(共35张PPT)
第六章 实数
6.1 平 方 根
第1课时
【知识再现】
学校要举行美术比赛,小明很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己得意的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
解:因为5×5=25,所以这块正方形画布的边长应取5 dm.
【新知预习】阅读教材P40-P44,填写下面表格:
正数
平方
x2=a
正数
算术平方根
被开方数
根
号a
算术平方根 定义 如果一个_____x的_____等于a,即____,
那么这个_____x叫做a的___________,a
叫做_________.?
记法与读法 a的算术平方根记作:____, 读作:___
____.?
0
0
非负数
非负数
平方
算术平方根 0的算术平
方根 0的算术平方根是______,也就是说
=______.?
的双重
非负性 被开方数a是 _______,?
是 _______.?
算术平方
根的求法 (1)根据算术平方根的定义,用_____的方法.?
(2)利用计算器.
越大
假分数
算术平方根 算术平方根的大小 被开方数越大,算术平方根_____.?
被开方数为带分数时 当被开方数为带分数时,应先将其化
为_______,再求其算术平方根.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.4的算术平方根是______.?
2.算术平方根等于本身的数是_________.?
2
1和0
3.若 =0,|3-y|=0,求xy的值.
略
4.(2019·青岛市北区期中)小明房间的面积为10.8 m2,房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成,求每块地砖的边长.
解:每块地砖的面积为:
10.8÷120=0.09(m2),
=0.3(m).
答:每块地砖的边长为0.3 m.
知识点一 求非负数的算术平方根(P40例1补充)
【典例1】求下列各数的算术平方根:
(1)49.(2) .(3)2 .
(4)0.36.(5)
【思路点拨】用平方法求算术平方根.
【自主解答】略
【学霸提醒】
求算术平方根的方法
(1)熟记常用的平方数可帮助迅速求一个非负数的算术平方根.
(2)当被开方数为带分数或其中含有运算时,应先将其
化为假分数或进行整理,再求其算术平方根.
(3)对于开方开不尽的数,求其算术平方根时,直接根据
定义进行表示,如5的算术平方根是 然后利用计算
器计算出其算术平方根,注意精确度.
【题组训练】
1.求下列各式的算术平方根:
9,14 400,
略
★2.(2019·齐齐哈尔拜泉期末)若a= +
6,求ab的算术平方根.
略
★★3.已知x,y为实数,且满足 =0,
求x2 019-y2 019的值.
略
知识点二 算术平方根的应用(P43例3拓展)
【典例2】小明打算用一块面积为900 cm2的正方形木板,沿着边的方向裁出一个长方形面积为588 cm2的桌面,并且长宽之比为4∶3,你认为能做到吗?如果能,计算出桌面的长和宽;如果不能,请说明理由.
【规范解答】能做到,理由如下:
设桌面的长和宽分别为4x (cm)和3x (cm),
…………设未知数
根据题意得,4x×3x=588. …………列方程
12x2=588.
x2=49,x>0,x= =7. …………解方程
∴4x=4×7=28 (cm) . 3x=3×7=21 (cm).
…………求出长和宽
∵面积为900 cm2的正方形木板的边长为30 cm,28 cm<
30 cm, …………与正方形边长比较
∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4∶3的桌面,
答:桌面长宽分别为28 cm和21 cm. ……得到答案
【学霸提醒】
算术平方根的应用
(1)把实际问题转化为数学问题,一般是转化成求一个数的算术平方根.
(2)根据题意列出方程,利用算术平方根的定义求出方程的解.
【题组训练】
1.小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖的长方体盒子,如图,如果要求长方体的表面积为80 cm2,那么剪去的正方形边长为多少?(结果保留根号)
解:设剪去的正方形的边长为x cm.
10×10-4x2=80(cm2),
x2=5,x= .
答:剪去的正方形边长为 cm.
★2.(2019·太原期中)交通警察通常根据刹车后车轮
滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验公式是
v=16 其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车后车
轮滑过的距离(单位:m),f表示摩擦因数,在某次交通事
故中,测得d=6 m,f=1.5,求肇事汽车的车速. 世纪金
榜导学号
解:根据题意得:v=16× =16× =16×3=
48(km/h).
答:肇事汽车的车速为48 km/h.
【火眼金睛】
计算
正解:
【一题多变】
已知 =5.706, =18.044,那么
=____________.?
0.570 6
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)若 =101, =
0.101,则x为______________.?
0.010 201
【变式二】(变换条件和问法)
(1)先完成下列表格:
a …… 0.000 1 0.01 1 100 10 000 ……
…… ____ ____ ___ ____ ____ ……
(2)由上表你发现什么规律?
(3)根据你发现的规律解决下面问题:
①已知 =1.732 ,求
②已知 =0.056,求
略
(共32张PPT)
6.1 平 方 根
第2课时
【知识再现】
任意两个非零的___________的平方是同一个正数,如
22=(-2)2=4.?
相反数
【新知预习】阅读教材P44-P46,填写下面表格:
平方根
二次方根
平方根
正、负根号a
平
方
根 定义 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做
a的_______或_________.即如果x2=a,那
么x叫做a的_______.?
表示与读法 正数a的平方根可用符号______表示,?
读作:____________.?
两个
互为相反数
0
没有
平方根
互为逆运算
平
方
根 性质 (1)正数有_____平方根,它们___________.?
(2)0的平方根是__.?
(3)负数_____平方根.?
开
平
方 定义 求一个数a的_______的运算,叫做开平方.?
平方与开平方的关系:___________.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.若a,b是同一个数的两个不同的平方根,则 ( )
A.a-b=0
B.a+b=0
B
C.a-b=1
D.a+b=1
2.(2019·长春南关区期末)如果某数的一个平方根是
-5,那么这个数是_______.?
25
3.若9的平方根是a,b的绝对值是4,求a+b的值.
略
知识点一 求平方根(P45例4拓展)
【典例1】求下面各数的算术平方根和平方根:
49;0.81; 7;(-5)2.
【自主解答】略
【题组训练】
1.(2019·保定阜平期末)下列说法错误的是
( )
A.1的平方根是±1 B.-1是1的平方根
C.1是1的平方根 D.-1的平方根是1
D
★2. 的平方根为_______.?
★★3.计算下列各式的值.
解:
★★4.(2019·南安期末)若a2=4,b2=9,且ab<0,求a-b的值.
解:∵a2=4,b2=9,
∴a=±2,b=±3,
∵ab<0,
∴a=2,b=-3,或a=-2,b=3,
2-(-3)=5,-2-3=-5,
所以a-b的值为5或-5.
【我要做学霸】
求一个数的平方根的方法
(1)对于易求出平方根的数,通常先写出哪个数的_____
等于已知数,然后写出这个数的平方根.?
(2)对于带分数,应先把其化为_______,再求平方根.?
平方
假分数
(3)对于不易求出平方根的正数a,其平方根为_____,它
的大小可以用计算器直接得出.?
知识点二 平方根的性质及其应用(P45“思考”拓展)
【典例2】若a-4与2a+1是同一个正数的平方根,求a的值及这个正数.
【规范解答】
∵a-4与2a+1是同一个正数的平方根,
∴a-4+2a+1=0或a-4=2a+1,
…………依据平方根的性质列出方程
∴解得:a=1或a=-5. …………求出方程的解
当a=1时,这个正数为:(a-4)2=(1-4)2=(-3)2=9,
…………平方根的平方为被开方数
当a=-5时,这个正数为:(a-4)2=(-5-4)2=(-9)2=81.
…………平方根的平方为被开方数
综上所述,当a=1时,这个正数是9,当a=-5时,这个正数是81.
【学霸提醒】
平方与开平方运算的区别
(1)已知被开方数求其平方根,是开平方运算.
(2)已知平方根求其被开方数,是平方运算.
(3)平方与开平方互为逆运算.
【题组训练】
1.(2019·北京海淀区月考)下列各数13,π,0,-4,
(-3)2,-32,-|-3|,-(-3),3.14-π中有平方根的数的
个数为 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
D
★2.已知a,b是正数m的两个平方根且3a+2b=2,求a,b及m的值.
解:因为a,b是正数m的两个平方根,所以a=-b,
把a=-b代入3a+2b=2得:-3b+2b=2,
解得:b=-2,所以a=2,所以m=22=4.
★★3.(2019·福州仓山区期中)已知一个正数的两个不同的平方根是a+6与2a-9.求关于x的方程ax2-16=0的解.
解:由题意得,a+6+2a-9=0,
解得:a=1,
则方程化为x2-16=0,所以x2=16,x=±4,
所以方程的解为±4.
【火眼金睛】
的平方根是________.?
正解: =3,3的平方根为± ,
所以 的平方根是± .
答案:±
【一题多变】
已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
略
【母题变式】
【变式一】(变换条件)若m是49的正的平方根,n是81的
负的平方根,则(m+n)2的平方根是____.?
±2
【变式二】(变换条件和问法)已知x是4的平方根,
=7,求当x>0时,2x+y的值.
解:因为x是4的平方根且x>0,所以x=2.
因为 =7,所以y=49,
所以2x+y=4+49=53.
(共33张PPT)
6.2 立 方 根
【知识再现】
计算:23=______,0.23=__________,33=_______,
=______.?
8
0.008
27
【新知预习】阅读教材P49-P50,填写下面表格:
立方
三次方根
x
a
三次根号a
立
方
根 定义 如果一个数的_____等于a,那么这个数叫做
a的立方根或_________.?
这就是说,如果x3=a,那么__叫做__的立方
根.?
表示与读法 数a的立方根用符号_____表示,?
读作:______________.?
正数
负
数
0
互为相反
数
立
方
根 性质 正数的立方根是_____,负数的立方根是___
___,?
0的立方根是______.?
互为相反数的两个数的立方根也_________
___,?
即: =-_____?
立方根
逆运算
a
开
立
方 定义 求一个数的_______的运算叫做开立方.?
立方与开立方 互为_______.?
一个数先开立方再立方和先立方再开立方,
结果相等,仍得原数.即: =__.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·大庆中考)有理数-8的立方根为 ( )
A.-2 B.2
C.±2 D.±4
A
2.(2019·雷州市一模)平方根和立方根都是本身的数
是 ( )
A.0 B.1
C.±1 D.0和±1
A
3.计算: =______, =______.?
5
5
4.根据表中所给信息,完成表格:
±1
±8
1
8
1
4
被开方数 1 2 64
平方根 ____ ______ ____
算术
平方根 __ ______ __
立方根 __ ______ __
知识点一 立方根的定义、性质及其求法(P50例拓展)
【典例1】求下列各式的值:
【自主解答】略
【学霸提醒】
求一个数的立方根的方法
(1)定义法:求一个数a的立方根通常先找出立方等于a的数,再写出a的立方根.
(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数的立方根.
【题组训练】
1.求下列各式的值:
解:(1)
★2.若 与 互为相反数,求2x-3y的值.
解:∵ 与 互为相反数,
∴ + =0,
∴1-2x+3y-2=0,
∴2x-3y=-1.
★★3.已知|a|=4, =2,ab<0,求 的值.
略
知识点二 立方根的应用(P52习题T7拓展)
【典例2】请根据如图所示的对话内容回答下列问题.
(1)求该魔方的棱长.
(2)求该长方体纸盒的表面积.
【尝试解答】
(1)设魔方的棱长为x cm, …………设未知数
由题意可得方程:__________,…………列出方程?
解得:x=______. …………求得方程的解?
所以该魔方的棱长为_________.…………得到答案?
x3=216
6
6 cm
(2)设该长方体纸盒的长为y cm, ……设未知数
由题意可得方程:___________, ……列出方程?
解得:y=_______. …………求得方程的解?
表面积为:___________________________(cm2),?
………………列式求出表面积
6y2=600
10
10×10×2+10×6×4=440
所以该长方体纸盒的表面积为________ cm2.?
…………得到答案
440
【学霸提醒】
应用立方根解决与体积有关的实际问题的一般思路
(1)把实际问题抽象成数学问题.
(2)根据题意列出方程,利用平方根和立方根的定义求出方程的解,从而得到答案.
【题组训练】
1.(2019·成都锦江区期中)一个正方体,它的体积是
棱长为2 cm的正方体的体积的8倍,则这个正方体的棱
长是______cm.?
4
★2.(2019·宁波奉化区期中)将一个体积为64 cm3的立方体木块锯成8个同样大小的小立方体木块,求每个小立方体木块的表面积.
解: 64÷8=8(cm3), =2(cm),
所以小立方体木块的棱长为2 cm.
6×22=24(cm2).
答:每个小立方体木块的表面积是24 cm2.
【火眼金睛】
求 的立方根.
正解: =27,
=3,
所以 的立方根是3.
【一题多变】
(2019·丹江口市期中)已知a= 是x+y+3的算
术平方根,b= 是x+2y的立方根,试求a-2b的
立方根.
略
【母题变式】
(变换条件和问法)已知2a-1的算术平方根是5,a+b-2的平方根是±3,c+1是-8的立方根,求a+b+c的值.
解:∵2a-1的算术平方根是5,
∴2a-1=25,
∴a=13,
∵a+b-2的平方根是±3,
∴a+b-2=9,
∴b=-2,
又∵c+1是-8的立方根,
∴c+1=-2,
∴c=-3,
∴a+b+c=13-2-3=8.
(共29张PPT)
6.3 实 数
第1课时
【知识再现】
_____和_____统称为有理数,整数包括_______、_____
___和__;有理数按定义分,可分为_____和_____;按符号
分可分为_________,_________和__.?
整数
分数
正整数
负整
数
0
整数
分数
正有理数
负有理数
0
【新知预习】阅读教材P53-P55,填写下面表格:
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.任意写出两个负的无理数:__________________.?
2.- 的相反数是_____,?
- 的绝对值是_____,?
如果|x|= ,那么x=_____.?
3.(2019 ·合肥瑶海区期中) 的相反数是 ___.?
4.(2019·陕西中考)已知实数- ,0.16, ,π,
, ,其中为无理数的是_____________.?
-7
知识点一 无理数的判定及实数的分类(P57习题T2拓展)
【典例1】(2019·无锡惠山区月考)把下列各数填入相
应括号里:
- ,|-8.2|,-(+7),0,+(-0.3),102,- ,
2.101 001 000 1…….
正数集合:{ _______________________________}?
分数集合:{____________________}?
非负整数集合:{__________}?
无理数集合:{______________________}?
|-8.2|,102,2.101 001 000 1……
0,102
【学霸提醒】
1.无理数的“三种表现形式”
(1)开方开不尽的数,如 等.
(2)具有特定意义的数,如π等.
(3)具有特殊结构的数,如5.252 252 225…(两个5之间
依次多一个2)等.
2.对无理数的“四种错误认识”
(1)带根号的数都是无理数.
(2)无理数是开方开不尽的数.
(3)分数是无理数.
(4)无限小数是无理数.
【题组训练】
1.(2019·抚顺县期中)有下列说法:①- 是有理数;
② 是分数;③2.181 181 118…是无理数;④π是无
理数.其中,正确的说法有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
2.把下列各实数填在相应的大括号内.
整数:{__________…}?
分数:{____________________…}?
无理数:{__________…}?
★3.写出一个同时符合下列条件的数:______________.?
(1)它是一个无理数.(2)在数轴上表示它的点在原点的
左侧.(3)它的绝对值比2小.
知识点二 实数的性质及其应用(P55例1拓展)
【典例2】(1)- 的相反数是______,倒数是_____,
绝对值是______.?
(2)2- 的相反数是_______,绝对值是_______.?
2
2
(3)数轴上与原点相距 个单位长度的点是______,
的相反数是______,绝对值是_____.?
【题组训练】
1.若|a|=-a,则在下列选项中a不可能是 ( )
A.-2 B.- C.0 D.
D
★2.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的倒数等于它
本身,求 +(a+b)m-m的立方根.
略
★★3.已知A= 是3x-7的立方根,而B=
是A的相反数,求x2-y的立方根.
解:由题意得
即x2-y的立方根是3.
【我要做学霸】
实数的有关性质
(1)相反数:a与b互为相反数?a+b=__.?
(2)绝对值:正数的绝对值是_______,负数的绝对值是它
的_______,0的绝对值是0.即|a|=?
|a|≥0.
0
它本身
相反数
(3)倒数:如果a表示一个非零实数, 那么a与____
(a≠0)互为倒数.?
【火眼金睛】
下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
0.121 221 222……(两个1之间比前面依次多一个2).
正解:有理数有:
无理数有:
0.121 221 222……
【一题多变】
已知|x|= y是3的平方根,且|y-x|=x-y,求x+y的值.
略
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)已知5x+19的算术平方根
是8,且y=2-| -1|,求3x-2y的平方根.
略
【变式二】(变换条件和问法)已知︱x-1︱= ,求实
数x的值.
解:∵|x-1|= ,∴x-1=± ,
解得:x= +1或x=- +1,
∴x的值为 +1或- +1.
(共33张PPT)
6.3 实 数
第2课时
【知识再现】
(1)计算: =______, =______.
=________,?
(2)去绝对值: | |=________
5
1.2
【新知预习】阅读教材P55-P56,填写下面表格:
0
非负数
实数
b+a
a+(b+c)
ba
a(bc)
ab+ac
实数的运算 运算中的规定 除法运算中,除数不为__,?
_______可以进行开平方运算,?
任意一个_____都可以进行开立方运算.?
运算律 加法交换律:a+b=____
加法结合律:(a+b)+c=________
乘法交换律:ab=___
乘法结合律:(ab)c= ______
乘法对加法的分配律:a(b+c)=______
乘方和开方
乘除
加
减
括号里面
精确度
有限
小数
实数的运算 运算顺序 先算___________,再算_____,最后算___
___,有括号的先算_________的.?
运算结果 在实数的运算中,当需要结果的近似值时,
可按照要求的_______用相应的近似_____
_____进行计算.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列实数中,在2和3之间的是 ( )
A.π B.π-2
C. D.
C
2.比 大的最小整数是______.?
2
3.计算:
略
知识点一 实数的运算(P56例2拓展)
【典例1】(2019·广州番禺区期中)计算:
【规范解答】(1)
=-2+ -0.5
=-1 ………………先开方,再加减
(2)
=-1+3+ -1-
=1 …………先算乘方和开方并去绝对值,最后加减
【学霸提醒】
实数的运算
1.实数的运算要注意按照一定的顺序进行.
2.实数的运算要看清运算的符号.
【题组训练】
1.计算:
解:
★2.实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图所示,|a|
=2,b是16的一个平方根,求代数式|a+b|-
的值.
略
★3.在图中填上恰当的数,使每一行,每一列,每一条对角线上的3个数的和都是0.
知识点二 无理数的估算与近似计算(P56例3拓展)
【典例2】计算:
(1) ( ≈1.414,结果保留2位小数)
(2)2× -π( ≈1.732, ≈2.236,π取3.14,
结果精确到百分位)
【规范解答】(1)
= -0.2-2
≈1.414-0.2-2
≈-0.79 …………先开方,再加减
(2)2× -π
≈2×1.732+1.118-3.14
=3.464+1.118-3.14
=1.442
≈1.44 …………先乘除,再加减
【学霸提醒】
1.涉及无理数的近似运算时,可以先用计算器求出无理
数的近似值,把无理数用近似的有限小数代替,然后再
进行近似计算,可熟记几个无理数的近似值,如 ≈
1.414, ≈1.732, ≈2.236,π≈3.14等.
2.实数运算中遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,参与运算的无理数的近似值要比结果要求的精确度多取一位小数.计算的最后结果四舍五入到所要求的精确度.
【题组训练】
1.(2019·潍坊中考)利用计算器依次按下键:
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是
( )
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
B
★2.计算: (参考数据: ≈
1.732,结果精确到0.01)
解:原式= +7+3- ≈0.577+10-0.222
=10.355≈10.36.
★★3.分别写出所有适合下列条件的数.世纪金榜导学
号
(1)小于 的正整数.
(2)- 和 之间的整数.
(3)写出大于3小于4的一个无理数.
略
【火眼金睛】
在数轴上与表示 的点距离最近的整数为______.?
正解: 但 更靠近 所以在数轴
上与表示 的点距离最近的整数为3.
答案:3
【一题多变】
6- 的整数部分是a,小数部分是b,求a-b的值.
略
【母题变式】
(变换条件)已知10+ =x+y,其中x是10+ 的整数
部分,且0略
(共15张PPT)
单元复习课
第六章 实 数
考点1 算术平方根、平方根、立方根(考查方式:求一个数的算术平方根、平方根或立方根)
【教材这样教】(P46例5)
求下列各式的值:
解:(1)因为62=36,所以 =6.
(2)因为0.92=0.81,所以- =-0.9.
(3)因为 所以±
【中考这样考】
(2018·杭州中考)下列计算正确的是 ( )
A
【专家这样说】
1.牢记一个数a的平方根的符号为“± ”,算术平方
根的符号为“ ”,立方根的符号为“ ”.
2.对于开平方计算,应牢记 =|a|,对于开立方计算,
应牢记 =a.
考点2 无理数的估算(考查方式:估计一个无理数在哪两个整数之间)
【教材这样教】(P47习题6.1第6题)
估计与 最接近的两个整数是多少.
解:由36<40<49,得6< <7,所以与 最接近的两
个整数是6,7.
【中考这样考】
1.(2019·南京中考)下列整数中,与10- 最接近的
是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
2.(2019·天津中考)估计 的值在 ( )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
D
【专家这样说】
对于无理数的估算,关键是找到两个与被开方数相邻的完全平方数,也可以用计算器求出无理数的近似值,从而确定它在哪两个整数之间或更接近哪一个整数.
