第二章 随机变量及其分布 单元测试卷B（原卷版+解析版）

随机变量及其分布单元测试卷（B）
一、单选题
1．若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　　)

A．0.2 B．－0.2 C．0.8 D．－0.8
2．设一随机试验的结果只有和,且发生的概率为，令随机变量，则（ ）
A．1 B． C． D．
3.若X的分布列如下表所示且EX＝1.1，则(　　)
X 0 1 x
P 0.2 p 0.3

A．DX＝2 B．DX＝0.51 C．DX＝0.5 D．DX＝0.49
4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为(　　)
A． B．1 C． D．
5．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知离散型随机变量X的分布列如图：则均值E(X)与方差D(X)分别为(　　)

A．1.4,0.2 B．0.44,1.4 C．1.4,0.44 D．0.44,0.2

7．已知随机变量满足，，，若，则（ ）
A．随着的增大而增大，随着的增大而增大
B．随着的增大而减小，随着的增大而增大
C．随着的增大而减小，随着的增大而减小
D．随着的增大而增大，随着的增大而减小
8．若离散型随机变量的取值分别为，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量的分布列如下：
-1 0 1


若，则( )
A． B． C．1 D．
10．随机变量，且，则此二项分布是 （ ）
A． B． C． D．
11．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为，，两人考试时相互独立互不影响，记表示两人中通过雅思考试的人数，则的方差为（ ）
A． B． C． D．
12．随机变量的分布列如下：
-1 0 1


其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．


二、填空题
13．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数，其中的各位数中出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，记，当程序运行一次时，的数学期望_____．
14．若随机变量，且，，则当__________．（用数字作答）
15．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为__.
ξ 1 2 3 4
P m n

16．已知随机变量服从二项分布～，且，，则等于_____.
17．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．
-1 0 1


三、解答题
18．有甲、乙两队学生参加“知识联想”抢答赛，比赛规则：①主持人依次给出两次提示，第一次提示后答对得2分，第二次提示后答对得1分，没抢到或答错者不得分；②主持人给出第一个提示后开始抢答，第一轮抢答出错失去第二轮答题资格；③每局比赛分两轮，若第一轮抢答者给出正确答案，则此局比赛结束，若第一轮答题者答错，主持人提示后另一队直接答题。如果甲、乙两队抢到答题权机会均等，并且势均力敌，第一个提示后答对概率均为；第二个提示后答对概率均为，为甲队在一局比赛中的分.
（1）求甲在一局比赛中得分的分布列；
（2）若比赛共4局，求甲4局比赛中至少得6分的概率.
19．如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．

（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
20．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
21．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0

（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
22．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？



参考答案
1．B【解析】
易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.故选B.
2．C【解析】∵由题意知一随机试验的结果只有A和，
且P（A）=m，随机变量
∴X服从两点分布，
∴EX=,
∴DX=4m（1-m）．故选：D．
3．D【解析】因为，所以；
因为，所以
因此选D.
4．D【解析】遇到红灯的次数X～B，∴E(X)＝.
∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.
5．C【解析】，
∴∴
6．C【解析】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得，
所以随机变量的均值为，
方差为，
故选C．
7．C【解析】∵ 随机变量满足，，
∴
∴
∵
∴随着的增大而减小，随着的增大而减小故选C
8．C【解析】因为，所以，应选答案C。
9．B【解析】由数学期望计算公式有：，
由可得：，
则.
10．B【解析】随机变量，且，
，②除以①得，
即，代入①解得，此二项分布是，故选B.
11．A【解析】通过雅思考试人数的分布列为
X 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4

所以
所以

所以选A
12．A
【解析】因为，，成等差数列，
，

.
则的最大值为 .
13．【解析】由题意知的可能取值分别为0，1，2，3，4；
表示这4个数字都是0，则；
表示这4个数字中有一个为1，则；
同理；
；
；
所以的分布列为，
0 1 2 3 4



计算数学期望为．
故答案为：．
14．【解析】
由题意，所以，应填答案。
15．【解析】
，，所以，且概率和，解得.
16．【解析】
列方程组，解得.
17．
【解析】由题意可知，解得（舍去）或.
则，
则，
由方差的计算性质得.
18．（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由题意得随机变量的所有可能取值为．
，

．
所以的分布列为：

0 1 2


（2）由（1）可得甲在每局中得0分、1分、2分的概率分别为．
甲4局比赛中至少得6分可分为以下情况：①四个2分；②三个2分和一个1分；③三个2分和一个0分；④两个2分和两个1分．
故甲在4局比赛中至少得6分的概率为
．
19．（1）（2）
【解析】（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以．
因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；
其概率为，
第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．
（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，
，
，


，
所以的分布列为：
2 3 4 5


所以的数学期望为：
．
20．（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为

0
1
2
3








的数学期望
【解析】（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.
由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.
（II）由题设知（I）知，，，，
可能取值为
故，
，


的分布列为


21．（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）2200
【解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，
年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
1 2 3



所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
.
22．（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大
【解析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3
；；；
应聘者甲正确完成题数的分布列为
1 2 3



设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3
，

应聘者乙正确完成题数的分布列为：
0 1 2 3


.
（或∵∴）
（2）因为，

所以 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；
从做对题数的方差考查，甲较稳定； 从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大













试卷第1页，总3页


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