2020年北师大版九年级下册数学3.3垂径定理同步练习卷解析版

北师大版九年级下册3.3垂径定理2020年同步练习卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）

A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（　　）

A．1 B．2 C． D．
3．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
4．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（　　）

A．5 B． C．2 D．
5．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．8 B．16 C．32 D．32
6．已知：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（　　）

A．2 B． C． D．3+
8．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（　　）

A．4m B．5m C．6m D．8m
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）

A．25m B．24m C．30m D．60m
二．填空题（共5小题）
11．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是　 　cm．

12．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　 　m．

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为　 　．

14．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为　 　米．

15．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升　 　

三．解答题（共6小题）
16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．

17．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．

19．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．

20．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．

21．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为　 　米．




参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）

A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝＝（cm），
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，，则O到AC的距离为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】连接BC，作OE⊥AC于E．根据勾股定理求出BC，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：连接BC，作OE⊥AC于E．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝OB，
∴OE＝BC＝，
故选：C．
3．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理列方程可解答．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．

∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
由折叠得：OD＝AO，
设OD＝x，则AO＝2x，
在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，
（2）2+x2＝（2x）2，
x＝2，
∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；
故选：B．
4．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（　　）

A．5 B． C．2 D．
【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
5．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．8 B．16 C．32 D．32
【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH＝OA，推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．
【解答】解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，
连接OA，OB，OD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH＝OA，
∴∠HAO＝30°，
∴∠AOH＝60°，
同理∠DOG＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOD+∠AOB＝180°，
∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，
∴四边形ABCD的面积是16，
故选：B．

6．已知：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3
故选：C．

7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（　　）

A．2 B． C． D．3+
【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．
【解答】解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x得y＝3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝＝＝1，
∴PD＝PE＝，
∴a＝3+．
故选：D．
8．如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（　　）

A．4m B．5m C．6m D．8m
【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：连接BO，
由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm，
则DO＝（8﹣x）m，
由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．
故选：B．

9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，
证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．

10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）

A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是　　cm．

【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6cm，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得，OB＝，
则EC＝AC﹣AE＝9，
BC＝＝＝3，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BC＝，
∴OF＝＝＝（cm），
故答案为．

12．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　10　m．

【分析】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．
【解答】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，
∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，
∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，
设圆拱的半径为r，
在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，
解得r＝13，
∴OC＝13m，
∴OH＝13﹣1＝12m，
在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，
∴132＝122+MH2，
解得MH2＝25，
∴MH＝5m，
∴MN＝10m，
故答案为10．

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为　2　．

【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2

14．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为　0.5　米．

【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知AB⊥OC，AD＝BD＝AB＝1.5米．再根据勾股定理求得OD即可．
【解答】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心
由垂径定理知：AB⊥OC，AD＝BD＝AB＝1.5米，
在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD＝＝2（米），
∴CD＝OC﹣OD＝2.5﹣2＝0.5（米）；
故答案为0.5．
15．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm，油面宽AB为60cm，如果再注入一些油后，油面宽变为80cm，则油面上升　10cm或70cm　

【分析】本题实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB＝6分米，
∴AG＝AB＝3分米，
∵油槽直径MN为10分米．
∴OA＝5分米，
∴OG═4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米，即10cm；
当油面超过圆心O时，油上升了7分米，即70cm．
故答案为：10cm或70cm．

三．解答题（共6小题）
16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．

【分析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．
【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，
∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE?sin∠DEB＝，
∴PD＝＝，
∴CD＝2PD＝2（cm）．

17．如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）

【分析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．
【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8≈11.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．

【分析】（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，根据角的平分线的性质得出OE＝OD＝OC，进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND得出ME＝ND，然后根据垂径定理即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质，得出OM＝ON＝OH，进一步证得四边形ONCH是正方形，证得OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，进而证得OH＝CD＝2，EF＝CD＝CG＝4，AC＝6，设BM＝BH＝x，则BC＝x+2，AB＝x+4，然后根据勾股定理列出方程，求得即可．
【解答】（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON，
∵OE＝OD＝OC，
∴RT△OME≌RT△OND（HL），
∴ME＝ND，
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF；
（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形，
∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，
∵OC＝4，
∴OH＝OC＝4，
∴EF＝CD＝CG＝8，
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10，
设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，
解得x＝20，
∴BM＝20，
∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．

19．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值．
【解答】解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
20．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．

【分析】（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH即可解决问题；
（2）作DM⊥AC于M．利用面积法求出DM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵?AB?AC＝?BC?AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．

（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．

21．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为　10　米．

【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．
【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．













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