7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知P(-1,t)在角α的终边上,若sin α=,则t= ( )
A. B.-2
C.2 D.±2
解析∵sin α=,显然t>0,∴t=2.
答案C
2.
如图,在平面直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P.若∠AOP=θ,则点P的坐标是( )
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
答案A
3.下列各式为正值的是( )
A.cos 2-sin 2 B.cos 2·sin 2
C.tan 2·cos 2 D.sin 2·tan 2
解析因为cos 2<0,sin 2>0,tan 2<0,
所以tan 2·cos 2>0.
答案C
4.已知cos α=m,0<|m|<1,且tan α=,则角α的终边在( )
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析因为cos α=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上.又因为>0,所以cos α与tan α同号,所以角α的终边在第一或第二象限.
答案A
5.(多选)角α的终边上有一点P(a,a),a∈R,且a≠0,则sin α的值可以是( )
A. B.- C. D.-
解析当a>0时,|OP|=a,由三角函数的定义得sin α=;当a<0时,|OP|=-=-a,由三角函数的定义得sin α==-,故A,B正确.
答案AB
6.若sin α=-,且tan α>0,则cos α= .?
解析∵sin α<0,tan α>0,∴α是第三象限角.
设P(x,y)为α终边上一点,则x<0,y<0,r=,∴sin α==-,r=-y,因此cos α==-.
答案-
7.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是 .?
解析因为≤0,>0,所以x≤0,y>0,
即故-2
答案(-2,3]
8.函数y=的定义域是 .?
解析函数定义域为
即解得x≠kπ+,k∈Z.
答案
9.已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin θ=m,求cos θ与tan θ的值.
解由已知,得m=,解得m=0或m=±.
(1)当m=0时,cos θ=-1,tan θ=0;
(2)当m=时,cos θ=-,tan θ=-;
(3)当m=-时,cos θ=-,tan θ=.
能力提升
1.有下列说法,其中正确的个数是( )
①终边相同的角的三角函数值相同;②同名三角函数的值相同,角也相同;③终边不相同的角,它们的同名三角函数值一定不相同;④不相等的角,同名三角函数值也不相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析终边相同的角的三角函数值相同;同名三角函数值相同,角不一定相同;终边不相同的角,它们的同名三角函数值也可能相同;不相等的角,同名三角函数值可能相同.故只有①正确.
答案B
2.已知α=,则点P(sin α,cos α)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析α=,其终边在第二象限,这时sin α,cos α分别为正值和负值,所以点P在第四象限.
答案D
3.函数y=的值域是( )
A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3}
C.{-1,3} D.{-1,1}
解析由题意可知,角x的终边不能落在坐标轴上.当角x的终边在第一象限时,y=1+1+1=3;当角x的终边在第二象限时,y=1-1-1=-1;当角x的终边在第三象限时,y=-1-1+1=-1;当角x的终边在第四象限时,y=-1+1-1=-1.因此所求函数的值域为{-1,3}.
答案C
4.若α是第二象限的角,则sin 2α,sin,tan 2α,tan 中必取正数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案B
5.(双空)已知点P(3,y)在角α的终边上,且满足y<0,cos α=,则tan α的值为 ,sin α的值为 .?
解析因为,y<0,
所以y=-4.所以tan α=-,sin α==-.
答案- -
6.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是其终边上一点,且|OP|=,则m-n等于 .?
解析分析知角α的终边位于第三象限,故m<0,n<0,且n=3m,,m=-1,n=-3,因此m-n=2.
答案2
7.若函数f(x)的定义域是(-1,0),则函数f(sin x)的定义域是 .?
解析f(x)的定义域为(-1,0),若f(sin x)有意义,需-1答案(k∈Z)
8.已知sin α<0,且tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求角的终边所在的象限;
(3)试判断sin,cos的符号.
解(1)∵sin α<0,且tan α>0,∴角α是第三象限的角,即.
(2)∵π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),∴+kπ<+kπ(k∈Z).当k为偶数时,角的终边在第二象限;当k为奇数时,角的终边在第四象限.∴角的终边在第二或第四象限.
(3)当角的终边在第二象限时,sin>0,cos<0;当角的终边在第四象限时,sin<0,cos>0.
课件22张PPT。7.2.1 三角函数的定义一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 提示:α. 2.填空:
设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,则它与3.做一做:如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),那么sin α=( )答案:C 2.填空: 3.做一做:函数y=tan α+sin α的定义域是 .? 三、正弦、余弦与正切在各象限的符号
1.点P(x,y)在各象限内x,y的正负如何?
提示:第一象限:x>0,y>0,
第二象限:x<0,y>0,
第三象限:x<0,y<0,
第四象限:x>0,y<0.
2.填空:
三角函数在各象限的符号.规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.做一做:(1)若sin α,cos α都是负数,则α是第 象限角.?
(2)若tan α<0,则α是第 象限角.?
答案:(1)三 (2)二或四探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数的定义
例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.反思感悟三角函数值的求解策略
当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测判断三角函数值的符号
例2判断下列三角函数值的符号.(2)sin 3·cos 4·tan 5.
分析:确定一个角的某一三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限;
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:∵α是第二象限的角,
∴-1∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测三角函数的定义域
例3求下列函数的定义域:分析:本题主要考查三角函数的定义域以及定义域的求法,应考虑到分式中分母不等于零、偶次根式有意义等条件,还要注意使tan x有意义,解不等式组即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数定义域的求解策略
求三角函数的定义域,除了使已知的式子有意义外,三角函数本身的定义域也不可忽视,若式中含有tan x,则x的取值要特别注意.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:∵sin x·tan x≥0,
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x=0,可得x是第一、第四象限的角或x轴上的角.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在三角函数定义中的应用
典例已知角α的终边落在直线y=2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
解:当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取点P(1,2).设点P到原点的距离为r,方法点睛直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故α的终边有两种情况,需分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) 答案:A
2.若tan θ·sin θ<0,且tan θ·cos θ>0,则θ是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:0 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测