人教版八年级下册数学17.2 勾股定理的逆定理同步练习题解析版

人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理同步练习题
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，5，7
2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（　　）

A．4米 B．大于4米 C．小于4米 D．无法计算
4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．144 C．13 D．194
5．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1）、A（﹣1，﹣3），点A关于点P的对称点为B，在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列说法中，不正确的是（　　）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
7．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（　　）

A．8 B．9 C． D．10
8．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）

A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
10．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
二．填空题（共6小题）
11．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距　 　km．
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　 　．

13．若△ABC的三边长分别为5、13、12，则△ABC的形状是　 　．
14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　米．

15．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝　 　．

16．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是　 　．

三．解答题（共6小题）
17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．

18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）

19．如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．

20．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE＝4，ED＝5，求CD的长．

21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
22．阅读下列解题过程
已知a、b、c为△ABC为三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状
解∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4①
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2） ②
∴c2＝a2+b2③
∴△ABC是直角三角形
回答下列问题
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号　 　．
（2）错误原因为　 　．
（3）本题正确结论是什么，并说明理由．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，5，7
【分析】由已知得其符合勾股定理的逆定理才能构成直角三角形，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、92+122＝152，能构成直角三角形，故正确；
B、72+242＝252，能构成直角三角形，故正确；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，故正确；
D、32+52≠72，不能构成直角三角形，故错误．
故选：D．
2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】解：A、正确，1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故成立；
B、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；
C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；
D、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
3．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（　　）

A．4米 B．大于4米 C．小于4米 D．无法计算
【分析】找出直角三角形△OAB，△OA1B1，在直角△OAB中用勾股定理计算OA，在直角三角形OA1B1中，已知AB，OA1根据勾股定理，计算OB1的大小，BB1＝OB1﹣OB．
【解答】解：在直角△OAB中，AB＝25，当BO＝7时，AO＝＝24米，
当下滑4米到A1点时，即OA1＝20米，
∴OB1＝＝15米，
而OB＝7米，所以BB1＝8米，大于4米，
故本题答案为大于4米，
故选：B．
4．如图，字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．144 C．13 D．194
【分析】外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：
a2+b2＝c2
a2＝25，c2＝169，
b2＝169﹣25＝144，
因此B的面积是144．
故选：B．

5．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1）、A（﹣1，﹣3），点A关于点P的对称点为B，在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先画出坐标系，然后再确定A、B、P的位置，以P为圆心，AB为直径画圆，与坐标轴有3个交点，再以B为直角顶点AB为直角边，可确定2个C点位置，再以A为直角顶点，AB为直角边，可确定2个C点位置，共确定7个C的位置．
【解答】解：如图所示：
，
故选：C．
6．下列说法中，不正确的是（　　）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为22.5°，67.5°，90°，所以是直角三角形；
B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形；
C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形；
D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（　　）

A．8 B．9 C． D．10
【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式知，S△ABC＝AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝．
故选：C．
8．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）

A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m
【分析】旗杆的长＝BC+AB，利用勾股定理求出AB即可解决问题；
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，AB＝＝13m，
所以旗杆折断之前高度为BC+AB＝13m+5m＝18m．
故选：D．
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
10．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
∴三角形为直角三角形，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距　5　km．
【分析】因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．
【解答】解：如图，

∵∠AOB＝90°，OA＝4km，OB＝3km
∴AB＝＝5km．
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　15　．

【分析】延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE＝AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．

13．若△ABC的三边长分别为5、13、12，则△ABC的形状是　直角三角形　．
【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：∵52+122＝132，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　10　米．

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10米，
小树高为CD＝4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6米，
在Rt△AEC中，AC＝＝10米，
故答案为：10．

15．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝　100　．

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
16．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是　36　．

【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长．根据勾股定理的逆定理可得到△BCD也是直角三角形，从而求得△ABC与△BCD的面积和即得到了四边形ABDC的面积．
【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，
故答案为：36
三．解答题（共6小题）
17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．

【分析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝△ABC面积﹣△ACD面积即可计算．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝5，
∴S△ACD＝6，
在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC的面积＝30，
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．

18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴AD＝＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
19．如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．

【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD和△DBC是直角三角形，然后根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，将其相加即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，
∴BD＝＝＝5，………………………………3分
又∵在△BCD中，BC＝12，DC＝13，
∴BC2+BD2＝DC2，………………………………5分
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC………………………………7分
＝AD?AB+BD?BC
＝×4×3+×5×12
＝6+30
＝36．………………………………9分
20．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE＝4，ED＝5，求CD的长．

【分析】根据勾股定理的逆定理得出DA⊥AB，进而解答即可．
【解答】解：∵AD＝3，AE＝4，ED＝5，
∴AD2+AE2＝ED2．
∴∠A＝90°．
∴DA⊥AB．
∵∠C＝90°．
∴DC⊥BC．
∵BD平分∠ABC，
∴DC＝AD．
∵AD＝3，
∴CD＝3．
21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　11，60，61　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　　和　　，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【解答】解：（1）11，60，61；
（2）后两个数表示为和，
∵，，
∴．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
22．阅读下列解题过程
已知a、b、c为△ABC为三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状
解∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4①
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2） ②
∴c2＝a2+b2③
∴△ABC是直角三角形
回答下列问题
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号　③　．
（2）错误原因为　除式可能为零　．
（3）本题正确结论是什么，并说明理由．
【分析】（1）（2）等式两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．
【解答】解：（1）③；
（2）除式可能为零；
（3）∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），
∴a2﹣b2＝0或c2＝a2+b2，
当a2﹣b2＝0时，a＝b；
当c2＝a2+b2时，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案是③，除式可能为零．