(共41张PPT)
第1章 二 次 函 数
1.1 二 次 函 数
【知识再现】
一次函数表达式为y=_________(k≠0),?
反比例函数表达式为y=_____(k≠0).?
kx+b
【新知预习】阅读教材P2-3,解决下列问题:
(1)正方形的边长为x,则其面积y=______.?
(2)半径为x的圆与面积为5的长方形的面积和
y=__________.?
x2
πx2+5
(3)心理学家发现:学生对概念的接受能力y与提出概念
的时间x(分)之间有如下关系:y=-0.1x2+2.6x+43
(0≤x≤30).
观察可以发现:上述的关系式中______为自变量,且自
变量的最高次数都是______,含x2的系数不为0,对于
x的每一个取值,y都有唯一确定的值与它对应,即y是
x的函数.?
x
2
1.二次函数定义:如果函数的表达式是自变量的
_________多项式,那么这样的函数称为二次函数.?
2.一般形式:______________(a,b,c是常数,a≠0) .
其中x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的
___________系数、___________系数和___________.?
二次
y=ax2+bx+c
二次项
一次项
常数项
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列函数中,属于二次函数的是 ( )
C
A.y=2x+1
B.y=(x-1)2-x2
C.y=2x2-7
D.y=
2.如果函数y=kx2+kx+1是二次函数,则k的取值范围
是_________.?
3.已知二次函数y=1-3x+2x2,则二次项系数a=______,
一次项系数b=_______,常数项c=______.?
4.一个圆柱的高为5,设底面圆的半径为r,则圆柱的
体积V=_________,其中自变量是______.?
k≠0
2
-3
1
5πr2
r
知识点一 二次函数(P3二次函数概念拓展)
【典例1】已知y=(k-1) +2x-1是二次函数.
(1)求k值.
(2)求当x=0.5时y的值.
【思路点拨】由二次函数的定义知x的最高次数为2且二次项系数不为0,可求得k值,进而求出二次函数的表达式,将x=0.5代入表达式即可求出对应的y值.
【自主解答】(1)由题意得:
k2-3k+4=2,且k-1≠0,
解得:k=2.
(2)把k=2代入y=(k-1) +2x-1
得:y=x2+2x-1,
当x=0.5时,y= .
【学霸提醒】
判断一个函数是否是二次函数的“三步法”
【题组训练】
1.(概念应用题)下列函数表达式中,一定为二次
函数的是 ( )
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
C
★2.对于二次函数y=-x2-1的二次项系数a,一次项
系数b,常数项c描述正确的是 ( )
A.a=-1,b=-1,c=0
B.a=-1,b=0,c=1
C.a=-1,b=0,c=-1
D.a=1,b=0,c=-1
C
★★3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值.
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
解:(1)依题意得
∴
∴m=0时,这个函数是一次函数.
(2)依题意得m2-m≠0,
解得m≠0且m≠1,
∴m≠0且m≠1时,这个函数是二次函数.
知识点二 列二次函数表达式(P3例题拓展)
【典例2】一个正方形的边长是12 cm,若从中挖去一个长为2x cm,宽为(x+1)cm的小长方形,剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的函数表达式,并指出y是x的什么
函数?
(2)当x的值为2或4时,相应的剩余部分的面积是多少?
【规范解答】(1)根据题意得:y=122-2x(x+1),
剩余面积等于大正方形的面积减去小长方形的面积
又∵2x≤12,
∴0即y=-2x2-2x+144(0∴y是x的二次函数.………………二次函数的定义
(2)当x=2时,y=-2×22-2×2+144=132,
………………………………代入函数表达式求值
当x=4时,y=-2×42-2×4+144=104,
………………………………代入函数表达式求值
∴当x=2或4时,相应的剩余部分的面积分别为132 cm2
或104 cm2.
【学霸提醒】
在实际问题中确定二次函数表达式的一般步骤
1.审:审清题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量).
2.找:找出题目中的等量关系.
3.列式:根据等量关系列出等式,整理变形化成一般形式.
【题组训练】
1.在圆的面积公式S=πr2中,S与r的关系是( )
A.一次函数关系 B.正比例函数关系
C.二次函数关系 D.不是函数关系
C
★2.(生活情境题)某农产品市场经销一种销售成本为
40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个
月能售出500千克;销售单价每涨一元,月销售量就减少
10千克.设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,则
y与x的函数表达式为 ( )
C
A.y=(x-40)(500-10x)
B.y=(x-40)(10x-500)
C.y=(x-40)[500-10(x-50)]
D.y=(x-40)[500-10(50-x)]
★★3.(2019·康巴什期中)如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,求S与t之间的函数表达式.
解:如题图所示,
∵在Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,
∴∠AOB=∠A=45°,
∵CD⊥OB,
∴CD∥AB,
∴∠OCD=∠A,
∴∠AOD=∠OCD=45°,
∴OD=CD=t,
∴S△OCD= ×OD×CD
= t2(0即S= t2(0【火眼金睛】
当m为何值时,
y=(m+1) 是关于x的二次函数?
正解:根据题意,得
解得m=4,即m=4时,函数是关于x的二次函数.
【一题多变】
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数表达式及t的取值范围.
解:△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化.
∵在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,
∴BP=12-2t,BQ=4t,
∴△PBQ的面积S随出发时间t(s)的表达式为
S= (12-2t)×4t=-4t2+24t(0【母题变式】
【变式一】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,DE∥AC,
交AB于点E,点F在AC上,DC=DF,若BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,
求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
解:∵AB=AC,DC=DF,
∴∠B=∠C=∠DFC,
又∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠C,
∴△BDE∽△FCD,
∴
∴
∴y= x(3-x)=- x2+ x,
∴自变量x的取值范围是0【变式二】如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动,点E为线段BC的中点,点Q从点E开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动,如果点P,Q分别从点A,E同时出发,写出△BPQ的面积S与出发时间t之间的函数表达式,求出t的取值范围.
解:∵PB=6-t,BQ=BE+EQ=6+t,
∴S= PB·BQ= PB·(BE+EQ)
= (6-t)(6+t)
=- t2+18.
∴S=- t2+18(0≤t<6).
(共32张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时
【知识再现】
二次函数的一般形式为____________________.?
y=ax2+bx+c(a≠0)
【新知预习】阅读教材P5-10,学习y=ax2的图象与性质并填表:
抛物线
y
向上
向下
低
高
图
象 形状 y=ax2(a≠0)的图象是一条___________
对称性 抛物线y=ax2关于______轴对称?
开口方向 当a>0时,抛物线y=ax2开口_________;?
当a<0时,抛物线y=ax2开口_________;?
顶点 抛物线y=ax2的顶点坐标是(0,0).
当a>0时,顶点是抛物线的最_______点;
当a<0时,顶点是抛物线的最_______点.?
开口大小 |a|越大,抛物线的开口越小;
增大
减小
减小
0
0
性
质 增减性 a>0.当x>0时,y随x的增大而_________,
简称:右升;当x<0时,y随x的增大而
_________,简称:左降.?
a<0.当x>0时,y随x的增大而_________,简称:
右降;当x<0时,y随x的增大而增大,简称:左升.?
最值 a>0.当x=0时,函数值最小,最小值为______.?
a<0.当x=0时,函数值最大,最大值为______.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各点在二次函数y=4x2图象上的是 ( )
A.(2,2) B.(4,1)
C.(1,4) D.(-1,-4)
C
2.抛物线y=-3x2的顶点坐标是 ( )
A.(-3,0)
B.(-2,0)
C.(-1,0)
D.(0,0)
D
3.已知二次函数y= x2,当x=______时,函数取
最_______值,这个值为______.?
0
小
0
知识点一 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
(P7探究拓展)
【典例1】给出下列函数:①y=-3x+2;②y= ;
③y=2x2;④y=3x.上述函数中符合条件“当x>1时,
函数值y随自变量x的增大而增大”的是 ( )
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
B
【思路点拨】①④为一次函数,②为反比例函数,③为二次函数,根据各个函数的图象与性质进行判断.
【学霸提醒】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0?开口向上?有最小值?
2.a<0?开口向下?有最大值?
【题组训练】
1.对于函数y=5x2,下列结论正确的是 ( )
A.y随x的增大而增大
B.图象开口向下
C.图象关于y轴对称
D.无论x取何值,y的值总是正的
C
★2.在抛物线y=- x2上,当y<0时,x的取值范围应
为 ( )
A.x>0 B.x<0 C.x≠0 D.x≥0
★3.已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而
_________(填“增大”或“减小”).?
C
增大
★★4.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.
解:列表得:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点,连线.
知识点二 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质的应用(P10练习T1拓展)
【典例2】(2019·开封顺河区月考)如图,正方形的
边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,
作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积
是______.?
8
【思路点拨】利用图象的对称性,将不规则的阴影部分割补成规则图形,进而求出面积.
【学霸提醒】
利用二次函数图象解题的两种思想
(1)数形结合的思想.
(2)转化的思想,能把实际问题转化为数学问题.
【题组训练】
1.若二次函数y=2x2的图象经过点A(1,a),则a的值
为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
C
★2.如图,四个二次函数图象中,分别对应:①y=ax2;
②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系
为 ( )
A.a>b>c>d B.a>b>d>c
C.b>a>c>d D.b>a>d>c
A
★★3.如图,点P是二次函数y=x2图象上第一象限内的一个点,点A的坐标为(3,0).
(1)令点P的坐标为(x,y),求△OPA的面积S与y的关系式.
(2)S是y的什么函数?S是x的什么函数?
略
【火眼金睛】
已知抛物线y=(a+2) 开口向下,求a的值.
正解:∵函数y=(a+2) 的图象是抛物线,
∴a2+2a-1=2,解得a=-3或a=1.
又∵抛物线开口向下,∴a=-3.
【一题多解】
已知点(-3,y1),(1,y2),( ,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .?
解:方法一:把x=-3,1, 分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2;
方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2;
方法三:略
【核心点拨】比较二次函数中函数值的大小有三种方法:①直接把自变量的值代入表达式中,求出对应函数值进行比较;②图象法;③根据函数的增减性进行比较,当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称性找出某个点的对称点,转化到同侧后,再利用增减性进行比较.
(共35张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第2课时
【知识再现】
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条___________,
当a>0时,抛物线y=ax2开口_________;当a<0时,
抛物线y=ax2开口_________.?
抛物线
向上
向下
【新知预习】阅读教材P10-12,学习y=a(x-h)2的图象
与性质并填空:
1.二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象之间的关系
(1)y=ax2与y=a(x-h)2的图象都是___________,
它们的形状_________,位置_________.?
抛物线
相同
不同
(2)抛物线y=a(x-h)2可由y=ax2平移得到.
①当h>0时,抛物线y=ax2向_______平移h个单位,
得到y=a(x-h)2;?
②当h<0时,抛物线y=ax2向_______平移|h|个单位,
得到y=a(x-h)2.?
右
左
2.二次函数y=a(x-h)2的性质
(1)函数y=a(x-h)2的图象是___________,对称轴是
直线________,它的顶点坐标是(______,______).?
抛物线
x=h
h
0
(2)①当a>0时,抛物线开口_________,在对称轴左侧,
y随x的增大而_________;在对称轴右侧,y随x的增大
而_________;?当x=h时,函数值最小,最小值为______.?
向上
减小
增大
0
②当a<0时,抛物线开口_________,在对称轴左侧,
y随x的增大而_________;在对称轴右侧,y随x的
增大而_________.?
当x=h时,函数值最大,最大值为______.?
向下
增大
减小
0
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.抛物线y=-3(x+6)2的对称轴是直线 ( )
A.y=-6 B.y=6
C.x=-6 D.x=6
C
2.已知抛物线的表达式为y=5(x-2)2,则抛物线的
顶点坐标是 ( )
A.(-2,0) B.(2,0)
C.(-2,5) D.(2,5)
B
3.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛
物线的表达式是 ( )
A.y=x2-1
B.y=x2+1
C.y=(x-1)2
D.y=(x+1)2
C
4.如果二次函数y=a(x+3)2有最大值,那么a______0,
当x=_______时,函数的最大值是______.?
<
-3
0
知识点一 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(P12例3拓展)
【典例1】已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标是(-2,0),且图象经过点(-4,2).
(1)求抛物线表达式.
(2)若(-5,y1),(-3,y2)在该抛物线上,试判断y1和y2的大小关系.
【规范解答】(1)∵抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标为(-2,0),……………………………………已知
∴h=-2.……y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0)
又∵抛物线y=a(x+2)2经过点(-4,2),…………已知
∴a(-4+2)2=2.………………将点(-4,2)代入表达式
∴a= ,………………………………解一元一次方程
∴抛物线表达式为y= (x+2)2.…………得出表达式
(2)∵a= >0,………………………………已知
∴在对称轴左侧,即当x<-2时,y随x的增大而减小,
………………………………二次函数的图象的性质
∵-5<-3,…………………………负数的大小比较
∴y1>y2.…………………………y随x的增大而减小
【学霸提醒】
利用二次函数性质比较大小的技巧
1.抛物线y=a(x-h)2是轴对称图形,对称轴是直线x=h.
2.当a>0时,点到对称轴的距离越近,y值越小;点到对称
轴的距离越远,y值越大.
3.当a<0时,点到对称轴的距离越近,y值越大;点到对称
轴的距离越远,y值越小.
【题组训练】
1.(2019·都江堰模拟)对于函数y=-2(x-3)2,下列
说法不正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是x=3
C.最大值为0 D.与y轴不相交
D
★2.求出下列二次函数的开口方向、对称轴、
顶点坐标,函数最小(大)值.
(1)y= (2)y=2(x- )2.
解:(1) y=-（x+ ）2开口向下,对称轴为直线
x=- ,顶点坐标（- ,0）,函数最大值为0.
(2)y=2(x- )2开口向上,对称轴为直线x= ,
顶点坐标( ,0),函数最小值为0.
★★3.已知函数y=(x-1)2,自己画出草图,根据图象回答问题:
(1)求当-2≤x≤-1时,y的取值范围.
(2)求当0≤x≤3时,y的取值范围.
解:画出函数y=(x-1)2的图象如图所示:
(1)由图象可知,当-2≤x≤-1时,y的取值范围是4≤y≤9.
(2)当0≤x≤3时,y的取值范围是0≤y≤4.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系
(P10探究拓展)
【典例2】抛物线y=ax2向右平移2个单位后经过点
(-1,4),求a的值和平移后的函数表达式.
【规范解答】二次函数y=ax2的图象向右平移2个单位
后的二次函数表达式可表示为y=a(x-2)2,
……………………………………函数图象的平移
把x=-1,y=4代入,得4=a(-1-2)2,
…………………………将点(-1,4)代入函数表达式
解得a= , ……………………解一元一次方程
∴平移后二次函数表达式为y= (x-2)2.
……………………………………得出函数表达式
【学霸提醒】
二次函数左右平移“四字诀”
左负右正:由y=ax2平移到y=a(x-h)2时符合h左负右正(h>0,向右平移,h<0,向左平移).
【题组训练】
1.(2019·广安岳池模拟)把抛物线y=(x-2)2向左平移
2个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得到的抛物
线是 ( )
A.y=x2+2 B.y=x2-2
C.y=(x+2)2-2 D.y=(x+2)2+2
A
★2.二次函数y=-3(x-4)2的图象是由抛物线y=-3x2向
_______平移______个单位得到的;开口_________,
对称轴是____________,顶点坐标是__________,
当x=______时,y有最_______值是______.?
右
4
向下
直线x=4
(4,0)
4
大
0
★★3.(易错警示题)向左或向右平移函数y=- x2的
图象,能使得到的新的图象过点(-9,-8)吗?若能,请求
出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.
略
【火眼金睛】
某抛物线和y=-3x2的图象的形状相同,对称轴平行于y轴,并且顶点坐标为(-1,0),求此抛物线的表达式.
正解:∵抛物线与y=-3x2的形状相同,
∴a=3或-3,
∵顶点坐标为(-1,0),∴h=-1,
∴抛物线表达式为y=3(x+1)2或y=-3(x+1)2.
【一题多变】
已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满
足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则
h的值为 ( )
A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6
B
【母题变式】
【变式一】二次函数y= (x+3)2,当-4≤x≤-1时,
函数值y的取值范围为____________.?
【变式二】二次函数y=(x-2)2,当2-a≤x≤4-a时,
最小值为4,则a的值为______________.?
0≤y≤2
a=4或a=-2
(共45张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第3课时
【知识再现】
抛物线y=a(x-h)2的图象可由y=ax2经左右平移得到,
当h>0时,向右平移______个单位,当h<0时,向左平移
________个单位.?
|h|
h
【新知预习】阅读教材P13-15,完成下面填空.
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
(h,k)
向上
减小
增大
(h,k)
向下
增大
减小
h
h
抛物线y=
a(x-h)2+k 对称轴 顶点
坐标 开口
方向 在对称轴
的左边 在对称轴
的右边
a>0 x=__ ______ _____ y随x的增大
而______ y随x的增大
而_______
a<0 x=__ ______ _____ y随x的增大
而______ y随x的增大
而______
2.画y=a(x-h)2+k的图象的步骤
(1)写出对称轴和顶点坐标.在平面直角坐标系内画
出对称轴、描出顶点.
(2)列表(自变量x从_________的横坐标开始取值),
描点和连线,画出图象在对称轴右边的部分.?
(3)利用___________,画出图象在对称轴左边的部分.?
顶点
对称性
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是 ( )
A.(-1,2) B.(-1,-2)
C.(1,-2) D.(1,2)
D
2.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个
单位长度,得到的抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=(x+2)2-3
B.y=(x+2)2+3
C.y=(x-2)2+3
D.y=(x-2)2-3
A
3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1
的图象上,若x1>x2>1,则y1______y2(填“>”“=”
或“<”).?
>
知识点一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(P15练
习T1拓展)
【典例1】(2019·济南一模)已知二次函数y=(x-h)2
+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,
与其对应的函数值y的最小值为10,则h的值为( )
D
A.-2或4 B.0或6
C.1或3 D.-2或6
【思路点拨】分类讨论h的取值,看其是否在自变量取值范围内,若在,则x=h时,y取得最小值;若不在,看自变量x的取值在x=h的左侧还是右侧,根据增减性分情况讨论.
【学霸提醒】
二次函数的最值
二次函数的最值指的是抛物线的最高(低)点所对应的函数值.
(1)当抛物线开口向上时,抛物线有最低点,此时函数有最小值,最小值为顶点的纵坐标的值.
(2)当抛物线开口向下时,抛物线有最高点,此时函数有最大值,最大值为顶点的纵坐标的值.
【题组训练】
1.(2019·保山施甸模拟)把抛物线y=2x2向下平移
1个单位,再向左平移2个单位,得到的抛物线是
( )
A.y=2(x+2)2-1 B.y=2(x-1)2+2
C.y=2(x+1)2-2 D.y=2(x-2)2-1
A
★2.(2019·宁波期中)二次函数y=a(x-m)2-n的图象
如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
A
★3.已知二次函数y=(x-1)2-1(0≤x≤3)的图象,如图
所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法
正确的是 ( )
A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值-1,有最大值0
C.有最小值-1,有最大值3
D.有最小值-1,无最大值
C
★★4.已知y= (x-3)2-2的部分图象如图所示,抛物
线与x轴交点的一个坐标是(1,0),则另一个交点的坐
标是__________. ?
(5,0)
知识点二 求二次函数y=a(x-h)2+k的表达式(P15例5拓展)
【典例2】如图,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点C(m,- )在抛物线上,求m的值.
【规范解答】(1)由直线y=-x-2,
令x=0,则y=-2.
∴点B的坐标为(0,-2). ………求直线与y轴的交点
令y=0,则x=-2,
∴点A坐标为(-2,0).…………求直线与x轴的交点
设抛物线表达式为y=a(x-h)2+k.
∵抛物线顶点为A,且经过点B,
∴y=a(x+2)2.……………………将点A代入表达式
将B点坐标代入,得-2=4a,……将点B的坐标代入表达式
解得a=- .…………………………解一元一次方程
∴抛物线表达式为y=- (x+2)2,
即y=- x2-2x-2.…………………………得出结论
(2)∵点C(m,- )在抛物线y=- (x+2)2上,
……………………………………………………已知
∴- (m+2)2=- ,…………将点坐标代入表达式
解得m1=1,m2=-5. ……………………解一元二次方程
∴m=1或-5. …………………………………得出结论
【学霸提醒】
系数与抛物线y=a(x-h)2+k的关系
a决定开口方向;|a|决定开口大小;h决定对称轴;k决定最大(小)值的数值.
【题组训练】
1.(2019·衢州中考)二次函数y=(x-1)2+3图象的
顶点坐标是 ( )
A.(1,3) B.(1,-3)
C.(-1,3) D.(-1,-3)
A
★2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、
且经过点(0,1)的是 ( )
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3
C
★3.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向
完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的表达式
为________________.?
y=-2(x+1)2+3
★★4.已知二次函数图象的顶点是M(1,-9),且经过点(-1,-5).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)画出它的图象,并求出它的图象与x轴正半轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标.
(3)如果点O是原点,求四边形AOBM的面积.
解:(1)∵顶点坐标为(1,-9),
∴可设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-9,
把点(-1,-5)代入可求得a=1,
∴二次函数的表达式为y=(x-1)2-9.
(2)令y=0可得(x-1)2-9=0,
解得x=4或x=-2,
∴A点坐标为(4,0),
令x=0可得y=-8,
∴B点坐标为(0,-8),
函数图象如图:
(3)如图,过点M作MC⊥x轴于点C,
则OC=1,AC=3,且BO=8,MC=9,
∴S四边形AOBM=S梯形COBM+S△ACM= (OB+MC)·OC+ AC·MC
= ×(8+9)×1+ ×3×9=22.
【火眼金睛】
抛物线y=6(x+1)2-1的顶点在直线y=x-b上,求直线的表达式.
正解:由题意得抛物线顶点坐标为(-1,-1),
把(-1,-1)代入y=x-b,得b=0.
∴直线表达式为y=x.
【一题多变】
在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).求该二次函数的表达式.
解:∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),
∴设二次函数表达式为y=a(x-1)2-4.
把点B(3,0)代入二次函数表达式,得0=4a-4,
解得a=1.∴二次函数表达式为y=(x-1)2-4,
即y=x2-2x-3.
【母题变式】
【变式一】已知二次函数的最小值为-1,当x>3时,y随x的增大而增大,当x <3时,y随x的增大而减小,当x=4时,y的值是1,求此二次函数的表达式.
解:∵当x>3时,y随x的增大而增大,
当x <3时,y随x的增大而减小,
∴该二次函数的图象关于直线x=3对称,
又∵二次函数的最小值为-1,
∴该二次函数的顶点为(3,-1),
故设此二次函数的表达式为y=a(x-3)2-1,
把(4,1)代入,得a(4-3)2-1=1,
解得a=2,
∴此二次函数的表达式为y=2(x-3)2-1.
【变式二】如图,已知二次函数的图象与x轴交于
A(-2,0),B(4,0)两点,且抛物线最高点的纵坐标为9.
(1)求二次函数的表达式.
(2)设此二次函数图象的顶点为C,与y轴交点为D,
求四边形ABCD的面积.
解:(1)由抛物线的对称性知,
它的对称轴是直线x=
又∵抛物线最高点的纵坐标为9,
∴抛物线的顶点为(1,9).
设抛物线的表达式为
y=a(x-1)2+9,代入B(4,0),得a=-1.
∴二次函数的表达式是y=-(x-1)2+9,
即y=-x2+2x+8.
(2)当x=0时,y=8,即抛物线与y轴的交点坐标为
D(0,8).过C作CE⊥x轴于E点.
∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE= ×2×8+
×(8+9)×1+ ×3×9=30.
(共39张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第4课时
【知识再现】
抛物线y=a(x-h)2+k的图象可由y=ax2平移得到,它的
顶点坐标是__________,当a>0时,顶点是抛物线的最
_______点,当a<0时,顶点是抛物线的最_______点.?
(h,k)
低
高
【新知预习】阅读教材P16-17,解决以下问题.
二次函数y=ax2+bx+c的性质
(1)对称轴是直线_______,顶点坐标是___________.?
(2)开口方向:当a>0时,抛物线的开口向_______, ?
当a<0时,抛物线的开口向_______.?
上
下
(3)增减性:
① a>0,当x>- 时,y随x的增大而_________,?
当x<- 时,y随x的增大而_________.?
②a<0,当x>- 时,y随x的增大而_________,?
当x<- 时,y随x的增大而_________.?
增大
减小
减小
增大
(4)最值:当x=______时,函数达到最大值(a<0)
或最小值(a>0)_______.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,
下列正确的是 ( )
A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+3
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4
B
2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而
增大,则x的取值范围是 ( )
A.x<1 B.x>1
C.x<-1 D.x>-1
3.抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标是___________.?
A
(2,-1)
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(P19第9题拓展)
【典例1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象
如图所示,关于该二次函数,下列说法不正确的
是 ( )
B
A.该函数有最小值 B.y随x的增大而减少
C.对称轴是直线x= D.当-1【思路点拨】通过观察图象可判断该二次函数的开口方向,对称轴,增减性,利用数形结合的思想方法可起到事半功倍的效果.
【学霸提醒】
二次函数y=ax2+bx+c的最值
1.当a>0时,x=- 时,y最小= .
2.当a<0时,x=- 时,y最大= .
【题组训练】
1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
D
★2.(2019·温州模拟)已知点(-2,y1),(1,0),(3,y2)
都在二次函数y=x2+bx-3的图象上,则y1,0,y2的大小
关系是 ( )
A.0C.y1D
★3.(2019·济宁中考)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两
个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物
线解析式是 ( )
A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2
D
★★4.一次函数y=(m+2)x+m的图象过第一、三、四象限.
(1)求m的取值范围.
(2)若m为整数,求函数y=mx2-mx的对称轴与顶点坐标.
解:(1)∵y=(m+2)x+m过第一、三、四象限,
∴-2(2)取m=-1代入y=mx2-mx得,
y=-x2+x=-(x- ) 2+ ,
则对称轴为直线x= ,顶点坐标为( , ).
知识点二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
(P18练习T1拓展)
【典例2】(2019·天门一模)小轩从如图所示的二次
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条
信息:①abc<0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④4ac-b2>0;
⑤a= b.你认为其中正确信息的个数有 ( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
【思路点拨】巧妙利用数形结合思想,通过观察图象找到其与各系数之间的关系.
【学霸提醒】
二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的符号关系
字母符号 图象的特征
b=0 对称轴为y轴
ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
【题组训练】
1.(2019·广州海珠区模拟)如图,a<0,b>0,c<0,
那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
A
★2.(易错警示题)(2019·自贡中考)一次函数
y1=ax+b与反比例函数y2= 的图象如图所示,
则二次函数y3=ax2+bx+c的大致图象是 ( )
A
★★3.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为
D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,与y轴
负半轴交于点C,下面三个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0;
③只有当a= 时,△ABD是等腰直角三角形.那么,其
中正确的结论是_________.(只填正确结论的序号)?
①③
【火眼金睛】
求二次函数y=-2x2+3x+1的最值.
正解:y=-2x2+3x+1
∵a=-2<0,∴当x= 时,y取最大值 .
【一题多变】
如图,已知二次函数y=- x2+bx+c的图象经过
A(2,0),B(0,-6)两点.设该二次函数图象的对称轴
与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积.
解:把A(2,0),B(0,-6)代入y=- x2+bx+c得
解得
∴这个二次函数的表达式为y=- x2+4x-6;
∵该抛物线对称轴为直线x=
∴点C的坐标为(4,0),
∴AC=OC-OA=4-2=2,
∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.
【母题变式】
【变式一】如图所示,已知二次函数关系式为
y=-x2+2x+3,
(1)求△ABC的面积.
(2)若P是抛物线上一点,且S△ABP= S△ABC,
这样的点P有几个?请直接写出它们的坐标.
解:(1)由题意得,C点坐标为(0,3),
当-x2+2x+3=0时,解得 x1=-1,x2=3,
∴A点坐标为(-1,0),B点坐标为(3,0),
∴AB=4,OC=3,∴S△ABC= ×4×3=6.
(2)设P的纵坐标为n,∵S△ABP=
∴S△ABP=3,即 AB·|n|=3,
解得n=± ,∴± =-x2+2x+3,
解得x= 或x= ,
∴这样的点P有4个,它们分别是
【变式二】在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+x+4
的图象与x轴交于A,C两点,和y轴交于点B,连接AB,BC,
请在直线BC上方的抛物线上找一点D,使S△BCD∶S△ABC
=1∶4,并求出此时点D的坐标.
略
(共35张PPT)
﹡1.3
不共线三点确定二次函数的表达式
【知识再现】
抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____________.当a>0
时,开口向_______,顶点是抛物线的最_______点;当a<0
时,开口向_______,顶点是抛物线的最_______点.?
上
低
下
高
【新知预习】阅读教材P21-22,学习确定二次函数表达
式的方法并填空:
1.由不共线三点确定二次函数表达式的方法
求二次函数的表达式,关键是求出表达式y=ax2+bx+c中
a,b,c的值,方法是根据已知条件,列出关于a,b,c的
_________,求出a,b,c的值,然后写出二次函数表达式.?
方程组
2.根据三点坐标确定二次函数表达式的条件
(1)三点_________,不能确定二次函数.?
(2)三点___________,且三点的横坐标_____________,
可能确定唯一一个二次函数.?
共线
不共线
两两不等
3.确定二次函数表达式的一般方法
顶点式 ?
一般式 ?
一般式 ?
已知条件 选用表达式的形式
顶点和另一点的坐标 ____________
二次函数各项系数中的一个和两点的坐标 ____________
三个点的坐标 ____________
交点(x1,0)(x2,0) y=a(x- x1)(x- x2)
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),与y轴交于点
(0,-3),则此抛物线对应函数的表达式为 ( )
A.y=x2+2x+3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-3
B
2.已知二次函数的图象的顶点坐标是(-2,3),且过点
(-1,5),则这个二次函数的表达式为_______________.
y=2(x+2)2+3
知识点一 求二次函数y=ax2+bx+c的表达式(P21例1拓展)
【典例1】(2019·泰州中考)如图,在平面直角坐标系xOy
中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交
于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求tan∠ABC.
【思路点拨】(1)由题意可设抛物线表达式为:
y=a(x-4)2-3(a≠0),将A(1,0)代入表达式求a的值.
(2)由锐角三角函数定义解答.
【自主解答】(1)由题意可设抛物线表达式为:
y=a(x-4)2-3,(a≠0).
把A(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a= .
故该二次函数表达式为y= (x-4)2-3.
(2)令x=0,则y= (0-4)2-3= .则OC= .
∵二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),
则点B与点A关于直线x=4对称,
∴B(7,0).∴OB=7.
∴tan∠ABC= .
【学霸提醒】
确定二次函数一般式的“四步骤”
1.设:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).
2.列:根据题意列方程组.
3.解:解方程组.
4.定:确定二次函数表达式.
【题组训练】
1.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的
形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数
的表达式是 ( )
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
D
★2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则此函
数的表达式为_____________.?
y=x2+2x-3
★★3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点
(-1,10),(1,4),(2,7).
(1)求二次函数的表达式.
(2)先把二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式,然后写出其对称轴和顶点坐标.
解:(1)把点(-1,10),(1,4),(2,7)分别代入函数表
达式得:
解得:
故这个二次函数的表达式为:y=2x2-3x+5.
(2)y=2x2-3x+5
=2(x- )2- +5
=2(x- )2+ ,
则抛物线的对称轴是直线x= ,
顶点坐标是 .
知识点二 二次函数y=ax2+bx+c的综合应用(P23T3拓展)
【典例2】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与
x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于
C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个
动点,且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式.
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【自主解答】(1)将点A(-1,0),B(3,0)
代入y=-x2+bx+c得:
解得:
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,
如图,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,
∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
①当t=2时,点C,P关于直线l对称,CP⊥MD,此时存在点M,使得四边形CDPM是菱形.
∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,
∴点C的坐标为(0,3),
点P的坐标为(2,3),∴点M的坐标为(1,6);
②当t≠2时,不存在,理由如下:
若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,
∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为1,
∴点P的横坐标t=1×2-0=2.
又∵t≠2,∴不存在.
故在直线l上存在点M(1,6),
使得四边形CDPM是平行四边形.
【学霸提醒】
确定二次函数表达式的三种方法
(1)一般式:若已知三个一般点的坐标,可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表达式.
(2)顶点式:若已知抛物线的顶点坐标,对称轴或最值时,可设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)确定表达式.
(3)交点式:若已知抛物线与x轴交点的横坐标,可设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)确定表达式.
【题组训练】
1.已知一个三角形的面积S与底边x的关系是S=x2-2x+6,
要使S有最小值,则x的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.5
A
★2.已知点A(-2,-c)向右平移8个单位得到点A′,A与A′
两点均在抛物线y=ax2+bx+c上,且这条抛物线与y轴的交点
的纵坐标为-6,则这条抛物线的顶点坐标是 ( )
A.(2,-10) B.(2,-6)
C.(4,-10) D.(4,-6)
A
★★3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于
A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线表达式.
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P,
使△PBC面积为1,求出点P的坐标.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A(-1,0), B(3,0),
∴ 解得
∴抛物线的表达式为y=- x2+ x+1.
(2)略
【火眼金睛】
抛物线y=x2-2 x+a2的顶点在直线y=2上,求a的值.
正解:∵y=x2-2 x+a2=x2-2 x+( )2+a2-( )2=
(x- )2+a2-a,
∴抛物线的顶点坐标为( ,a2-a),
又∵抛物线的顶点在直线y=2上,
∴a2-a=2,解得a1=2,a2=-1,
∵ 要有意义,∴a=2.
【一题多解】
已知:抛物线交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),求该抛物线的表达式.
解:方法一:设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,
把A(-4,0),B(2,0),C(0,6)代入得,
解得
∴抛物线表达式为:y=- x2- x+6.
方法二:设抛物线表达式为y=a(x-2)(x+4),
把C(0,6)代入得a×(-2)×4=6,
解得a=- ,∴抛物线表达式为
y=- (x-2)(x+4)=- x2- x+6.
方法三:略
(共40张PPT)
1.4
二次函数与一元二次方程的联系
【知识再现】
一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况,当b2-4ac______0
时,有两个不相等的实数根,当b2-4ac______0时,有两
个相等的实数根,当b2-4ac______0时,方程没有实数
根.?
>
=
<
【新知预习】阅读教材P24-27,学习相关知识点并填空:
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
无实数根
抛物线y=ax2+bx+c与
x轴的交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=
0(a≠0)的根的情况
2 _______________________?
1 _____________________?
0 _____________?
2.一元二次方程的图象解法
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的
___________就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方
程ax2+bx+c=0的_______.?
横坐标
根
3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法
(1)先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.
(2)确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间.
(3)列表,在(2)中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程的近似根.
4.二次函数图象上的点与一元二次方程的关系
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,
求对应的自变量时,需要解一元二次方程______________.?
ax2+bx+c=M
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
A
2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x
的方程x2+ax+b=0的解是 ( )
A.无解
B.x=1
C.x=-4
D.x=-1或x=4
D
3.二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是
( )
A.2和-3 B.-2和3
C.2和3 D.-2和-3
A
知识点一 二次函数与一元二次方程的关系(P24探究拓展)
【典例1】已知二次函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:不论m取何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点.
(2)当二次函数的图象经过点(3,6)时,确定m的值,并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标.
【规范解答】(1)Δ=m2-4(m-2)
………………………一元二次方程根的判别式
=(m-2)2+4, ………………………配方
∵(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+4>0,
………………一元二次方程有两个根的条件
∴无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点.
(2)∵二次函数的图象经过点(3,6),
∴6=9-3m+m-2,
∴m= , ………………………解一元一次方程
∴y=x2- x- .
当x=0时,y=- , …………y轴上点的坐标特征
即该函数图象与y轴交于点 .
当y=0时,x2- x- =0,
……………x轴上点的坐标特征
解得x1=-1,x2= .……………解一元二次方程
则该函数图象与x轴的交点坐标是:(-1,0), .
综上所述,m的值是 ,此时,该函数图象与y轴交于点
,与x轴的交点坐标是:(-1,0), .
【学霸提醒】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间的关系
1.b2-4ac>0?抛物线与x轴有2个交点?方程有两个不相等的实数根.
2.b2-4ac=0?抛物线与x轴有1个交点?方程有两个相等的实数根.
3.b2-4ac<0?抛物线与x轴没有交点?方程没有实数根.
【题组训练】
1.(2019·荆门中考)抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交
点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
★2.表格中是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x
与函数值y的一些对应值,可以判断方程ax2+bx+c=
-3(a≠0)的一个近似根是 ( )
C
x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4
y=ax2+bx+c -2.75 -2.86 -3.13 -3.28
A.x=-1.1 B.x=-1.2
C.x=-1.3 D.x=-1.4
★3.已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图,则关于
x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解是______________.?
x1=-1,x2=5
★★4.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
解:(1)当y=0时,ax2+bx-(a+b)=0(a≠0),
∵Δ=b2+4a(a+b)=(2a+b)2,
∴当2a+b=0,即Δ=0时,二次函数图象与x轴有1个交点;
当2a+b≠0,即Δ>0时,二次函数图象与x轴有2个交点.
(2)当x=1时,y=0,
∴函数图象不可能经过点C(1,1).
∴函数图象经过A(-1,4),B(0,-1)两点,
∴
解得a=3,b=-2.
∴二次函数的表达式为y=3x2-2x-1.
(3)∵P(2,m)在该二次函数图象上,
∴m=4a+2b-(a+b)=3a+b,
∵m>0,∴3a+b>0,
又∵a+b<0,
∴2a=3a+b-(a+b)>0,
∴a>0.
知识点二 二次函数与一元二次方程关系的实际应用(P26例2拓展)
【典例2】如图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.解答以下问题:
(1)小球从飞出到落地要用多少时间?
(2)小球飞行的最大高度是多少?此时需要多少飞行时间?
【思路点拨】(1)小球落地时的飞行高度h=0,代入函数表达式即可求出t.
(2)利用配方法将表达式表示成顶点式,求出最值及时间t.
【自主解答】(1)令h=20t-5t2=0,
解得t1=0(舍去),t2=4.
∴小球从飞出到落地要用4 s.
(2)由配方法得y=20t-5t2=-5(t-2)2+20,
∵a=-5<0,
∴小球飞行的最大高度是20 m,此时需要飞行2 s.
【学霸提醒】
二次函数与一元二次方程关系的应用
1.首先进行数学建模,理解二次函数中的变量关系.
2.根据函数图象结合函数表达式求出所需的变量值.
【题组训练】
1.(2019·北京丰台区模拟)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足表达式y=a(x-k)2+h.已知球与O点的水平距离为6 m时,达到最高2.6 m,球网与O点的水平距离为9 m.高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m,则下列
判断正确的是 ( )
A.球不会过网
B.球会过球网但不会出界
C.球会过球网并会出界
D.无法确定
C
★2.(生活情境题)某菜农搭建了一个横截面为抛物线
的大棚,尺寸如图,若菜农身高为1.8 m,他在不弯腰的
情况下,在棚内的横向活动范围是______m.?
3
★3.某司机驾车行驶在公路上,突然发现正前方有一行
人,他迅速采取紧急刹车制动.已知汽车刹车后行驶距
离s(m)与行驶时间t(s)之间的函数表达式为s=-4t2+
16t,则这个行人至少在_______m以外,司机刹车后才不
会撞到行人.?
16
★★4.某运动员身高1.91 m,在某次投篮中,球的运动
路线是抛物线y=- x2+3.5的一部分(如图),若命中篮
圈中心,则他与篮底的距离l约为________.?
4 m
【火眼金睛】
若二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴有交点,求c的取值范围.
正解:∵二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴有交点,
∴b2-4ac=(-2)2-4c≥0,
∴c≤1.
【一题多变】
若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A(x1,0),
B(x2,0)两点,则 的值为_______.?
-4
【母题变式】
【变式一】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数
y= x的图象如图所示,则方程ax2+ x+c=0(a≠0)
的两根之和 ( )
A.大于0 B.等于0
C.小于0 D.不能确定
A
【变式二】二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直
线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)
在1 -5(共41张PPT)
1.5 二次函数的应用
第1课时
【知识再现】
二次函数y=ax2+bx+c的图象是___________,当b=0时,
抛物线关于________对称,其顶点坐标为__________;
当b≠0时,抛物线关于直线___________对称,此时顶点
坐标为 .?
抛物线
y轴
(0,c)
【新知预习】阅读教材P29-30,完成下面的填空:
1.建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步
骤
(1)根据题意建立适当的___________________.?
(2)把已知条件转化为点的_________.?
平面直角坐标系
坐标
(3)合理设出_______________.?
(4)利用待定系数法求出_______________.?
(5)根据求得的表达式进一步分析、判断并进行有关的计算.
函数表达式
函数表达式
2.最值问题的理解
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0):
(1)当a<0时,抛物线开口向下,其顶点是图象的最_______
点,即自变量x取顶点的横坐标时,函数y有最_______值.?
高
大
(2)当a>0时,抛物线开口向上,其顶点是图象的最_______
点,即自变量x取顶点的横坐标时,函数y有最_______值.?
(3)综上所述,当x=- 时,y有最大(小)值_______.?
低
小
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.有一座抛物线拱桥,在正常水位时,
桥下水面宽度为20米,拱顶距离水面
4米.在如图所示的直角坐标系中,该
抛物线的表达式为______________.?
2.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成
矩形ABCD的最大面积是_______m2.?
64
知识点一 建立直角坐标系解决实际问题(P29动脑筋拓展)
【典例1】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)
的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入
y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,
解得:a=- ,
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
y=- (x-3)2+5(0(2)当y=1.8时,有- (x-3)2+5=1.8,
解得:x1=-1,x2=7,
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
(3)略
【学霸提醒】
解决抛物线型问题“三步骤”
1.根据题意,建立恰当的坐标系,设抛物线表达式.
2.准确转化线段的长与点的坐标之间的关系,得到抛物线上点的坐标,代入表达式,求出二次函数表达式.
3.应用所求表达式及其性质解决问题.
【题组训练】
1.如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,
小球的抛出路线可以用二次函数y=
4x- x2刻画,斜坡可以用一次函数
y= x刻画,下列结论错误的是( )
A
A.当小球抛出高度达到7.5 m时,小球距O点水平距离为3m
B.小球距O点水平距离超过4 m后呈下降趋势
C.小球落地点距O点水平距离为7 m
D.斜坡的坡度为1∶2
★2.某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线
组成的.为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一
根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m(如图),
则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( )
A.240 m B.200 m
C.160 m D.150 m
A
知识点二 面积最优化问题(P30动脑筋拓展)
【典例2】如图所示,有长为30 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为x m,面积为y m2.
(1)求y与x的函数表达式.
(2)如果要围成面积为63 m2的花圃,AB的长是多少?
(3)能围成比63 m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积;如果不能,请说明理由.
【自主解答】(1)由题意得:
y=x(30-3x)=-3x2+30x,
由题意可知0<30-3x≤10,可得 ≤x<10,
即y=-3x2+30x .
(2)当y=63时,-3x2+30x=63.
解此方程得:x1=7,x2=3.
当x=7时,30-3x=9<10,符合题意;
当x=3时,30-3x=21>10,不符合题意,舍去.
∴当AB的长为7 m时,花圃的面积为63 m2.
(3)略
【学霸提醒】
应用二次函数解决面积最大问题的步骤
1.分析题中的变量与常量.
2.找出等量关系,根据几何图形的面积公式建立函数模型.
3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大或最小值.
【题组训练】
1.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝
的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面
积之和的最小值是 ( )
A.12.5 cm2 B.25 cm2 C.50 cm2 D.12 cm2
A
★2.如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条
与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱
笆的厚度忽略不计),当AB=________m时,矩形土地ABCD
的面积最大.?
150
★★3.如图,一个矩形菜园ABCD,一边AD靠墙(墙MN长为a米,MN≥AD),另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成.
(1)当a=20米时,矩形ABCD的面积为450平方米,求AD的长.
(2)求矩形ABCD面积的最大值.
解:(1)设AD=x米,则BC=x米,
AB=CD= (100-x)= 米,
依题意有:x =450,
整理得:x2-100x+900=0,解得x=90或x=10,
∵MN=a=20,MN≥AD,∴x=90>20不合题意,舍去,
∴x=10,即AD长为10米.
(2)略
【火眼金睛】
正方形ABCD边长为4,M,N分别是BC,CD上
的两个动点,当点M在BC上运动时,保持
AM和MN垂直,当点M在什么位置时,△ADN
的面积最大或最小,并求出最大或最小面积.
正解:设MC=x,则BM=4-x,
由题意可知△CMN∽△BAM,
∴ ,即 ,
∴CN= .
∴S△ADN=4×4- ×4
= x2-2x+8= (x-2)2+6.
∵a>0且0【一题多变】某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 米宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27米,则能建成的饲养室面积最大为多少?
解:设垂直于墙的边长为x米,
则平行于墙的边长为27+3-3x=30-3x,
则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米.
【母题变式】
【变式一】如图,从一张矩形纸片较短的边上找一点E,过E点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE,DE,要使剪下的两个正方形的面积和最小,点E应选在何处?为什么?
解:设矩形纸较短边长为a,两个正方形的面积和为y,
DE=x,则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2
=2x2-2ax+a2,当x=- = a时,y最小值=2× -2a×
a+a2= a2.
即点E选在矩形纸较短边的中点时,剪下的两个正方形
的面积和最小.
【变式二】为了节省材料,某水产养殖户
利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用
总长为80米的围网在水库中围成了如图
所示的①②③三块矩形区域,而且这三
块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.
(1)求证:AE=2BE.
(2)求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
解:(1)∵三块矩形区域的面积相等,
∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍,
又∵EF是公共边,∴AE=2BE.
(2)设BE=a,则AE=2a,AB=3a,
∴8a+2x=80,∴a= ,
∴y=3ax=3· ·x=- x2+30x,
∵a= >0,∴x<40,∴0(3)∵y=- x2+30x=- (x-20)2+300(0且二次项系数为- <0,
∴当x=20时,y有最大值,最大值为300平方米.
(共30张PPT)
1.5 二次函数的应用
第2课时
【知识再现】
已知二次函数y=x2-2x-3,当x=1时,y有最_______值,其
值为_______;当-1≤x≤4时,y最小值为_______,y最大
值为______.?
小
-4
-4
5
【新知预习】阅读教材P31,学习相关知识点并填空:
1.与利润有关的几个表达式
(1)总价、单价、数量的关系:总价=单价×_________.?
(2)利润、售价、进价的关系: 利润=_________-进价.?
(3)总利润、单件利润、数量的关系: 总利润=
_____________×数量.?
数量
售价
单件利润
2.抛物线y=ax2+bx+c的最值
(1)配方法:用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k
的形式,当自变量x=______时,函数y有最大(小)值为
______.?
(2)公式法:二次函数y=ax2+bx+c,当自变量x=______时,
函数y有最大(小)值为____________.?
h
k
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出
100件.根据销售统计,该件工艺品每降价1元出售,则每天
可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱
数为( )
A.5元 B.10元 C.0元 D.6元
A
2.某商店经营某种商品,已知每天获利y(元)与售价
x(元/件)之间满足表达式y=-x2+80x-1 000,则每天最
多可获利________元.?
600
知识点 利润最优化问题(P31例题拓展)
【典例】(2019·青岛中考)某商店购进一
批成本为每件30元的商品,经调查发现,
该商品每天的销售量y(件)与销售单价
x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数表达式.
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?
【自主解答】(1)设y与x之间的函数表达式为:
y=kx+b,将点(30,100),(45,70)代入一次函数表达式得:
解得:
故函数的表达式为:y=-2x+160.
(2)略
(3)略
【学霸提醒】
利用二次函数求最值的“四点注意”
1.要把实际问题正确地转化为二次函数问题.
2.列函数表达式时要注意自变量的取值范围.
3.若图象不含顶点,应根据函数的增减性来确定最值.
4.有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值,实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取.
【题组训练】
1.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周
利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=
-2(x-20)2+1 558,由于某种原因,价格只能是
15≤x≤22,那么一周可获得最大利润是 ( )
A.20元 B.1 508元 C.1 550元 D.1 558元
D
★2.(生活情境题)湖南全省2018年国庆假期旅游人数
增长12.5%,其中尤其是乡村旅游最为火爆.衡山脚下的
某旅游村,为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的
旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出,
若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床
位租出,如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为
使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的
收费是 ( )
A.140元 B.150元
C.160元 D.180元
C
★3.某网店销售一款李宁牌运动服,每件进价100元,、
若按每件128元出售,每天可卖出100件,根据市场调查、
结果,若每件降价1元,则每天可多卖出5件,要使每天、
获得的利润最大,则每件需要降价______元.
?
4
★★4.(2019·宿迁中考)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.
(1)请写出y与x之间的函数表达式.
(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2 250元?
(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?
解:(1)根据题意得,y=- x+50.
(2)根据题意得,(40+x) =2 250,
解得:x1=50,x2=10,
∵每件利润不能超过60元,∴x=10.
答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2 250元.
(3)根据题意得,w=(40+x)
=- x2+30x+2 000=- (x-30)2+2 450,
∵a=- <0,∴当x<30时,w随x的增大而增大,∴当x=20时,w增大=2 400.
答:当x为20时w最大,最大值是2 400元.
【火眼金睛】
生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产,现有一生产季节性产品的企业,一年中获得利润y与月份x之间的函数表达式是y=-x2+15x-36,求出该企业一年中应停产的月份是哪几个月?
正解:令y=0,则-x2+15x-36=0,
即x2-15x+36=0,∴x1=3,x2=12.
由函数图象可知,当x≤3或x≥12时,函数值y≤0,
∴停产的月份应该是1-3月份和12月份.
【一题多变】
(2019·本溪模拟)某商店以15元/件的价格购进一批纪念品销售,经过市场调查发现:若每件卖20元,则每天可以售出50件,且售价每提高1元,每天的销量会减少2件,于是该商店决定提价销售,设售价x元/件,每天获利y元.
(1)求每件售价为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?
(2)若该商店雇用人员销售,在营销之前,对支付给销售人员的工资有如下两种方案:
方案一:每天支付销售工资100元,无提成.
方案二:每销售一件提成2元,不再支付销售工资.
综合以上所有信息,请你帮着该商店老板算一算,应该采用哪种支付方案,才能使该商店每天销售该纪念品的利润最大?最大利润是多少?
解:(1)y=(x-15)[50-2(x-20)]=-2(x-30)2+450,当x=30时,y的最大值为450.
答:每件售价为30元时,每天获得的利润最大,最大利润是450元.
(2)方案一:每天的最大利润为450-100=350(元),
方案二:y=(x-15-2)[50-2(x-20)]
=-2(x-31)2+392,
∴每天的最大利润为392元,∵392>350,
∴采用方案二支付,利润最大,最大利润为392元.
【母题变式】
小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;
②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).
(1)用含x的代数式分别表示W1,W2.
(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?
略
(共16张PPT)
单元复习课
第1章 二 次 函 数
考点1 二次函数图象的平移(考查方式:求平移后图象的函数表达式)
【教材这样教】(P37复习题A组第3题第(1)题)
抛物线y=3x2先向左平移2个单位,得到抛物线
_____________;接着向上平移1个单位,得到抛物线
_______________.?
y=3(x+2)2
y=3(x+2)2+1
【中考这样考】
(2019·哈尔滨中考)将抛物线y=2x2向上平移3个单位
长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为
( )
A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x-2)2+3
C.y=2(x-2)2-3 D.y=2(x+2)2-3
B
【专家这样说】
熟练掌握平移规律:左加右减,上加下减,并用规律求函数表达式.
考点2 二次函数的图象与性质(考查方式:利用二次函数的最值求自变量的取值范围)
【教材这样教】(P17例6)
求二次函数y=- x2+2x-1的最大值.
略
【中考这样考】
(2019·荆州中考)二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是
______.?
7
【专家这样说】
熟记顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标为(h,k),当a>0时,函数有最小值k;当a<0时,函数有最大值k.当自变量确定某一范围时,要结合函数的增减性和对称性确定其最值.
考点3 二次函数的应用(考查方式:利用二次函数解决利润问题)
【教材这样教】(P32A组第3题)
某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品,并投放市场进行试销,经过调查,发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系y=-10x+700.
(1)销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大?最大利润为多少?
(2)若物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,那么销售单价如何定位才能获取最大利润?
解:(1)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为W元,由题意,得W=(-10x+700)(x-10),
W=-10(x-40)2+9 000,
∵a=-10<0,∴x=40时,W最大=9 000(元).
(2)∵a=-10<0,顶点坐标为(40,9 000),
∴当x≤40时,W随x的增大而增大,
∴x=35时,W取得最大值,此时W最大=8 750(元).
【中考这样考】
(2019·咸宁中考)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足表达式z=-2x+120.
(1)第40天,该厂生产该产品的利润是__________元.?
(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.求w与x之间的函数表达式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少?
略
【专家这样说】应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时,一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.
