人教A版高中数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式学案（Word版）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （人教A版）
1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．
3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．
预习导入
阅读课本50-52页，填写。
1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异
实根x1,x2
(x1有两相等实根
x1=x2
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.
(1)解ax2+bx+c=0；
(2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.
1. 不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
2. 不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
题型一 解不等式
例1 求下列不等式的解集
（1）
（2）
（3）
跟踪训练一
1、求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）
（4）
题型二 一元二次不等式恒成立问题
例2　(1). 如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．
(2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
跟踪训练二
1．已知不等式的解集为或，则实数__________.
2. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
题型三 一元二次不等式的实际应用问题
例3 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
跟踪训练三
1.用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？
1．不等式的解集是
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则有（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．或 B．
C． D．
4．不等式的解集是_________________
5．关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是 _______.
6．已知．
（1）若，解不等式；
（2）若，解不等式．
7．已知不等式的解集为.
(Ⅰ)若，求集合；
(Ⅱ)若集合是集合的子集，求实数a的取值范围.
答案
小试牛刀
1-3．DBC
自主探究
例1
【答案】（1） （2） （3）
跟踪训练一
【答案】（1） （2）
（3） （4）
例2　
【答案】（1） （2）A
【解析】（1）由韦达定理得，，代入不等式，
得，，消去得，解该不等式得，
因此，不等式的解集为，
故答案为：.
（2）当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，若不等式对任意恒成立，
则，解得；
当时，不等式不能对任意恒成立。
综上，的取值范围是.
.
跟踪训练二
【答案】1、6 2、
【解析】1、由题意可知，3为方程的两根，
则，即.故答案为：6
2、①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
，解得：
综上所述：
例3
【答案】见解析
【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
.
移项整理，得
.
对于方程，=100>0，方程有两个实数根=50，=60.
画出二次函数y=的图像，结合图象得不等式的解集为{x|50{x|50因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.
跟踪训练三
1.【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.
【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m，则另一边长为，总面积
，，当时，．
答：当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.
当堂检测
1-3． BAC
4．
5．
6．【答案】(1) 或．(2)
【解析】（1）当，不等式即，即，
解得，或，
故不等式的解集为或．
（2）若，不等式为，即，
∵，
∴当时， ，不等式的解集为；
当时，，不等式即，它的解集为；
当时，，不等式的解集为．
7. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)当时，由 ，
得解得
所以
(Ⅱ)因为可得，
又因为集合是集合的子集，所以可得，(当 时不符合题意，舍去)
所以
综上所述.