9.3.3 平行四边形
1、教学目标
1. 进一步经历探索平行四边形条件的过程；
2． 平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件的灵活的运用．
2.教学重点
发展学生的探究意识和有条理的表达能力．
3、教学难点
四边形是平行四边形的条件的灵活的运用．
4、教学过程：
1）课堂导入
画两条相交直线a、b，设交点为O．在直线a上截取OA＝OC，在直线b上截取OB＝OD，连接AB、BC、CD、DA．
你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗？
2）重点讲解
如图，直线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在ΔAOB和ΔCOD中，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
OB=OD，
∴ ΔAOB≌ΔCOD
∴AB=CD.
同理AD=CB
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
3）问题探究
已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
证明：连接BD，BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
思考：你还有其他方法证明吗？
证明：∵OA=OC，AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF.
在ΔBOE和ΔDOF中，
OE=OF，
∠BOE=∠DOF，
OB=OD，
∴ΔBOE≌ΔDOF（SAS），
∴BE=DF.
同理BF=DE.
∴四边形EBFD是平行四边形.
4）难点剖析
如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形．试证明这个结论．
证明：
假设四边形ABCD是平行四边形，
那么OA=OC，OB=OD，
这与条件OB≠OD矛盾.
所以四边形ABCD不是平行四边形
我们在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因为命题的结论成立.这样证明的方法称为反证法.
5）训练提升
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE ( )
A．55° B．35° C．25° D．30°
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，若∠ABE＝∠EBC，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长是_______．
4．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是_______度．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于_______．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
8．如图，□ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为( )
A．4cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
9．△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上．已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数 ( )
A．等于80° B．等于90°
C．等于100° D．条件不足，无法判断
10．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是_______．
11．如图，□ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为_______．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC．求证：PB≠PC．
13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
14．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
(1)求证：BE＝DF；
(2)若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM－BN，试猜想四边形MENF的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．B 2．B 3．12 4．45 5．3 6．略
7．D 8．C 9．B 10．3
5、板书设计：
9.3.3 平行四边形
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2
（四）课堂练习 练习设计
6、教学反思：
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
(共15张PPT)
>> 课程名称
9.3.3 平行四边形
平行四边形的判定方法：
（1）（定义）两组对边分别 的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形
（3）一组对边 的四边形是平行四边形
（4）对角线 的四边形是平行四边形
平行
相等
平行且相等
平行互相平分
>> 情景导入
>> 要点学习
1. 平行四边形的判定条件；
2. 利用平行四边形的判定方法及性质解决有关问题．
画两条相交直线a、b，设交点为O.
在直线a上截取OA＝OC，在直线b上截取OB＝OD，连接AB、BC、CD、DA.
你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗？
A
B
C
D
O
>> 问题探究
合作探究
如图，直线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
D
B
C
O
证明：在ΔAOB和ΔCOD中，
OA=OC，
∠AOB=∠COD，
OB=OD，
∴ ΔAOB≌ΔCOD
∴AB=CD.
同理AD=CB
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A
B
C
D
O
于是，得到定理
>> 问题探究
例题
已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形．
思考：你还有其他方法证明吗？
证明：连接BD，BD交AC于点O.
O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
>> 难点剖析
证明：∵OA=OC，AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF.
在ΔBOE和ΔDOF中，
OE=OF，
∠BOE=∠DOF，
OB=OD，
∴ΔBOE≌ΔDOF（SAS），
∴BE=DF.
同理BF=DE.
∴四边形EBFD是平行四边形.
讨论交流
如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形.试证明这个结论.
A
B
C
D
O
证明：
假设四边形ABCD是平行四边形，
那么OA=OC，OB=OD，
这与条件OB≠OD矛盾.
所以四边形ABCD不是平行四边形
我们在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因为命题的结论成立.这样证明的方法称为反证法.
>> 难点剖析
1.判断
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是
平行四边形; ( )
(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形 ( )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行
边形; ( )
(4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行
四边形; ( ）
(5)两组邻角互补的四边形是平行四边形. ( )
×
√
√
×
×
>> 随堂巩固训练
已知AB、CD交于O，AC ∥DB，OA＝OB，E、F为OC、OD的中点，
求证：四边形AFBE为平行四边形
>> 随堂巩固训练
如图:在平行四边形ABCD中,E、F、G、H分别是各
边上的点，且AE=CF，BG=DH。求证：EF与GH互相平分。
>> 知识拓展
A
B
C
D
E
如图:AD是ΔABC的边BC边上的中线.
(1)画图:延长AD到点E,
使DE=AD,连接BE,CE;
(2)判断四边形ABEC的
形状,并说明理由.
>> 知识拓展
平行四边形的判定:
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
平行四边形
对角线互相平分
>> 知识小结概括
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形的条件:
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
>> 知识导图
9.3.3 平行四边形
1、基础夯实
单项选择题：
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选C．
2．在?ABCD中，AB=3，BC=4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【分析】当?ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：当?ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，
∴AC==5，
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选：B．
3．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B．
4．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
【分析】由?ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
【解答】解：∵?ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE=BC=4cm；
故选：B．
5．如图，在?ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（ ）
A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，
【解答】解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA=∠BAH，
∴∠DAH=∠DHA，
∴AD=DH，
∴BC=DH，
故选D．
6．在?ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（ ）
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在?ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=8，
∴AB=5；
②在?ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为3或5．
故选D．
7．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE﹣AD=2，
即6+6﹣AD=2，
解得：AD=10；
故选：B．
8．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE=DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE=∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
9．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，
∴S2=S1﹣S3，
∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．
故选A．
10．如图，在?ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．
【解答】解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG===2，
故选：C．
2、能力提升
非选择题（共5道）
1．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为 110° ．
【分析】首先由在?ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．
故答案为：110°．
2．如图，?ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是 1＜a＜7 ．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=4，OD=BD=3，
在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．
即1＜a＜7；
故答案为：1＜a＜7．
3．如图所示，在?ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 50° ．
【分析】由“平行四边形的对边相互平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又∵∠C=40°，
∴∠ABF=40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠BEF=90°﹣40°=50°．
故答案是：50°．
4．如图，在?ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长 4 cm．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．
【解答】解：在?ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，
∵AC⊥BC，
∴AC==6cm，
∴OC=3cm，
∴BO==5cm，
∴BD=10cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，
故答案为：4．
5．如图，已知?OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 5 ．
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB=．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
3、个性创新
选答题（共1-3个）
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE?BF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF===2，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE?BF=×4×2=4．
2．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【分析】（1）由在?ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；
（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE=∠FCE，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC；
（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，
∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．
3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出∠E=∠DCE，由已知条件得出BE=BC，由等腰三角形的性质得出∠E=∠BCE，得出∠DCE=∠BCE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠E=∠DCE，
∵AE+CD=AD，
∴BE=BC，
∴∠E=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCE，
即CE平分∠BCD．
4、其他题型（自由添加）
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求?ABCD的周长．
【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出?ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴?ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
9.3.3 平行四边形
平行四边形的性质与判别点拨
一、平行四边形的性质
1．把握平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.理解平行四边形的定义一定要把握“两组对边分别平行”这一条件.只有一组对边平行的四边形不是平行四边形.平行四边形是一种特殊的四边形，研究平行四边形问题一般需要转化三角形问题解决.
2．平行四边形的性质
研究平行四边形的性质应从三个方面进行：
（1）边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等.
如图1，四边形ABCD是平行四边形，则有：AB//CD，AD//BC；AB=CD，AD=BC.
图1 图2
提示：利用平行四边形边的性质可解决求边长、求周长问题和说明线段相等等说理问题.
（2）角的性质：平行四边形的对角相等.
如图1，四边形ABCD是平行四边形，则有：∠A=∠C，∠B=∠D.
提示：根据平行四边形角的性质可解决角度计算问题，说明角相等或互补等说理问题.
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分.
如图2，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点0，则OA=OC，OB=OD.
提示：利用对角线的性质可以解决线段长度的计算问题，确定边的取值范围问题以及说明线段相等或倍数关系等说理题.利用对角线的性质解决具体问题常和全等三角形以及直角三角形有关知识相结合.
说明：除了具有以上性质外，平行四边形的邻角互补；一般的平行四边形不是轴对称图形也不是中心对称图形.
3．平行线之间的距离
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离.
提示：（1）平行线间的距离是指从两条平行线上的一点向另一条直线所作的垂线段的长度，而不是线段.
（2）夹在两条平行线的平行线段相等，平行线间的垂线段处处相等.
二、平行四边形的识别
平行四边形的识别方法有以下几种：
1． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
如图3，若AB//CD，AD//BC，则四边形ABCD是平行四边形.
图3 图4
2． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如图3，如果AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形.
3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图3，若AB//CD且AB= CD或AD//BC，且AD=BC，则四边形是平行四边形.
4．如图4，如果四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，OA=OC，OB=0D，则四边形ABCD是平行四边形.
提示：（1）以上是识别一个四边形是平行四边形的四种识别方法，每种识别方法都非常重要，在解决识别一个四边形是平行四边形的说理问题中，要根据题目的已知条件，灵活选用这四种方法.如已知条件和边的平行或相等有关，则可考虑前三种的一种进行说理；已知条件涉及到对角线，可从对角线互相平分上去思考说理方法.
（2）利用平行四边形的识别方法可以解决说明一个四边形是平行四边形的说理问题.在解决实际问题时，有时需要将平行四边形的性质与识别方法联合起来使用.
三、和平行四边形有关的数学思想
1．转化思想：解决平行四边形问题，应注意转化思想的应用.如把平行四边形问题转换为三角形有关知识解决等.
2．方程思想：在解决平行四边形的边长或角度问题时，往往需要设未知数根据边或角之间的关系列出方程.如知道了平行四边形边长之间的比例关系，可根据比例关系设未知数，列方程求解.
3．整体思想：在求平行四边形的周长时，对于有关的题目不一定能求到每条边的长，可求到两邻边的和，通过这一整体求到平行四边形的周长.
利用平行四边形的性质计算
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有一般四边形的性质外，还有如下特殊的性质：
1．对角相等
2．对边平行且相等
3．对角线互相平分．
巧用这些性质，可以在四边形的计算中找到很好的解题途径．
一、平行四边形的对角线互相平分
例1．如图已知的对角线交点，AC=38cm， BD=24cm，AD=14cm，△AOB与△AOD的周长之差为6cm，求AB的长．
解：∵ABCD为平行四边形，
∴AO=1/2AC=19cm，OB=OD=1/2BD=12cm．
∵（OA+OB+AB）－（OA＋OD+AD）=6
∴AB－AD=6
又AD=14cm，∴AB=20cm．
二、平行四边形的对边平行
例2．如图在的中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AE：EF：FB=（ ）
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD ∴∠1=∠2．
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴EB =BC=4．
∵BF=1/2AB=1/2×6=3
∴EF=EB－BF=4－3=1
∴AE=AB－BE=6－4=2
∴AE：EF：FB=2：1：3
三、平行四边形的对边相等．
例3．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于E，AF 平分∠DAB交DC于F，若AB =5，BC=3，求EF的长．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，DC=AB=5．
∴AB∥CD ∴∠1=∠2．
∵AF是∠DAB的角平分线，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴DF=AD=3
同理CE=CB=3．
∵DF+CE=CD+EF，∴3+3=5+EF，∴EF=1
四、利用性质解综合题．
例4．如图 在的中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6．的周长为40．求平行四边形ABCD的面积
解：在 ABCD中因为AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
S=BC·AE=CD·AF
∵AE=4，AF=6
∴4BC=6CD，即BC=1.5CD．
∵AB=CD，AD=BC，AB+BC+CD+DA=40
∴BC+CD=20，∴1.5CD+CD=20
∴CD=8，∴S=CD·AF=48
9.3.3 平行四边形
1.学习目标：
1)知识目标
进一步掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.
2)能力目标
培养有条理的表达能力，规范书写格式.
2.学习重难点：
平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件的灵活的运用.
3.学习过程
1）自主学习：
1．平行四边形有哪些性质？
2．判别四边形是平行四边形的条件有哪些？
3．练习
（1）如图，平行四边形ABCD中∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠ABE＝（ ）．
（A）18°（B）36°（C）72°（D）108°
（2）下列特征中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．邻角互补 B．对角互补 C．对角相等 D．内角和为360°
（3）⊿ABC中，D、E分别为AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，AB=12，BC=10，则四边形BCFD的周长为 .
（4）在□ABCD中，已知AB=6,周长等于22，求其余三条边的长.
（5）平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠A、∠D的平分线交BC于E、F，求EF的长.
2）即时巩固：
如图，在口ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，AE=CF.四边形DEBF是平行四边形吗？为什么？
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可以得到AB平行且等于 ，由AE=CF，从而可得 .
即可得到四边形DEBF是 .依据是：
.
3）要点理解：
如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC,AD于点E,F，G,H分别为OB,OD的中点，四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？
分析：本题提到了对角线，就顺着这一思路，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形这一条件.
4）难点探究：
如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，
四边形AECF是平行四边形吗？为什么？
5．学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
5）点评答疑：
让学生初步接触反证法．引导学生独立思考，自主探究，并通过合作交流，完善说理，学会有条理的表达．
6）训练提升：
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE ( )
A．55° B．35° C．25° D．30°
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，若∠ABE＝∠EBC，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长是_______．
4．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是_______度．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于_______．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
8．如图，□ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为( )
A．4cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
9．△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上．已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数 ( )
A．等于80° B．等于90°
C．等于100° D．条件不足，无法判断
10．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是_______．
11．如图，□ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为_______．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC．求证：PB≠PC．
13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
14．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
(1)求证：BE＝DF；
(2)若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM－BN，试猜想四边形MENF的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．B 2．B 3．12 4．45 5．3 6．略
7．D 8．C 9．B 10．3
7）课堂小结：
谈谈这节课你的收获有哪些？
