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选修2-3 离散型随机变量及其分布列
专项训练测试题原卷版
选择题
1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq \f(CC,C)的是
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
2．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
3．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不少于9环为优秀，其射击一次的优秀率为
A．30% B．40% C．60% D．70%
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a，k＝1，2，3，则a的值为
A．1 B. C. D.
5．设随机变量Y的分布列为
Y －1 2 3
P m
则“≤Y≤”的概率为
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分)
6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
三、解答题(共25分)
8．(12分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
9.(13分)(2019·日照一模)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知ξ＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的概率分布列．
10．随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a a2
则P(|X|＝1)等于
A. B. C. D.
11．已知随机变量X的概率分布列如下表：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X＝10)＝
A. B. C. D.
12．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
13．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－a，其中x114．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：
年龄/岁 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
(1)若从年龄在[15，25)和[25，35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
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选修2-3 离散型随机变量及其分布列
专项训练测试题解析版
1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq \f(CC,C)的是
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析 X服从超几何分布，P(X＝k)＝eq \f(CC,C)，故k＝4，故选C.
答案 C
2．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
解析 由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]．
答案 C
3．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不少于9环为优秀，其射击一次的优秀率为
A．30% B．40% C．60% D．70%
解析 由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%，故选B.
答案 B
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a，k＝1，2，3，则a的值为
A．1 B. C. D.
解析 因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(k＝1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×＋a＋a＝1，
所以a＝a×＝1.所以a＝.
答案 D
5．设随机变量Y的分布列为
Y －1 2 3
P m
则“≤Y≤”的概率为
A. B. C. D.
解析 依题意知，＋m＋＝1，则m＝，
故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.
答案 C
填空题
6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．
解析 抛掷2颗骰子有36个基本事件，
其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
答案
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析 X＝－1，甲抢到1题但答错了；X＝0时，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答题1对1错；X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案 －1，0，1，2，3
8．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq \f(C·C＋C·C,C)＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝eq \f(C·C,C)(k＝0，1，2，3)．
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
9.有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知ξ＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的概率分布列．
解析 (1)因为当X＝2时，有C种坐法，
所以C＝6，即＝6，
n2－n－12＝0，n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝eq \f(1,A)＝，
P(X＝2)＝eq \f(C×1,A)＝＝，
P(X＝3)＝eq \f(C×2,A)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的概率分布列为
X 0 2 3 4
P
10．随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a a2
则P(|X|＝1)等于
A. B. C. D.
解析 由题意a2＋a＋＝1，∴＝1，∴a＝或a＝－(舍)，
∴P(|x|＝1)＝a＋a2＝＋＝.
答案 D
11．已知随机变量X的概率分布列如下表：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X＝10)＝
A. B. C. D.
解析 由离散型随机变量分布列的性质可知＋＋＋…＋＋m＝1，∴m＝1－＝1－2·＝＝，∴P(X＝10)＝.
答案 C
12．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析 由已知得p1＝p2－d，p3＝p2＋d，由分布列性质知
(p2－d)＋p2＋(p2＋d)＝1，得p2＝，
又得－≤d≤.
答案
13．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－a，其中x1解析 ∵P(X≤x2)＝1－β，∴P(X>x2)＝β.
∵P(X≥x1)＝1－a，∴P(X∴P(x1≤X≤x2)＝1－P(Xx2)＝1－α－β.
答案 1－α－β
14．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：
年龄/岁 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
(1)若从年龄在[15，25)和[25，35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解析 (1)由表知，年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为
P＝eq \f(C,C)·eq \f(C·C,C)＋eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＝×＋×＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＝×＝，
P(ξ＝1)＝eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＋eq \f(C,C)·eq \f(C·C,C)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＝×＝，
所以ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P
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