5.7 圆周运动在实际生活中的应用 （导学案）

圆周运动在实际生活中的应用


知识点一、铁路的弯道
1．火车转弯时的运动特点．
火车转弯时做的是________运动，因而具有向心加速度，需要________．
2．向心力的来源．
转弯处________略高于________，适当选择内外轨的高度差，可使转弯时所需的向心力几乎完全由________与________的合力来提供．
问题探究：火车转弯时，车速为什么有限制？
(1)火车车轮的结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构的特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹．(如图所示)
(2)火车转弯时，如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，如图所示，但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损．
甲 乙 丙
(3)火车转弯时，如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压．在修筑铁路时，要根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供(如图所示)．
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0，由上页图所示力的合成得向心力为F合＝mgtan θ≈mgsin θ＝mg(θ较小时，sin θ≈tan θ)，
由牛顿第二定律得：F合＝m，
所以mg＝m，即火车转弯的规定速度v0＝ .
由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值．

名师提示：
(1)当火车行驶速率v＝v0时，火车对内外轨均无侧向压力．
(2)当火车行驶速率v>v0时，外轨道对轮缘有侧向压力．
(3)当火车行驶速率v同理，高速公路、赛车的弯道处也是外高内低，使重力和支持力的合力提供车辆转弯时所需要的向心力，减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏．
【针对训练】
1．若火车按规定的速率转弯时，内外轨对车轮皆无压力．当火车以小于规定速率转弯时(　　)
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内外轨对车轮都有侧压力
D．内外轨对车轮都无侧压力
答案：A
2．[多选](2016·吉林高一检测)在水平铁路轨道转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了(　　)
A．减小火车轮缘对外轨的挤压
B．减小火车轮缘对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力
D．限制火车向外脱轨
解析：选ABC　

知识点二、拱形桥
汽车以速度v过半径R的凸形(或凹形)桥时受力如图所示，在最高点(或最低点)处，由________和________的合力提供向心力．
1．在凸形桥的最高点，________＝，
FN＝________，速度越大，FN越小，当v＝________时，FN＝0.
2．在凹形桥(路面)最低点，________＝，FN＝________，速度越大，FN越大．

问题探究：怎样解决拱形桥问题？
1．汽车过拱桥：若汽车过拱桥顶时向心力完全由重力提供(支持力为零)，则据向心力公式Fn＝mg＝m得，v＝(R为圆周半径)，故汽车是否受拱桥顶作用力的临界条件为：v临＝，此时汽车与拱桥顶无作用力．
(1)当v(2)当v≥v临时，mg≤m，车不受桥顶的支持力，车将做离心运动(做平抛运动)．
(3)当v＝0时，车静止在桥顶上，桥对汽车的支持力FN＝mg.
2．汽车过凹桥：当汽车过凹桥最低点时，汽车的支持力和重力的合力提供向心力，则：FN－mg＝m，FN＝mg＋m，支持力一定大于重力mg.
3.汽车对桥的压力的区别如下表所示：
内容项目　　 凸形桥 凹形桥
受力分析图
以a方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程 mg－FN1＝ma?
FN1＝mg－ma FN2－mg＝ma
FN2＝mg＋ma
牛顿第三定律 FN1′＝FN1＝mg－ma FN2′＝FN2＝mg＋ma
讨论 v增大，FN1′减小，当v增大到时，FN1′＝0 v增大，FN2′增大，只要v≠0，mg名师提示：汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害大，但在凸形桥上，最高点速率不能越过.在半径为r的半圆柱面最高点，汽车以v>的速率行驶将不再落到桥面上．
【针对训练】
3.一辆卡车在丘陵地带匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，爆胎可能性最大的地段应是(　　)
A．a处　　B．b处　　C．c处　　D．d处

答案：D
?在凹形路面处支持力大于重力，且FN－mg＝m，因v不变，R越小，FN越大，故在d处爆胎可能性最大．

?
4.如图所示，一辆质量为500 kg的汽车静止在一座半径为40 m的圆弧形拱桥顶部(g＝10 m/s2)，求：

(1)此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大；
(2)如果汽车以10 m/s的速度经过拱桥的顶部，则汽车对圆弧形拱桥的压力是多大；
(3)汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零。
[解析]　(1)汽车静止在桥顶时，受重力mg和拱桥的支持力F的作用，由二力平衡可知F＝mg＝5 000 N
由牛顿第三定律可知，汽车对拱桥的压力
F′＝F＝5 000 N
(2)汽车以v＝10 m/s的速度过桥顶时，受重力mg和拱桥的支持力F1的作用，二力合力提供向心力，
即mg－F1＝m
解得F1＝mg－m＝3 750 N
由牛顿第三定律可知，汽车对拱桥的压力
F′1＝F1＝3 750 N
(3)当汽车对桥面的压力为零时，重力提供向心力，
mg＝m
解得v′＝＝20 m/s

知识点三、航天器中的失重现象
1．航天器中物体的向心力．
向心力由物体的重力G和航天器的支持力FN提供，即________＝.
2．当航天器做________运动时，FN＝0，此时航天器及其内部物体均处于________状态．

知识点四、离心运动

1.做圆周运动的物体，在所受的合外力________或合外力________提供物体做圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
2.问题探究：如何解释离心现象？
（1）向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动．此时，F＝mω2r.

（2）如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图所示．这时，F（3）如果向心力突然消失(例如小球转动时绳子突然断开)，则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向(即切线方向)按此时的速度大小飞出，这时F＝0.

【针对训练】
5．关于离心运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然消失或变小时将做离心运动
解析：选D　
6.如图所示，光滑的水平面上．小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)

A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
答案：A

知识点五、竖直平面内圆周运动的临界问题





图5—2甲 图5—2乙 图5—3甲 图5—3乙

1． 如图5—2甲、乙 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况：
临界条件
能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________

2． 如图5—3甲、乙所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。
eq \o\ac(○,1)能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力
当0当v=时，杆对小球
当v>时，杆对小球的力为 其大小为____________

【针对训练】
7.如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F(?? )

A．一定是拉力 B．一定是推力
C．一定定于0 D．可能是拉力，可能是推力，可能等于0
答案：D
8．[多选](2016·泰安高一检测)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(　　)

A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析：选CD　

题型一、生活中的转弯问题
例1、如图所示，某游乐场里的赛车场地为圆形水平面，半径为100 m，一赛车和选手的总质量为100 kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为600 N.

(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧移？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？
解析：(1)赛车在水平场地转弯时，静摩擦力提供其转弯所需的向心力．当v＝72 km/h＝20 m/s时所需的向心力F＝＝400 N<600 N，
可见静摩擦力可以提供圆周运动所需向心力，故车不会侧移．
(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周运动的向心力由重力mg、支持力FN和静摩擦力的合力来提供，如图所示为赛

车做圆周运动的后视图(赛车正垂直纸面向里运动)．赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力Fmax.受力分析如图所示，利用正交分解法列方程，水平方向：FN sin θ＋Fmaxcos θ＝，
竖直方向：FN cos θ－Fmaxsin θ－mg＝0，
联立以上两式得
vmax＝ ＝35.6 m/s.

答案：（1）不会　(2)35.6 m/s

变式练习1．赛车在倾斜的轨道上转弯如图所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)(　　)

A. B.
C. D.

答案：选C
题型二、关于拱形桥或凹型桥模型的问题
例2、如图所示，质量m＝2.0×104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过 3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)


?(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m，
代入数据解得：v＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝，
代入数据解得FN′＝105 N，由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.

?
答案：(1)10 m/s　(2)105 N

变式练习2．一辆质量为800 kg的汽车在圆弧半径为50 m的拱桥上行驶．求：(g取10 m/s2)
(1)若汽车到达桥顶时速度为v1＝5 m/s，汽车对桥面的压力是多大？
(2)汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力而腾空？
(3)汽车对桥面的压力过小是不安全的，因此汽车过桥时的速度不能过大．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为多大？(已知地球半径为6 400 km)
解释：如右图所示，汽车到达桥顶时，受到重力G和桥面对它的支持力N的作用．

(1)汽车对桥面的压力大小等于桥面对汽车的支持力N.汽车过桥时做圆周运动，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
?mg－N＝m
所以N＝mg－m＝7 600 N
故汽车对桥面的压力为7 600 N.
(2)汽车经过桥顶时恰好对桥面没有压力而腾空，则N＝0，即汽车做圆周运动的向心力完全由其重力来提供，所以有mg＝m
解得v＝ ＝22.4 m/s.
(3)由第(2)问可知，当N＝0时，汽车会发生类似平抛的运动，这是不安全的，所以对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全．

?? (4)由第(2)问可知，若拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为
v′＝ ＝ ＝8 000 (m/s)．

?
答案：(1)7 600 N　(2)22.4 m/s　(3)半径大些比较安全 (4)8 000 m/s

题型三、向心力公式在圆锥摆运动中的应用
例3、长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角为α 时，求：?

(1)线的拉力F；?
(2)小球运动的线速度的大小；?
(3)小球运动的角速度及周期．


解：
(1)做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F作用．?
因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O'，且是水平方向．?
由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，线对小球的拉力大小为F= mg/cosα；
(2)由牛顿第二定律得
由几何关系得：r= Lsinα，?
所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为；
(3)小球运动的角速度
小球运动的周期







变式练习3、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿?过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．


解：设转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ
座椅到中心轴的距离：R＝r ＋Lsinθ
对座椅分析有：F向＝mgtanθ＝mRω2联立两式得ω＝


题型四、圆周运动与平抛运动的综合应用
例4、如图所示，半径为R的半圆槽木块固定在水平地面上，质量为m的小球以某速度从A点无摩擦地滚上半圆槽，小球通过最高点B后落在水平地面C处。已知AC=AB=2R，求：?
（1）小球在B点的速度；
（2）小球在B点时木块对它的压力。

解：（1）小球由B到C做平抛运动，则有
vB=
（2）由牛顿第二定律得：N+mg=mvB2/R?
N=m－mg=0
变式练习4、如图所示，让摆球从图中的A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时线被拉断．设摆线长l＝1.6m，摆球质量为0.5kg，摆线的最大拉力为10N，悬点与地面的竖直高度为H＝4. 0m，不计空气阻力，g＝10m/s2.求：
(1)摆球落地时速度的大小；
(2)D点到C点的距离．


解：(1)小球刚摆到B点时，由牛顿第二定律可知
Fm－mg＝m①
由①并代入数据可解得：
vB＝4m/s
小球离开B后，做平抛运动
竖直方向：H－l＝gt2
落地时竖直方向的速度：vy＝gt
落地时的速度大小：v＝
由以上几式并代入数据可解得： v＝8m/s
(2)落地点D到C的距离 S＝vBt，可解得：s＝m

课堂训练
1．在高速公路的拐弯处，路面建造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，应等于(　　)
A．sin θ＝ B．tan θ＝ C．sin 2θ＝ D．cotθ＝
答案：B
2．“快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可看为质点)，下列说法正确的是(　　 )
A．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg
B．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg
C．选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
D．选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动
答案：B
3.如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　)
A. B．2 C. D.
答案：C
4.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为?m?的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是?（?? ）
A．人在最高点时，人处于倒坐状态，保险带对人一定有向上的拉力
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力
C．人在最高点时对座位的压力一定小于?mg
D．人在最低点时对座位的压力可能小于?mg
答案：B
试题分析：当人与保险带间恰好没有作用力，由重力提供向心力时，临界速度为 HYPERLINK "http://b.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc72eb6f45ed200baa1cc112ac9.jpg" \o "点击查看大图" INCLUDEPICTURE "http://b.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600,800/sign=f2228ea4ccfc1e17fdea84377aa0da3b/6609c93d70cf3bc72eb6f45ed200baa1cc112ac9.jpg" \* MERGEFORMAT ?．当速度 HYPERLINK "http://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a1ec08fa513d26977a7631ef56fbb2fb4216d8de.jpg" \o "点击查看大图" INCLUDEPICTURE "http://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600,800/sign=f33a007632adcbef016176009c9f02e5/a1ec08fa513d26977a7631ef56fbb2fb4216d8de.jpg" \* MERGEFORMAT ?时，没有保险带，人也不会掉下来．故A错误．当人在最高点的速度 HYPERLINK "http://a.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bba1cd11728b47100199c47ec0cec3fdfd0323c9.jpg" \o "点击查看大图" INCLUDEPICTURE "http://a.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600,800/sign=4e887f0faa773912c4738d67c829aa20/bba1cd11728b47100199c47ec0cec3fdfd0323c9.jpg" \* MERGEFORMAT ?时，人对座位就产生压力．故B正确．人在最高点时，当速度达到一定时，人对座位的压力可以大于mg，当人在最低点时，加速度方向竖直向上，处于失重，根据牛顿第二定律分析可知，人处于超重状态，人对座位的压力大于mg．故CD错误，
故选B.
5.（多选）有一个半径为R的光滑圆轨道,现给小球一个初速度,使得小球在竖直面内做圆周运动.则关于小球在过最高点的速度V,正确的是（ ）
A.V的极小值是
B.V由0逐渐增大,轨道对球的弹力也逐渐增大

C.当V由逐渐增大时,轨道对小球的弹力也逐渐增大

D.当V由逐渐减小时,轨道对小球的弹力逐渐增大
答案：CD.
由于图显示时光还圆管,可以在最高点提供向外或向内支撑力,只要速度不小于零就可以通过最高点.
但是V等于根号gR是过轨道最高点而对管壁恰好无弹力的速度,对上下管壁压力都为0.当V由根号下gR逐渐增大或减小时,都会造成对管壁的压力增大.
6.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上（如图），顶部有一小物体A，今给它一个水平初速v0=,则物体将（??）
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道作圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
答案：D
7．（多选）用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．小球在圆周运动的最高点时绳子的拉力可能为零
B．小球在圆周运动的最高点时速度一定是
C．小球在圆周运动的最低点时绳子的拉力一定大于重力
D．小球在圆周运动的最高点时所受向心力一定是重力
解析：小球在圆周运动的最高点时可能拉力刚好为零，重力充当向心力，A对，D错；只有在最高点拉力为零时速度才为，B错；在最低点是拉力与重力的合力作向心力，C对．
答案：AC
8.（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：FN－Fmg＝m，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．
答案：BC
9.（多选）如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的、质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则（ ）
A．两物体均沿切线方向滑动
B．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越越远
答案：BD
10.（多选）如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，与圆台间的动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R．当圆台旋转时，则下列说法正确的是 （ ）
A．若A、B、C均未滑动，则C的向心加速度最大
B．若A、B、C均未滑动，则B受的摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，B比A先滑动
D．当圆台转速增大时，C比B先滑动
答案：ABD
11.如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C都能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台间的动摩擦因数为μ，C与转台间的动摩擦因数为2μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r 。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为4mω2r
C．转台的角速度一定满足：
D．转台的角速度一定满足：
答案：D
12.长为L=0.5m的轻杆，其一端固定于O点，另一端连着质量m=1kg的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动，当它通过最高点速度v=3m/s时，小球受到细杆的作用力为大小为______N，是______．（填“拉力”或“支持力”）（g=10m/s2）



答案：8，拉力．
13.如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。求：
（1）小球通过最高点A时的速度vA；
（2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T=6mg,求B的速度vB；
（3）若小球运动到最低点B时细线恰好断裂，小球落地点到C点的距离。

解：（1）小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零，根据向心力公式有：
?
解得：?
（2）?小球在B点时根据牛顿第二定律有：?
解得：?
（3）小球运动到B点时细线断裂，小球做平抛运动，有：? x＝vBt=3L
14.如图所示，一根长0.1m的细线，一端系着一个质量为0.18kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大40 N，求：
(1)线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
(2)线断开的瞬间，小球运动的线速度；
(3)如果小球离开桌面时，速度方向与桌边缘的夹角为60 °，桌面高出地面0.8m，求小球飞出后的落地点距桌边缘的水平距离．




解：(1)线的拉力提供小球做圆周运动的向心力，
设开始时角速度为ω0，向心力为F0，线断开的瞬间，角速度为ω，线的拉力为FT.
F0＝mω02R?????????①
FT＝mω2R??????????②
由①②得＝＝9???????? ③
又因为FT＝F0＋40N???????? ④
由③④得FT＝45N
(2)设线断开时小球的线速度为v，由FT＝得
v＝?m/s＝5 m/s
(3)设桌面高度为h，小球落地经历时间为t，落地点与飞出桌面点的水平距离为s
由h＝得
t＝＝0.4 s
s＝vt＝2m
则小球飞出后的落地点到桌边缘的水平距离为 l＝ssin60°＝1.73 m.
























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