7.2.3 同角三角函数的基本关系式
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知cos α=,且α∈(0,π),则tan α=( )
A. B. C.- D.-
解析∵sin2α+cos2α=1,α∈(0,π),
∴sin α=.
∵tan α=,
∴tan α=.
答案A
2.已知tan α=m,则sin α=( )
A.m B.±m
C.± D.-
答案D
3.已知sin αcos α=,0<α<,则sin α+cos α的值是 ( )
A. B.- C. D.
解析由题意,(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,因为0<α<,所以sin α+cos α>0,则sin α+cos α=.
答案D
4.化简的结果是( )
A.sin 4+cos 4 B.sin 4-cos 4
C.cos 4-sin 4 D.-cos 4-sin 4
解析因为π<4<,所以sin 4<0,cos 4<0.又,所以=|cos 4+sin 4|=-cos 4-sin 4.
答案D
5.若=-1,则α是第 象限的角.?
答案四
6.若tan α=,则sin αcos α的值为 .?
答案
7.证明:
(1)=sin α+cos α;
(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).
证明(1)左边=
=
==sin α+cos α=右边.
故原式成立.
(2)因为左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α
=2+2tan2α+2sin2α-sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)
=1+cos2α+2tan2α+2sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
所以左边=右边,原式成立.
能力提升
1.若tan θ+=4,则sin θcos θ等于( )
A. B. C. D.
解析∵tan θ+=4,∴=4,即=4,sin θcos θ=.故选D.
答案D
2.
在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ=( )
A.1 B. C.- D.-
解析由题意得直角三角形的面积S=,
设三角形的直角边长分别为x,y,
则有?x=,y=,或x=,y=.
因为θ为较小的锐角,
所以sin θ=,cos θ=,
sin2θ-cos2θ=2-2=-,故选C.
答案C
3.(多选)化简的结果是( )
A.cos 160° B.|cos 160°|
C.±cos 160° D.-cos 160°
解析因为160°角为第二象限角,所以=|cos 160°|=-cos 160°,选项B、D正确.
答案BD
4.(双空)已知sin α,cos α是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sin α+cos α= ,m= .?
解析由题意知
∵(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α,
∴=1-m,∴m=.
答案
5.若非零实数m,n满足tan α-sin α=m,tan α+sin α=n,则cos α等于 .?
答案
6.已知A是△ABC的一个内角,且tan A=-,求sin A,cos A的值.
解∵tan A=-,且A是△ABC的一个内角,
∴
0,cos A<0.
由解得
7.已知tan α=m(m≠0),求sin α和cos α的值.
解∵=tan α=m,∴sin α=mcos α.
又sin2α+cos2α=1,∴m2cos2α+cos2α=1,
∴cos2α=.
当α为第一或第四象限的角时,cos α=,sin α=;
当α为第二或第三象限的角时,cos α=-,sin α=-.
8.求证:sin α(1+tan α)+cos α1+=.
证明因为左边=sin α1++cos α1+
=sin α++cos α+
=
==右边,所以原等式成立.
9.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:
(1)m的值;
(2)方程的两根及此时θ的值.
解由根与系数的关系,可知
(1)由①式平方得1+2sin θcos θ=,
所以sin θcos θ=.
综合②得,所以m=.
由③得m≤,而,
所以m=.
(2)当m=时,原方程变为2x2-(+1)x+=0,解得x1=,x2=.
所以
又因为θ∈(0,2π),所以θ=或θ=.
课件25张PPT。7.2.3 同角三角函数的基本关系式1.若P为单位圆,与角α终边的交点坐标为(x,y),则sin α,cos α各为何值?x与y有什么关系?
提示:sin α=y,cos α=x,x2+y2=1.
2.填空:(1)同角三角函数的基本关系式:
当α∈R 时,sin2α+cos2α=1;(2)关系式的变形 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用同角三角函数基本关系式求值 分析:先利用平方关系求出sin α的值,再利用商关系求出tan α的值.在求sin α的值时,先由余弦值为负确定角α的终边在第二或第三象限,然后分象限讨论.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测易错警示利用同角基本关系式解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值
(1)对分式齐次式,因为cos α≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tan α的代数式,从而得解;
(2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tan α的代数式,从而得解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用同角三角函数关系式化简
例3化简:所以|sin 40°-cos 40°|=cos 40°-sin 40°.
(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β
=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β
=cos2β+sin2β=1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用同角三角函数关系式证明 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.证明恒等式的常用思路:
(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;
(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;
(3)比较法(作差法,作比法).
2.常用的技巧:
(1)巧用“1”的代换;
(2)化切为弦;
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3已知tan2α=2tan2β+1,求证sin2β=2sin2α-1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测平方关系的应用技巧
在sin α+cos α,sin α-cos α和sin αcos α三个式子中,已知其中一个可以求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.另外,在化简、证明时,经常利用“1”的代换,将1±2sin αcos α化为完全平方式(sin α±cos α)2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测典例已知sin α+cos α=m(m≠1),求下列各式的值.
(1)sin αcos α;(3)sin3α+cos3α. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛可以通过平方、切化弦、分解因式或配方等手段将所求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求值的目的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.若α是三角形的一个内角,且sin α+cos α= ,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案:D答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测