7.1 正切
一、选择题
已知中，，则是的
A. 正切 B. 余切 C. 正弦 D. 余弦
在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的 D. 没有变化
在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正切值是
A.
B.
C.
D.
修筑一坡度为3：4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是
A. B. C. D.
图，内接半径为5的，圆心O到弦的离等于3则的正切值等于
A.
B.
C.
D.
等腰三角形ABC中，，则底角B的正切值为
A. B. C. D.
如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于
A. B. C. D.
平面直角坐标系中，O是坐标原点，点、点是y轴上一动点，当的周长最小时，求的正切值
A. 2 B. C. D. 5
将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则的正切值为
A.
B.
C.
D.
二、解答题
根据图中所给条件求出、的正切值．
如图，点C在的直径BA的延长线上，切于点D，连接．
求角C的正切值：
若的半径，求BD的长度．
如图，为等边三角形，点P是边AC的延长线上一点，连接BP，作等于，直线PQ与直线BC交于点N．
求证：；
若，求的正切值．
已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点．
求的正切值；
如果点A向左平移12个单位到点C，直线l过点C且与直线平行，求直线l的解析式．
如图，某无人机于空中A处探测到目标，从无人机A上看目标的俯角分别为，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行到达处，
求之间的距离；
求从无人机上看目标D的俯角的正切值．
参考答案
一、1. A 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C
8. B 9. D
二、10. 解：是直角三角形，，
，
；．??
11. 解：切于点D，
，
又，
；
连接AD，
是直径，
，
，
又，
是等边三角形．
，
．??
12. 证明：为等边三角形，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：过点P作于点D，
为等边三角形，
由知，，
，
整理得?，
或舍，
在中，
，
，
由勾股定理得，
，
在中，．??
13. 解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
，
，
，
；
将点A向左平移12个单位到点C，
，
直线l过点C且与直线平行，
设直线l的解析式为，
把代入得，
，
直线l的解析式为．??
14. 解：由题意得：，
在中，，
；
过作交BC的延长线于E，连接，
则，
在中，，
，
，
．
答：从无人机上看目标D的俯角的正切值是．??
2
1
7.2 正弦余弦
一、选择题
在中，，如果，那么的值是
A. B. C. D. 3
在中，的对边分别为，则的值是
A. B. C. 3 D. 以上都不对
在中，，则
A. B. C. D.
把三条边的长度都扩大2倍，则锐角A的三角函数值
A. 也扩大2倍 B. 缩小为原来的
C. 都不变 D. 不能确定
如图，在中，，则的值是
A. B. C. D.
在钝角中，是钝角，，现在拿一个放大三倍的放大镜置于上方，则放大镜中的的正弦值为
A. B.
C. D. 条件不足，无法确定
在中，，则的值为
A. B. C. D.
已知，且为锐角，则
A. B. C. D.
在中，，则的值为
A. B. C. D.
如图是一个的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，的顶点都是网格中的格点，则的值
A. B. C. D.
将一张矩形纸片如图那样折起，使顶点C落在处，测量得则为
A. 2 B. C. D.
二、解答题
已知为一锐角，，求．
在中，已知，求的值．
如图，在中，．
求BC的长；
利用此图形求的值精确到，参考数据：
在中，，求这个三角形的周长．
参考答案
1. A 2. A 3. A 4. C 5. B 6. A 7. A
8. C 9. A 10. A 11. B
12. 解：由，设，
则，
故．??
13. 解：，
，
，
，
，
，
，
．??
14. 解：过A作，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
；
在BC边上取一点M，使得，连接AM，如图2所示：
，
，
．??
15. 解：可设，
则，
由得，
，
的周长为．??
2
1
7.3 特殊角的三角函数
一、选择题
的正弦值为
A. 1 B. C. D.
已知是等腰直角三角形的一个锐角，则的值为
A. B. C. D. 1
的值为
A. B. 2 C. D.
计算的值等于
A. B. C. D.
已知是锐角，，则等于
A. B. C. D.
在中，都是锐角，且，则是
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
的值等于
A. 1 B. C. D.
在中，，则为
A. B. C. D.
若，则为
A. B. C. D.
如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则的值为
A. B. C. D.
在中，，若，则的值等于
A. 1 B. C. D.
二、解答题
计算：．
计算：．
计算：．
计算．
计算：．
计算：．
参考答案
一、1. C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. B 7. C
8. C 9. D 10. D 11. A
二、12. 解：原式
．??
13. 解：原式．??
14. 解：原式．??
15. 解：原式．??
16. 解：原式 ．??
17. 解：
．??
2
1
7.4由三角函数值求锐角
1.若三个锐角α?、β??、γ??满足sinα=0.848，cosβ=0.454, tanγ? =1.804，则α?、β??、γ?的大小关系为（ ）
A.?β＜α＜γ B. α＜?β＜γ C. α＜γ?＜β D. β＜α＜?γ
2. 试比较两个锐角α?、β的大小.
（1）sinα=0.55, tanβ=0.68, 则α?_____β
（2）sinα=0.47, cosβ=0.68, 则α?____β
3. 如图， 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,若BD=4,CD=1,则∠B=??________.（精确到0.1度）
4. 一架梯子靠在一面墙上，已知梯子长5m, 梯子位于地面上的一端离墙壁2. 5m,则梯子与地面所成锐角为_______________________.
5. 在Rt△ABC中, ∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c, a=14, c=20, 则∠B 约为____.
6.已知菱形ABCD 的对角线ACBD交与点O， AO=2, BO=5, 则∠ABC约为_________.（精确到0.1°）
7.如图在Rt△ABC中,∠B=90°，AB=8，∠CAB的平分线AD交BC与D,且 AD=，求∠C的度数及边BC、AC的长度（结果用根号表示）
8.已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案
1. C
2. ＜, ＞
3. 26.6°
4. 60°
5. 8.13°
6. 43.6°
7.∠C=30°，BC=8, AC=16,
8. A
A
C D B
PAGE
3
7.6 锐角三角函数的简单应用
1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=，BC=1，那么的值是________
2、一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
3、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
4、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）
5．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）
6．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）
7．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
8．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
参考答案
1.
2.解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC=≈=50（海里），
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．
3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
4.解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，
设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x?tan42°，
在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x?tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，
∴x?tan42°+x?tan55°=80，解得：x≈34.4，
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；
（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
5. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，
在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．
答：旗杆AB的高度大约是10米．
6. 解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，
在Rt△ACE中，AE=CE?tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．
7. 解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=0.9米，
则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．
8 解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB?cos∠ABO=x?cos60°=x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD?cos∠CDO=x?cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．
PAGE
3
