第三章 复数 单元测试卷A（含答案解析）

复数单元测试卷(A)

一、单选题
1．已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于（ ）
A． B．
C． D．
3．复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为虚数单位，，若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且，则( )
A． B． C． D．
5．下面是关于复数的四个命题：
①；②；③的共轭复数为；④的虚部为．其中正确的命题 （　 ）
A．②③ B．①② C．②④ D．③④
6．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 （ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
7．已知复数满足,则的虚部是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
8．复数，则（ ）
A． B． C． D．
9．若（是虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．3
10．已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．复数（为虚数单位）是方程的根，则的值为（ ）
A． B．13 C． D．5
12．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．在复数集中分解因式：___________________．
14．计算：1+i+i2+i3+…+i100（i为虚数单位）的结果是________．
15．若复数满足，则的最大值是________
16．对于n个复数z1，z2，…，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1，z2，…，zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，则可取{k1，k2，k3}＝________．(只要写出满足条件的一组值即可)
17．设是复数，给出四个命题：
①．若，则 ②．若，则
③．若，则 ④．若，则
其中真命题的序号是__________．

三、解答题
18．已知复数.
（I）若，求复数；
（II）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.
19．已知，复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围．
（2）若与复数相等，求的值；
20．已知关于x的方程的两个虚根为α、β，且，求m的值．
21.（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）
（2）设是虚数，是实数，且
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
22．已知复数，(，为虚数单位).
(1)若是纯虚数，求实数的值.
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.



参考答案
1．A【解析】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，
则根据复数的运算，得.故选A.
2．A【解析】由题意，复数满足，即，
所以复数的共轭复数等于，故选A．
3．D【解析】由得：，所以，故选D．
4．A【解析】由可得，解得或，所以或，
因为在复平面内对应的点位于第三象限，所以．
本题选择A选项.
5．C【解析】，
的虚部为．所以选②④，选C.
6．C【解析】因为为纯虚数，所以且，解得，故选C．
7．C【解析】由得，所以，所以其虚部为1，故选C.
8．A【解析】由复数模的运算法则可得：.
9．C【解析】,化简,得到,因此,故选C.
10．A【解析】,虚部为,即,故对应点在第一象限.
11．B【解析】∵是方程z2﹣6z+b＝0（b∈R）的根，
由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，为方程另一根，
则b＝（3+2i）（3﹣2i）＝13．故选B．
12．D【解析】13．
【解析】
14．1
【解析】由复数的运算法则可知：



.
15．2【解析】设 ,则，
，
当时， .
16． (或{2，4，3}等)
【解析】由k1z1＋k2z2＋k3z3＝0，得k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3×(－2)＝0，
即(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0，∴ ∴k1∶k2∶k3＝1∶2∶，
故答案为或{2，4，3}等．
17．①②③【解析】
设复数?
对于①,若可得?，所以，故①正确；
对于②,则,??a-bi=c+di,即?②正确；
对于③,若则，?? ?③正确；
对于④,若则，????不成立,④不正确.故答案为：①②③.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）,若，则，∴，∴.
（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，
解得，即的取值范围为.
19．（1）（2）
【解析】（1）由题意得，，解得或．
的取值范围是；
（2），且与复数相等，
，解得．
20．5【解析】由方程有两个虚根α和β可设．
所以，得，，
因为，所以，解得，
则．
21．（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii）
【解析】（1）
设，则
，解得：
（2）（i）设且

为实数 ，整理可得：
即

（ii）
由（i）知：，则
且
是纯虚数
（iii）
令，则，

（当且仅当时取等号）
即的最小值为：
22．（1）；（2）。
【解析】（1）依据
根据题意是纯虚数，故， 且 ， 故；
（2）依，
根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得
综上，实数的取值范围为







试卷第1页，总3页


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