《三角函数值的计算》教学设计
教材分析
三角函数的计算是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第一章第三节内容，本章主要研究直角三角形的边角关系；本节要求经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义。能够用计算器进行有关三角函数值的计算。能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。所以本节的重点是用计算器由已知锐角求三角函数值。能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
教学目标
【知识与能力目标】
1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义。
2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算。
3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【过程与方法目标】
1．借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力。
【情感态度价值观目标】
1．积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐。
2．形成实事求是的态度。
教学重难点
【教学重点】
1．用计算器由已知锐角求三角函数值。
2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
【教学难点】
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备；
练习本
教学过程
Ⅰ．提出问题，引入新课
用多媒体演示：
[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
[生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，需求出BC。
根据正弦的定义，sin16°＝，
∴BC＝ABsin16°＝200sin16°(米)。
[师]200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定。
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值。
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
Ⅱ．讲授新课
1．用科学计算器求一般锐角的三角函数值。
[师]用科学计算器求三角函数值，要用到sin cos 和tan键．例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示．(多媒体演示)
按键顺序
显示结果
sin16°
sin 1 6 ＝
sin16°＝
0.275637355
cos42°
cos 4 2 ＝
cos42°＝
0.743144825
tan85°
tan 8 5 ＝
tan85°＝
11.4300523
sin72°
38′25″
sin 7 5 DMS
3 8 DMS 2
5 DMS ＝
sin72°38′25″＝
0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同。
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
[师]很好，同学们都能用自己的计算器计算出三角函数值．大家可能注意到用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位．我们的教材中有一个约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位。
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题。
[生]用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m)。
[师]下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示)。
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°。
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
[生](1)sin56°≈0.8290；
(2)sin15°49′≈0.2726；
(3)cos20°≈0.9397；
(4)tan29°≈0.5543；
(5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°＋cos61°＋tan76°≈0.2588＋0.4848＋4.0108＝4.7544。
[师]你能用计算器计算说明下列等式成立吗？(用多媒体演示)
下列等式成立吗？
(1)sin15°＋sin25°＝sin40°；
(2)cos20°＋cos26°＝cos46°；
(3)tan25°＋tan15°＝tan40°。
[生]上面三个等式都不成立。
(1)sin15°＋sin25°≈0.2588＋0.4226＝0.6814；
sin40°≈0.6428，
∴sin15°＋sin25°≠sin40°；
(2)cos20°＋cos26°≈0.9397＋0.8988＝1.8385，
cos46°≈0.6947，
∴cos20°＋cos26°≠cos46°；
(3)tan25°＋tan15°≈0.4663＋0.2679＝0.7342，
tan40°≈0.8391，
∴tan25°＋tan15°≠tan40°。
[师]由此，你能得出什么结论？
[生]两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦．对于余弦、正切也一样。
2．用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
[师]看来同学们已能很熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值．下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题。
多媒体演示本节开始的问题；
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？
[生]可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度。
[生]可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离。
[师]下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果．其余同学可在小组内交流、讨论完成。
[生]在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°＝200sin42°≈133.83(米)。
[生]由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC＋DE＝55.12＋133.83＝188.95(米)。
[生]在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米)。
在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200米，BE＝BD·cos42°≈200×0.7431＝148.63(米)。
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE＋AC＝192.23＋148.63＝340.86(米)。
Ⅲ．随堂练习
一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高．(结果精确到0.01m)
解：如图，根据题意，可知
BC＝300m，BA＝100m，∠C＝40°，∠ABF＝30°。
在Rt△CBD中，DD＝DCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF＝ABsin30°
＝100×
＝50(m)。
所以山高AE＝AF＋BD＝192.8＋50＝242.8(m)。
Ⅳ．课时小结
本节课主要内容如下：
(1)运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值。
(2)运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
Ⅴ．课后作业
习题1．4的第1、2题
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入．所以在Rt△ABC中，AB＝1.8m，∠ACB＝80°．求AC的长度。
[结果]tan80°＝，AC＝≈＝0.317≈0.32(米)。
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米。
链接中考
1.用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ B ）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
2.计算sin20°-cos20°的值是（保留四位有效数字）（C）
A．-0.5976 B．0.5976 C．-0.5977 D．0.5977
3. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．
（1）sinA=0.9816；
（2）tanA=0.1890
解答：（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；
（2）∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°
板书设计
§1．3．1 三角函数的有关计算(一)
用计算器由已知锐角求它的三角函数值熟练操作，求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″。
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。
课件16张PPT。1、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。（1）边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；（2）角的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角关系： sinA= ，cosA= ，tanA= ，
sinB＝ ，cosB＝ ，tanB= 。
温习旧知：北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90， a=6，解直角三角形。
2、一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角.
∴∠α≈51°19′4″。
所以梯子与地面所成的锐角约51°19′4″。
自我检测＝ 0.625， 解：如图
∵cosα＝北京师范大学出版社 九年级 | 下册 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 探究新知 1、如图,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=160,那么缆车垂直上升的距离是多少?在Rt△ABC中,BC=ABsin16° 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 探究新知北京师范大学出版社 九年级 | 下册 探究新知 1.一辆汽车沿着一山坡行驶了150米，其铅直高度上升了25米，求山坡与水平面所成锐角的大小.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 知识巩固解：如图，在Rt△ABC中，AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm
∴tanB= ≈0.642 9
∴∠B≈
因此，射线与皮肤的夹角约为 。北京师范大学出版社 九年级 | 下册 知识巩固 2、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤。在接受放射性治疗时，为了最大限度的保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角。解：∵tan∠ACD = ≈0.520 8
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝∠ACD≈2×27.5°＝55°北京师范大学出版社 九年级 | 下册 3、如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角（ ∠ACB）的大小。（结果精确到1°）4 、 一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m,再爬300 的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).解：如图，根据题意，可知BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.在Rt△CBD中，BD=BCsin40°≈300×0.6428
=192.8(m) 所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m). 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 在Rt△ABF中，AF=ABsin30°=100×0.5
=50(m)
3.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°在Rt△DBA中，DB=ABtan56°
≈20×1.4826
=29.652(m)；在Rt△CBA中，CB=ABtan50°
≈ 20×1.1918
=23.836(m) 所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m). 北京师范大学出版社 九年级 | 下册 探究新知通过这节课的学习，你有哪些收获？北京师范大学出版社 九年级 | 下册 感悟与反思 如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01 m) 所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.北京师范大学出版社 九年级 | 下册 知识巩固 1.用计算器计算cos 44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A 0.90 B 0.72 C 0.69 D 0.66解析：解答: 用计算器解cos44°=0.72．故选B．2. 计算sin20°-cos20°的值是（保留四位有效数字）（ ）
A -0.5976 B 0.5976 C -0.5977 D 0.5977解析：解答: 按MODE，出现：DEG，按sin20-cos20，=后，显示：-0.597 7．故本题选C．3. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．
（1）sinA=0.9816；
（2）tanA=0.1890解答：（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；
（2）∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°
