第三章 复数 单元测试卷B（含答案解析）

复数单元测试卷（B）
一、单选题
1．若且的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
4．已知，是虚数单位，若，，则（ ）
A．1或 B．或 C． D．
5．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
6．已知为虚数单位，复数满足，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
7．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．复数（是虚数单位）的共轭复数表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于(　　)
A．1±2i B．－1±2i C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
10．为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
11．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
12．已知i为虚数单位，且复数z满足 ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（　　）
A． B． C． D．

二、填空题
13．已知复数，若复数满足，则的最大值为_______
14．如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是___．
15．已知复数，，则的取值范围为___________．
16．已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．
17．已知复数是虚数单位），b是z的虚部，且函数f（x）＝log（2x2﹣bx）（＞0且≠1）在区间内f（x）＞0恒成立，则函数f（x）的递增区间是___

三、解答题
18．设复数，在复平面上对应的点在直线y=x上，求的取值范围.
19. 已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．
(1)求a，b的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
20．已知复数满足
（1）求w在复平面上对应点P的轨迹C．
（2）在复平面上点Q（0，4）向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，求直线AB的方程．

21．设.
(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；
(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．
22．（1）已知，且，求；
（2）已知是关于的方程的一个根，求实数的值.



参考答案
1．B【解析】 由题意知，表示复平面内的点到的距离等于的圆，
即以为圆心，以为半径的圆，
的最小值表示圆上的点到的距离的最小值，
即圆心到的距离减去半径，则，故选B．
2．A【解析】由是方程的根可得,
整理可得：，
所以，解得，所以，故选A.
3．A【解析】令z＝a＋bi，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z，得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，得a2＋b2＝2b且2a＝2，解得a＝1，b＝1，则z＝1＋i，故选A.
4．A【解析】由得，所以，故选A.
5．A【解析】因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
6．D【解析】
∵∴故选D
7．B【解析】由题意可得，，
，，，
则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．
8．B【解析】因为,所以表示的点在第二象限，故选B．
9．C【解析】由题意得，
∵，∴，解得或，
∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选C.
10．C【解析】由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数，
设，
两边同乘可得：
两式相减可得

所以，故选C.
11．D【解析】由复数的几何意义可知，表示：
到点与点之间的距离之差的绝对值为常数1的点的轨迹，
且，结合双曲线的定义可知：复数在复平面上对应点的轨迹为双曲线.
12．B【解析】由，得，
∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为．故选B．
13．.【解析】
设

当时， 取得最大值
从而得到的最大值为 ．故答案为．
14．【解析】设，则 ，如图,

因此复平面内复数z的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是
15．【解析】
16．【解析】由题意可设 ，由得
所以
17．（﹣∞，﹣）【解析】∵+（﹣2i）＝i﹣2i＝﹣i，∴b＝﹣1，
∴f（x）＝loga（2x2+x）＝，
∵x∈（0，），∴x+∈（，），∴∈（，），
∴2﹣∈（0，1），又∵f（x）＞0，∴0＜a＜1，
∵y＝2x2+x的减区间为（﹣∞，﹣]，又2x2+x＞0得x＜﹣或x＞0，
∴函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）．故答案为（﹣∞，﹣）．
18．【解析】因为
所以，
因为在复平面上对应的点在直线y=x上，所以，
因此，
，
即的取值范围为
19．（1）a，b的值分别为－2，2；（2）1－i是方程的一个根．
【解析】(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴∴
∴a，b的值分别为－2，2.
(2)由(1)知，实系数方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程，
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
20．（1）（2）
【解析】（1）设，
则由得
∵复数z满足，
∴，
即，即w在复平面上对应点P的轨迹C为．
（2）设切点，
则对应的切线方程分别为，
∵Q（0，4）在两条切线上，，
因此A，B两点都在直线，即AB为：．
21．（1）证明见解析．（2）4.
【解析】(1)证明：∵ω＝－＋i，
∴ω2＝(－＋i)2＝＋2×(－)×(i)＋(i)2＝－i－＝－－i，
∴1＋ω＋ω2＝1－＋i－－i＝0.
(2)由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，
∴ω3－1＝0，
∴ω3＝1.
∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.
22．（1）;（2）.
【解析】（1）由，得，所以.
（2）由于是方程一根，则
即：，所以，，
解得，.













试卷第1页，总3页


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