2020年北师大版八年级下册1.2 直角三角形同步练习题 解析版

2020年北师大版八年级下册1.2 直角三角形同步练习题
一．填空题（共18小题）
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　 　．

2．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为　 　．

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则AC＝　 　．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝60°，那么∠A＝　 　°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE＝50°，则∠C＝　 　．

6．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2，那么AC＝　 　．
7．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为　 　时，△AOP为直角三角形．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为　 　．

9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝　 　°．

10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝20，则BC＝　 　．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝6，则BD＝　 　．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D点，AB＝4，则AD的长是　 　．

13．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4cm，AB＝　 　cm．
14．如图，已知∠AOB＝60°，点C在边OA上，点D、E在边OB上，CD＝CE，OC＝12，DE＝2，则OD＝　 　．

15．如图，已知∠AOB＝60°，点P是OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON＝　 　cm．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝　 　°．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，若∠B＝30°，DE＝3，则BC＝　 　．

18．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，则∠C的度数为　 　°．

二．解答题（共3小题）
19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB．
（1）求∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．

20．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，且CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）求证：∠B＝2∠ECB．

21．如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为斜边作Rt△ADC，∠ADC＝90°，且AD∥BC，连结BD交AC于点E．
（1）求证：BC＝2AD．
（2）若BC＝4，求BE的长．




参考答案与试题解析
一．填空题（共18小题）
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　AB＝AC　．

【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
2．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为　　．

【分析】根据三角形的面积公式以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝1，
∴由勾股定理可知：CD＝，
∴△BAC的面积为：×AB×CD＝，
故答案为：．

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则AC＝　3　．
【分析】利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出BC的长度，再利用勾股定理即可求出AC的长度．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，
∴AC＝＝3．
故答案为：3．

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝60°，那么∠A＝　75　°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝60°，
∴2∠A＝150°，
∴∠A＝75°．
故答案为：75．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE＝50°，则∠C＝　20°　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质和直角三角形性质即可求解．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，∴∠C＝∠EAC，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAE＝50°，
∴2∠C+50°＝90°，
∴∠C＝20°．
故答案为20°．
6．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2，那么AC＝　　．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB＝2AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
设AC＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（2x）2＝x2+22，
解得，x＝，即AC＝，
故答案为：．
7．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为　90°或40°　时，△AOP为直角三角形．

【分析】分两种情况：①∠A为直角；②∠APO为直角．
【解答】解：若△AOP为直角三角形，则
①∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；
②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°．
故答案为90°或40°．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为　6°　．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，
∵△CDE是△CDA翻折得到，
∴∠CED＝∠A＝48°，
在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，
即48°＝42°+∠EDB，
∴∠EDB＝6°．
故答案为：6°．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝　46　°．

【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝46°，
故答案为：46．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝20，则BC＝　10　．

【分析】先求出∠ABC＝60°，再求出∠CBD＝∠ABD＝30°，得出∠ABD＝∠A，求出BD，再求出CD，最后根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠A
∴AD＝BD＝20，
∴CD＝BD＝10，
∴BC＝＝＝10．
故答案为：10．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝6，则BD＝　12　．

【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD＝2CD＝12，
故答案为12．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D点，AB＝4，则AD的长是　1　．

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到AC＝AB＝2，根据同角的余角相等得到∠ACD＝30°，根据30度角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴AD＝AC＝1，
故答案为：1．
13．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝4cm，AB＝　8　cm．
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”和“30度角所对的直角边等于斜边的一半”解答．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，
∴∠A＝90°×＝30°，
∵BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm．
故答案是：8．

14．如图，已知∠AOB＝60°，点C在边OA上，点D、E在边OB上，CD＝CE，OC＝12，DE＝2，则OD＝　5　．

【分析】如图，作CH⊥OB于H．解直角三角形求出OH，DH即可．
【解答】解：如图，作CH⊥OB于H．

∵CD＝CE，CH⊥DE，
∴DH＝HE＝1，
在Rt△OCH中，∵OC＝12，∠O＝60°，
∴∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝6，
∴OD＝OH﹣DH＝6﹣1＝5，
故答案为5．
15．如图，已知∠AOB＝60°，点P是OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON＝　5　cm．

【分析】过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM＝PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN＝2求出DN的长，由OD+DN即可求出ON的长．
【解答】解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4cm，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝MN＝1cm，
∴ON＝OD+DN＝4+1＝5cm．
故答案为：5．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝　35　°．

【分析】利用三角形的内角和定理求出∠CEB，再证明∠A＝∠EBA，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°，
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠CEB＝∠A+∠EBA，
∴∠A＝∠EBA＝35°，
故答案为35
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，若∠B＝30°，DE＝3，则BC＝　9　．

【分析】如图，连接AE．想办法证明EC＝ED，BE＝2DE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE．

∵DE垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，
∴∠B＝∠BAE＝30°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠EAC＝∠EAD＝90°，
∵DE⊥AB，EC⊥AC，
∴ED＝EC＝3，
在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，
∴BE＝2DE＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+3＝9，
故答案为9．
18．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，则∠C的度数为　30　°．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，得到∠DBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C＝30°．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴∠DBC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，
故答案为：30
二．解答题（共3小题）
19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB．
（1）求∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．

【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ACE的度数．
（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出∠CFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
又∵CF平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°；

（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
20．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，且CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）求证：∠B＝2∠ECB．

【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据三角形的外角性质证明．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，点E是AB 的中点，
∴DE＝AB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠DCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE．

21．如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为斜边作Rt△ADC，∠ADC＝90°，且AD∥BC，连结BD交AC于点E．
（1）求证：BC＝2AD．
（2）若BC＝4，求BE的长．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，根据平行线的性质得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质证明；
（2）根据勾股定理分别求出CD、BD，根据相似三角形的性质得到BE＝2DE，计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD，
∵AC＝BC，
∴BC＝2AD．
（2）解：由勾股定理得，CD＝＝2，
∴BD＝＝2，
∵AD∥BC，
∴＝＝2，
∴BE＝BD＝．











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