第一章 计数原理 单元测试卷A（含答案解析）

计数原理单元测试卷（A）
一、单选题
1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．800 B．5400 C．4320 D．3600
2．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有　　　　　　　（　　）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
3．二项式的展开式中的系数为 ( )
A．6 B．15 C．20 D．28
4．若(1+)4=a+b(a,b均为有理数),则a+b等于 ( )
A．33 B．29 C．23 D．19
5．方程的解集为(　　)
A．{4} B．{14} C．{4,6} D．{14,2}
6．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
7．电视台在直播某场比赛时要连续插播5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的比赛宣传广告,要求最后播放的是宣传广告,且2个宣传广告不能连播.则不同的播放方式有(　　)
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
8．的值为（ ）
A．6 B．101 C． D．
9．从5名男生、4名女生中选3名学生组成一个学习小组，要求其中男、女生都有，则不同的分组方案共有（ ）
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
10．如图,用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,而且四种不同的颜色要全部用完,则不同的涂色方法共有( )

A．144种 B．216种 C．264种 D．360种
11．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
12．5名男生与2名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻，那么符合条件的排法共有（ ）
A．48种 B．192种 C．240种 D．288种


二、填空题
13．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种．（用数字作答）
15．在(x-2)5(+y)4的展开式中,x3y2的系数为____.
16．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．

17．从1,2,3,4,7,9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到________个不同的对数值.
三、解答题
18．已知有6名男医生,4名女医生.
(1)选3名男医生,2名女医生,让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗,一个地区去一名教师，共有多少种分派方法?
(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生,共有多少种不同的分法?若将这两组医生分派到两地去,又有多少种分派方法?
19．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?
20．求的展开式中的常数项.
21．用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数?
(1)被4整除;
(2)比21 034大的偶数;
(3)左起第二、四位是奇数的偶数.
22．若 展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值．
(2)此展开式中是否有常数项？为什么？



参考答案
1．D【解析】先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有种排法，再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有种排法，∴共有种排法，故选D
2．C【解析】根据组合数的概念可知选项正确.
3．B【解析】二项式展开式的通项公式，令6-2r=-2，解得r=4，∴第五项系数.故选B.
4．B【解析】∵(1+)4=（）0+（）1+（）2+（）3+（）4=17+12=a+b，∴ a=17，b=12，a+b=29,.故选B
5．C【解析】
∵∴或∴或
经检验知或符合题意，故方程的解集为.故选C.
6．B【解析】由展开式中x的幂指数是整数，由通项公式；
， 幂指数是整数即；为整数．
则：，共可取5个值，即有5个整数项．
7．C【解析】【详解】
，故选C．
8．C【解析】
===
故选C
9．A【解析】一男两女，有种，
两男一女，有种，共计70种
间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，
都是女医生有种，于是符合条件的有84-10-4=70种

10．B【解析】由题意，4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，再给D、E、F涂色，因为D．E．F中必有一点用到第4种颜色，所以另外两点用到A．B．C三点所用颜色中的两种，此时涂法确定，
由乘法原理得=216种．
故答案为：B
11．D【解析】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分布计数原理可得：，应选答案D．
12．B【解析】甲站好中间的位置，两名女生必须相邻，有四种选法，两个女生可以交换位置，剩下的四个男生站在剩下的四个位置，有4！种排法，所以：2×4×4！=192（种）．
故答案为：B
13．840【解析】由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科的科代表，共有(种)选法．
14．54【解析】第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C42A33=36种，
第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A33C32=18种，
根据分类计数原理可得，共有36+18=54种，故答案为54．
15．480【解析】（x﹣2）5（+y）4的展开式中，x3y2的系数为.
故答案为：480
16．312【解析】根据题意，分3种情况讨论：
①、取出的3个点都在圆内,有 种取法，即有4种取法，
②、在圆内取2点,圆外12点中取1点,有 种，即有60种取法，
③、在圆内取1点,圆外12点中取2点,有 种，即有248种取法，
则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，
故答案为312.
17．17【解析】因为对数的底数不能是1，所以底数可以是?2,3,4,7,9中的某一个数，真数可以是1,2,3,4,7,9中的某一个数，因此，从形式上可以组成??个对数．?
减去底数，真数相同的5个数；?
?1为真数的数有5个，值均为0，应减去4个；?此外，；??，，应减去重复的4个．?所以，不同的对数值为（个）．
18．（1）14400；（2）120，240
【解析】(1)共有=14400(种)分派方法.
(2)把10名医生分成两组.每组5人,且每组要有女医生,有=120(种)不同的分法;若将这两组医生分派到两地去,则共有120=240(种)分派方法.
19．(1)24;(2)144.【解析】：(1)每个盒子放一个球,共有=24种不同的放法.
(2)先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.
故共有4×6×6=144种放法.
20．【解析】∵=,
∴展开式的通项为Tr+1=.
当r=5时,T6=×(-1)5=-1.
当0≤r<5时,的展开式的通项为Tk+1=·x5-r-k·=·x5-r-2k(k=0,1,…,5-r).
欲求常数项,令5-r-2k=0,即r+2k=5.∵0≤r<5,且k,r∈N*,∴r只能取1或3,相应的k值分别为2或1,即或,
∴常数项为××(-1)1+××(-1)3+(-1)=-51.
21．（1）30；（2）39；（3）8
【解析】(1)被4整除的数,其特征应是末两位数是4的倍数,可分为两类:当末两位数是20、40、04时,其个数为3=18,当末两位数是12、24、32时,其个数为3=12.故满足条件的五位数共有18+12=30(个).
(2)可分五类:当末位数是0,而首位数是2时,有=6(个);
当末位数字是0,而首位数字是3或4时,有=12(个);
当末位数字是2,而首位数字是3或4时,有=12(个);
当末位数字是4,而首位数字是2时,有=3(个);
当末位数字是4,而首位数字是3时,有=6(个).
故共有6+12+12+3+6=39(个).
(3)可分两类,0是末位数,有=4(个);2或4是末位数,有=4(个).故共有4+4=8(个).
22．（1）7；（2）无常数项
试题解析：(1).
由题意可知，即，解得(舍)或.
∴
(2)由(1)知.
当时，，由于，所以此展开式中无常数项．













试卷第1页，总3页


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