如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥
如图棱锥可记作：棱锥S-ABCD或棱锥S-AC.
相关概念
底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各个三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；
高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)，侧面积：所有侧面的面积之和
分类
①依据：底面多边形的边数；
②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……
(2)正棱锥的有关概念及其特征
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．
2．棱台
(1)关于棱台的定义、分类、图形及表示，请填写下表：
棱台
图形及表示
定义
一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
如图棱台可记作：棱台
ABCD-A′B′C′D′
相关概念
上底面：原棱锥的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻两侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；
高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；
侧面积：所有侧面的面积之和
分类
①依据：由几棱锥截得；
②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
(2)正棱台的有关概念及其特征
由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．
1．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
A [棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．]
2．下面四个几何体中，是棱台的是( )
A B C D
C [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．]
3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( )
A．三棱锥的四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱相交于一点
B [根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．]
4．如图，下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
棱锥的结构特征
【例1】 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
[解] 不一定．如图①所示，将正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥A-A1B1D1和C-B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．
棱锥的三个本质特征
1．有一个面是多边形．
2．其余各面是三角形．
3．这些三角形有一个公共顶点．
1．观察如图的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
B [②显然是棱锥．]
棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是________．
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
(2)(3) [(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]
棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法．
结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法．
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．判断图中的几何体是不是台体？并说明为什么？
(1)(3)(4)不是棱台；(2)是棱台 [对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．]
几何体的计算问题
[探究问题]
1．计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
【例3】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．
[思路探究] 正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解．
[解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝.
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3.
1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
[解] 连接SD(图略)在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝.
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解] 如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝.
故其高为.
正棱锥、正棱台中的计算技巧
1．正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.
2．正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.
1．在理解的基础上，要牢记棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．棱柱、棱台、棱锥关系图
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥． ( )
(2)棱台的侧棱长都相等． ( )
(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [在三棱锥A-BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]
3．如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
B [剩余几何体为四棱锥A′-BCC′B′.]
4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．
48 [正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥．
① ②
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
课件49张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.4 棱锥与棱台有一个公共顶点多边形线段是多边形的那个公共顶点公共边三棱锥
正多边形顶点底面中心全等斜高四棱台 棱台的斜高正棱锥棱台的高棱锥的结构特征 棱台的结构特征 点击右图进入…Thank you for watching !11.1.5 旋转体
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点)
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)
3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点)
4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)
1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养.
1．圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
定义
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆台的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.轴截面
在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．
5．旋转体的侧面积与全面积
(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长
圆锥
S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长
圆台
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长
6.球的结构特征
球面及球的定义
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
图示及相关概念
球心：形成球面的半圆的圆心
半径：连接球面上一点和球心的线段
直径：连接球面上两点且通过球心的线段
大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆
7.球的表面积S＝4πR2.
思考：等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？
[提示] 圆锥．
1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶8
B [＝＝＝＝.]
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A．6 B．8
C．10 D．不确定
B [由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.]
3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶1
C．1∶4 D．1∶3
B [以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，
故S1∶S2＝1∶1，选B.]
4．有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
① [利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．]
旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
[解] (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
旋转体的判断问题的解题策略
1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．
2．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
1．下列命题中正确的是( )
A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
C [A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.]
简单组合体的结构特征
【例2】 一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
[思路探究] 平面图形旋转?旋转体的概念及结构特征．
[解] 以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．
旋转体的形状判断技巧
1．判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
2．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
2．描述下列几何体的结构特征．
[解] 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
旋转体中的计算
[探究问题]
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
4．球的截面是什么？
[提示] 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
【例3】 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．
[思路探究] 作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．
[解] 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知，腰长为12 cm，
所以高AM＝
＝3(cm)．
1．将圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．
[解] 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
2．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．
[解] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，
得＝，
即1－＝，解得r＝1.
即圆柱的底面半径为1.
与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．球面、球体的区别和联系
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
4．处理组合体问题常采用分割思想．
5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．
( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台． ( )
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． ( )
[解析] (1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
D [连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．]
3．关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高．
②③④ [圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．]
4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
10 [如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.]
5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．
[解] 设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
解得r＝.
所以此圆柱的底面半径为.
课件48张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体不垂直于轴的边矩形的一边旋转轴轴垂直于轴不垂直于轴不垂直于轴直角三角形一直角边旋转轴垂直于轴不垂直于轴的边旋转轴垂直于轴等腰梯形等腰三角形底面积 侧面母线长底面半径侧面母线长底面半径下底面半径上底面半径侧面母线长
球面圆心球心通过球心经过球心不经过球心旋转体的结构特征 简单组合体的结构特征 点击右图进入…Thank you for watching !11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式．(重点)
2.能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)
3.台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)
1.通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养学生的数学运算核心素养.
2.借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.
1．祖暅原理
(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．
(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．
名称
体积(V)
柱体
棱柱
Sh
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
Sh
圆锥
πr2h
台体
棱台
h(S＋＋S′)
圆台
πh(r2＋rr′＋r′2)
球
πR3
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为 ( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
B [长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]
2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )
A．15π B．30
C．12π D．36π
C [圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.]
3．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
B [设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为a3＝64.]
4．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)．]
求柱体的体积
【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
计算柱体体积的关键及常用技巧
1．计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．
2．常用技巧：
(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．
(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
[解] 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，
由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.
求锥体的体积
【例2】 如图，三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比．
[思路探究]
―→―→―→
―→
[解] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1-ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC-A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
割补法与等积法求锥体体积
三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．
2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是( )
A． B．
C． D．1
A [三棱锥D-ACD1的体积VD-ACD1＝VD1-ACD＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]
求台体的体积
【例3】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．
[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．
[解] 如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，
∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2 800 (cm3)．
故正四棱台的体积为2 800 cm3.
求台体体积的技巧
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
3．本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积．”
[解] 如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，
则O1B1＝ cm，
OB＝2 cm，
过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，
BB1＝2 cm，MB＝(2－)＝ (cm)．
根据勾股定理
MB1＝
＝＝(cm)．
S上＝22＝4 (cm2)，
S下＝42＝16(cm2)，
∴V正四棱台＝××(4＋＋16)
＝××28＝ (cm3).
求球的体积
【例4】 过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．
[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．
[解] 如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝AB＝ (cm)．
设OA＝R，则OO′＝R，
∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝R＝ (cm)，∴R＝2(cm)，
∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．
即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2.
与球有关的计算问题解题技巧
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．
4．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
4 [设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.
则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，
即2r＝8，
所以r＝4 cm.]
1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．
2．球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等． ( )
(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( )
(3)由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )
A．2 B．
C. D．
C [设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.]
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
B [设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴a＝2.
∴V圆柱＝π×2＝2π.]
4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
[由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]
5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．
[解] 如图所示，正三棱锥S-ABC.
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.
课件47张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积相等总相等相等求柱体的体积 求锥体的体积 点击右图进入…Thank you for watching !11.2 平面的基本事实与推论
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面的画法及表示方法．(一般)
2.掌握平面的基本事实及推论．(重点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)
1.通过平面画法的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养.
1．平面的基本事实
公理
内容
图形
符号
作用
基本事实1
经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据；②判定点、线共面
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈α，B∈α?直线ABα
判定直线是否在平面内
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，有P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
2．平面基本事实的推论
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A．平面MN B．平面NQ
C．平面α D．平面MNPQ
A [MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
D [不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]
3．如图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.
[答案] ∈ AC
线共点问题
【例1】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．
所以AB，CD必定相交于一点．
设AB∩CD＝M.
因为ABα，CDβ，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明线共点问题的方法
1．方法1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．
2．方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：
(1)E，F，H，G四点共面．
(2)EG与HF的交点在直线AC上．
[证明] (1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD.
因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH.
所以E，F，H，G四点共面．
(2)因为G，H不是BC，CD的中点，
所以EF∥GH，且EF≠GH，
所以EG与FH必相交，设交点为M，
因为EG平面ABC，HF平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M∈AC，
所以EG与HF的交点在直线AC上.
点、线共面问题
【例2】 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．
[思路探究] 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
[解] 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵Od，
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，
∴A、B、C三点在平面α内．
由基本事实1知a、b、c都在平面α内，
故a、b、c、d共面．
(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过a、b有且仅有一个平面α，
∴B、C∈α.由基本事实1知cα.
同理，dα，从而有a、b、c、d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
证明点、线共面问题的常用方法
1．先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．
2．先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．
3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
[解] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面．
证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故lα.
又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.
同理可证lβ，∴α∩β＝a且α∩β＝l.
∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，
故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．
法二：由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．
同理可证c在a、l确定的平面α内．
∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.
点共线问题
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示] 如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．
【例3】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
[解] 因为MN∩EF＝Q，
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，
CD平面ABCD，AB平面ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
点共线的证明方法
方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．
3．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
[证明] 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
1．三个基本事实的作用
基本事实1——判定点共面、线共面的依据；
基本事实2——判定直线在平面内的依据；
基本事实3——判定点共线、线共点的依据．
2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三点可以确定一个平面． ( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． ( )
(3)四边形是平面图形． ( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面． ( )
[解析] (1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．
(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
(3)错误．四边形不一定是平面图形．
(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )
A．黑板面 B．乒乓球桌面
C．篮球的表面 D．平静的水面
C [篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．]
3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]
4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
[证明] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.
由于直线a和b不平行，
∴a、b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.
∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．
课件42张PPT。第十一章 立体几何初步11.2 平面的基本事实与推论3个点 两个点 一条 线共点问题 点、线共面问题 点击右图进入…Thank you for watching !11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质．(重点)
2.理解并掌握等角定理，并会应用．(难点)
3.理解异面直线的定义，会画两条异面直线．(一般)
4.了解空间四边形的定义．(一般)
1.借助两直线平行的判定与性质，提升学生的逻辑推理核心素养.
2.通过等角定理的学习，培养学生的直观想象核心素养.
1．平行直线
(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)平行线的传递性
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．
符号表述：?b∥c.
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示] 相等或互补．
3．异面直线的判定
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
4．空间四边形
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
B [因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]
2．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线( )
A．12对 B．18对
C．24对 D．36对
B [由基本事实易知共有18对．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
相交 [直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
空间两直线位置关系的判断
【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在正方体AC1中，因为A1D1 BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．
(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．
(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]
判定两条直线是异面直线的方法
1．证明两条直线既不平行又不相交．
2．重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，lα，则AB与l是异面直线(如图)．
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
D [画出图形，得到结论．
(1) (2)
如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.]
直线与直线平行的证明
【例2】 在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
证明两条直线平行的三种方法
1．一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．
2．二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质．
3．三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．
求证：四边形MNA′C′是梯形．
[证明] 如图，连接AC，
因为M，N为CD，AD的中点，
所以MNAC，
由正方体性质可知，ACA′C′，
所以MNA′C′，
所以四边形MNA′C′是梯形.
等角定理及其应用
【例3】 在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)EFE1F1.
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
[证明] (1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EFBD，同理E1F1B1D1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BDB1D1，所以EFE1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，
所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
求证角相等的方法
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
3．已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，证明：∠BEC＝∠B1E1C1.
[证明] 如图，连接EE1，因为E、E1分别为AD、A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形．所以A1AE1E.
又因为A1AB1B，所以E1EB1B.因为四边形E1EBB1是平行四边形．所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠BEC与∠B1E1C1的方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．对等角定理的应用，特别注意角的两组对应边的方向性.
1.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
A [∵E，F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG.]
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.
135° [由等角定理可知β＝135°.]
4．已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：
∠DNM＝∠D1A1C1.
[证明] 如图，连接AC，
在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
11.3.2 直线与平面平行
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)
2.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)
1.通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.
1．直线与平面的平行
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
aα
a∩α＝A
a∥α
图形表示
2.直线与平面平行的判定定理及性质定理
定理
条件
结论
图形语言
符号语言
判定定理
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行
这条直线与这个平面平行
________l
?l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交
这条直线与两平面的交线平行
?l∥m
1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )
A．aα，bα，a∥b
B．bα，a∥b
C．bα，cα，a∥b，a∥c
D．bα，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
A [由直线与平面平行的判定定理知选A．]
2．下列说法正确的是( )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
D [A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．]
3．若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的关系( )
A．b∥α或bα B．b与α相交或bα或b∥α
C．b与α相交或b∥α D．b与α相交或bα
B [如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，
①A′D′与AB异面，A′D′∥平面BC′，而AB与平面BC′相交；
②A′D′与BB′异面，A′D′∥平面BC′，而BB′在平面BC′内；
③分别取AB，A′B′中点E，F，EF与A′D′异面，A′D′∥平面BC′，而EF与平面BC′平行．]
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．
平行 [因为在△ABD中＝，所以MN∥BD，又因为MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.]
直线与平面平行的判定定理
【例1】 如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
[思路探究] 要证明BD∥平面FGH，需在平面FGH内找到一条直线平行于BD，进而转化为线线平行的证明．
[证明] 在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④成比例线段法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A [A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，
所以直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ.
又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.
又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.
又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.
故选A．]
直线与平面平行的性质定理
【例2】 如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND.
[证明] 连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.
如图所示，
因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，
所以CD∥ME，所以＝.同理可得EN∥AB，
所以＝.所以＝，即AM∶MC＝BN∶ND.
利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤
(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．
(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．
(3)得出交线．
(4)根据线面平行的性质定理得出结论．
2．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
[解] 已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
证明：如图，过a作平面γ交α于b.
∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.
又bβ且cβ，∴b∥β.
又平面α过b交β于l，∴b∥l.
∵a∥b，∴a∥l.
线面平行判定定理与性质定理的综合运用
[探究问题]
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？
[提示] 平行．
2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示] 不是．
3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示] 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．
【例3】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.
[证明] 连接AC，A1C1在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN平面ABCD，AC平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向
关键：是过直线作平面与已知平面相交．
思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．
3．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．
平行四边形 [因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.
所以四边形EFHG是平行四边形．]
1．直线与平面平行的判定定理的理解
判定直线l和平面α平行时，必须具备三个条件
①直线l在平面α外，即lα；
②直线m在平面α内，即mα；
③两直线l，m平行，即l∥m.
这三个条件缺一不可．
2．直线与平面平行的性质定理的理解
应用性质定理时，必须具备的三个条件
①直线l平行于平面α，即l∥α，
②直线l在平面β内，即lβ，
③两平面α与β相交，即α∩β＝m，这三个条件缺一不可．
3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行． ( )
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ( )
(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. ( )
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行． ( )
[解析] (1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．
(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．
(3)错误．直线l也可能与平面α相交．
(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．M∈l，N∈l，Nα，M∈α，则有( )
A．l∥α B．lα
C．l与α相交 D．以上都有可能
C [由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
平行 [如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.]
4．直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
[证明] 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
11.3.3 平面与平面平行
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(重点)
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)
1.通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养.
1．两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个点(共线)
思考：如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
[提示] 如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
2．平面与平面平行的判定定理与推论
语言叙述
符号表示
图形表示
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
?α∥β
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
3．平面与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m?l∥m
图形语言
推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
A [由面面平行的性质定理可知选项A正确．]
2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是( )
A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C D．平面ABCD
A [根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.]
3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定
C [如图所示，由图可知C正确．
]
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
①② [对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．]
平面与平面间的位置关系
【例1】 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，aα，bβ，则a∥b；
②若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，aα，则a与β一定相交．
其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
③④ [①错．a与b也可能异面；
②错．a与b也可能平行；
③对．因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为aα，bβ，
所以a与b无公共点；
④对．由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错．a与β也可能平行．]
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．
1．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交
A [如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，
因为a∥β，所以a∥c，又aα，cα，所以c∥α，
因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，cβ，bβ，所以α∥β.]
平面与平面平行的判定
【例2】 已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证：平面BCE∥平面ADF.
[思路探究] 由四边形ABCD是正方形，证得BC∥平面ADF，由四边形ABEF为菱形，证得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE∥平面ADF.
[证明] 因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD.
因为BC平面ADF，AD平面ADF，
所以BC∥平面ADF.
因为四边形ABEF是菱形，
所以BE∥AF.
因为BE平面ADF，AF平面ADF，
所以BE∥平面ADF.因为BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，
BC∩BE＝B，
所以平面BCE∥平面ADF.
常见面面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理法：转化为线面平行．
(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行．
(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．即：?α∥β.
2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
[证明] 因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP平面PBC，NQ平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形．
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因为BC平面PBC，MQ平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PBC.
面面平行的性质定理的应用
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示] 如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.
∴直线EG∥平面BDD1B1.
2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.
[提示] 连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
【例3】 如图，已知平面α∥β，Pα，且Pβ，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.
[思路探究] 面面平行?线线平行?分线段比例相等．
[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.]
1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
[解] 与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
2．将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.
已知AB＝6，＝，求AC.
[解] 由题图可知＝?AC＝·AB＝×6＝15.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
1．平面与平面平行的判定定理的理解
(1)平面α内两条相交直线l，m，即lα，mα，l∩m≠?.
(2)两条相交直线l，m都与平面β平行，即l∥β，m∥β.这两个条件缺一不可．
2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两平面平行． ( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． ( )
(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
( )
[解析] (1)由平面与平面平行的定义知正确．
(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．
(3)两平面可能相交．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．若α与β相交，aα，bβ，则a与b一定相交
B．若aα，bβ，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，aα，bα?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
D [A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]
3．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
平行 [由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.]
4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
[证明] 因为PE＝EC，PF＝FD，所以EF∥CD，
又因为CD∥AB，
所以EF∥AB，又EF平面PAB，AB平面PAB，
所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG＝E，
所以平面PAB∥平面EFG.
课件41张PPT。第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线传递性有且只有一条互相平行b∥c 相等对应平行相同空间两直线位置关系的判断 直线与直线平行的证明 点击右图进入…Thank you for watching !课件47张PPT。第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系
11.3.2 直线与平面平行有且只有一个有无数个没有平行平面外平面内交线平行相交直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的性质定理点击右图进入…Thank you for watching !课件45张PPT。第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行0个无数个点(共线)平行于相交两条相交平行 l∥m 平面与平面间的位置关系 平面与平面平行的判定 点击右图进入…Thank you for watching !11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点)
3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用．(重点)
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．(难点)
1.通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.
1．直线与直线所成的角
一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．
规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.
2．直线与平面垂直的定义
文字语言
图形语言
符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
l⊥α?mα，l⊥m.
3.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
?l⊥α
思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？
[提示] 相交或平行或直线在平面内．
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行
符号语言
?l∥m
图形语言
文字语言
如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
符号语言
?m⊥α
5.直线与平面所成的角
(1)斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA．
(2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A．
(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.
(4)直线与平面所成的角：
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(5)取值范围：0°≤θ≤90°.
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．6
B [正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1.]
2．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
A [由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．]
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
A [由题意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，
BO＝AB，所以∠ABO＝60°.]
4．如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．
垂直 [因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又PB＝PD，
所以PO⊥BD.所以PO⊥平面ABCD.]
线面垂直的定义及线线角、线面角的求解
【例1】 (1)下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
(3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
(1)D (2)C (3)B [(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．
(2)因为A1B∥D1C，所以异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，
因为△AD1C为等边三角形，
所以∠AD1C＝60°.
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中∠BC1B1＝45°.]
1．理解线面垂直判定定理要注意的两个问题
(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．
(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的．
2．求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．
3．求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
(1)下列说法中错误的个数是( )
①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；
②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；
③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；
④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
(1)C (2)45° [(1)①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；
②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．
(2)因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.]
线面垂直判定定理的应用
【例2】 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
[思路探究] PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC?直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．
[证明] (1)因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE平面PAB，
所以AE⊥BC.
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC平面PBC，
所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，同理
CD⊥平面PAD，AG平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD平面PCD，所以AG⊥PD.
1．若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.
[证明] 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，
因为PA平面PAC，AC平面PAC，且PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，FH平面PAC，
所以BD⊥FH.
2．若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，
所以DC⊥PA,
又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD，又AG平面PAD，
所以AG⊥DC，
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，
所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，
又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，
所以PC⊥平面AFG.
证线面垂直的方法
1．线线垂直证明线面垂直
(1)定义法(不常用)；
(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．
2．平行转化法(利用推论)
(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；
(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.
线面垂直性质定理的应用
[探究问题]
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．
1．折痕AD与桌面一定垂直吗？
[提示] 不一定．
2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
[提示] 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
[思路探究] 两直线垂直于同一平面?两直线平行．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
本例中条件不变，求证：M是AB中点．
[证明] 连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.
所以ONCDAB，
所以ON∥AM.
又因为由本例可知MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM.因为ON＝AB，
所以AM＝AB，
所以M是AB的中点．
平行关系与垂直关系之间的相互转化
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．求线面角的常用方法：
(1)直接法(一作(或找)二证三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．
3．重视线线垂直和线面垂直的互相转化
在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． ( )
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行． ( )
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． ( )
[解析] 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
45° 0° [∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，
即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]
4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
[证明] 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
11.4.2 平面与平面垂直
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解二面角、面面垂直的定义．(重点)
2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)
3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)
1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.
2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.
1．二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分通称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
平面角定义
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角
图示
符号
OAα，OBβ，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
规定
二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为α-l-β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-l-Q.
2.平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．
(3)面面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
(4)面面垂直的性质定理
文字语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言
?a⊥β
图形语言
思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？
[提示] 相交或平行．
1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
D [因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因为AD平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.]
2．如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B [由图可知PD平面ABC，PD与平面ABC也不平行，故A、D错误；△ABP中，PA＝PB，AD＝DB，则PD⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC＝AB，PD平面PAB，所以PD⊥平面ABC，故B正确．C错误．]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．
垂直 [因为BD⊥AC，BD⊥C1C，
且AC∩C1C＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C.
因为BD平面C1BD，
所以平面AA1C1C⊥平面C1BD.]
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1-BD-C的大小为________．
30° [如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.
因为C1D＝C1B，O为BD中点，
所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD，
所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，
在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，
所以sin∠C1OC＝＝.
所以∠C1OC＝30°.]
二面角的求解
【例1】 如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．
[思路探究] 求二面角E-BD-C的大小?先作出二面角的平面角，再计算．
[解] 因为E为SC的中点，且SB＝BC，
所以BE⊥SC.又DE⊥SC，
BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，
所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，
可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，
所以BD⊥平面SAC，
从而BD⊥AC，BD⊥DE，
所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．
设SA＝AB＝1，在△ABC中，
因为AB⊥BC，
所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.
在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
所以∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α-a-β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠ACB为二面角α-m-β的平面角．
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．
[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1
所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，
则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝.
所以二面角B-A1C1-B1的正切值为.
平面与平面垂直的判定
【例2】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F.
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明] (1)因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，又因为A1C1面A1C1F，且DE平面A1C1F，所以DE∥平面A1C1F.
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F，又因为B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明面面垂直的两个方法及实质
(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．
步骤：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，说明这两个平面互相垂直．
(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．
实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面BDE.
(2)证明：平面BDE⊥平面PBC.
[证明] (1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，
又因为OE平面BDE，PA平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC，又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC.
面面垂直性质定理的应用
【例3】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[思路探究] (1)―→
―→
(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．
[证明] (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB平面PBG，∴AD⊥PB.
1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用
(1)证明直线与平面垂直．
(2)证明直线与直线平行．
(3)作平面的垂线．
2．应用性质定理证线面垂直的关键
一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．
3.如图所示，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.
[证明] 因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.
所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
所以VA⊥平面VBC，因为VA平面VAC.
所以平面VBC⊥平面VAC.
垂直关系的综合应用
[探究问题]
1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？
[提示] 因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，
因为AD平面ABCD，DC平面ABCD，且AD∩DC＝D，
所以PD⊥平面ABCD.
2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.
[提示] 连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA平面PAB，所以PA⊥CD.
【例4】 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[思路探究] (1)证明EN∥DM；
(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；
(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.
[证明] (1)因为AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，
所以AD∥MN.
又因为BC∥AD，所以MN∥BC.
又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．
所以MN∥BC且MN＝BC，
又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.
所以四边形DENM为平行四边形．
所以EN∥DM，且EN平面PDC，DM平面PDC.
所以EN∥平面PDC.
(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD.
又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，
所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.
又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB平面PBE，
所以AD⊥PB.
又因为PA＝AB，N为PB的中点，
所以AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.
又因为PB平面PBC.
所以平面PBC⊥平面ADMN.
线面、面面垂直的综合问题的解题策略
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．
4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC.
[证明] (1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
所以PA⊥平面ABC.
又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.
因为BD平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
1．二面角
(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
3．垂直关系的相互转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面． ( )
(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面． ( )
(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．
( )
[解析] (1)正确．
(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．
(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]
3．下列四个命题中，正确的序号有________．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
①② [③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．]
4.如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
[证明] 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB平面PAB，
PA平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
课件55张PPT。第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直夹角 任意一条 两条相交直线 l∥m平行
相交垂直直线PA交点点A斜足直线AO
垂线垂足直角线面垂直的定义及线线角、线面角的求解 线面垂直判定定理的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课件70张PPT。第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
半平面两个半平面棱面
棱角平面角 直角横边垂线 垂直一个平面内二面角的求解 平面与平面垂直的判定 点击右图进入…Thank you for watching !
空间几何体的表面积与体积
【例1】 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝( )
A．∶∶1 B．∶∶2
C．1∶3∶ D．1∶∶
D [球中，V＝πR3＝π＝D3＝k1D3，所以k1＝；
等边圆柱中，V＝π·D＝D3＝k2D3，所以k2＝；
正方体中，V＝D3＝k3D3，所以k3＝1；
所以k1∶k2∶k3＝∶∶1＝1∶∶.]
几何体表面积与体积的解题策略
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )
A．142π平方尺 B．140π平方尺
C．138π平方尺 D．128π平方尺
C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为＝尺，所以表面积为138π平方尺．]
共点、共线、共面问题
【例2】 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，点G在PD上，且PG＝PD.证明：点A，E，F，G四点共面．
[思路探究] 连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，在平面PCD内，连接GF并延长交DC的延长线于点M1，证明点M与点M1重合，进而可得结论．
[证明] 连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，则有CM＝CD.
在平面PCD内，连接CF并延长交DC的延长线于点M1.
取GD的中点N，连接CN.
则由PG＝PD可知PG＝GN＝ND.
因为点F为PC的中点．
所以在△PCN中有FG∥CN，即GM1∥CN.
所以在△GM1D中有CM1＝CD.
所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M.
所以A，E，F，G四点共面．
证明点、线共面的两种方法
方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．
方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．
2．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．
[证明] 因为AB∥CD，
所以AB，CD可确定一个平面，设为平面β，
所以AC在平面β内，即E在平面β内．
而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.
可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，
根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.
空间中的平行关系
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
[思路探究] 假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF∥PM，又PB＝2MA，则点F是PB的中点．
[解] 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．∴OF∥PD.
又OF平面PMD，PD平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MAPB，∴PFMA．
∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.
又AF平面PMD，PM平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
[证明] 连接AC交BD于O，连接MO，因为M，O为PC、AC的中点，所以MO∥AP，
又因为MO平面BDM，PA平面BDM，
所以PA∥平面BDM，
又因为PA平面PAHG，
平面PAHG∩平面BDM＝GH，
所以PA∥GH.
空间中的垂直关系
【例4】 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
[思路探究] (1)由面面垂直的性质可证．
(2)先证明C1N⊥侧面BB1C1C，再证截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
[解] (1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，
所以AD⊥侧面BB1C1C.
所以AD⊥CC1.
(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.
因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.
因为A1C1＝A1N＝A1B1，
所以C1N⊥B1C1，
所以C1N⊥侧面BB1C1C.
所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．
4.如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
证明：PB⊥CD.
[证明] 如图，取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连接OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD.
又OE⊥OP，BD∩OP＝O，
所以OE⊥平面PDB，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
空间中的角的求解
【例5】 如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2，SC＝1.
(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数．
(2)求三棱锥S-ABC的体积．
[解] (1)①取AB中点D，连接SD，CD，
因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，
所以SD⊥AB，CD⊥AB，
且SD平面SAB，CD平面CAB，
所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．
在直角三角形SDA中，
SD＝＝＝1，
在直角三角形CDA中，
CD＝＝＝1，
所以SD＝CD＝SC＝1，
所以△SDC是等边三角形，
所以∠SDC＝60°.
(2)法一 因为SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC，又AB平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SDC，且平面ABC∩平面SDC＝CD，
在平面SDC内作SO⊥DC于O，则SO⊥平面ABC，
即SO是三棱锥S-ABC的高．
在等边△SDC中，SO＝，
所以三棱锥S-ABC的体积
VS-ABC＝S△ABC·SO＝··2·1·＝.
法二 因为SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D
所以AB⊥平面SDC.
在等边△SDC中，S△SDC＝SD2＝，
所以三棱锥S-ABC的体积
VS-ABC＝VA-SDC＋VB-SDC＝S△SDC·AB＝··2＝.
1．两条异面直线所成的角
(1)一般通过平移(在所给形体内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．
(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．
2．直线和平面所成的角
当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．
3．求解二面角的平面角的步骤
一找(寻找现成的二面角的平面角)；
二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；
三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．
5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
A [如图，分别取BC，CD，AD，BD的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，MP，PQ，MQ，
则MN∥BD，NP∥AC，所以∠PNM即为异面直线AC和BD所成的角(或其补角)．
又由题意得PQ⊥MQ，PQ＝AB，MQ＝CD.
设AB＝BC＝CD＝2，则PM＝.
又MN＝BD＝，NP＝AC＝，
所以△PNM为等边三角形，所以∠PNM＝60°，
所以异面直线AC与BD所成角为60°，其余弦值为.]
课件43张PPT。第十一章 立体几何初步章末复习课空间几何体的表面积与体积 共点、共线、共面问题 空间中的平行关系 空间中的垂直关系 空间中的角的求解 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 多面体与棱柱
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [这4个多面体均为棱柱．]
2．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是( )
A．QNMP B．QMNP
C．PMNQ D．PNMQ
D [正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故PNMQ.]
3．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
A [所求长方体的表面积
S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]
4．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
C [由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．]
5．正三棱柱ABC?A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，则截面BCD的面积为( )
A．6 cm2 B．2 cm2
C．8 cm2 D．2 cm2
C [如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE⊥BC，DE⊥BC.
因为AE＝×4＝2，
所以DE＝＝4，
所以S△BCD＝BC·ED
＝×4×4＝8(cm2)．
所以截面BCD的面积为8 cm2.]
二、填空题
6．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．
(1) (2) (3) (4)
(2)(3) [(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．]
7．如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是________．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．
①③④ [①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1-C1BD；④正确，如四面体B1-ABD.]
8．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________．
6 [因为用平面去截正方体时，最多与六个面相交得六边形，即截面的边数最多为6.]
三、解答题
9．画出如图所示的几何体的表面展开图．
[解] 表面展开图如图所示．
10．如图所示，在长方体A′B′C′D′-ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm，把长方体侧面展开．求BD′的最短距离．
[解] 如下图①得BD′＝＝，由下图②得BD′＝＝3，由下图③得BD′＝＝2，
∴(BD′)min＝3.
[等级过关练]
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20 B．15
C．12 D．10
D [如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．]
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
D [只有D选项能折叠成一个正四棱柱，在选项A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．]
3．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
112或72 [设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，
则∴或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．]
4．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]
5．给出一块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪接方案，并用虚线标示在图中，并作简要说明．
[解] 如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
课时分层作业(十一) 棱锥与棱台
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是棱锥
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
C [①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是底面为六边形的棱柱．故选C.]
2．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
C [可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]
3．下面说法中，正确的是( )
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
B [由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．]
4．下列三种叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A [①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点．②不正确，因为侧棱延长后不交于一点．③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．]
5．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于( )
A．a2 B.a2
C.a2 D．a2
A [如图，在三棱锥S-ABC中，AB＝a，SO＝a，于是OD＝·AB·sin 60°＝a，从而SD＝＝，故三棱锥的侧面积为S＝3××a×＝a2.]
二、填空题
6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．
三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．
]
7．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．
七 [由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．]
8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．
a2 [底面边长为a，则斜高为，
故S侧＝3××a×a＝a2.
而S底＝a2，
故S表＝a2.]
三、解答题
9．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥．
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥．
(3)三棱柱．
[解] (1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．
10．如图，正四棱台AC′的高是 17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
[解] 设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，BC＝16 cm，
则OB＝8 cm，OE＝8 cm；
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，
则O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm.
在直角梯形O′OBB′中，BB′＝＝＝19(cm)．
在直角梯形O′OEE′中，EE′＝＝＝5(cm)．
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
[等级过关练]
1．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
D [因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]
2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
D [有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选D.]
3．已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
B [三棱锥B′-ACD′为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝，S△B′AC＝.三棱锥的表面积S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积S正＝6.
因此S锥∶S正＝2∶6＝1∶.
]
4．已知正三棱锥的高是10 cm，底面积是12 cm2，则它的侧棱长是________．
2 cm [如图，已知三棱锥高SO＝10 cm，S正△ABC＝12.∴底面正三角形边长BC＝4.又O为△ABC中心，∴OC＝CD＝··4＝4.在Rt△SOC中，SC＝＝＝2.]
5.如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．
[解] 作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．
在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，
OA＝4 cm，OB＝3 cm，
所以AB＝＝5 cm.
所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.
课时分层作业(十二) 旋转体
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．①
C．③和④ D．①和④
D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]
2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
C [圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]
3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A． B. C. D.
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π C．4π D．16π
A [S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.]
5．长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A．20π B．25π
C．50π D．200π
C [∵对角线长为5，∴2R＝5，
S＝4πR2＝4π×＝50π.]
二、填空题
6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方体，则这个圆柱的表面积是________．
2π＋4π2 [由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2.]
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
2∶1 [S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.]
8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
100π [设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
由母线长为10可知10＝＝5r，
∴r＝2.
故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]
三、解答题
9.如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD[解] 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的几何体．
10．已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．
[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由6a2＝120，得a2＝20，
在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a，
由勾股定理，得R2＝a2＋＝＝30.
所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
[等级过关练]
1．下列命题中，命题正确的个数是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．]
2．若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πrR D．π(R＋r)2
C [法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
法二：如上图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.]
3．若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．
3π [因为棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
所以球的直径是正方体的对角线，所以球的半径是r＝，所以球的表面积是4×π×＝3π.]
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．
7 [设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.]
5．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，“截去的圆锥的底面半径为3 cm，圆锥的高为24 cm.”
(1)试求母线长l；
(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．
[解] (1)设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.
过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，
∴＝，
∴OA＝12 cm.
又SO＝24 cm，
∴SA＝＝12cm.
即圆台的母线长为12cm.
(2)如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则
OC＝x，
∴＝，
解得x＝24(－1)，
∴正方体的棱长为24(－1)cm.
课时分层作业(十三) 祖暅原理与几何体的体积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A． B．
C. D．
D [V＝Sh＝××3＝.]
2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A． B.
C. D．
D [如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，
剩余几何体的体积是1－8×＝.]
3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
C [半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，
∴π×(3x)3÷＝3.]
4．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A． B.
C. D．
C [VC-AA′B′B＝VABC-A′B′C′－VC-A′B′C′
＝S△ABC·AA′－S△ABC·AA′
＝S△ABC·AA′
＝.]
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )
A．1∶∶ B．6∶2∶
C．6∶2∶3 D．3∶2∶6
C [设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.]
二、填空题
6．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．
[设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.]
7．已知三棱锥S-ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．
[如图，在三棱锥S-ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.]
8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．
[设大、小两球半径分别为R、r，则
所以
所以体积和为πR3＋πr3＝.]
三、解答题
9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
[解] 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×10
＝π(cm3)，
因为V半球所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
[解] 设圆台上、下底面半径分别为r，R.
∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，
∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，
∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.
[等级过关练]
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． B．
C. D.
A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.]
2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是( )
A．54 B．54π
C．58 D．58π
A [设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，
∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]
3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为________．
[V三棱锥A-DED1＝V三棱锥E-DD1A
＝××1×1×1＝.]
4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.
a [设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为πh.
根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，
所以h＝a.]
5．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
[解] (1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为
V球＝πR3＝π·27＝36π(cm3)．
又圆柱筒的体积为
V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)．
所以这种“浮球”的体积是：
V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π
≈169.6(cm3)．
(2)根据题意，上下两个半球的表面积是
S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)．
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，
所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π(m2)．
因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12π(m2)．
因为每平方米需要涂胶100克，
所以共需要胶的质量为：
100×12π＝1 200π(克)．
课时分层作业(十四) 平面的基本事实与推论
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．① B．①④ C．②③ D．③④
A [因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．]
2．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
D [当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D.]
3．若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
A [aα用图示表示应为A，B选项画法错误，C选项a∥α，D选项a与α相交．]
4．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
D [由基本事实3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．]
5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，Cl，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
D [根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.]
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.
∈ [因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]
7．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．
(1)4 (2)7 [(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面；
(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．]
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
[答案] (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
三、解答题
9．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．
[证明] 延长AA1，BB1，
设AA1∩BB1＝P，
又BB1平面BC1，
∴P∈平面BC1，
AA1平面AC1，
∴P∈平面AC1，
∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，
又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．
[解] 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.又∵D1F平面BED1F，
DA平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．
[等级过关练]
1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?aβ
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
C [选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．]
2．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
B [如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图①中A、B、D不共线．
]
① ②
3.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
(1)BD (2)AC [(1)若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD.
(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.]
4．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
1或2或3 [如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
[证明] 因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.
由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于点G，
所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.
同理设直线D1F与DC的延长线交于点H，则H∈平面α.
又点G，B，H均在平面AC内，
且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，
所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，
所以∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°.
所以∠GBH＝180°.
所以G，B，H三点共线，且GH平面α.
从而B∈α.
所以点D1，E，F，B四点共面．
课时分层作业(十五) 平行直线与异面直线
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知∠BAC＝40°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．40° B．140°
C．40°或140° D．大小无法确定
C [当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝40°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝140°.]
2．在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
C [如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
]
3．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
D [如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1∩AB＝A．]
4．下列命题中，错误的结论是( )
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
A [选项A中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；选项B中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；选项C中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，两角相等或互补，故选项C正确；选项D中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确．]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结
论正确的是( )
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
B [易知GH∥MN，又∵E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B.]
二、填空题
6．空间四边形ABCD中，M、N分别为AB，CD的中点，则MN________(AC＋BD)(填“≥”“＞”“≤”“＜”“＝”符号)．
＜ [取BC中点E，连接EM、EN(图略)，则
，相加EM＋EN＝(AC＋BD)，
又EM＋EN＞MN，所以MN＜(AC＋BD)．]
7．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；
其中正确的命题是________．(只填序号)
① [由平行线的传递性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确．]
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系．
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________．
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 [(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．]
三、解答题
9.如图，E，F分别是长方形A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明] 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
∵E是AA1的中点，∴EQA1D1，
又在矩形A1B1C1D1中A1D1B1C1，
∴EQB1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1EC1Q.
又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边中点，
∴QDC1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1QDF，
又∵B1EC1Q，∴B1EDF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.
[解] 如图，连接CB1，CD1，
∵CDA1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
[等级过关练]
1．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
D [如图①②所示，OB，O1B1不一定平行．
① ②]
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
D [由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．]
3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
平行 [∵在△ABC中，
AE∶EB＝AF∶FC，
∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.]
4．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD [易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.]
5．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
[解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝AD.又BC∥AD，
BC＝AD，∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．证明如下：
由BE∥FA，BE＝FA，G为FA中点知，
BE∥FG，BE＝FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG，EF＝BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，EF＝CH，
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴CE与HF共面，又D∈FH，
∴C，D，F，E四点共面．
课时分层作业(十六) 直线与平面平行
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B [如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.]
2．直线a在平面γ外，则( )
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
D [直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．]
3．下列说法正确的是( )
A．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C．如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α
D [如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面AB′内，
故选项A不正确；
AA′∥平面B′C，BC平面B′C，但AA′不平行于BC，
故选项B不正确；
AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，
但AA′与A′D′相交，
所以选项C不正确；
选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，
所以a与α相交，这与a∥α矛盾，
故b∥α，即选项D正确．故选D.]
4．如图，在四面体ABCD中，若M、N、P分别为线段AB、BC、CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为( )
A．平行
B．可能相交
C．相交或BD平面MNP
D．以上都不对
A [因为N、P分别为线段BC、CD的中点，所以NP∥BD，又BD平面MNP，NP平面MNP，所以BD∥平面MNP.]
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
B [在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．]
二、填空题
6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．
[答案] 平行或相交
7．如图，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，＝________.
[因为AC∥平面EFGH，AC平面ABC，
平面EFGH∩平面ABC＝EF，
所以AC∥EF，同理AC∥GH.
＝＝＝，而EF＝FG.
所以EF＝，所以＝＝.]
8.如图，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝__________.
[连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，
PA平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，
所以PA∥FG，
所以＝.
又因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以＝＝，所以＝.]
三、解答题
9．简述下列问题的结论，并画图说明：
(1)直线a平面α，直线b∩a＝A，则b和α的位置关系如何？
(2)直线aα，直线b∥a，则直线b和α的位置关系如何？
[解] (1)由图①可知：bα或b∩α＝A．
(2)由图②可知：bα或b∥α.
① ②
10．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.
(2)求PQ的长．
[解] (1)如图所示，连接AC，CD1，
因为ABCD为正方形，
所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，
所以Q为AC的中点，
因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1，
因为CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)得，PQ是△ACD1的中位线，
所以PQ＝D1C＝a.
[等级过关练]
1．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．无法判断
A [因为五棱柱的底面为α和β，所以α∥β，又AD∥BC，所以A，B，C，D四点共面，平面ABCD与平面α的交线为AB，平面ABCD与平面β的交线为CD，所以AB∥CD.]
2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别是BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
C．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
C [如图，由条件知，EF∥BD，EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD；
所以EF∥HG，且EF＝HG，所以四边形EFGH为梯形，EF∥BD，EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC，则EH∥FG，显然EH不平行于FG，所以EH不平行于平面ADC.]
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．
1 [如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]
4．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．
平行 [连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG＝2GM，
又AE＝2ES，所以EG∥SM，
又因为EG平面SBC，SM平面SBC，
所以EG∥平面SBC.
]
5.如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
[解] (1)证明：因为BC∥AD，
BC平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，又因为MN平面APD，AE平面APD，所以MN∥平面APD.
课时分层作业(十七) 平面与平面平行
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.]
2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线l，m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
D [A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l，m的平行线l′，m′，则l′，m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.]
3．下列说法中，错误的是( )
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行
C [分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面．]
4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是( )
A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
B．a∥b，b∥α，aα?a∥α
C．α∥β，β∥γ?α∥γ
D．α∥β，a∥α?a∥β
D [当α∥β且a∥α时，可能有aβ，也可能有a∥β，因此选项D中的命题不正确．]
5．能够判断两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
D [平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．]
二、填空题
6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．
平行或相交 [三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．]
7．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；
④?α∥β；⑤?a∥α；⑥?a∥α，
其中正确的命题是________．(填序号)
①④ [①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能aα；⑥也是忽略了aα的情形．]
8．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
平行四边形 [由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．因为A1B1C1D1，所以ABCD，从而四边形ABCD为平行四边形．]
三、解答题
9．如图，E，F分别是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AC，A1C1的中点，
证明：平面AB1F∥平面BC1E.
[证明] 由于四边形ACC1A1是平行四边形，
所以FC1∥AE，且AC＝A1C1，由于E，F分别是AC，A1C1的中点，
所以AE＝＝A1C1＝FC1，
又因为FC1∥AE，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1，
而EC1在平面BC1E上，所以AF∥平面BC1E，连接EF，则由A1F＝A1C1＝＝AE，且A1F∥AE得四边形AEFA1是平行四边形，
有EFAA1，又在平行四边形ABB1A1中有AA1BB1，
所以EFBB1，则四边形EFB1B是平行四边形，有FB1∥BE，
而BE在平面BC1E上，所以FB1∥平面BC1E，
因为AF，FB1是平面AB1F上的两条相交直线，
所以由AF∥平面BC1E，FB1∥平面BC1E，可得平面AB1F∥平面BC1E.
10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
[证明] 因为BE∥AA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD平面AA1D，
BC平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE平面BCE，BC平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
[等级过关练]
1．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
D [无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．]
2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
A [如图，∵EG∥E1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E平面EGH1，EG平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.]
3．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？
______(填“是”或“否”)．
是 [因为侧面AA1B1B是平行四边形，
所以AB∥A1B1，
因为AB平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，
所以AB∥平面A1B1C1，
同理可证BC∥平面A1B1C1.
又因为AB∩BC＝B，AB平面ABC，
BC平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.]
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN＝________AC.
[因为平面MNE∥平面ACB1，平面ABCD∩平面MNE＝MN，
平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以MN∥AC.同理可证EM∥AB1，EN∥B1C.因为E是B1B的中点，所以M、N分别是AB、BC的中点，所以MN＝AC.]
5．如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
[解] (1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以＝，
又由题(1)可知＝，＝1，所以＝1，即＝1.
课时分层作业(十八) 直线与平面垂直
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，bα，cα
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．m∥b，b⊥α
D [对于A，缺b与c相交；对于B，还可能得出m∥α，m与α相交或mα；对于C，可能有m∥α或mα或m与α相交．]
2．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：
①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α?n⊥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①正确，因为n∥β，α∥β，
所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②错误，α∥β，m⊥α?m⊥β，
因为m⊥n，则还可能nβ；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则还可能nβ，n∥β或n与β相交；
④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B.
C．－ D．
B [取B1D的中点O，连结EO(图略)，则EO∥AC，因为AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，
所以sin∠EBO＝＝，故选B.]
4．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
D [正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，
从而BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.]
5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
B [因为EG⊥平面α，PQ平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
CD⊥AB [∵EA⊥α，CDα，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA．
同理，∵EB⊥β，CDβ，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB平面AEB，∴CD⊥AB.]
7．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
4 [?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个结论：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确结论的序号是________．
①②③ [①正确，因为AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，
所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，
所以HA1＝HB＝HD，
所以点H是△A1BD的外心，又因为A1B＝BD＝DA1，
所以点H是△A1BD的中心．
②正确．易证平面A1BD∥平面CB1D1，
又因为AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.
③正确．易证A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B1C，所以AC1⊥B1C，所以AC1与B1C所成的角是90°.]
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
[证明] 因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，
所以BC⊥平面ABE.
又AE平面ABE，所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE，AE平面ACE，所以AE⊥BF.
又因为BF平面BCE，BC平面BCE，BF∩BC＝B，
所以AE⊥平面BCE.
又BE平面BCE，所以AE⊥BE.
10．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A、B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C.
[证明] 因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，
所以BB1⊥底面ABC.
因为AC底面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB为底面圆的直径，
所以∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.
又因为BB1∩BC＝B，BB1平面BB1C，BC平面BB1C，
所以AC⊥平面BB1C.
[等级过关练]
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
A [如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]
2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
B [若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．]
3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件：
①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.
当满足条件________时，有m⊥β.
②④ [若m⊥α，α∥β时，有m⊥β，故填②④.]
4．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
①④ [对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
对于④，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故④正确．]
5．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC.
(2)AF⊥BD.
[证明] (1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.
因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE.
又因为CD＝AE，所以FG∥CD，FG＝CD，
所以四边形CDEG是平行四边形，所以DF∥CG，
又CG平面ABC，DF平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
(2)易知CG⊥GF，又CG⊥AB，AB∩FG＝G，
所以CG⊥平面ABE，
所以CG⊥AF，DF∥CG，所以AF⊥DF，
在Rt△ABE中，AF⊥BE，又DF∩BE＝F，
所以AF⊥平面BDF，所以AF⊥BD.
课时分层作业(十九) 平面与平面垂直
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
D [当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．]
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，nα
C．m∥n，n⊥β，mα D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n
B．若α∥β，mα，nβ，则m∥n
C．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
D [A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．]
4.如图所示，平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，下列结论中不正确的是( )
A．PD⊥BD B．PD⊥CD
C．PB⊥BC D．PA⊥BD
A [若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；
因为平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，所以PA⊥矩形ABCD，
所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC.
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A．]
5．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为( )
A．60° B．30°
C．45° D．15°
C [由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.]
二、填空题
6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________.
13 [连接BC.因为BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α.因为BCα，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5.
在Rt△CBD中，CD＝＝13.]
7．如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
2 [连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.]
8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________．
90° [取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.]
三、解答题
9．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
[证明] 如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
因为AB＝AD，E是AD的中点，
所以AB＝AE，即A′B＝A′E.
所以A′N⊥BE.因为A′C＝A′D，所以A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，
所以CD⊥平面A′MN.
所以CD⊥A′N.
因为DE∥BC且DE＝BC，
所以BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，
所以A′N⊥平面BCDE.
又A′N平面A′BE，
所以平面A′BE⊥平面BCDE.
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：
(1)B1D⊥平面A1C1B；
(2)B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心．
[证明] (1)连接B1D1，则A1C1⊥B1D1，
又有DD1⊥A1C1，B1D1∩DD1＝D1，
所以A1C1⊥平面B1DD1，B1D平面B1DD1，从而A1C1⊥B1D.
同理可证，A1B⊥B1D.
A1C1∩A1B＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1B.
(2)连接BO，A1O，C1O.
由BB1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到A1C1⊥平面BB1O.
所以A1C1⊥BO.
同理，A1B⊥C1O，BC1⊥A1O.
故点O是△A1C1B的垂心．
[等级过关练]
1.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
D [因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC平面PAC，所以AC⊥平面PBC.
又因为BC平面PBC，所以AC⊥BC.
所以∠ACB＝90°.
所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．]
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
D [如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l?AB∥β.故选D.]
3．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
②④ [因为PA平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．]
4．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
3 [因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．]
5．已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
[解] (1)证明：因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD.
因为CD⊥BC，且AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC.
又＝＝λ(0＜λ＜1)，
所以不论λ为何值，恒有EF∥CD，所以EF⊥平面ABC又EF平面BEF，所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知，EF⊥BE，
又平面BEF⊥平面ACD，
所以BE⊥平面ACD，所以BE⊥AC.
因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
AB⊥平面BCD，
所以BD＝，AB＝tan 60°＝，
所以AC＝＝，
由AB2＝AE·AC得AE＝，
所以λ＝＝，
故当λ＝时，
平面BEF⊥平面ACD.
课时分层作业(八) 空间几何体与斜二测画法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．由斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
A [只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A．]
2.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
D [因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．]
3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
D [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
D [还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．]
5.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.]
二、填空题
6．在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.
2 4 [在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.]
7．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________．
5 [由于该矩形的面积S＝5×4＝20，
所以由公式S′＝S，得其直观图的面积为S′＝S＝5.]
8.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．
6 [由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，
∴S△AOB＝OA·OB＝6.]
三、解答题
9.如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
[解] 由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2.
10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求该平面图形的面积．
[解] 由已知可知等腰梯形的高为，
下底长为1＋，其面积为(1＋1＋)×＝，
因为S原图形＝2S直观图，
所以原平面图形的面积为×2＝2＋.
[等级过关练]
1．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋)cm D．2(1＋)cm
A [原图形OABC为平行四边形，如图．
OA＝1，AB＝＝3，
∴四边形OABC周长为8.]
2．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
D [由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4.]
3．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.
5 [在直观图中与z轴平行线段的长度不变，所以这两个顶点之间的距离为2＋3＝5(cm)．]
4.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．
[按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，
原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin 45°＝.]
5．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
[解] 由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
课时分层作业(九) 构成空间几何体的基本元素
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形 B．平行四边形
C．梯形 D．四边相等的四边形
D [三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形．]
2．如图，平面α，β，γ可将空间分成( )
A．五部分 B．六部分
C．七部分 D．八部分
B [由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.]
3．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1或2 B．2或3
C．1或3 D．1或2或3
C [若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．]
4．已知直线m平面α，Pm，Q∈m，则( )
A．Pα，Q∈α B．P∈α，Qα
C．Pα，Qα D．Q∈α
D [由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.]
5．平面α与平面β平行，且aα，下列四种说法中( )
①a与β内的所有直线都平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′平面A′B′C′D′，AB平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．]
二、填空题
6．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是________．
4 [与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条．]
7．如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点A，B在直线a上________；
②直线a在平面α内________；
③点D在直线b上，点C在平面α内________．
①A∈a，B∈a ②aα ③D∈b，C∈α [根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②aα，③D∈b，C∈α.]
8．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
6 [如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.]
三、解答题
9．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
① ② ③
[解] 图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
① ② ③
10．试指出下列各几何体的基本元素(如图)：
① ② ③ ④
[解] ①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
[等级过关练]
1．如图所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )
C [分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的．根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.]
2．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤ D．模块③，④，⑤
A [先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②可得正方体．]
3．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
其中真命题的序号是________．
①③ [由直线在平面外的定义可知①正确；直线l在平面α内用符号“”表示，即lα，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．]
4．在如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A垂直的平面是______．
3 平面ABCD、平面A′B′C′D′ [平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．
与AA′垂直的平面是平面ABCD，平面A′B′C′D′.]
5．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线cβ，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
[解] (1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又cβ，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则aα，bβ，且a，bγ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
