1.3.1二项式定理(共32张PPT)

(共32张PPT)
若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？
在初中，我们已经学过了

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3
对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?
(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (n∈N+)呢？
我们知道，事物之间或多或少存在着规律. 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性.
规律：
(a+b)1=a+b
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a?a+a?b+b?a+b?b=a2+2ab+b2
(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)
=a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数?
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4；
(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b；
(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2；
(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3；
(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4.
1 二项式定理
证明：
由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（a+b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.
因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前， (a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是an-kbk（k=0，1，…，n）的形式.
对于某个k（ ），对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个（a+b）中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定.
因此， an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数 . 这样，(a+b)n的展开式中， an-kbk共有 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：
对二项式定理的理解
（1）它有n+1项;
（2）各项的次数都等于二项式的次数n;
（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
2 二项式系数
我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数 ( )叫做二项式系数（binomial coefficient）.
3 通项
式中的 叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第k+1项：
对通项的理解
（1）它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，2，…，n;
（2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式;
（3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形.
思考（1）如何求展开式中的第三项？
（2）如何求展开式中第三项的系数？
方法（1）用定理展开，再找指定项；
（2）用通项公式.
解:
（2）先将原式化简，再展开，得
1. 的展开式中，第五项是……（ ）
A. B. C. D.

2. 的展开式中，不含a的项是第（ ）
A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项
要解答上题必须熟记二项式定理
上题答案：
(1) B
(2) A
求近似值（精确到0.001）
（1）(0.997)3 （2）(1.002)6
分析：
（1）(0.997)3=(1-0.003)3
（2）(1.002)6=(1+0.002)6
类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.

分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）
方法二用定理展开（次数较小时使用）
答案：
1.二项式定理

二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+
Cnran-rbr+…+Cnnbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明.
2.二项式定理的特点
(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
(2)系数
(3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.
1. （2018年安徽、河北卷）在 的展开式中，常数项是______.

A.14 B.－14 C.42 D. －42

解析：
则k=6，故展开式中的常数项是
,选答案A.
令
2.（2018年全国）在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_______.
-1/2
解析：
1.填空

（1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_____.
（2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为______ .
1.179
-210
2.选择
（1）( i)12展开式中所有奇数项的和是( )
A.-1 B.1 C.0 D.i

（2） 数11100-1的末尾连续的零的个数是( )
A.0 B.3 C.5 D.7
√
√
)r＝C12r
3.解答题
（1）求( + )12展开式中所有的有理数项.
解：
通项为Tr+1＝C12r(
)12-r(
(r＝0,1,2，…，12)，为得有理数项，只需r是6的倍数，即r＝0,6,12，即有理数项为T1＝C120·24＝16，T7＝C126·22·33＝99792，T13＝C1212·36＝729.
（2）二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.
分析：由第三项系数比第二项系数大44先求n， 再由通项求第四项系数.
答案：165
(3) 某班有男、女学生各n人，现在按照男生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有2n(2n-1)种.
证：依题意，这些小组中女生人数分别是Cn0，Cn1,Cn2,…,Cnn个.对于上述女生人数的每种情况，男生人数可以有Cn0，Cn1,Cn2,…,Cnn个。
根据乘法原理和加法原理可得
Cn0Cn1+Cn0Cn2+…+Cn0Cnn+Cn1Cn1+…+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+…+Cn2Cnn+…CnnCn1+ Cnn Cn2+…+ Cnn Cnn
＝ Cn0(Cn1+Cn2+…+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+…+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+…+Cnn)+…+Cnn(Cn1+Cn2+…+ Cnn)
＝(Cn1+Cn2+…+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+…+ Cnn)
＝(2n-1)2n
∴ 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个.