2019-2020学年高一数学人教A版必修4学案：第一章三角函数Word版含答案

第一章　三角函数
本章小结
学习目标
1.任意角的概念与弧度制;任意角三角函数的定义;
2.同角三角函数的关系、诱导公式;
3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质;
4.函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义;函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换;
5.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题.
学习过程
复习回顾本章知识
一、同角三角函数基本关系式的运用
【例1】若tanα=,求:
(1)的值;
(2)2sin2α-sinαcosα+cos2α的值.
【例2】若sinθcosθ=,θ∈(),求cosθ-sinθ的值.
【例3】已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限的角,且cos(α-)=,求f(α)的值;
(3)若α=-1860°,求f(α)的值.
二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
【例4】求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;(2)f(x)=tan(sin x);
(3)f(x)=.
【例5】求下列函数的周期:
(1)y=;(2)y=2sin(x-)sin x;(3)y=.
【例6】已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【例7】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin2x-tan x;(2)f(x)=;
(3)f(x)=cos(sin x);(4)f(x)=.
【例8】已知函数f(x)=lo(sin x-cos x).
(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性;(3)求它的单调区间;(4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.
【例9】已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,x∈R.求:
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调增区间.
三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
【例10】已知函数f(x)=2cos2ωx+sin2ωx(其中0<ω<1),若直线x=为其一条对称轴.
(1)试求ω的值;
(2)作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.
【例11】已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<),且y=f(x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).
(1)求φ;
(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2014).
【例12】设函数f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω>0,a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是.
(1)求ω的值;
(2)如果f(x)在区间[-]上的最小值为,求a的值.
四、三角函数的运用
【例13】某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据:
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωx+b的图象.
(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;
(2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?
【例14】如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米?
【例15】如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮,其中扇形ATPS是一半径为90米的扇形小山,P是弧TS上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场的最大值与最小值.
【例16】将一块圆心角为120°、半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)(2)的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径OA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.
课堂小结
主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质,这是本章的核心知识点,主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想.
拓展提升
1.若sinθ=-,cosθ=,则角2θ的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知sinθ=k-1,cosθ=4-3k,且θ是第二象限角,则k应满足的条件是(　　)
A.k> B.k=1 C.k= D.k>1
3.已知=-,那么的值是(　　)
A. B.- C.2 D.-2
4.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是(　　)
①最小正周期是π;②图象关于点(,0)对称
A.y=cos(2x-) B.y=sin(2x+)
C.y=sin() D.y=tan(x+)
5.为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是(　　)
A.98π B.π C.π D.100π
6.函数f(x)=cos2x+sin x在区间[-]上的最小值是(　　)
A. B.-
C.-1 D.
7.函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图象关于原点对称的充要条件是(　　)
A.φ=2kπ-,k∈Z B.φ=kπ-,k∈Z
C.φ=2kπ-,k∈Z D.φ=kπ-,k∈Z
8.在△ABC中,C>,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是(　　)
A.f(cos A)>f(cos B) B.f(sin A)>f(sin B)
C.f(sin A)>f(cos B) D.f(sin A)9.同时具有性质“(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=对称;(3)在[-]上是增函数”的一个函数是(　　)
A.y=sin() B.y=cos(2x+)
C.y=cos(2x-) D.y=sin(2x-)
10.若把一个函数的图象按a=(-,-2)平移后得到函数y=cos x的图象,则原图象的函数解析式是(　　)
A.y=cos(x+)-2 B.y=cos(x-)-2
C.y=cos(x+)+2 D.y=cos(x-)+2
11.为了得到函数y=sin(2x-)的图象,可以将函数y=cos2x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
12.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的取值是(　　)
A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=-
C.ω=,φ= D.ω=,φ=-
13.若函数f(x)图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将整个图象沿x轴向右平移个单位长度,向下平移3个单位长度,恰好得到y=sin x的图象,则f(x)=　　　　.?
14.函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)为奇函数的充要条件是　　　　　;为偶函数的充要条件是　　　　　.?
15.一正弦曲线的一个最高点为(,3),从相邻的最低点到这最高点的图象交x轴于(-,0),最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为　　　　.?
16.已知方程sin x+cos x=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围.
17.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的最小值是-2,其图象相邻最高点与最低点横坐标的差是3π,又图象过点(0,1),求函数解析式.
18.已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(A,B,ω是实常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=时,f(x)max=2.
(1)求f(x).
(2)在闭区间[]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.
参考答案
一、同角三角函数基本关系式的运用
【例1】解:(1)=-3-2;
(2)原式=.
【例2】解:(cosθ-sinθ)2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-,
∵θ∈(),∴cosθ【例3】解:(1)f(α)==-cosα.
(2)∵cos(α-)=-sinα,
∴sinα=-,又α是第三象限的角,
∴cosα=-=-=-,
∴f(α)=.
(3)∵α=-1860°=-6×360°+300°,
∴f(α)=f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-6×360°+300°)=-cos60°=-.
二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
【例4】解:(1)由-tan x≥0,得tan x≤,∴kπ-∴f(x)的定义域为(kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)∵-<-1≤sin x≤1<,∴x∈R.即f(x)的定义域为R.
(3)由已知
∴(k∈Z),
∴原函数的定义域为(2kπ-,2kπ)∪(2kπ,2kπ+)(k∈Z).
【例5】解:(1)y==tan(2x+),
∴周期T=.
(2)y=-2sin xcos x=-sin2x,故周期T=π.
(3)y==tan(4x+),故周期T=.
【例6】解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
=2[sin2(x-)-cos2(x-)]+1
=2sin[2(x-)-]+1
=2sin(2x-)+1,
∴T==π.
(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+.
即x=kπ+(k∈Z).
故所求x的集合为{x|x∈R,x=kπ+,k∈Z}.
【例7】解:(1)∵f(x)的定义域为x≠kπ+(k∈Z),故其定义域关于原点对称,
又f(-x)=sin(-2x)-tan(-x)=-sin2x+tan x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵x=时,1+sin x+cos x=2,而x=-时,1+sin x+cos x=0,
∴f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数.
(3)∵f(x)的定义域为R,又f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(sin x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(4)由lgcos x≥0得cos x≥1,又cos x≤1,∴cos x=1,故此函数的定义域为x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
【例8】解:(1)由sin x-cos x>0?sin(x-)>0,
∴2kπ∴定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).
∵sin(x-)∈(0,],∴值域为[-,+∞).
(2)∵定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数.
(3)∵sin x-cos x=sin(x-)>0,
∴f(x)的递增区间为[2kπ+,2kπ+)(k∈Z),
递减区间为(2kπ+,2kπ+](k∈Z).
(4)∵f(x+2π)=lo[sin(x+2π)-cos(x+2π)]=lo(sin x-cos x)=f(x),
∴f(x)是周期函数,最小正周期T=2π.
【例9】解:(1)f(x)=+sin2x+=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+),
∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+.
函数f(x)取得最大值时自变量x的集合为{x|x∈R,x=kπ+(k∈Z)}.
(2)f(x)=2+sin(2x+).
由题意得:2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
即:kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
因此函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
【例10】解:(1)f(x)=2cos2ωx+sin2ωx=1+cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+)+1.
∵x=是y=f(x)的一条对称轴,
∴sin()=±1.
∴=kπ+,k∈Z,∴ω=k(k∈Z).
∵0<ω<1,∴ω=.
(2)用五点作图(略)
【例11】解:(1)y=Asin2(ωx+φ)=cos(2ωx+2φ).∵y=f(x)的最大值为2,A>0.
∴=2,A=2.
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω>0,
∴)=2,ω=.
∴f(x)=cos(x+2φ)=1-cos(x+2φ).
∵y=f(x)过(1,2)点,
∴cos(+2φ)=-1.
∴+2φ=2kπ+π,k∈Z,∴2φ=2kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ+,k∈Z,又∵0<φ<,∴φ=.
(2)∵φ=,∴y=1-cos(x+)=1+sinx.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.
又∵y=f(x)的周期为4,2014=4×503+2,
∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=4×503+f(2013)+f(2014)=2012+2+1=2015.
【例12】解:(1)f(x)=cos2ωx+sin2ωx++a=sin(2ωx+)++a.
依题意得2ω·?ω=.
(2)由(1)知,f(x)=sin(x+)++a.又当x∈[-]时,
x+∈[0,],故-≤sin(x+)≤1,从而f(x)在区间[-]上的最小值为=-+a,故a=.
四、三角函数的运用
【例13】解:(1)由已知数据,易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,
∴y=3sint+10.
(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米.
∴3sint+10≥11.5,∴sint≥,解得:2kπ+t≤2kπ+(k∈Z),12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内,取k=0或k=1,∴1≤t≤5,或13≤t≤17.
∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时.
【例14】解:(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设摩天轮上某人在Q处,则在t秒内OQ转过的角为t,所以t秒时,Q点的纵坐标为t,故在t秒时此人相对于地面的高度为y=10sint+12(米).
(2)令y=10sint+12≤10,则sint≤-.
∵0≤t≤20,∴10.64≤t≤19.36,故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.
【例15】解:如图,连接AP,设∠PAB=θ(0°<θ<90°),延长RP交AB于M,
则AM=90cosθ,MP=90sinθ,PQ=MB=AB-AM=100-90cosθ,
PR=MR-MP=100-90sinθ,
故矩形PQCR的面积
S=PQ·PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)
=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.
设sinθ+cosθ=t(1∴S=(t-)2+950,
故当t=时,Smin=950(m2).
当t=时,Smax=14050-9000(m2).
【例16】解:按图(1)的裁法:矩形的一边OP在OA上,顶点M在圆弧上,设∠MOA=θ,则
MP=20sinθ,OP=20cosθ,所以矩形OPMN的面积
S=400sinθcosθ=200sin2θ,即当θ=时,Smax=200.
按图(2)的裁法:矩形一边PQ与弦AB平行,
设∠MOQ=α,在△MOQ中,
∠OQM=90°+30°=120°,
由正弦定理得:MQ=sinα.
又∵MN=2OMsin(60°-α)=40sin(60°-α),
∴S=MQ·MN=sinαsin(60°-α)
=sinα(cosα-sinα)
=sin2α-)
=sin(2α+30°)-.
∴当α=30°时,Smax=.
由于>200,所以用第二种裁法得到面积最大的矩形,最大面积为cm2.
拓展提升
1.D　解析:由sin2θ=2sinθcosθ=-<0,
cos2θ=cos2θ-sin2θ=>0可得角2θ的终边在第四象限.
2.C　解析:由sinθ>0,cosθ<0及sin2θ+cos2θ=1可得k=.
3.A　解析:=-1.
4.D
5.B　解析:49·T≤1,即≤1,∴ω≥.
6.D　解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-(sin x-)2+,当x=-时,f(x)取最小值.
7.D　解析:f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+),令φ+=kπ可得.
8.C　解析:根据09.D　解析:由性质(1)和(2)可排除A,C两项,再求出y=sin(2x-)的增区间即可.
10.D　解析:将函数y=cos x的图象按-a平移可得原图象的函数解析式.
11.B　解析:∵y=sin(2x-)=cos[-(2x-)]=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)],∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度.
12.C　解析:由图象知,T=4()=4π=,
∴ω=.又当x=时,y=1,则sin(+φ)=1,+φ=2kπ+,k∈Z,当k=0时,φ=.
13.cos2x+3
14.φ=kπ(k∈Z)　φ=kπ+(k∈Z)
15.y=3sin(πx+)
16.解:原方程sin x+cos x=k?sin(x+)=k,在同一坐标系内作函数y1=sin(x+)与y2=k的图象.对于y=sin(x+),令x=0,得y=1.
∴当k∈[1,)时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.
17.解:易知:A=2,半周期=3π,∴T=6π,即=6π,从而ω=.
设y=2sin(x+φ),令x=0,有2sinφ=1.
又|φ|<,∴φ=.
故所求函数解析式为y=2sin(x+).
18.解:(1)由T==2,得ω=π,
∴f(x)=Asinπx+Bcosπx.
由题意可得解得
∴f(x)=sinπx+cosπx=2sin(πx+).
(2)令πx++kπ,k∈Z,所以x=+k,k∈Z.
由+k≤≤k≤,
故k=5,在[]上只有f(x)的一条对称轴x=.