北京市朝阳区2018-2019学年第一学期期末质量检测高二年级数学试卷（Word版）

北京市朝阳区2018 ~ 2019学年度第一学期期末质量检测
高二年级数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．若a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是（　　）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．
2．抛物线y2＝4x的准线方程为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则{an}的前5项和是（　　）
A．2 B．8 C．15 D．31
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB1与BC1所成的角的大小是（　　）


A．30° B．60° C．45° D．90°
5．“m＞0，n＞0，且m≠n”是“方程表示的曲线为椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4．则点E到平面ABC的距离为（　　）

A． B． C． D．2
7．已知数列{an}满足．若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（2，3） C．[2，3） D．（1，3）
8．已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　）
A．4+2 B．1 C． D．
9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，．①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a1，a2，a3，…，an．则a1a2+a2a3+…+an﹣1an＝（　　）
A．n2 B．（n﹣1）2 C．n（n﹣1） D．n（n+1）
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.
11．设命题p：?x＞0，x＞lnx．则￢p为　 　．
12．双曲线的渐近线方程为　 　．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1＝﹣5，an+1＝an+2，n∈N*，那么S1，S2，S3，S4中最小的为　 　．
14．若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为　 　．
15．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和（n∈N*），那么a2的值为　 　，数列{an}的通项公式为　 　．
16．已知O是坐标原点，M，N是抛物线y＝x2上不同于O的两点，OM⊥ON，
有下列四个结论：
①|OM|?|ON|≥2；
②；
③直线MN过抛物线y＝x2的焦点；
④O到直线MN的距离小于等于1．
其中，所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．
（ⅰ）若点F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，求证：EF∥平面ABCD；
（ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．

18．已知函数f（x）＝ax2+ax﹣1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）对于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＜0的解集．
19．（18分）已知椭圆C：1（a＞b＞0），其右焦点为F（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l，与椭圆C交于P，Q两点．
（ⅰ）当时，求△OPQ（O为坐标原点）的面积；
（ⅱ）随着α的变化，试猜想|PQ|的取值范围，并证明你的猜想．
20．已知数列{an}的首项为1，若对任意的n∈N*，数列{an}满足an+1﹣3an＜2，则称数列{an}具有性质L．
（Ⅰ）判断下面两个数列是否具有性质L：
①1，3，5，7，9，…；
②1，4，16，64，256，…；
（Ⅱ）若{an}是等差数列且具有性质L，其前n项和Sn满足Sn＜2n2+2n（n∈N*），求数列{an}的公差d的取值范围；
（Ⅲ）若{an}是公比为正整数的等比数列且具有性质L，设bn＝an（n∈N*），且数列{bn}不具有性质L，求数列{an}的通项公式．



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．A
2．D
3．D
4．B
5．C
6．C
7．B
8．D
9．C
10．B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.
11．?x0＞0，x0≤lnx0
12． y＝±x．
13． S3．
14． ．
15． 3，an．
16．①②④．
三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．证明：（Ⅰ）∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）（ⅰ）PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．
点F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，
∴EF∥AD，
∵EF?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
解：（ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD，
PA＝AD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1．
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AD＝3，则A（0，0，0），C（3，3，0），E（0，2，1）．
（3，3，0），（0，2，1），
设平面ACE的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，2），
平面ADC的法向量（0，0，1），
设二面角D﹣AC﹣E的平面角为α，
则cosα．
∴二面角D﹣AC﹣E的余弦值为．

18．（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝x2+x﹣1＞0，
解得x或x．
∴f（x）＞0的解集为{x|x或x}．
（Ⅱ）∵f（x）＝ax2+ax﹣1（a∈R）．
对于任意x∈R，不等式f（x）＜0恒成立，
∴a＝0或，
解得﹣4＜a≤0，
∴a的取值范围是（﹣2，0]．
（Ⅲ）（i）a＝0时，f（x）＝﹣1＜0，
不等式的解集是R，
（ii）a＞0时，f（x）＝ax2+ax﹣1，
△＝a2+4a＞0，令f′（x）＝0，
解得：x，
故f（x）＜0的解集是：（，），
（iii）a＜0时，△＝a2+4a，
①a＜﹣4时，△＞0，
令f（x）＝0，解得：x，
故f（x）＜0的解集是：（﹣∞，）∪（，+∞），
②a＝﹣4时，△＝0，f（x）＜0的解集是{x|x}，
③﹣4＜a＜0时，△＜0，
f（x）＜0的解集是R．
19．（Ⅰ）由题意可的c＝1，
又，则a＝2，
则b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆方程为1，
（Ⅱ）（i）设直线l的方程为xy+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组，消x可得5y2+2y﹣9＝0，
∴y1+y2，y1y2，
则|y1﹣y2|
∴S△OPQ|OF|?|y1﹣y2|1，
（ii）当α时，设直线l的方程为x＝my+1，则tanα，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组，消x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0
∴y1+y2，y1y2，
∴|PQ|???，
设m2+1＝t，t＞1，
∴|PQ|，
∵t＞1，
∴∈（0，1），
∴∈（3，4），
∴|PQ|∈（3，4），
当m＝0时，此时α，此时直线方程为x＝1，
则1，解得y＝±，
∴|PQ|＝3，
综上所述随着α的变化，|PQ|的取值范围为[3，4）．
20．（Ⅰ）①1，3，5，7，9，…具有性质L．
理由如下：
对于数列1，3，5，7，9，…，其通项公式为an＝2n﹣1，n∈N*，
an+1﹣3an＝2n+1﹣3（2n﹣1）＝4﹣4n＜2，
∴1，3，5，7，9，…具有性质L．
②1，4，16，64，256，…不具有性质L．
理由如下：
对于数列1，4，16，64，256，…，
∵a3﹣3a2＝16﹣3×4＝4＞2，
∴1，4，16，64，256，…不具有性质L．
（Ⅱ）∵等差数列{an}具有性质L，∴an+1﹣3an＜2，
即1+nd﹣3[1+（n﹣1）d]＜2对n∈N*均成立，
∴（3﹣2n）d＜4对n∈N*均成立，当n＝1时，d＜4，
当n≥2时，d恒成立，
而0，（n≥2，n∈N*），∴d≥0，∴0≤d＜4，
∵a1＝1，得，∴由题意n2n2+2n对n∈N*均成立，
∴当n＝1时，d∈R，当n≥2时，d怛成立，
∵4，∴d≤4．
∵，（n≥2，n∈N*），∴d≥0．∴0≤d＜4，
综上，0≤d＜4．
∴数列{an}的公差d的取值范围是[0，4）．
（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则qn﹣1，
∵公比为正整数的等比数列{an}具有性质L，
∴qn﹣3qn﹣1＜2，∴（q﹣3）qn﹣1＜2，∴q﹣3≤0，
若不然，q≥4，此时，（q﹣3）qn﹣1≥4n﹣1，不满足条件，
∵q是正整数，∴q＝1，2，3，
∵{bn}不具有性质L，∴存在正整数m，使得bm+1﹣3bm≥2，
∴2，（）2，
∴，∴q，
∵q∈{1，2，3}．∴q＝3，
当q＝3时，，满足an+1﹣3an＜2．
∴数列{an}的通项公式为．