7.2.4 诱导公式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.sin+2sin+3sin等于( )
A.1 B.
C.0 D.-1
答案C
2.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,它的终边过点P-,-,则sin(π-α)= ( )
A.- B.
C.- D.
解析由三角函数的定义可得sin α=-,则sin(π-α)=sin α=-.
答案A
3.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b
解析因为a=-,b=,c=-,
所以b>a>c.
答案A
4.(多选)化简的结果是 ( )
A.sin 2-cos 2 B.|cos 2-sin 2|
C.±(cos 2-sin 2) D.无法确定
解析原式=|sin(π-2)+cos(π-2)|=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.
答案AB
5.已知tanα-=,且α∈0,,则cos-α= ( )
A.- B.
C.- D.
解析由tanα-=>0,且α∈0,可得0<α-,
则sinα-=,故cos-α=cos-α-=sinα-=.
答案B
6.设tan(5π+α)=m,则的值为 .?
解析由题意知tan α=m,原式=.
答案
7.已知sin,则cos= .?
解析∵,
∴cos=sin.
答案
8.化简:(1)1+cossintan(π+α);
(2).
解(1)原式=1+(-sin α)cos αtan α=1-sin2α=cos2α.
(2)原式=
=
=
=-=-tan α.
9.已知sin(5π+α)=lg,求cos(2π+α)的值.
解∵sin(5π+α)=sin(π+α)=-sin α,
lg=lg 1=-,
∴sin α=,∴cos(2π+α)=cos α=±=±=±.
能力提升
1.已知函数f(x)=cos,则下列等式成立的是( )
A.f(2π-x)=f(x)
B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=f(x)
D.f(-x)=-f(x)
解析f(-x)=cos=cos=f(x).
答案C
2.已知f(cos x)=sin x,设x是第一象限角,则f(sin x)为 ( )
A.sec x B.cos x C.sin x D.1-sin x
解析f(sin x)=f=sin=cos x.
答案B
3.已知α为锐角,2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )
A. B. C. D.
解析由已知可知-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0,
所以tan α=3.
又tan α=,所以9=.
所以sin2α=.
因为α为锐角,所以sin α=.
答案C
4.已知=1,则
的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.6
解析因为原式==tan θ=1,
所以
==1.
答案A
5.已知tan(π-θ)=3,则=( )
A.-1 B.-
C.1 D.
解析由tan(π-θ)=3,得-tan θ=3,即tan θ=-3,
则.
答案D
6.tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 89°= .?
解析因为tan 1°·tan 89°=1,
所以tan 1°·tan 2°·…·tan 89°=×tan 45°=1.
答案1
7.(双空)已知函数f(x)=则f(2)= ,f[f(2)]= .?
解析由题意可得f(2)=lo(2+2)=lo4=-2,则f[f(2)]=cos-=cos.
答案-2
8.已知α是第三象限的角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos,求f(α)的值.
解(1)f(α)==-cos α.
(2)∵cos=-sin α,∴sin α=-.又α是第三象限的角,∴cos α=-=-,
∴f(α)=.
9.已知tan α,是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根,且3π<α<,求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.
解tan α,是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根,1=tan α·(3k2-13),
所以k2=.
因为3π<α<,所以tan α>0,sin α<0,cos α<0.
又tan α+=-=k,所以k>0,故取k=.
于是tan α+,即sin αcos α=.
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=.
因为sin α+cos α<0,所以sin α+cos α=-.
于是cos(3π+α)+sin(π+α)=cos(π+α)+sin(π+α)=-(cos α+sin α)=.
课件22张PPT。7.2.4 诱导公式一、角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系(诱导公式①)
1.已知角β=2kπ+α,k∈Z.
(1)角α与β的终边有什么关系?
提示:终边相同.
(2)作出角β的三角函数线,通过作图,你会发现角α,β的三角函数值有何关系?
提示:(作图略)sin β=sin α,cos β=cos α,tan β=tan α.
2.填空:
(1)诱导公式①
sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,?
tan(α+k·2π)=tan α.?
(2)公式①可概括为:终边相同的角的同名三角函数值相等.3.做一做:
计算:(1)sin 390°= ;?
(2)cos 765°= ;?
(3)tan(-300°)= .?二、角的旋转对称
1.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),其对称轴方程是什么?
提示:x=2.
2.填空:
一般地,角α的终边和角β的终边关于角 的终边所在直线对称.
3.做一做:
60°和120°角的终边关于 角的终边所在的直线对称.?
答案:90°三、角α与-α的三角函数值之间的关系(诱导公式②)
1.对于任意角α,sin(-α),cos(-α),tan(-α) 与sin α,cos α,tan α有关系吗?
提示:有.sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.
2.填空:
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.?
3.做一做:
计算:(1)sin(-45°)= ;?
(2)cos(-765°)= ;?
(3)tan(-750°)= .?四、角α与π±α的三角函数值之间的关系(诱导公式③④)
1.利用三角函数线分析sin(α+π),sin(α-π),cos(α+3π),tan(α-3π)与α的三角函数有什么关系?
提示:sin(α+π)=-sin α,sin(α-π)=-sin α,cos(α+3π)=-cos α,tan(α-3π)=tan α.
2.填空:
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α,
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.?
3.做一做:(1)sin(180°+30°)= ;?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测直接利用诱导公式化简、求值
例1(1)已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是 ( )分析:(1)239°=180°+59° 149°=180°-31° 59°+31°=90°→选择公式化简求值探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:(1)sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)
=-sin 59°(-tan 31°)
=-sin(90°-31°)·(-tan 31°)
=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟解决化简求值问题的策略:
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测给值(式)求值问题 反思感悟解给值(或式)求值的基本思路
给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式作适当化简后再作处理.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用诱导公式证明问题 分析:观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从左边入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边.反思感悟三角恒等式的证明策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分类讨论思想在化简中的应用
典例化简:方法点睛对于式中含有kπ(k∈Z)的情况,将k分为k=2n和k=2n+1(k∈Z)两种情况求解更易于诱导公式的应用.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.sin 600°=( ) 答案:D 答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A 答案:sin 3-cos 3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
