第七章三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列说法正确的是( )
A.[0°,90°)的角是第一象限的角
B.第一象限的角都是锐角
C.平角跟周角不是象限内的角
D.钝角是大于第一象限的角
答案C
2.若α为第一象限的角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在象限为( )
A.第一象限 B.第一或第二象限
C.第一或第三象限 D.第一或第四象限
解析若k为偶数,则k·180°+α的终边在第一象限;若k为奇数,则k·180°+α的终边在第三象限.
答案C
3.(多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是( )
A.-75°角是第四象限的角
B.225°角是第三象限的角
C.475°角是第二象限的角
D.-315°角是第一象限的角
解析因为-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以ABCD四个选项都是正确的.
答案ABCD
4.与-420°角终边相同的角是( )
A.-120° B.420° C.660° D.280°
解析与-420°角终边相同的角为k·360°-420°,k∈Z.
当k=3时,3×360°-420°=660°.
答案C
5.终边与坐标轴重合的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
答案C
6.若角α和β的终边关于直线y=-x对称,且α=30°,则β= .?
解析如图,OA为角α的终边,OB为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性,知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=k·360°-120°,k∈Z.
答案k·360°-120°,k∈Z
7.已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解(1)∵-1 910°=-6×360°+250°,
∴β=250°,即α=250°-6×360°.
又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.
(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).
∵-720°≤θ<0°,
∴-720°≤250°+k·360°<0°,
解得-9736≤k<-2536.
又k∈Z,∴k=-1或k=-2.
∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.
8.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它们所成的角为多少?
解时针每小时转-360°12,即-30°,则每分钟转-0.5°,而分针每分钟转-360°60,即-6°.故2小时15分钟后,时针转过(2×60+15)×(-0.5°)=-67.5°,分针转过(2×60+15)×(-6°)=-810°.
2小时15分钟后为10点20分.此时如图所示,分针指向4,时针则由10转过了20×(-0.5°)=-10°,故此时时针和分针所成的角为170°.
能力提升
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角必是第一、第二象限角
B.第二象限角必是钝角
C.不相等的角终边一定不同
D.锐角一定是第一象限角
解析90°的角可以是三角形的内角,但它不是第一、第二象限角,排除A;460°的角是第二象限角,但不是钝角,排除B;390°的角与30°的角不相等,但是它们的终边相同,排除C;易得D正确.
答案D
2.(多选)如果α是第三象限的角,那么α3可能是下列哪个象限的角( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为α是第三象限的角,则α∈(k·360°+180°,k·360°+270°),k∈Z,所以α3∈(k·120°+60°,k·120°+90°),k∈Z,所以α3可以是第一、第三、第四象限角.
答案ACD
3.若角α与45°角的终边相同,角β与-135°角的终边相同,则α与β之间的关系是( )
A.α+β=-50°
B.α-β=180°
C.α+β=k·360°+180°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)
解析α=k1·360°+45°(k1∈Z),β=k2·360°-135°(k2∈Z),α-β=k·360°+180°,k∈Z.
答案D
4.
如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α<315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
解析在(-360°,360°)范围内,终边落在阴影部分的角可表示为[-45°,120°],再写出终边相同的角的集合,即{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}.
答案C
5.已知集合M=xx=k2·180°+45°,k∈Z,P=xx=k4·180°+45°,k∈Z,则集合M与P之间的关系为( )
A.M?P B.P?M
C.P=M D.P∪M=M
解析因为M={x|x=90°·k+45°,k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°,k∈Z},P={x|x=45°·k+45°,k∈Z}={x|x=(k+1)·45°,k∈Z},所以M?P.
答案A
6.若α为锐角,则-α+k·180°(k∈Z)的终边所在的象限是 .?
解析因为α为锐角,所以-α的终边在第四象限.所以-α+k·180°(k∈Z)的终边在第二或第四象限,注意将k分成奇数与偶数讨论.
答案第二或第四象限
7.若α、β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= .?
解析先求出β的一个角,β=α+180°=60°,再由终边相同的角的概念知,β=k·360°+60°,k∈Z.
答案k·360°+60°,k∈Z
8.若角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,求β.
解在(-360°,0°)范围内,与-60°角关于直线x+y=0对称的角为-30°角,所以β=k·360°-30°(k∈Z).
9.若角β的终边落在150°角终边所在的直线上,写出角β的集合;当β∈(-360°,360°)时,求β.
解因为角β的终边落在150°角终边所在的直线上,
所以在[0°,360°)内的角为150°和330°.
所以β的集合A={β|β=k·360°+150°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+330°,k∈Z}={β|β=(2k+1)180°-30°,k∈Z}∪{β|β=(2k+2)180°-30°,k∈Z}={β|β=n·180°-30°,n∈Z},即满足要求的角β的集合A={β|β=n·180°-30°,n∈Z}.
令-360°得-156所以当β∈(-360°,360°)时,β=-210°,-30°,150°,330°.
课件22张PPT。7.1.1 角的推广一、角的概念的推广
1.如图,射线OA绕端点O旋转,请回答下面问题:(1)当OA旋转到OB时,角的始边、终边、顶点各是什么?
提示:始边为OA,终边为OB,顶点为O.
(2)若OA按逆时针旋转,第一次到OB时,∠AOB多大?
提示:∠AOB=120°.
(3)若将(2)改为顺时针呢?
提示:∠AOB=-240°.
(4)若OA按逆时针旋转120°到OB位置,再按顺时针方向旋转200°到OC位置,则∠AOC多大?
提示:∠AOC=120°-200°=-80°.2.填空:
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有两个相反的方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角称为正角;按照顺时针方向转旋而成的角称为负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为零角.这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角.
3.做一做:一个角为30°,其终边按顺时针方向旋转三周后与这个角的始边构成的角度是多少?
解:终边按顺时针方向旋转三周,转过的角度为-360°×3=-1 080°,再加上原来的30°,可得旋转后的角度是-1 050°.二、象限角
1.30°,-45°角分别是第几象限角?
提示:30°角是第一象限角,-45°角是第四象限角.
2.30°,390°,-330°角的终边有什么关系?
提示:终边相同.3.填空:
(1)象限角的定义:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
(2)象限角的集合:(3)终边相同的角
任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.4.做一做:与-150°角终边相同的角可表示为 ,它是第 象限的角.?
答案:k·360°-150°(k∈Z) 三探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 有关角的概念问题
例1下列各种说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角就是锐角
C.锐角是第一象限的角
D.小于90°的角都是锐角
解:析:根据锐角和第一象限的角的定义来进行判定.
因为锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限的角的集合是{α|k·360°<α-60°角与300°角是终边相同的角,它们并不相等,故选项A错误;390°角是第一象限的角,但它不是锐角,故选项B错误;-30°角是小于90°的角,但它不是锐角,故选项D错误.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判断角的概念问题的关键与技巧
(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.
(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1判断下列说法是否正确:
(1)第一象限的角小于第二象限的角;
(2)若90°≤α≤180°,则α为第二象限的角.
解:(1)不正确.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,显然390°>120°,所以(1)是错误的.
(2)不正确.其中90°,180°角都不是象限角,显然(2)是错误的.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测终边相同的角的问题
例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中,
(1)有几种终边不相同的角?
(2)在集合S中有几个在[-360°,360°)内的角?
分析:从代数角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,…,可以得α为…,-135°,-45°,45°,135°,225°,…;从图形角度看,是以45°角为基础,依次加上(或减去)90°的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得各角,如图所示,结合图形求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角的终边相同的角.又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
所以在[-360°,360°)内的角共有8个.反思感悟运用终边相同的角的注意事项
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下四点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉.
(2)α是任意角.
(3)k·360°与α之间用“+”连接.
(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2如图所示,写出终边落在直线y= x上的角的集合.S=S1∪S2={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测终边相同的角的集合之间的关系
例3已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
解:因为30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,
所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;
当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,
所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内,集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内.所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
所以A∩B={α|30°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟区域角表示的步骤
(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域;(2)确定-360°<α<360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角;(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用图形数形结合解题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°<α<90°+k·120°,k∈Z},求A∩B.
解:对于集合A,当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<α<90°+n·360°.
当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<α<210°+n·360°.
当n=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<α<330°+n·360°.
故A∩B={α|k·360°-45°<αA.第一象限的角一定不是负角
B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限的角
D.终边和始边都相同的角一定相等
答案:C
2.和-463°角终边相同的角可以表示为( )
A.k·360°+463°(k∈Z) B.k·360°+103°(k∈Z)
C.k·360°+257°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z)
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:第二或第四
4.终边在120°角终边所在直线上的所有角的集合是 ,上述集合在[-180°,180°)内的角是 .?
解:析:所求角的集合是{α|α=k·360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}
={α|α=n·180°+120°,n∈Z}.当n=-1,0时,
取得在[-180°,180°)内的角为-60°,120°.
答案:{α|α=n·180°+120°,n∈Z} -60°,120°探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.写出与角α=-1 910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
解:由终边相同的角的表示知,与角α=-1 910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+250°,k∈Z}.
因为-720°≤β<360°,
由-720°≤k·360°+250°<360°(k∈Z),当k=-2时,β=-2×360°+250°=-470°.
当k=-1时,β=-1×360°+250°=-110°.
当k=0时,β=0×360°+250°=250°.
所以符合不等式的元素β为-470°,-110°,250°.
