人教A版高中数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式教学设计（Word版）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计（人教A版）
课程目标
1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．
3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
预习课本，引入新课
阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
2.解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异
实根x1,x2
(x1有两相等实根
x1=x2
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.
(1)解ax2+bx+c=0；
(2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.
四、典例分析、举一反三
题型一 解不等式
例1 求下列不等式的解集
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） （2） （3）
解题方法（解不等式）
(1)解ax2+bx+c=0；
(2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；
跟踪训练一
1、求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1） （2）
（3） （4）
题型二 一元二次不等式恒成立问题
例2　(1). 如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________．
(2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】（1） （2）A
【解析】（1）由韦达定理得，，代入不等式，
得，，消去得，解该不等式得，
因此，不等式的解集为，
故答案为：.
（2）当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，若不等式对任意恒成立，
则，解得；
当时，不等式不能对任意恒成立。
综上，的取值范围是.
解题方法（一元二次不等式恒成立问题）
1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定的取值范围，进而求参数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
跟踪训练二
1．已知不等式的解集为或，则实数__________.
2. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____．
【答案】1、6 2、
【解析】1、由题意可知，3为方程的两根，
则，即.故答案为：6
2、①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意
②当，即时，不等式恒成立则需：
，解得：
综上所述：
题型三 一元二次不等式的实际应用问题
例3 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
【答案】见解析
【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
.
移项整理，得
.
对于方程，=100>0，方程有两个实数根=50，=60.
画出二次函数y=的图像，结合图象得不等式的解集为{x|50{x|50因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益.
解题方法（一元二次不等式实际应用问题）
（1）根据题意列出相应的一元二次函数；
（2）由题意列出相应一元二次不等式；
（3）求出解集；
（4）结合实际情况写出最终结果.
跟踪训练三
1.用可围成32 m墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？
【答案】当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.
【解析】设长方形的一边(垂直于旧墙)长为x m，则另一边长为，总面积
，，当时，．
答：当长方形一边(垂直于旧墙)为，另一边为4 m时猪舍面积最大，最大值为.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本55页习题2.3
本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。