《锐角三角函数》教学设计
教材分析
锐角三角函数是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第一章第一节内容，本章主要研究直角三角形的边角关系；本节要求经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。；所以本节的重点是理解tanA的数学含义和公式。
教学目标
【知识与能力目标】
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
【过程与方法目标】
1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
【情感态度价值观目标】
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
教学重难点
【教学重点】
理解tanA的数学含义和公式。
【教学难点】
现实情境中理解tanA的数学含义，以及公式的应用。
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备；
练习本；
教学过程
第一课时
创设情境 引入课题
[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题
在活动1中教师应重点关注:
(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。
(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。
通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备。
梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？
“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?
教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。
定义 在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
从而引出正切的定义
利用这个梯子模型引入，可以帮助学生直观理解正切的概念。同时，通过学生主动的活动，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，从中感受到数学的力量，促使学生乐于学习。
让学生在讨论过程中学会与他人交流，养成良好的学习品质。
[活动3]判断对错:图1， (1) tanA=BC/AC （ ）
tanA=AC/BC （ ）
图1
图2， tanA=0.7m ( ) tanA=0.7 ( )
图2
注意：
1.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。
2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比。
3.tanA不表示“tan”乘以“A”。
4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切。
5．tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
通过这组练习，既复习了正切的定义，又以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维，同时为以后学习三角函数埋下了伏笔。
板书设计：
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)
1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.
2.正切的定义：在Rt△ABC中，锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.
注：(1)tanA的值越大.梯子越陡. (2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.（3）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。
3.例题讲解(略)
4.随堂练习
5.课时小结
第二课时
Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课
[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切。
现在我们提出两个问题：
[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?
[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?
Ⅱ.讲授新课
1.正弦、余弦及三角函数的定义
多媒体演示如下内容：
想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1
和直角三角形AB2C2有
什么关系?
(2) 有什么
关系? 呢?
(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?
请同学们讨论后回答。
[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，
∴A1C1//A2C2。
∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2。
(相似三角形对应边成比例)。
由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B上的位置，上述
结论仍成立。
由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角
的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大
小无关。
[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比
值，邻边与斜边的比值随之改变。
[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?
[生]函数关系。
[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即
sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即
cosA=
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数 (trigonometric fun_ction)。
[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢?
[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°
2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系
[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?
[生]如图所示，AB＝A1B1，
在Rt△ABC中，sinA=，在
Rt△A1B1C中，sinA1=。
∵ ＜,
即sinA 所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度。
[生]同样道理cosA= cosA1＝,
∵AB=A1B1 ＞ 即cosA>cosA1，
所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡。
[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切。
3.例题讲解
多媒体演示。
[例1]如图，在Rt△ABC
中，∠B=90°，AC＝
200.sinA＝0.6，求BC
的长。
分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA＝0.6，＝0.6。
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200。
sinA＝0.6，即=0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120。
思考：(1)cosA＝?
(2)sinC＝？ cosC＝?
(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?
解：根据勾股定理，得
AB＝=160。
在Rt△ABC中，CB＝90°。
cosA＝＝0.8，
sinC= =0.8，
cosC＝ ＝0.6，
由上面的计算可知
sinA＝cosC＝O.6，
cosA＝sinC＝0.8。
因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”。
[例2]做一做：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达。
分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA，cos
(90°-A)=sinA。
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝,
∴AB=,
sinB＝
根据勾股定理，得
BC2＝AB2-AC2＝()2-102=
∴BC＝。
∴cosB＝,
sinA＝
可以得出同例1一样的结论。
∵∠A+∠B=90°，
∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；
cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A)。
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB。
分析：要求sinB，cosB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形.根据等腰三角形“三
线合一”的性质，可过A作AD⊥BC，D为垂足。
解：过A作AD⊥BC，D为垂足。
∴AB=AC，∴BD=DC=BC=3。
在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，
∴AD＝4。
sinB＝ cosB＝,
tanB=。
2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积。
解：sinA= ，∵sinA=，BC＝20，
∴AB＝＝＝25。
在Rt△BC中，AC＝=15，
∴ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，
△ABC的面积：AC×BC=×15×20＝150。
3.(2003年陕西)(补充练习)
在△ABC中.∠C=90°，若tanA=，
则sinA= 。
解：如图，tanA==。
设BC=x，AC=2x，根据勾股定理，得
AB=。
∴sinA=。
Ⅳ.课时小结
本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题。
Ⅴ.课后作业
习题1、2第1、2、3、4题
Ⅵ.活动与探究
已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB＝，cosB= 。
[结果]在Rt△ABC中，cosB＝
又∵CD⊥AB。
∴在Rt△CDB中，cosB＝
∴=BC2＝AB·BD。
板书设计
§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)
1.正弦、余弦的定义在Kt△ABC中，如果锐角A确定。
sinA＝
cosA＝
2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?
sinA的值越大，梯子越陡
cosA的值越小，梯子越陡
3.例题讲解
4.随堂练习
课件41张PPT。生活中的梯子北京师范大学出版社 九年级 | 下册 你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？北京师范大学出版社 九年级 | 下册 新知探究 实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？北京师范大学出版社 九年级 | 下册 新知探究实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？梯子的垂直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡。你能设法验证这个结论吗？北京师范大学出版社 九年级 | 下册 新知探究 如图，小明想通过测量 及 ，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 及 ，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册 AB1 C1 C2B2(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 和 有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?北京师范大学出版社 九年级 | 下册 新知探究C2B2(1)Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有什么关系?
(2) 与 有什么关系？北京师范大学出版社 九年级 | 下册 ??新知探究C2B2∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 新知探究 在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的。北京师范大学出版社 九年级 | 下册 新知探究 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做∠A的正切.（1） tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）。
（2）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。
注意：北京师范大学出版社 九年级 | 下册 (3) tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tanA﹥0，无单位。(4) tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。北京师范大学出版社 九年级 | 下册 议一议：
梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？ tanB的值越大，梯子越陡，∠B越大；北京师范大学出版社 九年级 | 下册 例１ 如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？乙 甲 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 解：
乙梯中： 因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 ??甲梯中： 例2 在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA 和tanB的值.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 . 解：在△ABC中，∠C＝90°，所以
AC = =16cm北京师范大学出版社 九年级 | 下册 ? 正切通常也用来描述山坡的坡度.（坡度：铅直高度与水平宽度的比，也称为坡比）
ABC50m60mtanA=北京师范大学出版社 九年级 | 下册 1、如图，判断对错:(1) tanA= （ ）(2) tanB= （ ）
错错北京师范大学出版社 九年级 | 下册 (４) tanB = （ ） (３) tanA = 0.7m （ ）错对北京师范大学出版社 九年级 | 下册 2、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ）
A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变 D、不能确定C北京师范大学出版社 九年级 | 下册 3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出tanC吗？北京师范大学出版社 九年级 | 下册 4. 在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB。131310D512北京师范大学出版社 九年级 | 下册 5. 如图∠C=90°CD⊥AB，
CDBDACBCADCD北京师范大学出版社 九年级 | 下册 1、正切的定义。
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。（∠A和tanA之间的关系）。3、数形结合的方法；构造直角三角形的意识。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册 锐角三角函数--正切函数 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 总 结 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗? 在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 正弦与余弦 在Rt△ABC中,锐角A对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 在Rt△ABC中,锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即 锐角A的正弦,余弦,正切和都是做∠A的三角函数.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 结论:
梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关，sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 例2 如图:在Rt△ABC,∠B=900,AC=200,sinA=0.6。求:BC的长。解:在Rt△ABC中, 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 1. sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2. sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3. sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
4. sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5. 角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 注 意
注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内在的关系?北京师范大学出版社 九年级 | 下册 1.锐角三角函数定义:北京师范大学出版社 九年级 | 下册 1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 =7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.8.在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(2)BC=3,sinA= ,求AC和AB.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 10.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15 , sinA= ,求AC和BC.11.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.2. 在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.
求:CD、sinC.3. 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.4. 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?北京师范大学出版社 九年级 | 下册 12. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA, 和sinB,cosB,tanB,.
(2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB.
(3)AC=4,cosA=0.8,求BC.13.在梯形ABCD,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
求:sinB,cosB,tanB.北京师范大学出版社 九年级 | 下册