第一章 计数原理 单元测试卷B（含答案解析）

计数原理单元测试卷（B）
一、单选题
1．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
2．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种
A．19 B．26 C．7 D．12
3．将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有 （ ）
A． B． C． D．
4．（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素的个数为 (　　)
A．60 B．100 C．120 D．130
6．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）
A．300 B．338 C．600 D．768
7．若的展开式的各项系数之和为，则该展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种.
A．105 B．95 C．85 D．75
9．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )
A．72 B．60 C．36 D．30
10．用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）
A． B． C． D．
11．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　)
A．96 B．114 C．128 D．136
12．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )
A．72 B．60 C．36 D．30


二、填空题
13．已知为数字0，1，2，…，9的一个排列，满足，且，则这样排列的个数为___（用数字作答）．
14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．

15．3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答）
16．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数
为______________.(用数字作答)
17．在的展开式中，常数项为__________．



三、解答题
18．已知，且.
(1)求n的值；
(2)求的值．
19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：
（1）女生都不相邻有多少种排法？
（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
20．已知：.
（1）若，求二项展开式中奇数项系数的和
（2）若，求二项展开式中系数最大项.
21．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
（Ⅰ）求是这个数列的第几项；
（Ⅱ）求这个数列的第96项；
（Ⅲ）求这个数列的所有项和.
22．设是定义在上的函数，且
（提示：）
（1）若，求；
（2）若，求.



参考答案
1．D【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.
2．B【解析】由题意支付方法数有．故选B．
3．B【解析】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.
4．B【解析】
选B.
5．D【解析】集合A中满足条件“”
中取0的个数为2,3,4.则集合个数为： 故答案选D
6．D【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；当1在个位时，同样共有96种；
当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中排法，共有种
综上：共有=768故选：D
7．D【解析】根据展开式各项系数和为96，令 ，代入得
，可解得
代入得
所以选D
8．A【解析】根据题意，分4种情况讨论：
①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，有C51=5种情况，
②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，有C52=10种情况，
③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，
有C52A33=60种情况，
④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，有C52C32=30种情况，
则一共有5+10+60+30=105种情况，即有105种不同的跳动方式．故选：A．
9．B【解析】如第一个为男生，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为
如第一个为女生，则先排剩下女生，再在产生的三个空中安排男生，此时排法种数为因此出场顺序的排法种数为选B.
10．C【解析】从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色，有=360种不同的方案，接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数。
不使用新的颜色，有2种颜色分类方案；
使用1种新的颜色，分为2类；
第一类，染一条边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案。
使用2种新的颜色，分为4类；
第一类，染两条邻边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案；第三类，染三条边，有种方案；第四类，染四条边，有2种方案。
因此不同的染色方案总数为,选C.
11．B【解析】不同的名额分配方法为（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，12），…,（2，7，9）；…,(5,6,7)，共种方法，再对应分配给学校有,选B.
12．B【解析】如第一个为男生，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为
如第一个为女生，则先排剩下女生，再在产生的三个空中安排男生，此时排法种数为因此出场顺序的排法种数为选B.
13．3456【解析】0，1，2，…，9所有数据之和为45

相加为15的3数组有：

当选择后，可以选择，，3种选择
同理可得：
分别有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24种选择
选定后只有一种排列有种排列有种排列共有中选择.故答案为3456
14．66【解析】根据题意，分3种情况讨论：
①当A、C、E种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法；
②当A、C、E种二种植物，此时共有C32×A32×2×1×1=36种方法；
③当A、C、E种三种植物，此时共有A33×1×1×1=6种方法；
则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；
故答案为66．
15．168．【解析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置，
若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置，
可分4种情况讨论：
①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，
若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有种排法，
若乙在6号位置，有种排法，
由分类计数原理可得，共有种排法；
②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；
③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，
若乙在1号位置，有种排法，
若乙在5号位置，有种排法，
若乙在6号位置，有种排法，
由分类计数原理可得，共有种排法；
④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有种不同的排法；
故答案为：168．
16．5040.【解析】分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填5040.
17．【解析】由二项展开式的通项公式得： ，显然时可能有常数项，当时， ，有常数项，当， 的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．
18．（1）n＝6（2）63
【解析】(1)因为 T3＝ (－2x)2＝a2x2，
所以a2＝ (－2)2＝60，
化简可得n(n－1)＝30，且n∈N*，解得n＝6.
(2)Tr＋1＝ (－2x)r＝arxr，所以ar＝ (－2)r，
所以
所以－ ＋＋…＋＝26－1＝63.
19．（1）43200（2）60480（3）287280
【解析】（1）不相邻排法，可使用插空法，先将男生排好，再将男生排入女生的空档中；（2）可以先将所有学生任意全排列，再将男生三人的多余排法除去；（3）分类，先考虑甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位与末位的．
试题解析：解：（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有 (种)不同排法.
（2）9人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，又对应甲、乙、丙只有 一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有 (种)．
（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有种排法，若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其余有种排法，综上共有(+ )＝ 287280(种)排法． （或者）-2+=287280(种）
（或者）-2 -=287280(种)
20．（1）（2）系数最大项为，或.
【解析】（1）因为，
令，可得，所以，
故
，
即，
两式相加可得，
再令，可得展开式中奇数项之和为，
（2）在所给等式中，令，可得，若，
故二项，它的展开式的通项公式为，
检验可得，当或时，该项的系数最大为，
故二项展开式中系数最大项为，或.
21．（1）第项.（2）.（3）.
【解析】（Ⅰ）大于的数可分为以下三类：
第一类：以5开头的有（个），第二类：以45开头的有（个），第三类：以435开头的有（个），
故不大于的五位数有（个），即是第项.
（Ⅱ）数列共有项，项之后还有项。
即比第项所表示的五位数大的五位数有个，
∴小于开头的五位数中最大的一个就是该数列的第项，即为.
（Ⅲ）∵各在万位上时都有个五位数，∴万位上数字的和为，
同理在千位、百位、十位、个位上也有个五位数，∴这个数列的所有项和为
.
22．（1）；（2）
【解析】（1）


（2），



又 无意义，













试卷第1页，总3页


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