1.2.2组合(共34张PPT)
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(共34张PPT)
问题一：
从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法 ？
问题二：
从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法 ？
问题一与问题二有何不同？
问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名同学,是与顺序无关的.
这就是我们这节课要学习的内容
———组合
1 组合
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
相同点：
都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点：
对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”.
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关 .
ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
由于组合与顺序无关，ab与ba是相同的组合.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
2 组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示.
上面的问题，是求从3个不同元素中取出2个元素的组合数，记为 ，已经算得
3 组合数公式
这里，n，m∈N*，并且m≤n.
因为
所以，上面的组合数公式还可以写成
∵
=
??
解：
∴原不等式可化为
即
∴n<12.?
但原不等式中n取值范围为n-4≥0,即n≥4,?
所以n=4,5,6,……,11.?
从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：
5名同学同时参加五门不同科目的考试，恰有两名学生拿到了自己该考的科目的试卷，问试卷分发的方法有多少种？
解：
5名同学选出2名选法有 种，3名学生拿到的都不是自己该考的试卷，试卷分发的方法有2种，
故共有试卷分发方法
4 组合数的两个性质
性质1
性质2
l、组合的概念；
2、组合与排列的区别；
3、组合数公式；
4、组合的应用：分清是否要排序.
1.（2018湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_____.
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
C
解析：
5人中选4人则有 种，周五一人有 种，周六两人则有 ，周日则有 种，
故共有 × × =60种,故选C.
2.（2019湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_____.
A．14 B．16 C．20 D．48
B
由间接得 ，故选B.
3.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有_____.
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
D
本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题
1.填空
（1）6人分乘两辆小汽车出行，每辆车最多可坐4人，不同的乘车方法种数为_____种(用数字作答).?
（2）长方体的长、宽、高分别为自然数a、b、c且050
35
2.选择
（1） 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）
A 480种 B 240种 C 180种 D 120种
（2） 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ( )?.
? A.140种 B.84种 C.70种 D.35种?
√
√
3.解答题
(1) 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法数有多少种?
点评：
本题主要考查排列组合的基础知识，侧重计数方法的考查．综合数列求和的知识，解答时的方法探究规律，合理分类，应用计数原理求解.
解：
从1，2，3，…，100中取出1，有1+100>100，取法数1个；…；取出50，有50+51>100，50+52>100,…，50+100>100共50个. ∴取出数字1至50共有1+2+3+…+50= 1275，
取出51，有51+52>100,…,51+100>100，共49个．取出52有48个，…，取出100，只有0个.
∴取出51至100有49+48+…+2+1+0=1225(个)．
故共有1 275+1 225=2 500(个)．?
（2）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法??
①只有一名女生;?
②两队长当选;?
③至少有一名队长当选;
④至多有2名女生当选;?
⑤既要有队长，又要有女生当选.
解：
①一名女生，四名男生.故共有
②将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有
③至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长.故共有：
或采用排除法：
④至多有两名女生含有三类：有2名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为：
⑤分两类：
第一类女队长当选：
第二类女队长不当选：
故选法共有：
（3）∠A的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同∠A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成多少个三角形?
解：
方法1:把可构成的三角形可分成两类:
第一类，含点A的有 个；
第二类，不含点A的，又分为在AB上取两点在AC上取一点，和在AB上取一点AC上取两点，共有 个.
根据加法原理，共可构成三角形的个数为
方法2:不考虑可否成为三角形，从这10个中点任取3个点共有 种方法,但仅在AB上或AC上任取3个点不能构成三角形，共有 种方法,
因此可构成三角形的个数为
问题一：
从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法 ？
问题二：
从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法 ？
问题一与问题二有何不同？
问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名同学,是与顺序无关的.
这就是我们这节课要学习的内容
———组合
1 组合
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
相同点：
都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点：
对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”.
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关 .
ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
由于组合与顺序无关，ab与ba是相同的组合.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
2 组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示.
上面的问题，是求从3个不同元素中取出2个元素的组合数，记为 ，已经算得
3 组合数公式
这里，n，m∈N*，并且m≤n.
因为
所以，上面的组合数公式还可以写成
∵
=
??
解：
∴原不等式可化为
即
∴n<12.?
但原不等式中n取值范围为n-4≥0,即n≥4,?
所以n=4,5,6,……,11.?
从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：
5名同学同时参加五门不同科目的考试，恰有两名学生拿到了自己该考的科目的试卷，问试卷分发的方法有多少种？
解：
5名同学选出2名选法有 种，3名学生拿到的都不是自己该考的试卷，试卷分发的方法有2种，
故共有试卷分发方法
4 组合数的两个性质
性质1
性质2
l、组合的概念；
2、组合与排列的区别；
3、组合数公式；
4、组合的应用：分清是否要排序.
1.（2018湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有_____.
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
C
解析：
5人中选4人则有 种，周五一人有 种，周六两人则有 ，周日则有 种，
故共有 × × =60种,故选C.
2.（2019湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_____.
A．14 B．16 C．20 D．48
B
由间接得 ，故选B.
3.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有_____.
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
D
本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题
1.填空
（1）6人分乘两辆小汽车出行，每辆车最多可坐4人，不同的乘车方法种数为_____种(用数字作答).?
（2）长方体的长、宽、高分别为自然数a、b、c且0
35
2.选择
（1） 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）
A 480种 B 240种 C 180种 D 120种
（2） 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ( )?.
? A.140种 B.84种 C.70种 D.35种?
√
√
3.解答题
(1) 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法数有多少种?
点评：
本题主要考查排列组合的基础知识，侧重计数方法的考查．综合数列求和的知识，解答时的方法探究规律，合理分类，应用计数原理求解.
解：
从1，2，3，…，100中取出1，有1+100>100，取法数1个；…；取出50，有50+51>100，50+52>100,…，50+100>100共50个. ∴取出数字1至50共有1+2+3+…+50= 1275，
取出51，有51+52>100,…,51+100>100，共49个．取出52有48个，…，取出100，只有0个.
∴取出51至100有49+48+…+2+1+0=1225(个)．
故共有1 275+1 225=2 500(个)．?
（2）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法??
①只有一名女生;?
②两队长当选;?
③至少有一名队长当选;
④至多有2名女生当选;?
⑤既要有队长，又要有女生当选.
解：
①一名女生，四名男生.故共有
②将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有
③至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长.故共有：
或采用排除法：
④至多有两名女生含有三类：有2名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为：
⑤分两类：
第一类女队长当选：
第二类女队长不当选：
故选法共有：
（3）∠A的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同∠A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成多少个三角形?
解：
方法1:把可构成的三角形可分成两类:
第一类，含点A的有 个；
第二类，不含点A的，又分为在AB上取两点在AC上取一点，和在AB上取一点AC上取两点，共有 个.
根据加法原理，共可构成三角形的个数为
方法2:不考虑可否成为三角形，从这10个中点任取3个点共有 种方法,但仅在AB上或AC上任取3个点不能构成三角形，共有 种方法,
因此可构成三角形的个数为