北师大版九年级下册2.4二次函数的应用同步练习解析版

北师大版九年级下册2.4二次函数的应用同步练习
一．选择题（共7小题）
1．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（　　）
A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30） B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30）
C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30） D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）
2．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（　　）

A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4
C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣4
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（　　）

A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm
4．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（　　）m．

A．8 B．9 C．10 D．12
5．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△PAQ的最大面积是（　　）

A．8cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．18cm2
6．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
7．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
二．填空题（共6小题）
8．两个数的和为8，这两个数的积最大可以达到　 　．
9．小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，则小明推铅球的成绩是　 　m．
10．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系式为　 　．
11．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行　 　米飞机才能停下来．
12．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x米，窗户的透光面积为S平方米，则S关于x的函数关系式为　 　．

13．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为　 　．

三．解答题（共7小题）
14．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

15．工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？

16．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

17．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．

18．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

19．某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？

20．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状．并证明你的结论．
（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．




参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（　　）
A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30） B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30）
C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30） D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【解答】解：由题意得：矩形的另一边长＝60÷2﹣x＝30﹣x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
2．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（　　）

A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4
C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣4
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【解答】解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
故选：B．

3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（　　）

A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm
【分析】设：左侧抛物线的方程为：y＝ax2，点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将y＝2代入抛物线表达式，即可求解．
【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
4．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（　　）m．

A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（﹣10，0），B点坐标为（10，0），
设中间大抛物线的函数式为y＝ax2+bx+c，
代入三点的坐标得到，
解得．
∴函数式为y＝﹣x2+6．
∵NC＝4.5米，
∴令y＝4.5米，
代入解析式得x1＝5，x2＝﹣5，
∴可得EF＝5﹣（﹣5）＝10米．
故选：C．

5．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△PAQ的最大面积是（　　）

A．8cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．18cm2
【分析】设经过t时间s运动停止，列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．
【解答】解：根据题意，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP＝2t，AQ＝t，
S△APQ＝t2，
∵0＜t≤4，
∴△PAQ的最大面积是16cm2．
故选：C．
6．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系式．
【解答】解：S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DEG＝DG×DE＝×1×（3﹣x）＝，
S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝9﹣x2﹣＝﹣x2+x+，
则y＝4×（﹣x2+x+）＝﹣2x2+2x+30，
∵AE＜AD，
∴x＜3，
综上可得：y＝﹣2x2+2x+30（0＜x＜3）．
故选：A．
7．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【分析】利用配方法即可解决问题．
【解答】解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
8．两个数的和为8，这两个数的积最大可以达到　16　．
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，再用配方法或公式法求其最值即可．
【解答】解：设其中一个数为x，则另外一个为8﹣x，
两个数的积＝（8﹣x）x＝﹣x2+8x，
由以上函数图象知：
最大值＝＝＝16．
9．小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，则小明推铅球的成绩是　10　m．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：令函数式y＝﹣+3中，y＝0，
0＝﹣+3，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）．
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
10．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系式为　W＝﹣20x2+100x+6000　．
【分析】根据利润＝（售价﹣进价）×销售件数即可求得W与x之间的函数关系式．
【解答】解：w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，
故答案为：W＝﹣20x2+100x+6000
11．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行　600　米飞机才能停下来．
【分析】根据题意可以将s＝60t﹣1.5t2化为顶点式，飞机滑行的最远距离也就是s取得的最大值，本体得以解决．
【解答】解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t2﹣40t）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值，此时，s＝600，
即飞机着陆后滑行600米飞机才能停下来．
故答案为：600．
12．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x米，窗户的透光面积为S平方米，则S关于x的函数关系式为　S＝﹣x2+4x　．

【分析】由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到S和x的函数关系式．
【解答】解：∵大长方形的周长为8米，宽为x米，
∴长为米，
∴S＝x?＝﹣x2+4x．
故答案为S＝﹣x2+4x．
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为　（2，﹣4）　．

【分析】根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE＝∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x，
∴顶点A的坐标为（2，1），
设对称轴与x轴的交点为E．
如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE＝，tan∠EOP＝，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE＝∠EOP，
∴＝，
∵AE＝1，OE＝2，
∴＝，
解得PE＝4，
∴P（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．

三．解答题（共7小题）
14．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，得到当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，得到当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，于是得到结论．
【解答】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得，
解得：，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝；

（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝﹣＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝﹣＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
15．工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？

【分析】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
【解答】解：（1）如图所示：

设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（12﹣2x）（8﹣2x）＝32，
即x2﹣10x+16＝0，
解得x＝2或x＝8（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为32dm2；

（2）设总费用为y元，
则y＝2（12﹣2x）（8﹣2x）+0.5×[2x（12﹣2x）+2x（8﹣2x）]
＝4x2﹣60x+192
＝4（x﹣7.5）2﹣33，
又∵12﹣2x≤5（8﹣2x），
∴x≤3.5，
∵a＝4＞0，
∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31，
答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，即可求解；
（2）S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；
（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），

则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）；
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
17．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．

【分析】（1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动距离，即可求得时间t
（2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分三种情形进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三形的面积公式即可得到函数解析式
【解答】解：
（1）当F在边AB上时，如图1，作AM⊥BC，
则AM＝AB＝＝9
∵AM⊥BC，∠FEB＝90°
∴EF∥AM
∴△BEF∽△BMA
∴，即，解得BE＝2，则移动的距离为：6+2＝8，则t＝＝8
当F在AC上时，如图2
同理可得，EC＝2，则移动的距离为2×＝＝10，则t＝＝10
故t的值为：8秒或10秒
（2）当0＜t≤6时，重合部分是△BND，如图3
设AB与BE交于点N
则BD＝t，NB＝BD＝t，ND＝BD＝＝t
S＝NB?ND＝＝
当6＜t≤8时，重合部分为五边形MNQCE，如图4
S五边形MNQCE＝S△FED﹣S△MNF﹣S△CQD
＝18﹣?[6﹣（﹣6）]?[6﹣（t﹣6）]﹣（﹣6）?（﹣6）
＝t2+33t﹣105
当8＜t≤10时，重叠部分是四边形EFMC，如图5
S＝S四边形EFMC＝S△EDF﹣S△CDM
＝18﹣（﹣6）?（﹣6）
＝﹣+9﹣9
当10＜t≤12时，重合部分为△MCE，如图6
S＝S△EMC＝[6﹣（t﹣6）]??[6﹣（﹣6）]
＝﹣36+216
综上所述



18．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由待定系数法即可得出答案；
（2）求出C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，由待定系数法求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，
由二次函数的性质得出当m＝2时，△BCD的面积最大，﹣m2+m+6＝6，即可得出答案；
（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；
（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），
过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（4，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，
∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），
则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，
∵1＜m＜4，
此时点D的坐标为（2，6）；
（3）存在，理由如下：
（3）分情况讨论：
①当BD是平行四边形的一条边时，
如图2所示：
M、N分别有三个点，
设点N（n，﹣n2+n+6），
∵D（2，6），
∴点N的纵坐标为绝对值为6，
即|﹣n2+n+6|＝6，
解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，
故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+，1﹣，
∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），
∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；
即点M的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：
∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），
∴N与C重合，BM＝CD＝2，
∴M（4+2，0），即M（6，0）；
综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．



19．某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？

【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
20．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状．并证明你的结论．
（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．

【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明△ABC直角三角形，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC'，即可求解；
（3）则点D与点C关于函数对称轴对称，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：
b＝，c＝2，
故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）四边形BC′AC为矩形．
抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为：（﹣1，0）
由勾股定理求得：BC＝，AC＝，又AB＝5，
由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，
故∠BCA＝90°；
已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，
由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC'
所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA＝90°，
∴四边形BC′AC为矩形；

（3）存在点D，
使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，
则点D与点C关于函数对称轴对称，
故：点D的坐标为（3，2）．











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