课时分层作业(七) 复数的乘法与除法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．i为虚数单位，＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
A [＝＝＝－1.]
2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
B [(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.]
3．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [z＝＝＝－1－i的共轭复数为－1＋i，对应的点为(－1,1)，在第二象限．]
4．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
A [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A．]
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A．
B.
C．1
D．2
A [∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.]
二、填空题
6．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是________．
－2 [(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.]
7．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.
1 [因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1.]
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
1 [∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]
三、解答题
9．计算：
(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i).
[解] (1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.
(2)原式＝(1＋i)＝1＋i.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
[解] (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[等级过关练]
1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B，z1＝2 1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
2．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1
B．2
C.
D．
C [由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.]
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为_____________．
1 [z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.]
4．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝x上，则z＝________.
－3＋4i [设＝3t＋4ti(t∈R)，
则z＝3t－4ti，
∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，
∵z的对应点在第二象限，∴t＜0，
∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.]
5．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.
5/510.2.2 复数的乘法与除法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解复数的乘除运算法则.2.会进行复数的乘除运算．(重点)3.掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)4.掌握共轭复数的运算性质．(易混点)
通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
一、复数的乘法
1．定义
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
3.运算性质
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.(其中m，n∈N＋)．
4．i的乘方运算性质
i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.
5．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．
二、复数的除法
1．定义
如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．
2．意义
一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，因此可以利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝.
3．复数倒数运算
设z＝a＋bi，则＝，且＝.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
＝＝＋i.
三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a
，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且
(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．
1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
B [＝＝1＋i，
∴的共轭复数为1－i，故选B.]
2．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
B [∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0.
得m3＋1＝0，即m＝－1.]
3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝( )
A．2＋i
B．2－i
C．1＋2i
D．1－2i
B [法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(2a＋b)i，
由已知及复数相等的条件得，
解之得故选B.
法二：z＝＝＝＝2－i.]
4．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
2 [∵i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.]
复数代数形式的乘法运算
【例1】 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.
(1)D (2)C (3)5－5i [(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.
∴＝2－3i.故选C.
(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]
复数乘法运算的方法与常用公式
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝_____________.
4＋3i或－4－3i [设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，
z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.
∵z1·z2是纯虚数，
∴解得或
∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]
复数代数形式的除法运算
【例2】 ＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i
B．－1＋i
C.＋i
D．－＋i
(1)D (2)A [(1)法一：＝＝
＝＝＝－1－i.故选D.
法二：＝(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．
(2)＝＝＝1－i，故选A．]
复数除法运算方法与常用公式
1．两个复数代数形式的除法运算方法
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( )
A．＋i
B．－i
C．－＋i
D．－－i
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1
B．2
C.
D．
(1)B (2)C [(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．
∴z＝＝＝＝－i.
(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.]
in的周期性及应用
[探究问题]
1．i5与i是否相等？
提示：i5＝i4·i＝i，相等．
2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？
提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.
【例3】 计算i1＋i2＋i3＋…＋i2
020.
[思路探究] 可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)化简．
[解] ∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，
∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)，
∴i1＋i2＋i3＋…＋i2
020
＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2
017＋i2
018＋i2
019＋i2
020)＝0.
虚数单位i的周期性
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
3．计算：(1)···…·.
(2)1＋2i＋3i2＋…＋2
021i2020.
[解] (1)∵＝i，
∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
(2)设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2
021i2020
∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2
021i2021
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2020－2
021i2021＝1－2
021i
∴S＝＝＝1
011－1
010i
1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．
2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．
3．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．
4．对共轭复数的理解：
(1)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，其中a＋bi与a－bi是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据．
(2)互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z.
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i
B．2＋i
C．2＋2i
D．3
A [z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]
2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]
3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
2 [因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]
4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.]
5．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3)(2－i)2.
[解] (1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)
＝＝
＝＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
课时分层作业(七) 复数的乘法与除法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．i为虚数单位，＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
A [＝＝＝－1.]
2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
B [(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.]
3．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [z＝＝＝－1－i的共轭复数为－1＋i，对应的点为(－1,1)，在第二象限．]
4．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
A [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A．]
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A．
B.
C．1
D．2
A [∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.]
二、填空题
6．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是________．
－2 [(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2.]
7．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.
1 [因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1.]
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
1 [∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]
三、解答题
9．计算：
(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i).
[解] (1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.
(2)原式＝(1＋i)＝1＋i.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
[解] (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[等级过关练]
1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B，z1＝2 1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
2．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1
B．2
C.
D．
C [由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.]
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为_____________．
1 [z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.]
4．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝x上，则z＝________.
－3＋4i [设＝3t＋4ti(t∈R)，
则z＝3t－4ti，
∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，
∵z的对应点在第二象限，∴t＜0，
∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.]
5．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.
10.3 复数的三角形式及其运算(略)
复数的概念
【例1】 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解．
[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模的前提.,两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.,求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
1．(1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．
(1)D (2)1 [(1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.]
复数的四则运算
【例2】 (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
[思路探究] (1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.]
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母i2＝－1，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数.
2．(1)复数的共轭复数是( )
A．－i
B．i
C．－i
D．i
(2)已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
(1)C (2)4＋2i [(1)依题意：＝＝－＝i，
∴其共轭复数为－i.
(2)z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)
＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2∈R，
所以a＝4.
所以z2＝4＋2i.]
复数的几何意义
【例3】 (1)在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(0，－1)
B．(0,1)
C.
D．
[思路探究] 先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
(1)B (2)A [(1)复数＝＝＝－＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．]
1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．
4．复数形式的基本轨迹
(1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；
(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
(1)A (2)D [(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A．
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]
转化与化归思想
【例4】 设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
[思路探究] 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yix，y∈R，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
[解] 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝(x＋3)＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
专题强化训练(二) 复数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－2
B．0
C．2
D．－2或2
A [由复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数得解得x＝－2.]
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5
B．
C．3
D．
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]
3．设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0
B．
C．1
D．
C [∵z＝＋2i＝＋2i
＝＋2i＝i，∴|z|＝1.
故选C.]
4．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [＝＝
＝＋i，其共轭复数为－i，对应点位于第四象限，故选D.]
5．已知z＝(m－3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
B [由题意知即－1＜m＜3.故实数m的取值范围为(－1,3)．]
二、填空题
6．复数的值是________
.
－1 [＝＝－1.]
7．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
－4 [因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以解得得a－b＝－4.]
8．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
－2 [∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]
三、解答题
9．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
10．已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
[解] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
[等级过关练]
1．若z＝1＋2i，则＝( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
C [因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.]
2．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
B [设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0 z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0 ＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.]
3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
3i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3，①且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则
由①可得y＝3.∴z＝3i.]
4．设i是虚数单位，复数z＝，则|z|等于________．
3 [z＝＝＝＝＋i，
∴则|z|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4＋\r(2),2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(2),2))))＝3.]
5．已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)(m∈R)，当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
[解] 由于m∈R，复数z可以表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
即m＝0或m＝2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
章末综合测评(二) 复 数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
D [＝＝＝2－i.]
2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．b>0，a∈R
D．a>0，b∈R
D [复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．]
3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A．－1－2i
B．－2＋i
C．－1＋2i
D．1＋2i
C [由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.]
4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A．]
5．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．]
6．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
B [因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.]
7.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
D [法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，
∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.]
8．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
C [∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.]
9．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i
B．－3－2i
C．2－3i
D．3－2i
B [设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.]
10．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足( )
A．m≤－
B．m≥－
C．m＝
D．m＝－
C [设实根为x0，则x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
∴解得]
11．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限．故选D.]
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
C [设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．
13 [复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.]
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.]
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
2π [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)．
(2)＋2
020.
[解] (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)
＝－1＋i＋1
＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
[解] 由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R.(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
[解] (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0.
解得m＝0或m＝－1±.
所以当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
20．(本小题满分12分)已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数．
[解] (1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求1·O2的值．
[解] 由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以1＝，2＝(－1,1)．
所以1·2＝×(－1)＋1×1＝.
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解空间几何体的概念．(一般)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(难点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(易错点)
1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养.2.借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养.
1．空间几何体
如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．
2．直观图
立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图．
3．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)．
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半．
(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．
4．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．
(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段．
(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．
注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆．
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．90°
C [在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.]
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
3．利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
C [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3
cm，平行于y轴的边长为1.5
cm.]
4．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
C [如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．
]
画平面图形的直观图
【例1】 用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)
[解] (1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图．
(变条件)若将本例中的等腰梯形ABCD改为正五边形ABCDE，如图所示，那么其直观图如何画出？
[解] 画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
画平面图形的直观图的技巧
1．在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半．
2．原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．
3．原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．
画空间几何体的直观图
【例2】 用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
[思路探究] →→→
[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
简单几何体直观图的画法步骤
1．画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．
3．确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
4．连线成图．
2．画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图．
[解] (1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如左图所示．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图.
直观图的还原和计算问题
[探究问题]
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示] 原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin
45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S.
【例3】 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
[思路探究] 由直观图还原平面图形的关键：
(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．
(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
[解] ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6
cm，C′D′＝2
cm，则原图形的形状是________．
菱形 [如图所示，在原图形OABC中，应有OA
BC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝
2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
1．斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.
(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
2．斜二测画法中的建系原则
在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上．
3．直观图中“变”与“不变”
(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变．
(2)点的共性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)．
(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．
( )
(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．
( )
(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.
( )
[解析] 平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
D [由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]
3.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
B [由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]
4.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.]
5．画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解] (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
课时分层作业(八) 空间几何体与斜二测画法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．由斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
A [只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A．]
2.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
D [因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．]
3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
D [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB
B．AD
C．BC
D．AC
D [还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．]
5.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C [根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.]
二、填空题
6．在棱长为4
cm的正方体ABCD A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.
2 4 [在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4
cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2
cm.]
7．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________．
5 [由于该矩形的面积S＝5×4＝20，
所以由公式S′＝S，得其直观图的面积为S′＝S＝5.]
8.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．
6 [由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，
∴S△AOB＝OA·OB＝6.]
三、解答题
9.如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
[解] 由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2.
10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求该平面图形的面积．
[解] 由已知可知等腰梯形的高为，
下底长为1＋，其面积为(1＋1＋)×＝，
因为S原图形＝2S直观图，
所以原平面图形的面积为×2＝2＋.
[等级过关练]
1．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8
cm
B．6
cm
C．2(1＋)cm
D．2(1＋)cm
A [原图形OABC为平行四边形，如图．
OA＝1，AB＝＝3，
∴四边形OABC周长为8.]
2．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2
B．4
C．2
D．4
D [由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4.]
3．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm.
5 [在直观图中与z轴平行线段的长度不变，所以这两个顶点之间的距离为2＋3＝5(cm)．]
4.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．
[按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，
原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin
45°＝.]
5．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
[解] 由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
学
习
目
标
核
心
素
养
1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点)3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
1.通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.
1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
3．点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
Al
A在α内
A∈α
A在α外
Aα
l在α内
lα
l在α外
lα
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
4.空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，无公共点
异面直线
既不平行也不相交，无公共点
5.直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交
相线与平面平行
公共点
无数个
1个
0个
符号表示
aα
a∩α＝A
a∥α
图形表示
6.两个平面的位置关系
位置关系
平行
相交
图示
表示法
α∥β
α∩β＝a
公共点个数
0个
无数个
7.直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．
(2)点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．
(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]
2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
A [A中只有移动相同距离才能形成长方体．]
3．下列说法正确的是________．
(1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．
(2)(3) [(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．]
4．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．
(1)EF与BB1垂直；(2)EF与BD垂直；(3)EF与CD异面；(4)EF与A1C1异面．
(4) [连接A1B(图略)，∵E，F分别是AB1，BC1的中点，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．]
图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，aα
B．Pa，aα
C．Pa，a∈α
D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B.
②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．
[思路探究] 直线和平面看作点的集合 类比元素与集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示．
(1)A [由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为aα，故A正确．]
(2)解：①用符号表示：
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如图．
三种语言的转换方法
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别．
1．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：________.
(2)点A与平面α：________.
(3)直线AB与平面α：____________.
(4)直线CD与平面α：__________.
(5)平面α与平面β：__________.
[答案] (1)Cβ (2)Aα (3)AB∩α＝B (4)CDα (5)α∩β＝BD
从运动观点认识几何体
【例2】 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
① ② ③
[思路探究] 线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
[解]
① ② ③
用运动观点认识几何体
1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．
2.本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．
[解]
长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示]
水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；
它们共同组成了课桌这个几何体．
【例3】 在长方体ABCD A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
[思路探究] 观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
1．在本例中其他条件不变，
(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
[解] (1)有平面AB′，平面CD′.
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
[解] 有A′A，A′B′，D′D，D′C′.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？
[解] A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
1．根据点、线、面之间的语言描述能够正确的使用符号语言表示它们之间的位置关系．
2．判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法．
3．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．
( )
(2)直线的移动只能形成平面．
( )
(3)平静的太平洋就是一个平面．
( )
[解析] (1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C [选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.]
3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行
B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
D [可参考长方体中各条线的位置关系判断．]
4．线段AB长为5
cm，在水平面上向右移动4
cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3
cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4
cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________cm；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.
(1)3 (2)4 (3)5 [如图，
在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝5
cm，BC＝4
cm，CC′＝3
cm，
∴长方体的高为3
cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4
cm；点A到平面BCC′B′的距离为5
cm.]
5．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析．
[解] 这两个平面平行(如图①)或相交(如图②)
课时分层作业(九) 构成空间几何体的基本元素
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．平行四边形
C．梯形
D．四边相等的四边形
D [三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形．]
2．如图，平面α，β，γ可将空间分成( )
A．五部分
B．六部分
C．七部分
D．八部分
B [由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.]
3．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1或2
B．2或3
C．1或3
D．1或2或3
C [若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．]
4．已知直线m平面α，Pm，Q∈m，则( )
A．Pα，Q∈α
B．P∈α，Qα
C．Pα，Qα
D．Q∈α
D [由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.]
5．平面α与平面β平行，且aα，下列四种说法中( )
①a与β内的所有直线都平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′平面A′B′C′D′，AB平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．]
二、填空题
6．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是________．
4 [与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条．]
7．如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点A，B在直线a上________；
②直线a在平面α内________；
③点D在直线b上，点C在平面α内________．
①A∈a，B∈a ②aα ③D∈b，C∈α [根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②aα，③D∈b，C∈α.]
8．过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
6 [如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.]
三、解答题
9．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
①
②
③
[解] 图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
① ② ③
10．试指出下列各几何体的基本元素(如图)：
①
②
③ ④
[解] ①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
[等级过关练]
1．如图所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )
C [分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的．根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.]
2．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①，②，⑤
B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤
D．模块③，④，⑤
A [先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②可得正方体．]
3．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
其中真命题的序号是________．
①③ [由直线在平面外的定义可知①正确；直线l在平面α内用符号“”表示，即lα，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．]
4．在如图所示的长方体ABCD A′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A垂直的平面是______．
3 平面ABCD、平面A′B′C′D′ [平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．
与AA′垂直的平面是平面ABCD，平面A′B′C′D′.]
5．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线cβ，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
[解] (1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又cβ，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则aα，bβ，且a，bγ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
11.1.3 多面体与棱柱
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解多面体的定义及其分类．(重点)2.理解棱柱的定义和结构特征．(重点)3.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)
1.通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.
1．多面体
(1)定义
由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．
(2)相关概念(如图所示)
①多面体的面、棱与顶点
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．
②多面体的面对角线与体对角线
一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线．
③多面体的截面与表面积
一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.
多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)．
(3)凸多面体
把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．
思考1：长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．
思考2：最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个．
2．棱柱
(1)定义
有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．
(2)图示及相关概念
棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．
(3)棱柱的表示方法
棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′.
(4)棱柱的高与侧面
过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．
(5)棱柱的分类
特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱．
(6)平行六面体与直平行六面体
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．
1．一个多面体的面至少为( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
B [由多面体的特征知，一个多面体至少有4个面，它是三棱锥．]
2．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
D [由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]
3．下面没有体对角线的一种几何体是( )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．五棱柱
D．六棱柱
A [三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]
4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
5 6 9 [面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]
棱柱的有关概念
【例1】 下列关于棱柱的说法正确的个数是( )
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．1 B．2 C．3 D．4
A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．]
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．
1．一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形
D [对于A，满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形；对于B，垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面；对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.]
多面体的表面展开图
【例2】 某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
A B C D
A [两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．]
多面体展开图问题的解题策略
1．绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
2．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
A B C D
C [将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．]
多面体或棱柱的计算问题
【例3】 如图所示，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值．
[解] 将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)．
(1)∵矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，
∴三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2.
(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，∴最短路线长为BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，
∴A1M＝AM，即＝1.
求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤
此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化．其基本步骤是：(1)将立体图形展开为平面图形；(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段；(3)计算此线段的长．
3．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6
cm,4
cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
72 [棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]
1．在理解的基础上，牢记多面体与棱柱的有关概念，能根据定义判断几何体的形状．
2．能够绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．几种常见四棱柱的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．( )
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．
( )
(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和．
( )
(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列说法中正确的是( )
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]
3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
D [由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.]
4．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．
O [由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E、S、P、D，故H的反面的字母为O.]
5．如图所示的三棱柱ABC A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
[解] 截面以上的几何体是三棱柱AEF A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC B1HGC1.
课时分层作业(十) 多面体与棱柱
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D [这4个多面体均为棱柱．]
2．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是( )
A．QNMP
B．QMNP
C．PMNQ
D．PNMQ
D [正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故PNMQ.]
3．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22
B．20
C．10
D．11
A [所求长方体的表面积
S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]
4．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
C [由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．]
5．正三棱柱ABC?A′B′C′的底面边长是4
cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2
cm，则截面BCD的面积为( )
A．6
cm2
B．2
cm2
C．8
cm2
D．2
cm2
C [
如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE⊥BC，DE⊥BC.
因为AE＝×4＝2，
所以DE＝＝4，
所以S△BCD＝BC·ED
＝×4×4＝8(cm2)．
所以截面BCD的面积为8
cm2.]
二、填空题
6．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．
(1) (2) (3) (4)
(2)(3) [(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．]
7．如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是________．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．
①③④ [①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1 C1BD；④正确，如四面体B1 ABD.]
8．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________．
6 [因为用平面去截正方体时，最多与六个面相交得六边形，即截面的边数最多为6.]
三、解答题
9．画出如图所示的几何体的表面展开图．
[解] 表面展开图如图所示．
10．如图所示，在长方体A′B′C′D′ ABCD中，AB＝3
cm，BC＝2
cm，BB′＝1
cm，把长方体侧面展开．求BD′的最短距离．
[解] 如下图①得BD′＝＝，由下图②得BD′＝＝3，由下图③得BD′＝＝2，
∴(BD′)min＝3.
[等级过关练]
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20
B．15
C．12
D．10
D [如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．]
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
D [只有D选项能折叠成一个正四棱柱，在选项A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．]
3．一个正四棱柱的对角线的长是9
cm，全面积等于144
cm2，则这个棱柱的侧面积为________
cm2.
112或72 [设底面边长，侧棱长分别为a
cm，l
cm，
则∴或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．]
4．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]
5．给出一块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪接方案，并用虚线标示在图中，并作简要说明．
[解] 如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
11.1.4 棱锥与棱台
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)
1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养.2.借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.
1．棱锥
(1)关于棱锥的定义、分类、图形及表示，请填写下表：
棱锥
图形及表示
定义
如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥
如图棱锥可记作：棱锥S ABCD或棱锥S AC.
相关概念
底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各个三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)，侧面积：所有侧面的面积之和
分类
①依据：底面多边形的边数；②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……
(2)正棱锥的有关概念及其特征
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．
2．棱台
(1)关于棱台的定义、分类、图形及表示，请填写下表：
棱台
图形及表示
定义
一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
如图棱台可记作：棱台ABCD A′B′C′D′
相关概念
上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和
分类
①依据：由几棱锥截得；②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
(2)正棱台的有关概念及其特征
由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．
1．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
A [棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．]
2．下面四个几何体中，是棱台的是( )
A B C D
C [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．]
3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( )
A．三棱锥的四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱相交于一点
B [根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．]
4．如图，下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
棱锥的结构特征
【例1】 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
[解] 不一定．如图①所示，将正方体ABCD A1B1C1D1截去两个三棱锥A A1B1D1和C B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．
棱锥的三个本质特征
1．有一个面是多边形．
2．其余各面是三角形．
3．这些三角形有一个公共顶点．
1．观察如图的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱
B．②不是棱锥
C．③不是棱锥
D．④是棱台
B [②显然是棱锥．]
棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是________．
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
(2)(3) [(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]
棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法．
结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法．
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．判断图中的几何体是不是台体？并说明为什么？
(1)(3)(4)不是棱台；(2)是棱台 [对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．]
几何体的计算问题
[探究问题]
1．计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
【例3】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．
[思路探究] 正三棱锥 侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形 勾股定理求解．
[解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝.
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3.
1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
[解] 连接SD(图略)在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝.
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解] 如图正四棱锥S ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝.
故其高为.
正棱锥、正棱台中的计算技巧
1．正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.
2．正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.
1．在理解的基础上，要牢记棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．棱柱、棱台、棱锥关系图
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．
( )
(2)棱台的侧棱长都相等．
( )
(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D [在三棱锥A BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]
3．如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
B [剩余几何体为四棱锥A′ BCC′B′.]
4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．
48 [正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥．
① ②
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ ABC，B′ A′BC，C′ A′B′C.
课时分层作业(十一) 棱锥与棱台
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台
B．②是棱锥
C．③是棱锥
D．④不是棱柱
C [①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是底面为六边形的棱柱．故选C.]
2．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
C [可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]
3．下面说法中，正确的是( )
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
B [由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．]
4．下列三种叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A [①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点．②不正确，因为侧棱延长后不交于一点．③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．]
5．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于( )
A．a2
B.a2
C.a2
D．a2
A [如图，在三棱锥S ABC中，AB＝a，SO＝a，于是OD＝·AB·sin
60°＝a，从而SD＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a)))＝，故三棱锥的侧面积为S＝3××a×＝a2.]
二、填空题
6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．
三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．
]
7．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．
七 [由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．]
8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．
a2 [底面边长为a，则斜高为，
故S侧＝3××a×a＝a2.
而S底＝a2，
故S表＝a2.]
三、解答题
9．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥．
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥．
(3)三棱柱．
[解] (1)如图所示，三棱锥A1 AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1 ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1 ABD(答案不唯一)．
10．如图，正四棱台AC′的高是
17
cm，两底面的边长分别是4
cm和16
cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
[解] 设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，BC＝16
cm，
则OB＝8
cm，OE＝8
cm；
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4
cm，
则O′B′＝2
cm，O′E′＝2
cm.
在直角梯形O′OBB′中，BB′＝＝＝19(cm)．
在直角梯形O′OEE′中，EE′＝＝＝5(cm)．
即这个棱台的侧棱长为19
cm，斜高为5
cm.
[等级过关练]
1．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
D [因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]
2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱
B．棱锥
C．棱台
D．一定不是棱柱、棱锥
D [有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)
通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.
1．复数的概念及分类
(1)数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓ ↓ ↓ ↓
↓
N――――→Z―――→Q――――→R―――→C
(2)复数的有关概念
(3)复数的分类
②集合表示
2．两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( )
A．1，
B．1＋，0
C．0,1＋
D．0，(1＋)i
C [(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋.]
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2
B．
C．－
D．2
D [复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.]
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．
1，－1 [∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1.]
4．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝________.
1 [∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴，解得a＝1.]
复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.
(3)下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
(1)B (2)±，5 (3)③ [(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1．对以下命题：
①1＋i2＝0；
②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0.故①正确．
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．
对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]
复数的分类
【例2】 (1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a>0且a＝±b
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
[思路探究] 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．
(1)D [要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D.]
(2)解：①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.
含参数的复数问题解题技巧
1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数．首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解．
2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．
3．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．
复数相等的充要条件
[探究问题]
1．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
2．3＋2i＞3＋i正确吗？
提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
得解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得或
所以实数a的值为a＝11或－.
复数相等问题的解题技巧
1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
2．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．
[解] 由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.
解得y1＝－1＋，y2＝－1－.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.
即或
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
( )
(3)bi是纯虚数．
( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题中是假命题的是( )
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集为实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
C [复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．]
3．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个复数不能比较大小．
其中错误命题的序号是__________．
①②③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错．]
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝________.
－3 [∵z＜0，∴，∴m＝－3.]
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
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第十章 复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.2 复数的几何意义
自
主
预
习
探
新
知
复平面
实轴
虚轴
Z(a，b)
模
相等
互为相反数
共轭
实轴
实轴
合
作
探
究
提
素
养
复数与复平面内点的关系
复数的几何意义
当
堂
达
标
固
双
基
课
时
分
层
作
业
点击右图进入…
Thank
you
for
watching
!
答案
解析答案
类型
规律方法
类型2
类型3
W
谢谢次赏
谢谢欣赏10.1.2 复数的几何意义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．(易混点)2.掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)3.掌握复数模的定义及求模公式.
通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.
1．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．
在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，x轴称为实轴，y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，y轴称为虚轴．
x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi平面向量.
3．复数的模、共轭复数
(1)复数的模
设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.
(2)共轭复数
①如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示．
②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．
1．已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
B [在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．]
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．]
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
A [依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.]
4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．
5 [∵z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，∴
∴z＝－4＋3i，
∴|z|＝＝5.]
复数与复平面内点的关系
【例1】 (1)复数z＝－1＋2i所对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)复数＝1＋i和z＝1－i在复平面内的对应点关于( )
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
(1)B (2)A (3)A [(1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.
(2)复数＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)．
复数z＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)．
点Z1与Z2关于实轴对称，故选A．
(3)z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，所以解得－3＜m＜1.故选A．]
解答复数与复平面内点的关系问题的一般思路
1．首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
2．根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得，∴，
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
综上所述，(1)当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上；
(2)当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限；
(3)当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上.
复数的几何意义
【例2】 在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C，求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
[思路探究] 思路一：→→→→
思路二：→
→→
[解] 法一：由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则AC的中点E，
由平行四边形的性质知E也是BD的中点，
设D(x，y)
则∴即D(3,3)，
∴D点对应复数为3＋3i.
法二：由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)，
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，
∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，
即点D对应复数为3＋3i.
复数的几何意义包含两种情况
1．复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
2．复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
2．(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
(2)设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
(1)C (2)D [(1)由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
(2)由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)
∴＝－＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D.]
复数的模
[探究问题]
1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i
提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
2．若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
提示：a满足即－1＜a＜1.
【例3】 (1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A．－
B．i
C．±i
D．±
(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－9＋i的模，并比较它们模的大小．
[思路探究] (1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
(2)用求模的公式直接计算．
(1)D [设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D.]
(2)[解] 因为z1＝6＋8i，z2＝－9＋i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝＝.
因为10＞，
所以|z1|>|z2|.
复数的模的计算问题
1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
3．(1)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆
B．线段
C．2个点
D．2个圆
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
(1)A [由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．]
(2)[解] ∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝
，
由已知得<4，
∴a2<7，
∴a∈(－，
)．
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
(3)根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示：
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．
(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．
( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．
( )
(3)复数的模一定是正实数．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为( )
A．(1，i)
B．(1，－i)
C．(1,1)
D．(1，－1)
D [复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．]
3．已知复数z＝3＋2i，则＝________；|z|＝________.
3－2i [∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝.]
4．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)表示的图形是________．
以原点为圆心，以2为半径的圆 [∵|z|＝2，
∴＝2，
∴x2＋y2＝8.
则点(x，y)表示以原点为圆心，以2为半径的圆．]
5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
[解] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，
点Z位于直线x－y－3＝0上．
1/8(共44张PPT)
第十章 复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
自
主
预
习
探
新
知
C
N
-1
实数
b＝0
b≠0
a＝0
a≠0
a＝c且b＝d
合
作
探
究
提
素
养
复数的概念
复数的分类
当
堂
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标
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答案
实部虚部
纯虚数非纯虚数
=0
a-
a≠0
z=a+bi(a2b∈R)
虚数
代数\表示
b≠0
复数的定义
关把形如如的数叫分
概做复数a都是类
念i是虚数单位
虚数/单位
b=0
规定i
实数
解析答案
类型
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一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限．故选D.]
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )
A．z1＞z2
B．z1＜z2
C．|z1|＞|z2|
D．|z1|＜|z2|
D [不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B.
又|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|＜|z2|.
故选D.]
3．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝2＋i，则z2＝( )
A．2＋i
B．－2＋i
C．2－i
D．－2－i
B [因为z1＝2＋i，所以z1在复平面内对应点的坐标为(2,1)，由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z2在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，所以z2＝－2＋i.]
4．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2，且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
D [由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.]
5．在复平面内，O为原点，向量O对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量O对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
B [因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以O对应的复数为－2＋i.]
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______.
－2＋3i [复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i.]
7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
－1－5i [因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.]
8．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.
[因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.]
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解] ∵复数z对应的点在第一象限．
∴
解得m<或m>.
所以实数m的取值范围为
∪.
10．已知x，y∈R，若x2＋2x＋(2y＋x)i和3x－(y＋1)i互为共轭复数，求复数z＝x＋yi和.
[解] 若两个复数a＋bi与c＋di共轭，
则a＝c，且b＝－d.
由此可得到关于x，y的方程组
解得或所以或
[等级过关练]
1．向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是( )
A．－10＋8i
B．10－8i
C．0
D．10＋8i
C [因为向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5,4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以1＋2对应的复数是0.]
2．下列命题中，假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
D [任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
由复数相等的条件z＝0 |z|＝0，故B正确；
若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．]
3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
5 [由复数的几何意义可知，
＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得
∴x＋y＝5.]
4．设(1＋i)sin
θ－(1＋icos
θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan
θ的值为________．
[由题意，得sin
θ－1＋sin
θ－cos
θ＋1＝0，
∴tan
θ＝.]
5．已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若1与2共线，求a的值．
[解] 因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以1＝(－3,4)，2＝(2a,1)．因为1与2共线，所以存在实数k使2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
4/4(共42张PPT)
第十章 复数
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
自
主
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习
探
新
知
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
合
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提
素
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复数的加减法运算
复数加减法的几何意义
当
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(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
A [z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.]
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．]
3．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
B [∵z＝a＋i，
∴z＋＝2a＝4，得a＝2.
∴复数z的共轭复数＝2－i.
故选B.]
4．复平面内正方形三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为( )
A．2－i
B．5i
C．－4－3i
D．2－i,5i或－4－3i
A [如图所示，利用＝，或者＝，求另一顶点对应的复数．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
∴解得
故D点对应的复数为2－i.]
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
B [复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．]
二、填空题
6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
5－9i －8－7i [z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.]
7．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________
.
1 [由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，∴|z－1|最小值＝1.]
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
2＋1 [如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1.
]
三、解答题
9．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
[解] (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解] ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
[等级过关练]
1．如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
D [由题图可知，＋＝0，
∴＋－＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.]
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
C [由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.]
3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
则f(z1＋z2)＝__________.
3＋3 [∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋＝3＋3.]
4．已知z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β－isin
β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．
[∵z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β－isin
β，
∴z1－z2＝(cos
α－cos
β)＋i(sin
α＋sin
β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.]
5．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[解] 因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i，如图
①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图②中点D对应的复数为3＋7i，
图③中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
5/5(共32张PPT)
第十章 复数
章末复习课
复数的概念
复数的四则运算
复数的几何意义
转化与化归思想
专
题
强
化
训
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体系构建
虚数单位 =-1
复数的概念
复数的实部虚部复数相等:(a,b,d∈R
共轭复数:
a+bi=c+di
sa=c,
b=d
3=a-b
复数的几
z=0+6i(ab∈R)
复
何意义
复平面内的点z(ab)量对复平面内向量OZ
数
复数的加法法则:a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
复数的减法法则:a+b)-(c+di)=(a-c)+(b-d)
复数的四
则运算
复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=a-bd)+(be+ad)i
复数的除法法则:
a+6i
ac+bd
bc-ad
G=c+dte+a+di≠0)
类型
题型探究
规律方法
解析答案
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第十章 复数
10.2 复数的运算
10.2.2 复数的乘法与除法
自
主
预
习
探
新
知
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
模的平方
i
－1
－i
1
“分母实数化”
倒数
互为共轭
合
作
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复数代数形式的乘法运算
复数代数形式的除法运算
当
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解析答案
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复数的概念
【例1】 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解．
[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模的前提.,两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.,求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
1．(1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．
(1)D (2)1 [(1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.]
复数的四则运算
【例2】 (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
[思路探究] (1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.]
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母i2＝－1，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数.
2．(1)复数的共轭复数是( )
A．－i
B．i
C．－i
D．i
(2)已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
(1)C (2)4＋2i [(1)依题意：＝＝－＝i，
∴其共轭复数为－i.
(2)z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)
＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2∈R，
所以a＝4.
所以z2＝4＋2i.]
复数的几何意义
【例3】 (1)在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(0，－1)
B．(0,1)
C.
D．
[思路探究] 先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
(1)B (2)A [(1)复数＝＝＝－＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．]
1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．
4．复数形式的基本轨迹
(1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；
(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
(1)A (2)D [(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A．
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]
转化与化归思想
【例4】 设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
[思路探究] 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yix，y∈R，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
[解] 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝(x＋3)＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
7/7课时分层作业(四) 复数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．－(2－i)的虚部是( )
A．－2
B．－
C.
D．2
C [∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.]
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I
B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝
D [复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝，故选D.]
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，此时ab＝0；反之ab＝0不能得出a＝0，b≠0.所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．]
4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i
B [由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]
5．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A．－7≤λ≤
B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1
D．－≤λ≤7
D [由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sin
θ
＝4－.
由于－1≤sin
θ≤1，故－≤λ≤7.]
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
－3 [依题意有解得m＝－3.]
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
3－3i [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.]
8．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
①②③⑥ [若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．]
三、解答题
9．设z＝logeq
\s\do10()
(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
[解] (1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4.
(2)因为z是纯虚数，故其实部logeq
\s\do10()(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是解得m＝2.
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[解] ∵M∪P＝P，∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[等级过关练]
1．若复数z1＝sin
2θ＋icos
θ，z2＝cos
θ＋isin
θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z)
B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
D [由复数相等的定义可知，
∴cos
θ＝，sin
θ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以解得
所以z＝3－i.]
3．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________．
3 [依题意有
解得m＝3.]
4．如果logeq
\s\do10()(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
[解] 因为logeq
\s\do10()(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以logeq
\s\do10()(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,logeq
\s\do10()m＋n>－1，))eq
\b\lc\
\rc\
(\a\vs4\al\co1(①,②))
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．
综上可得，m＝0，n＝1.
4/510.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．(重点)2.理解复数加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)
通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.
1．复数代数形式的加、减法
(1)运算法则
①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
②两个共轭复数的和一定是实数．
(2)加法运算律
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加、减法的几何意义
(1)若复数z1，z2对应的向量分别为，.
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤||z1|＋|z2||；
||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤||z1|＋|z2||.
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
3．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．
1－i [＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]
4．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.
2i [z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，
1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，
∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.]
复数的加减法运算
【例1】 (1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
(1)1＋i [＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.]
(2)[解] 法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
复数加、减法运算方法
1．复数加减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.
(1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i [(1)(3＋5i)＋(3－4i)
＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i
＝－7＋7i.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]
复数加减法的几何意义
【例2】 (1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[思路探究] (1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
(1)3＋5i [设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.]
(2)[解] 设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z
中，由余弦定理，得
cos∠OZ1Z＝＝－，
所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，
因此△OZ1Z2是正三角形，
所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.
若把本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？
[解] 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，
因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，
所以|z1＋z2|＝.
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
1．技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
复数加减法的几何意义的应用
[探究问题]
1．在实数范围内a－b＞0 a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0 z1＞z2恒成立呢？
提示：若z1，z2∈R，则z1－z2＞0 z1＞z2成立．否则z1－z2＞0D /z1＞z2.
如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.
2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【例3】 复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,5＋3i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|.
[思路探究] 首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
[解] 如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋4i，所以＝－＝3＋4i－2＝1＋4i，所以||＝.
1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
2．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
[解] 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.
即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.
1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．
3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．
4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．
( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．
( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]
3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．
1 [依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，
而|4－3i|＝＝5，
所以＝5，即b＝0.]
5．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．
[解] 如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
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