7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.(多选)下列结论正确的是( )
A.=60° B.10°=
C.36°= D.=115°
解析∵π=180°,∴=60°,正确.10°=,正确.36°=,正确.=112.5°≠115°,D不正确.
答案ABC
2.下列各对角中,终边相同的是( )
A.和2kπ-(k∈Z) B.-
C.- D.
答案C
3.-π的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析-π=-2π-π,故在第四象限.
答案D
4.若圆的半径变成原来的2倍,扇形的弧长也变成原来的2倍,则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增加到原来的2倍
D.扇形的圆心角增加到原来的2倍
解析扇形的圆心角α=,l,R均变为原来的2倍,故α不变.
答案B
5.在半径为2的圆内,长度为4的弧所对的圆心角的度数为 .?
解析圆心角α==2=°=°.
答案°
6.(双空)若将时钟拨慢5分钟,则分针转了 弧度,时针转了 度.?
解析将时针拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角都是正角,这时,分针转过的角度是=30°,即30×弧度,时针转过的角度是=2.5°.
答案 2.5
7.
如图,扇形AOB的面积是4 cm2,周长是10 cm,求扇形的圆心角α的弧度数.
解设弧AB长为l cm,扇形半径为r cm,
则解得(不合题意,舍去).
所以α=.
8.把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限的角:
(1)π;(2)-1 104°.
解(1)=6π+.
因为是第二象限的角,所以是第二象限的角.
(2)-1 104°=-1 104×=-=-8π+.
因为是第四象限的角,所以-1 104°是第四象限的角.
能力提升
1.已知,则角α的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第一或第二象限 D.第三或第四象限
解析因为,
所以当k=2m(m∈Z)时,α=2mπ+,终边在第一象限;当k=2m+1(m∈Z)时,α=2mπ+,终边在第二象限.所以角α的终边在第一或第二象限.
答案C
2.某扇形的周长为6,面积为2,则其圆心角的弧度数是 ( )
A.1或4 B.1或2
C.2或4 D.1或5
解析设此扇形的半径为r,圆心角的弧度数是α(0<α<2π),则有解得α=1或α=4.
答案A
3.集合A=与集合B=α=2kπ±,k∈Z的关系是( )
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.以上都不对
解析∵B==A,∴A=B.故选A.
答案A
4.《九章算术》是我国古代数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”意思说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少?书中给出了计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B.
C. D.120
解析由题意,根据给出的计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,再由扇形的弧长公式,可得扇形的圆心角α=.
答案C
5.(双空)已知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为 ;扇形的面积为 .?
解析设扇形的半径为r,因为扇形的周长为6,圆心角为1,所以有2r+r=6,解得r=2,扇形面积为×1×22=2.
答案2 2
6.某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为d cm,所形成的扇形面积为S cm2,则当t∈[0,60]时d与S关于时间t(s)的函数关系式为 .?
解析因为秒针的旋转方向为顺时针,
所以t s后秒针端点A转过的角α=- rad,
所以秒针端点A转过的路程为d=|α|·r=(cm),
所以转过的扇形面积为S=|α|·r2=(cm2).
所以d=(t∈[0,60]),S=(t∈[0,60]).
答案d=(t∈[0,60]),S=(t∈[0,60])
7.已知扇形的圆心角为α,半径为R.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?
解(1)弧长l=αR=60××10=(cm).
(2)由已知c=l+2R,得
S扇=l·R=(c-2R)R=-R2
=-,
故当R=时,S扇取最大值,
此时l=,α==2,
所以当α为2 rad时,该扇形的面积最大.
课件23张PPT。7.1.2 弧度制及其与角度制的换算一、弧度制 提示:没有关系. 2.填空:
(1)弧度制.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
(2)弧度数.
在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对圆心角为α rad,则α= .弧长比半径的值不依赖于半径,只与圆心角α的大小有关.3.做一做:下列叙述中,正确的是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度等于半径长的弧
C.无论是用角度制还是弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关答案:D 二、角度制与弧度制的换算
1.在☉O中,圆周角O用角度制度量为 ,用弧度制度量为 .由此可得到的结论为 .?
提示:360° 2π rad 360°=2π rad
2.填空:
角度制与弧度制的换算.3.做一做:(填下表)
特殊角的弧度数.三、扇形的弧长及面积公式
1.初中阶段学过的扇形的弧长公式及面积公式分别是什么?2.填空:
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则探究一探究二探究三思维辨析当堂检测弧度制的概念
例1下面各命题中,是假命题的为 .(填序号)?解:析:根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小均与所在圆的半径的长短无关,而是与圆心角的大小有关,所以④是假命题.
答案:④探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1下列说法正确的是( )
A.1弧度是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,弧度是角的一种度量单位
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测角度制与弧度制的互化
例2(1)①将112°30'化为弧度为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2(1)将-157°30'化成弧度为 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测扇形面积公式、弧长公式的应用
例3已知扇形的周长为10 cm,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?
解:设扇形的半径为r cm,则弧长为(10-2r)cm,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟弧度制下解决扇形相关问题的步骤 必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最短?
解:设扇形的弧长为l,周长为y,由题意知,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测函数与方程思想的应用
在扇形的周长及面积的最值问题求解过程中,充分渗透了函数与方程思想的运用.如已知扇形的周长为l,求扇形面积的最值问题,可建立面积关于半径r的二次函数,当然也可以建立关于圆心角的函数,再根据函数的性质即可求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例一扇形的周长为20 cm,则扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形面积最大?方法点睛当扇形周长一定时,其面积有最大值,最大值的求法是把面积S转化为r的函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.将-300°化为弧度为( ) 答案:B 2.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20 cm,则扇形的周长为( )
A.6π cm B.60 cm
C.(40+6π)cm D.1 080 cm答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.终边在第四象限的对角线上的角的集合是( )答案:D 4.已知α=1 690°,θ∈(-2π,0),若角α与θ的终边相同,则θ= .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.如图所示的阴影部分用弧度制可表示为 .?
