苏科版八年级数学下册第12章二次根式的概念、性质的提优讲义（含答案）

二次根式的概念、定义和性质拓展提优讲义
知识点1：二次根式的概念、定义
【知识要点】
二次根式的定义：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
【典型例题】

【例1】下列各式1），其中是二次根式的是（填序号）．
答案：（1）（3）（4）（5）（7）
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：D
在、、、、中是二次根式的个数有______个
答案：2

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
答案：x＞3
举一反三：
1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
答案：D
使代数式有意义的x的取值范围是
答案：x=1
3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限
答案：C

【例3】若y=++2009，则x+y=
答案：2014
举一反三：
若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3

答案：C
2、若x、y都是实数，且
y=，求xy的值
答案：xy=6


3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

答案：当a=-,代数式的值为1


1、已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。
答案：a=2,b=-2
=+4

若7-的整数部分是a，小数部分是b，则 。
答案：6-2


3、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.

答案：x=6,y=-4


=40+
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：

注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．
【典型例题】

【例4】若则 ．
答案：3
举一反三：
1、若，则的值为 。
答案：2
2、已知为实数，且，则的值为（ ）
A．3 B．– 3 C．1 D．– 1
答案：D
3、若与互为相反数，则。
答案：-1
（公式的运用）
【例5】 化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
答案：C
举一反三：
在实数范围内分解因式: = ；=

答案： （x+）(x-) , (m+)2(m-)2 , （x+）(x-)(x2+3) (x-)2
（公式的应用）
【例6】已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、
答案：D
举一反三：
1、根式的值是( )
A．-3 B．3或-3 C．3　 D．9
答案：C
2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
答案：C
【例7】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
答案：B
举一反三：
1、若代数式的值是常数，则的取值范围是（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
答案：C
2、如果，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
答案：D
知识点3：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；?分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
解题思路：掌握最简二次根式的条件。
答案：C
举一反三：
1、中的最简二次根式是 。
答案：
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
B． C． D．
答案：C
3、下列根式不是最简二次根式的是(　)
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　D.
答案：D
【课后拓展提优】
1、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿
2、化简得（ ）
（A）2　（B）　（C）－2　　（D）
3、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
4、已知，化简求值：
5、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）

6、若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、若，则等于（ ）
A. B. C. D.
8、若a－3＜0，则化简的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a



【课后拓展提优参考答案】
1、 或 2 或
2、A
3、 -
4、-2
5、B
6、D
7、C
8、D









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