7.2.2 单位圆与三角函数线
课后篇巩固提升
1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是( )
A.第一象限的角
B.第一、第二象限的角
C.第三象限的角
D.第一、第三象限的角
解析由正切线的定义知,当角α是第一、第三象限的角时,正切线都在第一象限.
答案D
2.下列不等式中,成立的是( )
A.sin>sin
B.cos
C.cos 4>cos
D.tan 答案B
3.若θ∈,则sin θ+cos θ的一个可能值是( )
A.
B.
C.
D.1
解析由θ∈,知sin θ+cos θ>1,四个选项中仅有>1,故选C.
答案C
4.已知sin α>sin β,则下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
答案D
5.使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z
B.x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z
C.x2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z
D.x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z
解析由-2sin x≥0,得sin x≤,利用单位圆与三角函数线可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
答案C
6.函数y=的定义域为 .?
解析利用三角函数线,画出满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).
因此所求定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
答案x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z
7.(多选)给出以下四个选项,其中正确的选项是( )
A.若0<α<,则sin α+cos α>1
B.若<α<π,则-1C.若<α<2π,则-1D.若π<α<,则sin α+cos α<-1
解析如图所示,
角α的正弦线为,余弦线为,则sin α+cos α=MP+OM,所以0<α<,此时角α在第一象限,则sin α+cos α=OM+MP>OP=1,故A正确;若<α<π,则sin α+cos α=OM+MP,此时角α的终边在第二象限,-1答案ABCD
8.借助三角函数线比较sin,sin,sin的大小,由大到小排列为 .?
解析在单位圆中作出角的正弦线,可知sin>sin>sin.
答案sin>sin>sin
9.求下列函数的定义域:
(1)y=;(2)y=lg(3-4sin2x).
解(1)如图①,
因为2cos x-1≥0,
所以cos x≥.
所以x∈(k∈Z).
(2)如图②,因为3-4sin2x>0,
所以sin2x<.
所以-所以x∈
(k∈Z).
课件23张PPT。7.2.2 单位圆与三角函数线一、单位圆
1.什么是圆?圆的两大要素是什么?
提示:平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆;圆心和半径是圆的两大要素.
2.填空:
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.
3.做一做:角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos α,sin α)?二、三角函数线
1.什么叫点P在直线l上的射影?
提示:过点P作直线的垂线,则垂足Q称为点P在直线l上的射影.
2.填空:正弦线、余弦线与正切线探究一探究二探究三思维辨析当堂检测作出三角函数线
例1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角α终边的反向延长线(α为第二或第三角限角)于探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用三角函数线解不等式
例2在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,先抓住边界值,然后再注意角的范围的写法要求.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用三角函数线比较大小 ①sin θ+cos θ<0;
②sin θ-cos θ>0;
③|sin θ|<|cos θ|;
④sin θ+cos θ>0.解析:画出单位圆如图所示,借助三角函数线进行判断.sin θ>0,cos θ<0,且|sin θ|<|cos θ|.
所以①②③正确,④错误.
答案:④探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2cos 1,sin 1,tan 1的大小关系是 ( )
A.sin 1B.sin 1C.cos 1D.cos 1答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sin α,cos α,tan α的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1.
证明:当角α的终边在x(或y)轴上时,正弦线(或余弦线)变成一个点,而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1),所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边,有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|>1.综上,有|sin α|+|cos α|≥1.方法点睛要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知角α的正弦线是单位的有向线段,则角α的终边 ( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
答案:B
3.已知角α的余弦线长度不大于角α的正弦线长度,那么角α的终边落在第一象限内的范围是( )答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.(多选)下列不等式成立的是( ) 答案:AD