人教版八年级下册数学17.1 勾股定理同步练习解析版

人教版八年级下册17.1 勾股定理同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个正方形的面积S3，为（　　）

A．13 B．200 C．169 D．225
2．Rt△ABC中，斜边BC＝2，分别以这个三角形三边为边作正方形，则这三个正方形的面积和为（　　）

A．5 B．10 C．20 D．40
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
4．如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
6．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（　　）

A．3 B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2＝（　　）
A．9 B．18 C．20 D．24
8．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　）

A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2
9．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（　　）

A．30 B．25 C．20 D．15
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则AB边上的高是（　　）
A． B． C． D．
二．解答题（共8小题）
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求AB的长．

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．

13．一个直角三角形的斜边长15cm，一条直角边比另一条直角边长3cm．求两条直角边的长度．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AB⊥AD，BC＝12．
（1）求BD的长；
（2）当CD为何值时，△BDC是以CD为斜边的直角三角形？
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

15．如图：Rt△ABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC＝3，BC＝5，求AE的长．

16．直角三角形两直角边长分别为AB＝5和BC＝12，求它斜边AC上的高．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长；
（3）求AB边上的高．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12，BC＝5，求BD的长．




参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个正方形的面积S3，为（　　）

A．13 B．200 C．169 D．225
【分析】根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：S1+S2＝S3．则S3为169．
【解答】解：由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，
所以斜边的平方为144+25＝169，即面积S3为169．
故选：C．
2．Rt△ABC中，斜边BC＝2，分别以这个三角形三边为边作正方形，则这三个正方形的面积和为（　　）

A．5 B．10 C．20 D．40
【分析】求出BC2，根据勾股定理求出AC2+AB2＝BC2＝20，再根据正方形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，
∴BC2＝（2）2＝20，
∴由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2＝20，
∴这三个正方形的面积和为AB2+AC2+BC2＝20+20＝40，
故选：D．
3．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
4．如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PB＝PC即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【解答】解：PB＝，
∴PB＝PC，
∴OC＝PC﹣1＝﹣1，
∴点C的数为﹣1，
故选：B．
5．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示0，可得D点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AD＝，
∵A点表示0，
∴D点表示的数为：﹣，
故选：B．
6．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】由勾股定理求出AC的长，再由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出△ABC的面积，即可得出AC边上的高．
【解答】解：∵AC＝＝，△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×2×1﹣×3×1＝，
∴则AC边上的高＝＝；
故选：C．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2＝（　　）
A．9 B．18 C．20 D．24
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，
∴AB2+BC2+AC2＝2AB2＝18，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　）

A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2
【分析】根据勾股定理求出OP．根据坐标与图形性质计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，OP＝＝，
由题意得，OA＝OP＝，
则点A的横坐标为﹣，
故选：C．
9．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（　　）

A．30 B．25 C．20 D．15
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
∴HG＝EF＝4，
∴BH＝16，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20．
故选：C．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则AB边上的高是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．
【解答】解：设AB边上的高为h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝15，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?h，
∴h＝＝．
故选：A．
二．解答题（共8小题）
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求AB的长．

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可直接证明△BCD是直角三角形；
（2）设AD＝x，则AC＝x+3，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．
【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，
∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD⊥AC；

（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．
∵AB＝AC，
∴AB＝x+3．
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB2＝AD2+BD2，
即（x+3）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴AB＝+3＝．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．

【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：设AD＝x，则AC＝32﹣x，
∵AD⊥BC于点D，
∴△ADC和△ADB是直角三角形，
∵CD＝16，
∴x2+162＝（32﹣x）2，
解得：x＝12，
∴AD＝12，
在直角三角形ABD中，AB＝＝13．
13．一个直角三角形的斜边长15cm，一条直角边比另一条直角边长3cm．求两条直角边的长度．
【分析】设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，
由题意，得x2+（x+3）2＝152，
解得x＝9或x＝﹣12（舍去）
则x+3＝9+3＝12（cm）．
答：较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AB⊥AD，BC＝12．
（1）求BD的长；
（2）当CD为何值时，△BDC是以CD为斜边的直角三角形？
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）在直角△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理求得x的值；
（3）四边形ABCD的面积由两个直角三角形组成，利用三角形的面积公式解答．
【解答】解：（1）如图，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．
∴BD＝＝5，即BD的长度是5；

（2）在直角△BCD中，BD＝5，BC＝12．
因为CD为斜边，CD＝＝13．
即CD为13时，△BDC为直角三角形；

（3）S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?ADBD?BC＝5×12＝36．
综上所述，四边形ABCD的面积是36．

15．如图：Rt△ABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC＝3，BC＝5，求AE的长．

【分析】连接CE，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EB，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：连接CE，
由勾股定理得，AB＝＝＝4，
∵DE是BC的中垂线，
∴EC＝EB＝4﹣AE，
由勾股定理得，AC2+AE2＝EC2，即32+AE2＝（4﹣AE）2，
解得，AE＝．

16．直角三角形两直角边长分别为AB＝5和BC＝12，求它斜边AC上的高．
【分析】设斜边AC上的高为h，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：设斜边AC上的高为h，
由勾股定理得，AC＝＝＝13，
则×5×12＝×13×h，
解得，h＝，
答：斜边AC上的高为．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长；
（3）求AB边上的高．

【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题；
（2）根据勾股定理可以解答本题；
（3）根据等积法可以解答本题．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，
∴Rt△ABC的面积＝AC?BC＝×（）（）＝4，
即Rt△ABC的面积是4；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝2，
即AB的长是2；

（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，AB＝2，
∴AB边上的高是：＝，
即AB边上的高是．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12，BC＝5，求BD的长．

【分析】在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长，再根据三角形ABC的面积为定值可求出CD的长，再利用勾股定理即可求出BD的长
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∵AB?CD＝AC?BC
∴CD＝＝，
∴BD＝＝．











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